FACULDADE PITÁGORAS DE LINHARES Prof. Esp. Thiago Magalhães

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1 VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO INTRODUÇÃO Cumpre de início, distinguir grandezas escalares das grandezas vetoriais. Grandezas escalares são aquelas que para sua perfeita caracterização basta informarmos a sua magnitude, ou seja, seu valor algébrico seguido de uma unidade de medida. Por exemplo, a massa, o peso, de uma pessoa representa uma grandeza escalar, pois basta expressar seu valor, por exemplo, 60 kg, para ficar bem definida. Outros exemplos: a altura, a temperatura, o comprimento e etc. Por sua vez, as grandezas vetoriais são aquelas que para sua perfeita caracterização, além da magnitude, precisamos informar a sua direção, seu sentido e em alguns casos o ponto de aplicação. Exemplos: velocidade, aceleração, quantidade de movimento, etc. Vetor é o ente matemático que representa as grandezas vetoriais. Geometricamente, representado por um segmento de reta orientado. Características do vetor: 1. módulo: também conhecido como norma, comprimento, intensidade ou magnitude é representado, simbolicamente, por AB ;. direção: é dada pelo ângulo,, que o segmento de reta faz com a horizontal do sistema de eixos cartesianos; 3. sentido: a seta indica o sentido de percurso. GAAL Geometria Analítica e Álgebra Linear Página 74

2 Dois segmentos orientados de reta que têm a mesma direção, sentido e comprimento são ditos equivalentes. Na figura, os segmentos RS e OP são equivalentes. Para comprovar esta afirmação, podemos usar a fórmula de distância entre dois pontos para calcular os comprimentos destes dois segmentos e comprovar que eles têm o mesmo módulo. De fato, RS = 1 4)) 6 ) 5 e OP = 3 0) 4 0) 5 4 Além disso, a declividade da reta que passa pelos pontos -4,) e -1,6) é e 3 é igual à declividade da reta que passa pelos pontos 0,0) e 3,4) e, portanto, as retas suportes dos segmentos são paralelas, o que confirma que estes segmentos têm a mesma direção. Vetor no plano: Um vetor no plano é representado por um par ordenado de números reais. Notação: v x, y), onde x e y são denominadas as componentes do vetor v. Ex.: u =, -4); v = 0, 0); w =,7; -4,7), são todos vetores do plano. Como vimos anteriormente, generalizando, para calcularmos o módulo ou a norma de um vetor, utilizamos da seguinte fórmula: GAAL Geometria Analítica e Álgebra Linear Página 75

3 v x y x1 ) y 1), onde o vetor v, representado pelas coordenadas de sua origem e de sua extremidade, respectivamente, x, ) e x, ). 1 y1 y Vetor no espaço: este é representado por uma terna ordenada de números reais. Notação desse vetor no espaço: Notação: v x, y, z), com x, y e z as componentes desse vetor. Ex: u = 1, -5, 7); v1, 0, 0); w =,9; 3,1; 5,), todos vetores do espaço. O módulo ou a norma de um vetor no espaço é dado por: v x z x1 ) y y1) z 1), cujas coordenadas de sua origem e extremidade são, respectivamente, x, y, z ) e x, y, ) z OBS.: 1ª) Se dois vetores tiverem o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido, então eles são iguais. ª) Se forem representados por segmentos de retas diferentes, mas com o mesmo comprimento, o mesmo sentido e a mesma direção, eles são iguais. Representação de um vetor no plano e no espaço em função de um sistema de coordenadas cartesianas. No plano: a representação do vetor v = x, y) é feita por um segmento de reta com origem do sistema de coordenadas cartesianas, ou seja, O0,0), e a extremidade no ponto Px,y), conforme figura abaixo. GAAL Geometria Analítica e Álgebra Linear Página 76

4 No espaço: a representação do vetor v = x, y, z) é feita por um segmento de reta com origem do sistema de coordenadas cartesianas, ou seja, no ponto O 0, 0, 0), e com extremidade no ponto P x, y, z), conforme figura abaixo. Vetor nulo: é o vetor de coordenadas 0 0,0) no espaço., no plano e o vetor 0 0,0,0), Obs.: Os vetores i 1,0) e j 0,1) são denominados vetores canônicos do plano; os vetores i 1,0,0), j 0,1,0), k 0,0,1 ) são denominados vetores canônicos do espaço. Vetor oposto: Dado o vetor v, existe o vetor - v, que possui o mesmo módulo e mesma direção do vetor v, porém, de sentido oposto. Vetor unitário: Chamaremos de VERSOR ou VETOR UNITÁRIO, ao vetor cujo módulo seja igual à unidade, ou seja, u 1. OPERAÇÕES COM VETORES Adição de vetores: A soma de dois vetores u e v é outro vetor, representado por u + v, obtido pela adição de suas componentes correspondentes. Ex.: Se u x, y ) e v x, ), vetores do plano, então a soma é o vetor 1 1 y u v x x, y ). 1 1 y GAAL Geometria Analítica e Álgebra Linear Página 77

5 Se u x, y, z ) e v x, y, ), vetores do espaço, então a soma é o valor z u v x x ; y y ; z ) z Multiplicação por escalar: a multiplicação de um vetor v por um escalar por um número real k é o vetor kv obtido pela multiplicação de todas as suas coordenadas pela Constant k. Exemplo: Se v = x, y), então kv = kx, ky), no plano; Se v = x, y, z), então kv = kx, ky, kz) Propriedades da adição e multiplicação por escalar: P1. u v) w u v w) P. u 0 u P3. u u) 0 P4. u v v u P5. k u v) ku kv P6. k k`) u ku k`u P7. kk`) u k k`u ) P8. 1 u u Observações: 1ª) A distância entre dois pontos A e B é igual à norma do vetor AB. ª) Um vetor é chamado unitário se ele tiver norma comprimento) igual a 1. Os vetores canônicos são unitários. É possível encontrar um vetor unitário com a mesma direção e sentido de um vetor dado. Como? Vejamos o exemplo: O vetor v, 4, 1) não é unitário, pois v 1. Para encontrar um vetor unitário com a mesma direção e sentido de v, basta multiplicar v pelo inverso de sua norma: 4 1 O vetor v,, ) é unitário e tem a mesma direção e sentido de v ) GAAL Geometria Analítica e Álgebra Linear Página 78

6 EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 01- Represente num sistema de coordenadas cartesianas: a) o vetor do plano v3, 5); b) o vetor do espaço w1,, 3). 0- Determine as componentes do vetor 03- Se u = 3, -) e v = 5, 1), calcule u + v. 04- Se u = 5, -3, 7) e v = 0, 5, 1), calcule u + v. 05- Se u = 3, -), calcule u. 06- Se u = 5, -3, 7) e v = 0, 5, 1), calcule u + 3v. v AB onde A3, 4, 7) e B5, -3, 4) 07- Dados u = 5, -3, 7) e v= 0, 5, 1), encontre os vetores: a) w = v -3u; b) t = u 3v)/ Qual é a norma do vetor 09- Qual a norma do vetor nulo? v AB, se A3, -5) e B-, 4)? 10- Qual a norma dos vetores canônicos do plano e do espaço? GAAL Geometria Analítica e Álgebra Linear Página 79

7 GABARITO FACULDADE PITÁGORAS DE LINHARES 01- a) b) 0-,-7,-3) 03-8,-1) 04-5,,8) 05-6,-4) 06-10,9,17) 07- a) -15,19,-19) b) 1, Os vetores canônicos tanto no plano quanto no espaço são vetores unitários, por tanto a norma desses vetores sempre serã0 iguais a 1. GAAL Geometria Analítica e Álgebra Linear Página 80