Geometria Analítica e Álgebra Linear

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1 Geometria Analítica e Álgebra Linear por PAULO XAVIER PAMPLONA UFCG-UATA 2011

2 Conteúdo 1 Vetores Introdução Vetores no Plano Vetores no Espaço O Espaço Euclidiano R n Interpretação Geométrica e Algébrica de Vetores Operações entre Vetores Propriedades dos Vetores Outras Considerações sobre Vetores Produto Interno ou Produto Escalar Produto Vetorial Produto Misto Reta, Plano, Cônicas e Quádricas A reta - Descrição e Interseções O Plano - Descrição e Interseções Distâncias Cônicas Parábola Elípse Hipérbole Quádricas Matrizes, Determinantes, Sistemas de Equações Lineares Matrizes Tipos Especiais de Matrizes Operações com Matrizes Adição e Subtração de Matrizes Multiplicação por Escalar Multiplicação de Matrizes Operações Elementares e Sistemas Lineares Determinantes

3 3.6 Matriz Adjunta e Matriz Inversa Regra de Cramer Espaços Vetoriais; Transformações Lineares; Autovalores e Autovetores Espaços Vetoriais e Subespaços Vetoriais Combinação Linear Dependência e Independência Linear Base de um Espaço Vetorial Mudança de Base Transformações Lineares Autovalores e Autovetores

4 Capítulo 1 Vetores 1.1 Introdução Existem dois tipos de grandezas: as escalares e as vetoriais. As escalares são aquelas que ficam completamente determinadas por apenas um número real (acompanhado de uma unidade adequada). Comprimento, área, volume, massa, temperatura, densidade, são exemplos de grandezas escalares. Existem, no entanto, grandezas que não ficam completamente definidas apenas pelo seu módulo, ou seja, por um número com sua unidade correspondente. Falamos das grandezas vetoriais, que para serem perfeitamente caracterizadas necessitamos conhecer seu módulo (ou comprimento ou intensidade), sua direção e seu sentido. Força, velocidade, aceleração, são exemplos de grandezas vetoriais. 1.2 Vetores no Plano O matemático Francês Rene Descartes, introduziu um sistema de referências formado por dois eixos, um horizontal chamado eixo das abscissas e outro vertical chamado eixo das ordenadas. Um ponto P neste sistema está definido pelas coordenadas (a, b), onde a e b são números reais tais que a é tomado no eixo das abscissas, que denotaremos por eixo dos X e b é tomado no eixo das ordenadas, o qual denotaremos por eixo dos Y. Este sistema de referências foi denominado sistema de coordenadas ou plano cartesiano, em homenagem a Descartes. Em geral, nos referimos ao plano cartesiano apenas como plano. Dados dois pontos P e Q do plano, chamamos de segmento orientado, denotado por P Q, ao segmento de reta com ponto inicial P e ponto final Q. Dado o segmento P Q, dizemos que o segmento QP é um segmento oposto a P Q. Como conjunto de pontos os segmentos P Q e QP são iguais, mas como segmentos orientados eles são distintos. Dois segmentos orientados são equivalentes se eles tiverem o mesmo comprimento e a mesma direção e sentido. Na Figura 1.1 os segmentos P Q e RS são equivalentes. Para todo 4

5 segmento orientado no plano, existe outro equivalente a ele, cujo ponto inicial é a origem. Por exemplo, o segmento P Q, com ponto inicial em P (6, 2) e ponto final em Q(2, 3), é equivalente ao segmento OA com ponto inicial na origem e ponto final em A( 4, 5) (Veja Figura 1.2). Figura 1.1: Figura 1.2: Os segmentos orientados com ponto inicial na origem são denominados vetores no plano. Para cada ponto P (a, b) do plano está associado um único vetor v = OP e, reciprocamente, para cada vetor do plano, associamos um único ponto do plano que é o ponto final. Representamos um vetor v = OP pelas coordenadas do seu ponto final P (a, b) escrevendo [ ] v = (a, b) ou a v = (Veja Figura 1.3). b Figura 1.3: Vetor (x, y) no Plano De um modo geral, dados dois vetores quaisquer do plano v 1 e v 2 não-paralelos, para cada vetor v representado no mesmo plano de v 1 e v 2, existe uma só dupla de números reais a 1 e a 2 tal que v = a1 v 1 + a 2 v 2. 5

6 Neste caso, dizemos que v é uma combinação linear de v 1 e v 2 e o conjunto B = { v 1, v 2 } é chamado base do plano. Os números a 1 e a 2 são chamados componentes ou coordenadas de v na base B. Na prática, as bases mais utilizadas são as ortonornais, ou seja, uma base onde seus vetores são ortogonais entre si e cada um deles é unitário. Dentre as infinitas bases ortonormais no plano, uma delas é particularmente importante. Trata-se da base canônica C = ( i, j ), onde i = (1, 0) e j = (0, 1). É a base canônica que determina o conhecido sistema cartesiano ortogonal xoy. Figura 1.4: Sistema xoy Dado um vetor v qualquer do plano, existe uma só dupla de números x e y tal que v = x i + y j. Os números x e y são as componentes de v na base canônica. O vetor v será representado por v = (x, y), dispensando a referência à base canônica C. Assim, definimos vetor no plano como sendo o par ordenado (x, y) de números reais. O par (x, y) é chamado expressão analítica de v. A cada ponto P (x, y) do plano xoy corresponde o vetor v = OP = x i + y j. Isto é, as coordenadas do ponto P são as próprias componentes do vetor OP na base canônica. Em resumo, o plano pode ser encarado como um conjunto de pontos ou um conjunto de vetores. Chamamos de vetor nulo, e representamos por O = (0, 0), ao vetor que tem os pontos inicial e final coincidentes com a origem. Chamamos de vetor oposto de um vetor v = OP ao vetor w = OQ que tem o mesmo comprimento de v e direção oposta a de v. Em outras palavras, se v = (a, b), então w = ( a, b) é o vetor oposto a v e escrevemos w = v. 6

7 Dois vetores u e v são iguais, e indica-se por u = v, se tiverem iguais o módulo, a direção e o sentido. Em outras palavras, se u = (a, b) e v = (c, d), então u = v se a = c e b = d. Dois ou mais vetores são coplanares se existir algum plano onde estes vetores estão representados. 1.3 Vetores no Espaço No espaço, consideramos a base canônica { i, j, k } como aquela que irá determinar o sistema cartesiano ortogonal Oxyz onde estes três vetores unitários e dois a dois ortogonais estão representados com origem no ponto O. Este ponto e a direção de cada um dos vetores da base determinam os três eixos cartesianos: o eixo Ox ou eixo dos x (das abscissas) que corresponde ao vetor i, o eixo Oy ou eixo dos y (das ordenadas) que corresponde ao vetor j e o eixo Oz ou eixo dos z (das cotas) que corresponde ao vetor k. Cada dupla de vetores de base, e, consequentemente, cada dupla de eixos, determina um plano cartesiano. Portanto, temos três planos coordenados: o plano xoy ou xy, o plano xoz ou xz e o plano yoz ou yz (Ver Figura 1.5). Figura 1.5: Planos xy, xz e yz no espaço Assim como no plano, a cada ponto P (x, y, z) do espaço irá corresponder o vetor OP = x i + y j + z k, isto é, as próprias coordenadas x, y e z do ponto P são as componentes do vetor OP na base canônica. As coordenadas x, y e z são denominadas abscissa, ordenada e cota, respectivamente. O vetor v = x i + y j + z k também pode ser expresso por v = (x, y, z) que é a expressão analítica de v. Observe as Figuras 1.6 e 1.7: 7

8 Figura 1.6: Ponto (x, y, z) R 3 Figura 1.7: Vetor (x, y, z) R 3 Para marcar um ponto A(a, b, c) qualquer no espaço, procedemos da seguinte maneira: primeiro marca-se o ponto A (a, b, 0) no plano xy e depois desloca-se P paralelamente ao eixo dos z, c unidades para cima (se c for positivo) ou para baixo (se c for negativo). No gráfico abaixo marcamos o ponto A(3, 2, 4) no espaço e o ponto A (3, 2, 0) no plano xy. Figura 1.8: Ponto (x, y, z) Figura 1.9: Pontos A(3, 2, 4) e A (3, 2, 0) no Espaço Os três planos coordenados se interceptam segundo os três eixos dividindo o espaço em oito regiões denominadas octantes. A cada octante correspondem pontos cujas coordenadas têm sinais de acordo com o sentido positivo adotado para os eixos. O primeiro é constituido dos pontos de coordenadas todas positivas. Os demais octantes acima do plano xy se sucedem em ordem numérica, a partir do primeiro, no sentido positivo. Os octantes abaixo do plano xy se sucedem na mesma ordem a partir do quinto que, por convenção, se situa sob o primeiro. 8

9 Na figura 1.10, estão colocados os pontos A, B, C e D situados acima do plano xy e todos de cota igual a 2, enquanto os pontos A, B, C e D estão situados abaixo do plano xy e todos têm cota igual a -2: ponto A(6, 4, 2), situado no 1 o octante; ponto B( 5, 3, 2), situado no 2 o octante; ponto C( 6, 5, 2), situado no 3 o octante; ponto D(5, 3, 2), situado no 4 o octante; ponto A (6, 4, 2), situado no 5 o octante; ponto B ( 5, 3, 2), situado no 6 o octante; ponto C ( 6, 5, 2), situado no 7 o octante; ponto D (5, 3, 2), situado no 8 o octante. Figura 1.10: Pontos no Espaço Observações: 1) O vetor v = OP será denotado por v = (x, y, z) ou x v = y. z 2) Se V é um conjunto de vetores no espaço, escrevemos V = {(x 1, x 2, x 3 ); x i R} = R R R = R 3. 3) No espaço, todo conjunto de três vetores não-coplanares constitui uma de suas bases, isto é, todo vetor do espaço pode ser escrito de modo único como combinação linear dos vetores desta base. 1.4 O Espaço Euclidiano R n O espaço euclidiano R n (n inteiro positivo) é o conjunto de todas as n-uplas ordenadas X = (x 1, x 2,..., x n ) de números reais. Observações: 1) A ordem em que aparece os números na n-upla deve ser preservado. Caso contrário, teremos uma outra n-upla (a menos que x 1 = x 2 =... = x n ). Por exemplo, a n-upla (1, 3, 2, 5) é diferente da n-upla (3, 1, 2, 5). 2) Só é possível representar uma n-upla no gráfico para n 3. 3) As n-uplas X = (x 1, x 2,..., x n ) podem ser vistas como pontos ou como vetores do R n. 9

10 1.5 Interpretação Geométrica e Algébrica de Vetores Fixemos um ponto O do espaço, o qual chamamos de origem, e três segmentos unitários, mutualmente ortogonais OA, OB e OC formando um triedro positivo. Os vetores i = OA, j = OB e k = OC formam uma base ortonormal positiva {i, j, k}. Indicamos OX, OY e OZ as retas que contém os segmentos OA, OB e OC, respectivamente. Essas retas são denominadas eixo das abscissas ou eixo dos X, eixo das ordenadas ou eixo dos Y e eixo das cotas ou eixo dos Z, respectivamente. O plano formado pelos eixos X e Y é o plano XY, o plano formado pelos eixos X e Z é o plano XZ e o plano formado pelos eixos Y e Z é o plano Y Z. A cada ponto P do espaço corresponde um único segmento orientado OP com origem em O. Figura 1.11: Espaço R 3 O segmento OP determina um único vetor v = OP que se escreve de maneira única como v = x i + y j + z k. Assim, a cada ponto P do espaço corresponde uma única terna ordenada (x, y, z) de números reais. Os números reais x, y e z são as coordenadas do ponto P no sistema O, i, j, k. Reciprocamente, a cada terna ordenada (x, y, z) de números reais corresponde um único ponto P do espaço tal que v = OP = x i + y j + z k. Portanto, podemos representar os pontos do espaço por ternas ordenadas de números reais. Logo, se P satisfaz certas condições de natureza geométrica, essas condições podem ser expressas por meio de relações numéricas entre suas coordenadas x, y e z, trabalhando com vetores em sua forma algébrica. É o que chamamos de Geometria Analítica. 1.6 Operações entre Vetores a) Multiplicação de um vetor por um número Multiplicar um vetor u por um número α é considerar um novo vetor w = α u, que é α vezes o comprimento de u, possui a mesma direção de u se α > 0, e é igual ao vetor oposto de α u se α < 0. Se α = 0, w é o vetor nulo. 10

11 Figura 1.12: Multiplicação por Escalar b) Adição de Vetores Dados os vetores u = (x 1, y 1 ) e v = (x 2, y 2 ) e α R. Define-se vetor soma como sendo o vetor u + v dado por u + v = (x1 + x 2, y 1 + y 2 ). Chamamos de vetor diferença entre u e v ao vetor u v = u + ( v ). No paralelogramo determinado pelos vetores u e v (Veja Figura 1.13), a soma u + v é representada por uma das diagonais e a diferença u v pela outra diagonal. Figura 1.13: Vetores Soma e Diferença A soma de um vetor u = (x, y) com seu oposto w = u = ( x, y) é o vetor nulo O = (0, 0). Se u = (x 1, y 1, z 1 ) e v = (x 2, y 2, z 2 ) são ternas ou vetores do R 3 e α R, então definimos: u + v = (x1 + x 2, y 1 + y 2, z 1 + z 2 ) e α u = (αx 1, αy 1, αz 1 ). 11

12 De modo análogo, se u = (x 1, x 2,..., x n ) e v = (y 1, y 2,..., y n ) são n-uplas ou vetores do R n e α R, definimos: u + v = (x1 + y 1, x 2 + y 2,..., x n + y n ) e α u = (αx 1, αx 2,..., αx n ). Exemplo Dados os vetores u = (2, 3) e v = ( 1, 4), determine 3 u + 2 v e 3 u 2 v. Solução: 3 u + 2 v = 3(2, 3) + 2( 1, 4) = (6, 9) + ( 2, 8) = (6 2, 9 + 8) = (4, 1); 3 u 2 v = 3(2, 3) 2( 1, 4) = (6, 9) ( 2, 8) = (6 + 2, 9 8) = (8, 17). Exemplo Dados os vetores u = (2, 3, 5) e v = (1, 2, 0) e α = 2, determine u + v, α u e α v. Solução: u + v = (2, 3, 5) + (1, 2, 0) = (2 + 1, 3 + 2, 5 + 0) = (3, 1, 5); α u = 2(2, 3, 5) = (2(2), 2( 3), 2(5)) = (4, 6, 10); α v = 2(1, 2, 0) = (2(1), 2(2), 2(0)) = (2, 4, 0). 1.7 Propriedades dos Vetores Os vetores gozam de uma série de propriedades decorrentes das propriedades relativas às operações com números reais. Ou seja, para quaisquer vetores u, v, w R n e números reais α, β R, verifica-se as seguintes propriedades: P 1 ) u + ( v + w ) = ( u + v ) + w ; P 2 ) u + v = v + u ; P 3 ) Existe o vetor nulo 0 tal que 0 + u = u + 0 = u ; P 4 ) Existe o vetor oposto de u dado por u tal que u + ( u ) = 0 ; P 5 ) α( u + v ) = α u + α v ; P 6 ) (α + β) u = α u + β u ; P 7 ) (α.β) u = α(β u ) = β(α u ); P 8 ) 1. u = u. Estas propriedades servem para caracterizar certos conjuntos que, apesar de terem natureza diferente dos vetores no espaço, comportam-se como eles. Esses espaços recebem o nome de espaços vetoriais. Veremos a seguir a demonstração da propriedade P 1 ) no caso n = 3. O caso n 3 é análogo. A demonstração das demais propriedades fica como exercício. 12

13 P 1 ) Sejam u = (x 1, y 1, z 1 ), v = (x 2, y 2, z 2 ) e w = (x 3, y 3, z 3 ). Então: [ ] u + ( v + w ) = (x1, y 1, z 1 ) + (x 2, y 2, z 2 ) + (x 3, y 3, z 3 ) = (x 1, y 1, z 1 ) + (x 2 + x 3, y 2 + y 3, z 2 + z 3 ) ( ) = x 1 + (x 2 + x 3 ), y 1 + (y 2 + y 3 ), z 1 + (z 2 + z 3 ). Usando a propriedade associativa para números reais, segue que u + ( v + w ) = ( (x 1 + x 2 ) + x 3, (y 1 + y 2 ) + y 3, (z 1 + z 2 ) + z 3 ) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2, z 1 + z 2 ) + (x 3, y 3, z 3 ) = ( u + v ) + w. Exemplo Determine o vetor x na igualdade onde u = (3, 1) e v = ( 2, 4). 3 x + 2 u = 1 2 v + x, Solução: Devido as propriedades acima, podemos resolver a equação dada como uma equação numérica. Portanto, se multiplicarmos a equação por 2, segue que Substituindo u e v, segue que 6 x + 4 u = v + 2 x 6 x 2 x = v 4 u 4 x = v 4 u 1 x = v u. 4 x = 1 4 ( 2, 4) (3, 1) = ( 1 2 3, 1 + 1) = ( 7 2, 2). Exemplo Determine os números α e β que satisfazem a equação vetorial para w = (10, 2), u = (3, 5) e v = ( 1, 2). w = α u + β v, Solução: Substituindo os vetores na igualdade, obtemos (10, 2) = α(3, 5) + β( 1, 2) = (3α, 5α) + ( β, 2β) = (3α β, 5α + 2β). Da condição de igualdade de dois vetores, segue que { 3α β = 10 5α + 2β = 2. Resolvendo o sistema acima, encontramos α = 2 e β = 4. equação vetorial na forma w = 2 u 4 v. Logo, podemos escrever a 13

14 1.8 Outras Considerações sobre Vetores Vetor Definido por Dois Pontos Consideremos o vetor AB de origem no ponto A(x 1, y 1 ) e extremidade em B(x 2, y 2 ). Os vetores OA e OB tem expressões analíticas dadas por OA = (x1, y 1 ) e OB = (x2, y 2 ). Segue que AB = OB OA = (x2, y 2 ) (x 1, y 1 ) = (x 2 x 1, y 2 y 1 ). Por simplicidade, escreve-se AB = B A. No caso em que A(x 1, y 1, z 1 ) e B(x 2, y 2, z 2 ) são dois pontos quaisquer do espaço, então AB = B A = (x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1 ). Exemplo Dados os pontos A( 1, 2), B(3, 1) e C( 2, 4), determine o ponto D de modo que 1 CD = AB. 2 Solução: Seja D(x, y). Temos CD = D C = (x, y) ( 2, 4) = (x+2, y 4) Da equação dada, segue que (x + 2, y 4) = 1 2 (4, 3) = (2, 3 2 ). Pela condição de igualdade de dois vetores, temos o sistema x + 2 =2 cuja solução é x = 0 e y = 5 2. Logo D(0, 5 2 ). e y 4 = 3 2 AB = B A = (3, 1) ( 1, 2) = (4, 3). Exemplo Encontrar o vértice oposto a B no paralelogramo ABCD, sendo dados A(3, 2, 4), B(5, 1, 3) e C(0, 1, 2). Solução: Como os lados opostos do paralelogramo são paralelos segue que AD = BC ou AB = DC. Como BC = C B = (0, 1, 2) (5, 1, 3) = ( 5, 0, 5) e AD = D A, segue da primeira equação que D = A + BC = (3, 2, 4) + ( 5, 0, 5) = ( 2, 2, 9). Exemplo Sendo A( 2, 4) e B(4, 1) extremidades de um segmento, determinar os pontos C e D que dividem AB em três segmentos de mesmo comprimento. Exemplo Sendo A(2, 1) e B(5, 2) vértices consecutivos de um paralelogramo ABCD e M(4, 3) o ponto de interseção das diagonais, determinar os vértices C e D. 14

15 Módulo de um Vetor Se v = (x, y), então o módulo (ou comprimento) de v é dado por v = x 2 + y 2. No caso em que v = (x, y, z), então o módulo de v é dado por Exemplo Se v = (2, 3), tem-se Distância entre dois Pontos v = x 2 + y 2 + z 2. v = ( 3) 2 = 13. A distância entre dois pontos A(x 1, y 1 ) e B(x 2, y 2 ) é o módulo (comprimento) do vetor AB, isto é, d(a, B) = AB. Como AB = B A = (x 2 x 1, y 2 y 1 ), segue que d(a, B) = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2. No caso em que A(x 1, y 1, z 1 ) e B(x 2, y 2, z 2 ), tem-se que d(a, B) = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2. Exemplo Calcular a distância entre os pontos A(3, 2) e B(2, 5) do plano. Solução: Temos d(a, B) = (2 3) 2 + (5 2) 2 = ( 1) 2 + (3) 2 = = 10. Exemplo Calcular a distância entre os pontos A(3, 2, 4) e B(1, 2, 6) do espaço. Solução: Temos d(a, B) = (1 3) 2 + ( 2 + 2) 2 + (6 4) 2 = ( 2) 2 + (0) 2 + (2) 2 = = 8 = 2 2. Vetor Unitário e Versor Um vetor é unitário quando possui módulo igual a 1. O versor de um vetor v é um vetor v da forma v. Exemplo Determine o versor de v = (3, 4). Solução: O versor de v é dado por v u = v = (3, 4) (3, 4) = = 32 + ( 4) 2 25 (3, 4) 5 = ( 3 5, 4 5 ). O versor é sempre um vetor unitário, pois (3 ) 2 ( u = + 4 ) 2 9 = = 25 = 1. 15

16 Ponto Médio Seja o segmento de extremos A(x 1, y 1 ) e B(x 2, y 2 ). Sendo M(x, y) o ponto médio de AB, podemos expressar de forma vetorial como AM = MB, ou seja, (x x 1, y y 1 ) = (x 2 x, y 2 y), o que implica que x x 1 = x 2 x e y y 1 = y 2 y. Resolvendo, encontramos x = x 1 + x 2 2 e y = y 1 + y 2. Portanto o ponto médio é dado por 2 M ( x1 + x 2 2, y 1 + y ) 2. 2 No caso em que A(x 1, y 1, z 1 ) e B(x 2, y 2, z 2 ) são pontos extremos do espaço, o ponto médio M de AB é ( x1 + x 2 M, y 1 + y 2, z 1 + z ) Exemplo Determinar o ponto médio do segmento de extremos A( 2, 3) e B(6, 2). Solução: O ponto médio é dado por ( M, ) 2 2 ou ( M 2, 5 ). 2 Exemplo Seja o triângulo de vértices A(4, 1, 2), B(2, 5, 6) e C(1, 1, 2). Calcular o comprimento da mediana do triângulo relativa ao lado AB. Solução: A mediana em questão é o segmento que tem como extremidades o ponto médio M de AB e o vértice oposto C. Então, o comprimento da mediana é o módulo do vetor MC. Temos que M( , 1 + 5, 2 6 ) = M(3, 2, 4). 2 2 Portanto, MC = C M = (1, 1, 2) (3, 2, 4) = ( 2, 3, 2) Logo, o comprimento da mediana é dada por Paralelismo Entre Vetores MC = ( 2) 2 + ( 3) = 17. Dois vetores u = (x 1, y 1 ) e v = (x 2, y 2 ) são paralelos se existe um número real α tal que u = α v, ou seja, (x1, y 1 ) = α(x 2, y 2 ) = (αx 2, αy 2 ). Da condição de igualdade de vetores, segue que x 1 = αx 2 e y 1 = αy 2. Donde resulta que x 1 x 2 = y 1 y 2 = α. Esta é a condição de paralelismo de dois vetores, isto é, dois vetores são paralelos quando suas componentes forem proporcionais. 16

17 No caso do espaço, se os vetores u = (x 1, y 1, z 1 ) e v = (x 2, y 2, z 2 ) são paralelos, então u = α v ou x 1 x 2 = y 1 y 2 = z 1 z 2 = α. Observações: 1) O vetor nulo é paralelo a qualquer vetor. 2) Se uma das componentes de um vetor for nula, a componente correspondente de um vetor paralelo também é nula. Exemplo Verificar se os vetores u = ( 2, 3) e v = ( 4, 6) são paralelos ou não. Solução: Temos 2 4 = 1 2 e 3 6 = 1 2. Exemplo Sabendo que o ponto P ( 3, m, n) pertence à reta que passa pelos pontos A(1, 2, 4) e B( 1, 3, 1), determine m e n. Solução: Como os pontos A, B e P pertencem à mesma reta, qualquer dupla de vetores formadas utilizando estes três pontos são paralelos. Tomemos a condição AB// AP, ou seja, ( 2, 1, 3)//( 4, m + 2, n 4) e, portanto, 2 4 = 1 m + 2 = 3 n 4. Donde temos o sistema { 2(m + 2) = 4 2(n 4) = 12, cuja solução é m = 4 e n = 2. Exercícios 1) Dados os pontos A(2, 1) e B( 1, 4) e os vetores u = ( 1, 3) e v = ( 2, 1), determinar a) u b) u + v c) 2 u 3 v d) a distância entre os pontos A e B. 2) Determinar, no eixo Ox, um ponto P que seja equidistante dos pontos A( 1, 2) e B(5, 4). 3) Dado o vetor v = ( 2, 1), achar o vetor paralelo a v que tenha a) o mesmo sentido de v e três vezes o módulo de v ; b) sentido contrário ao de v e a metade do módulo de v ; c) o mesmo sentido de v e módulo 4; d) sentido contrário ao de v e módulo 2. 17

18 1.9 Produto Interno ou Produto Escalar Definição Analítica de Produto Interno Dadas as ternas u = (x 1, x 2, x 3 ) e v = (y 1, y 2, y 3 ) temos os vetores u = x 1 i + x2 j + x3 k e v = y 1 i + y2 j + y3 k. Definimos o produto interno (ou produto escalar) entre u e v por u. v = x1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3. (1.1) No caso das n-uplas u = (x 1, x 2,..., x n ) e v = (y 1, y 2,..., y n ) temos u. v = x1 y 1 + x 2 y x n y n. O produto interno de u por v também é indicado por < u, v > e se lê u interno v. R n munido do produto interno torna-se um espaço chamado espaço euclidiano n- dimensional. Em R 2 e R 3 o produto interno nada mais é do que o produto escalar comum da Física, onde a definição é, em geral, formulada geometricamente como o produto do comprimento de u pelo comprimento de v e pelo cosseno do ângulo formado por eles. Exemplo Dados os vetores u = 3 i 5 j + 8 k e v = 4 i 2 j k, determinar o produto interno entre u e v. Solução: Temos u. v = 3(4) 5( 2) + 8( 1) = 14. Exercícios 1) Dados os vetores u = (3, 2, 1) e v = ( 1, 4, 1), calcular: a) u. v ; b) u. u ; c) 0. v ; d) ( u + v ).(2 u v ). 2) Dados os vetores u = (4, α, 1) e v = (α, 2, 3) e os pontos A(4, 1, 2) e B(3, 2, 1), determinar o valor de α tal que u.( v + BA) = 5. Propriedades do Produto Interno Para quaisquer vetores u, v, w e z e o número real α, verifica-se as seguintes propriedades: P 1 ) u. v = v. u P 2 ) u.( v + w ) = u. v + u. w e ( u + v ). w = u. w + v. w P 3 ) ( u + v ).( w + z ) = u. w + u. z + v. w + v. z P 4 ) α( u. v ) = (α u ). v = u.(α v ) P 5 ) i. i = j. j = k. k = 1 e i. j = i. k = j. k = 0 P 6 ) u. u 0 e u. u = 0 u = 0. Vamos demonstrar a propriedade P 2 ) no caso n = 3. Para n 3, a demonstração é análoga. 18

19 As demais propriedades ficam como exercícios. Sejam u = (x 1, x 2, x 3 ), v = (y 1, y 2, y 3 ) e w = (z1, z 2, z 3 ). Então u.( v + w ) = (x1, x 2, x 3 ).(y 1 + z 1, y 2 + z 2, y 3 + z 3 ) = x 1 (y 1 + z 1 ) + x 2 (y 2 + z 2 ) + x 3 (y 3 + z 3 ) = x 1 y 1 + x 1 z 1 + x 2 y 2 + x 2 z 2 + x 3 y 3 + x 3 z 3 = (x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 ) + (x 1 z 1 + x 2 z 2 + x 3 z 3 ) = u. v + u. w. Observações: 1) A propriedade P 1 ) diz que o produto interno é uma operação comutativa ou simétrica. P 2 ) diz que o produto interno é uma operação distributiva. P 4 ) é uma operação associativa entre vetores e P 6 ) diz que o produto interno é definido positivo. 2) Segue da definição de produto interno que u. u = u 2, onde u é um vetor qualquer. De fato, o módulo do vetor u = (x, y, z) é dado por Por outro lado, u = x 2 + y 2 + z 2 u 2 = x 2 + y 2 + z 2. u. u = (x, y, z).(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 = u 2. Exemplo Sendo u = 4, v = 2 e u. v = 3, calcular (3 u 2 v ).( u + 4 v ). Solução: Usando as propriedades do produto interno, temos (3 u 2 v ).( u + 4 v ) = 3 u.( u + 4 v ) 2 v.( u + 4 v ) Exemplo Mostrar que i) u + v 2 = u u. v + v 2 ii) u v 2 = u 2 2 u. v + v 2. iii) ( u + v ).( u v ) = u 2 v 2. = 3 u. u + 12 u. v + 2 v. u 8 v. v = 3 u u. v 8 v 2 = 3(4) (3) 8(2) 2 = 38. Solução: i) Usando as propriedades do produto interno, segue que u + v 2 = ( u + v ).( u + v ) = u.( u + v ) + v.( u + v ) = u. u + u. v + v. u + v. v = u u. v + v 2. 19

20 ii) Análoga à demonstração de i). iii) Usando as propriedades do produto interno, segue que ( u + v ).( u v ) = u.( u v ) + v.( u v ) = u. u u. v + v. u v. v = u 2 v 2. Definição Geométrica de Produto Interno Se u e v são vetores não-nulos e θ o ângulo entre eles, então u. v = u v cos(θ), 0 o θ 180 o. (1.2) Ou seja, o produto interno entre dois vetores não-nulos é igual ao produto de seus módulos pelo co-seno do ângulo formado por eles. Exemplo Sendo u = 2, v = 3 e 120 o o ângulo entre u e v, calcular a) u. v b) u + v a) u v. Solução: a) Usando a fórmula, segue que u. v = u v cos(120 o ) = 2.3.( 1/2) = 3. b) Temos que u + v 2 = u u. v + v 2 = ( 3) = = 7. Logo, c) De modo análogo, temos u + v = 7. u v 2 = u 2 2 u. v + v 2 = 2 2 2( 3) = = 19. Logo, u v = 19. Equivalência das Definições de Produto Interno A definição analítica de produto interno dada em (1.1) é equivalente à definição geométrica dada em (1.2). 20

21 De fato, vejamos o caso em que n = 2. Sejam u = (x 1, x 2 ) e v = (y 1, y 2 ) vetores do plano e θ o ângulo formado por eles. Segue da lei dos co-senos que ou seja, u v 2 = u 2 + v 2 2 u v cos(θ) ou ainda, ( ) 2 ( ) 2 ( 2 (x1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 = x x y1 2 + y2) 2 2 u v cos(θ) que é equivalente a ou seja, x 2 1 2x 1 y 1 + y x 2 2 2x 2 y 2 + y 2 2 = x x y y u v cos(θ) 2x 1 y 1 2x 2 y 2 = 2 u v cos(θ) x 1 y 1 + x 2 y 2 = u v cos(θ). Para exemplificar essa equivalência, considere os vetores u = (1, 1, 0) e v = (0, 1, 0) no espaço e o ângulo entre eles que é de 45 o. Usando a definição analítica, temos Usando a definição geométrica, temos u. v = (1, 1, 0).(0, 1, 0) = 1(0) + 1(1) + 0(0) = 1. u. v = u v cos(45 o ) = ( 2)(1)( 2/2) = 1. Teorema (Desigualdade de Schwarz) Dados dois vetores u e v quaisquer, então u. u u v. Prova: Se u ou v é o vetor nulo, o resultado é imediato, pois ambos os lados da desigualdade são nulos. Suponhamos que u e v são não-nulos. Então para qualquer t R, tem-se 0 (t u + v, t u + v ) = t 2 u 2 + t u. v + t v. u + v 2 = u 2 t 2 + 2t u. v + v 2 Ou seja, temos um trinômio do 2 o grau que deve ser positivo para todo t R. Neste caso, devemos ter 0, isto é, devemos ter 4 u. v 2 4 u 2. v 2 0 ou equivalentemente, u. v u v. 21

22 Teorema (Desigualdade Triangular) Dados dois vetores u e v quaisquer, então Prova: Temos u + v u + v. u + v 2 = u u. v + v 2 Usando a Desigualdade de Schwarz, segue que u + v 2 = u u v + v 2 = ( u + v ) 2. Tomando raiz quadrada em ambos os membros, segue o resultado. A desigualdade triangular confirma a propriedade geométrica, segundo a qual, a soma dos comprimentos de dois lados de um triângulo é maior do que o comprimento do terceiro lado. A igualdade que aparece só ocorre quando os dois vetores forem paralelos e de mesmo sentido. Condição de Ortogonalidade de dois Vetores Dois vetores u e v são ortogonais se, e somente se, u. v = 0 Observação: O único vetor que é ortogonal a si mesmo é o vetor nulo. Na verdade, o vetor nulo é ortogonal a todo vetor. Teorema (Pitágoras) Dois vetores u e v quaisquer são ortogonais se, e somente se, u + v 2 = u 2 + v 2. Prova: Temos que u e v são ortogonais se, e somente se, u. v = 0 se, e somente se, u + v 2 = u u. v + v 2 = u 2 + 2(0) + v 2 = u 2 + v 2. Exemplo Mostre que os seguintes pares de vetores são ortogonais: a) u = (1, 2, 3) e v = (4, 5, 2) b) i e j. Solução: a) u. v = (1, 2, 3).(4, 5, 2) = 1(4) 2(5) + 3(2) = = 0. b) i. j = (1, 0, 0).(0, 1, 0) = 1(0) + 0(1) + 0(0) = 0. Exemplo Provar que o triângulo de vértices A(2, 3, 1), B(2, 1, 1) e A(2, 2, 2) é um triângulo retângulo. Solução: Devemos mostrar que existem dois vetores que determinam os lados do triângulo cujo produto interno entre eles é zero. Consideremos os vetores AB = (0, 2, 2), AC = (0, 1, 3), 22 BC = (0, 1, 1),

23 Também poderíamos considerar os vetores opostos deles. Logo, AB. AC = (0, 2, 2).(0, 1, 3) = = 8 0; AB. BC = (0, 2, 2).(0, 1, 1) = = 0; AC. BC = (0, 1, 3).(0, 1, 1) = = 4 0; Como AB. BC = 0, segue que o triângulo é retângulo em B. Exemplo v 2 = (1, 0, 1). Determinar um vetor que seja ortogonal aos vetores v 1 = (1, 1, 0) e Solução: Seja u = (x, y, z) o vetor ortogonal a v 1 e v 2. Devemos ter u. v 1 = (x, y, z).(1, 1, 0) = x y = 0 e u. v 2 = (x, y, z).(1, 0, 1) = x + z = 0. Assim, temos o sistema { x y = 0 x + z = 0 que possui infinitas soluções do tipo y = x e z = x. Logo, os vetores ortogonais a v 1 e v 2 são da forma u = (x, x, x) ou u = x(1, 1, 1), x R, isto é, são todos múltiplos de (1, 1, 1). Exemplo Demonstrar que as diagonais de um losango são perpendiculares entre si. Solução: Lembremos que todo losango é um paralelogramo cujos lados têm o mesmo comprimento. Considerando o losango ABCD, devemos mostrar que AC. BD = 0. Temos que AC = AB + AD e BD = AB AD. Logo, AC. BD = ( AB + AD).( AB AD) = AB 2 AD 2 = 0, pois AB = AD. Cálculo do Ângulo de dois Vetores Dados dois vetores u e v e θ o ângulo entre eles, podemos determinar θ a partir da fórmula u. u cos(θ) = u v, 0o θ180 o. Exemplo Calcular o ângulo entre os vetores u = (1, 1, 4) e v = ( 1, 2, 2). Solução: Seja θ o ângulo procurado, então Logo, cos(θ) = u. u u v = (1, 1, 4).( 1, 2, 2) = = = 1 2 = θ = arccos( 2/2) = 45 o

24 Exemplo Sabendo-se que v = (2, 1, 1) forma um ângulo de 60 o com o vetor AB determinado pelos pontos A(3, 1, 2) e B(4, 0, m), determinar m. Solução: Devemos ter v. AB cos(60 o ) = v AB. Como cos(60 o ) = 1/2 e AB = B A = (1, 1, m + 2), segue que 1 2 = (2, 1, 1).(1, 1, m + 2) m2 + 4m + 4 = 2 1 m 2 6 m2 + 4m + 6 = Elevando ambos os membros ao quadrado, tem-se 1 4 = 1 + 2m + m2 6m m m 6m2 + 24m m m + 36 = 4 + 8m + 4m 2 m 2 + 8m + 16 = 0. Resolvendo a equação quadrática m 2 + 8m + 16 = 0, encontramos m = 4 como raíz dupla. Exemplo Determinar os ângulos internos ao triângulo ABC, sendo A(3, 3, 3), B(2, 1, 2) e C(1, 0, 2). Solução: O ângulo  é determinado pelos vetores AB e AC. Logo Logo, Analogamente, cos ˆB = e, cos Ĉ = BA. BC BA = BC CA. CB CA CB = cos  = AB. AC Notemos que  + ˆB + Ĉ = 180o. Exemplo AB AC ( 1, 2, 1).( 2, 3, 1) = =  = arccos(9/ 84) = 10 o 53. (1, 2, 1).( 1, 1, 0) 3 = ˆB = arccos( 3/2) = 150 o. (2, 3, 1).( 1, 1, 0) = 5 Ĉ = arccos(5/ 28) = 19 o Se θ é o ângulo entre os vetores u e v, mostre que 1 cos θ 1. Solução: Da desigualdade de Schwarz, segue que u v u. v u v Dividindo por u v, segue que u. v 1 u 1 v 1 cos θ 1. 24

25 1.10 Produto Vetorial Chama-se de produto vetorial de dois vetores u = x 1 i + x2 j + x3 k e v = y1 i + y 2 j + y3 k, tomados nesta ordem, e se representa por u v, ao vetor u x v = 2 x 3 x y 2 y 3 i 1 x 3 x y 1 y 3 j + 1 x 2 y 1 y 2 k = (x2 y 3 x 3 y 2, x 3 y 1 x 1 y 3, x 1 y 2 x 2 y 1 ). (1.3) O produto vetorial de u por v também é denotado por u v e lê-se u vetorial v. Observamos que a definição dada em (1.3) pode ser obtida do desenvolvimento segundo o Teorema de Laplace para determinantes, onde neste caso, a primeira linha é trocada pelos vetores unitários i, j e k. Portanto, usamos a seguinte notação i j k u v = x 1 x 2 x 3 (1.4) y 1 y 2 y 3 O símbolo à direita de (1.4) não é um determinante, pois a primeira linha contém vetores em vez de escalares. No entanto, o seu desenvolvimento como determinante nos dá a definição de produto vetorial dada em (1.3), o que facilita a memorização da fórmula. Exemplo Calcular u v para u = 5 i + 4 j + 3 k e v = i + k. Solução: u v = i j k = i j k = 4 i 2 j 4 k = (4, 2, 4). Dispositivo Prático para o Cálculo do Produto Vetorial Dispõe-se os dois vetores em linha e repete-se pela ordem, as duas primeiras colunas. Por exemplo, no caso dos vetores u = (5, 4, 3) e v = (1, 0, 1) tem-se As três componentes de u v são dadas pelos três determinantes, conforme está indicado a seguir: = = = 4. Exemplo Dados os vetores u = (1, 1, 3) e v = (2, 1, 4), determinar a) u v b) v u c) u u d) v v. 25

26 Solução: a) u i j k v = = i j k = 7 i +2 j +3 k = ( 7, 2, 3) b) v i j k u = = i j k = (7, 2, 3) = ( u v ) c) u i j k u = = i j k = 0 i 0 j +0 k = (0, 0, 0) = d) v v = 0 i 0 j + 0 k = (0, 0, 0) = 0. Propriedades do Produto Vetorial Para quaisquer vetores u, v e w e o número real α, verifica-se as seguintes propriedades: P 1 ) u v = ( v u ) P 2 ) u v = 0 se, e somente se, u // v P 3 ) Se u = 0 ou v = 0, então u v = 0 P 4 ) u ( v + w ) = ( u v ) + ( u w ) P 5 ) α( u v ) = (α u ) v = u (α v ) P 6 ) u.( v w ) = ( u v ). w P 7 ) i i = j j = k k = 0 e i j = k, i k = j e j k = i A demonstração dessas propriedades segue das propriedades dos determinates. Por exemplo, quando trocamos uma linha por outra, o determinante muda de sinal, o que demonstra P 1 ); se duas linhas são paralelas o determinante é nulo, o que demonstra P 2 ); se uma linha é nula, o determinante é nulo, o que demonstra P 3 ); e assim por diante. Observações: 1) O produto vetorial não é associativo, isto é, em geral ( u v ) w u ( v w ). De fato, basta ver, por exemplo, que ( i j ) j = k j = i, enquanto que, i ( j j ) = i 0 = 0. 2) Segue de P 2 ) que u u = 0 e u 0 = 0. 3) Como um vetor está bem definido quando conhecemos sua direção, seu sentido e seu comprimento, passaremos a definir o vetor u v no caso de u e v serem não-nulos e não-paralelos. 26

27 Características do Produto Vetorial Dados os vetores u = (x 1, x 2, x 3 ) e v = (y 1, y 2, y 3 ), analisaremos a direção, o sentido e o comprimento de u v. a) Direção de u v. De fato, basta ver que Usando a propriedade P 6 ), temos O vetor u v é simutaneamente ortogonal a u e a v. ( u v ). u = 0 e ( u v ). v = 0. ( u v ). u = u.( u v ) = ( u u ). v = 0. u = 0. De forma análoga, demonstra-se que ( u v ). v = 0. Observação: Como o vetor v u tem a mesma direção de u v (apenas tem sentidos opostos), também ele é ortogonal tanto a u como a v. Exemplo Dados os vetores u = (3, 1, 2) e v = ( 2, 2, 5), verificar que ( u v ). u = 0 e ( u v ). v = 0. Solução: Temos u v = i j k = i j k = i 19 j +8 k = (1, 19, 8). Logo, e ( u v ). u = (1, 19, 8).(3, 1, 2) = = 0 ( u v ). v = (1, 19, 8).( 2, 2, 5) = = 0. Exemplo Sejam os vetores u = (1, 1, 4) e v = (3, 2, 2). Determinar um vetor que seja a) ortogonal a u e v ; b) ortogonal a u e v e unitário; c) ortogonal a u e v e tenha módulo igual a 4; d) ortogonal a u e v e tenha cota igual a 7. 27

28 Solução: a) Um vetor simultaneamente ortogonal a u e v é o vetor u v. Mas, i j k u v = = (10, 10, 5) Logo, um vetor ortogonal a u e v é o vetor (10, 10, 5). Observação: Como multiplicar um vetor por um número real não altera a sua direção, todos os vetores do tipo α( u v ), α R são também ortogonais a u e v, ou seja, existem infinitos vetores do tipo α(10, 10, 5), α R que são ortogonais a u e v. b) A partir de u v (ou de α( u v ), α 0), obtém-se dois vetores unitários: e u 1 = u v u v = (10, 10, 5) = (10, 10, 5) 15 u 2 = ( 2 u 1 = 3, 2 3, 1. 3) ( 2 = 3, 2 3, 1 3) c) Basta multiplicar por 4 o vetor unitário encontrado no item b). Logo, o vetor procurado é da forma ( 2 4 3, 2 3, 1 ( 8 = 3) 3, 8 3, 4 3) ou da forma ( 4 2 3, 2 ) ( 3, 1 = 8 3 3, 8 ) 3, 4. 3 d) Dentre os infinitos vetores da forma α(10, 10, 5) = (10α, 10α, 5α), deseja-se aquele que possua cota igual a 7. Portanto, devemos ter 5α = 7, ou seja, α = 7/5. Logo, o vetor procurado é 7 (10, 10, 5) = (14, 14, 7). 5 b) Sentido de u v O sentido de u v poderá ser determinado utilizando-se a regra da mão-direita. Sendo θ o ângulo entre u e v, suponhamos que u sofra uma rotação de ângulo θ até coincidir com v. Se os dedos da mão-direita forem dobradas na mesma direção da rotação, então o polegar estendido indicará o sentido de u v (figura 10). Caso tenhamos dúvidas sobre o sentido de u v, podemos associar estes dois vetores a uma dupla de vetores unitários escolhidos entre i, j e k. Por exemplo, associando u v, com i j e tendo em vista que i j = k, o sentido de k daria o sentido de u v. Da mesma forma temos j k = i e k i = j. 28

29 c) Comprimento de u v Se θ é o ângulo entre os vetores u e v não-nulos, então u v = u v sen θ. Este resultado segue da seguinte Identidade de Lagrange: u v 2 = u 2 v 2 ( u. v ) 2. De fato, usando que u. v = u v cos θ, segue da Identidade de Lagrange que u v 2 = u 2 v 2 u 2 v 2 cos 2 θ = u 2 v 2 (1 cos 2 θ) = u 2 v 2 sen 2 θ. Extraindo as raízes quadradas e notando que sen θ 0 (pois 0 o θ 180 o ), obtemos Exemplo u v = u v sen θ. Seja um triângulo equilátero ABC de lado 10. Calcular AB AC. Solução: Temos que AB AC = AB AC sen Â. Sendo o triângulo ABC equilátero, tem-se que  = 60o. Logo, AB AC = (10)(10)sen 60 o = (100)( 3/2) = Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Vetorial Considere um paralelogramo determinado pelos vetores não-nulos u e v e seja θ o ângulo formado por estes vetores. Portanto, a área de um paralelogramo determinado pelos vetores u e v é numericamente 29

30 A medida da base é u e da altura é v sen θ. Logo a área A deste paralelogramo é A = (base)(altura) = u v sen θ ou seja, A = u v. igual ao comprimento do vetor u v. Observação: Como consequência segue que a área de um triângulo é dada por A = u v 2 pois todo triângulo é metade de um paralelogramo. Exemplo Dados os vetores u = 2 i e v = 3 j, determine a área do paralelogramo determinado por estes vetores. Solução: Temos Logo, a área é dada por u v = i j k A = u v = 6. = (0, 0, 6) = 6 k. Exemplo Calcule a área do paralelogramo determinado pelos vetores u = (3, 0, 1) e v = (6, 1, 2). Solução: Temos Logo, u v = i j k = (1, 0, 3). u v = = 10. Exemplo Dados os vetores u = (1, 1, 1) e v = (2, 3, 4), calcular a) a área do paralelogramo determinado pelos vetores u e v ; b) a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor u. 30

31 Solução: a) A área é dada por A = u v. Como segue que, u v = i j k = ( 1, 2, 1), A = ( 1, 2, 1) = = 6 u.a (unidades de área). b) Para determinar a altura usamos a fórmula Logo, h = A u = = A = (base)(altura) = u h. 6 3 = 2 u.c (unidades de comprimento). Exemplo Dados os pontos A(2, 1, 1), B(3, 1, 0) e C(4, 2, 2), determinar a) a área do triângulo ABC; b) a altura do triângulo relativa ao vértice C. Solução: A área do triângulo ABC é dada por A = AB AC. 2 Como AB = (1, 2, 1) e AC = (2, 1, 3), segue que AB AC = (7, 1, 5). Logo, (7, 1, 5) A = = = = 5 3 u.a b) A altura do triângulo é a mesma do paralelogramo ABCD. Portanto, pode ser dada pela fórmula A = (base)(altura) = AB h. Logo, h = A AB = AB AC (1, 2, 1) = 75 6 = u.c (unidades de comprimento). Exemplo Dados os vetores u = (2, 1, 1) e v = (1, 1, a), calcular o valor de a para que a área do paralelogramo determinado por u e v seja igual a 62. Solução: Deseja-se ter u v = 62. Mas u v = (a 1, 2a 1, 3), logo, devemos ter (a 1)2 + ( 2a 1) 2 + ( 3) 2 = 62. Elevando ambos os membros ao quadrado e ordenando os termos, obtemos a seguinte equação quadrática em a 5a 2 + 2a 51 = 0, cuja solução é a = 3 ou a = 17/5. 31

32 Condição de Alinhamento de Três Pontos no Espaço Considere três pontos do espaço A, B e C não alinhados. Estes pontos determinam dois vetores, por exemplo, AB e AC, tais que AB AC 0. No entanto, se A, B e C forem colineares, então AB AC = 0, pois AB e AC, sendo colineares, terão coordenadas proporcionais e, o determinante do produto vetorial, terá duas linhas proporcionais Produto Misto Chama-se produto misto dos vetores u = x 1 i + x2 j + x3 k, v = y1 i + y2 j + y3 k e w = z 1 i + z2 j + z3 k, tomados nesta ordem, ao número real u.( v w ). Usamos a notação [ u, v, w ] para indicar o produto misto dos vetores u, v e w. Tendo em vista que i j k v w = y 1 y 2 y 3 = y 2 y 3 y z z 1 z 2 z 3 2 z 3 i 1 y 3 y z 1 z 3 j + 1 y 2 z 1 z 2 k = (y2 z 3 y 3 z 2, y 3 z 1 y 1 z 3, y 1 z 2 y 2 z 1 ), segue que u.( v w ) = (x1, x 2, x 3 ).(y 2 z 3 y 3 z 2, y 3 z 1 y 1 z 3, y 1 z 2 y 2 z 1 ) = y 2 y 3 z 2 z 3 x 1 y 1 y 3 z 1 z 3 x 2 + y 1 y 2 z 1 z 2 x 3 x 1 x 2 x 3 = y 1 y 2 y 3 z 1 z 2 z. 3 Logo, o produto misto entre os vetores u = x 1 i + x2 j + x3 k, v = y1 i + y2 j + y3 k e w = z1 i + z2 j + z3 k, pode ser dado por [ u, v, w ] = u.( v x 1 x 2 x 3 w ) = y 1 y 2 y 3 z 1 z 2 z. (1.5) 3 Observação: Deve-se estar atento a ordem dos vetores no produto misto. Por exemplo, o produto misto dos vetores v, w e u, nesta ordem, é dado por [ v, w, u ] = v.( w y 1 y 2 y 3 u ) = z 1 z 2 z 3 x 1 x 2 x. 3 que é diferente do produto misto dos vetores u, v e w dados em (1.5). 32

33 Exemplo Calcular o produto misto [ u, v, w ] em cada caso abaixo: a) u = 2 i + 3 j + 5 k, v = i + 3 j + 3 k e w = 4 i 3 j + 2 k. b) u = (1, 3, 0), v = ( 1, 2, 1) e w = (3, 0, 2). c) u = (0, 1, 1), v = (2, 2, 3) e w = ( 1, 1, 2). Solução: a) [ u, v, w ] = u.( v w ) = = = 2(15) 3( 14) + 5( 9) = 27. b) [ u, v, w ] = u.( v w ) = = 19. c) [ u, v, w ] = u.( v w ) = = 1. Propriedades do Produto Misto As propriedades do produto misto decorrem, em sua maioria, das propriedades dos determinantes. Considere os vetores u, v, w e z vetores quaisquer e α R. Então temos as seguintes propriedades: P 1 ) [ u, v, w ] = [ v, u, w ] = [ u, w, v ]; P 2 ) [ u, v, w ] = [ v, w, u ] = [ w, u, v ]; P 3 ) [α u, v, w ] = [ u, α v, w ] = [ u, v, α w ] = α[ u, v, w ]; P 4 ) [ u + z, v, w ] = [ u, v, w ] + [ z, v, w ], [ u, v + z, w ] = [ u, v, w ] + [ u, z, w ], [ u, v, w + z ] = [ u, v, w ] + [ u, v, z ]; P 5 ) [ u, v, w ] = 0 se, e somente se, os três vetores forem coplanares. Observações: 1) A propriedade P 1 ) diz que o produto misto muda de sinal quando trocamos a posição de dois vetores consecutivos. Já a propriedade P 2 ) diz que se fizermos duas permutações consecutivas o produto misto não muda de sinal. Em resumo, tem-se que o produto misto [ u, v, w ] troca de sinal se fizermos uma permutação e não troca de sinal se fizermos duas. Resulta destas propriedades que u.( v w ) = ( u v ). w, pois [ u, v, w ] = [ w, u, v ]. 2) A propriedade P 5 ) continua válida se pelo menos um dos vetores é nulo ou se dois deles forem paralelos. Exemplo Verificar se os vetores u = (2, 1, 1), v = (1, 0, 1) e w = (2, 1, 4) são coplanares ou não. 33

34 Solução: Temos [ u, v, w ] = = 3 0. Como [ u, v, w ] 0, segue que os vetores não são coplanares. Exemplo coplanares ou não. Verificar se os vetores u = (1, 3, 0), v = ( 1, 5, 0) e w = (6, 4, 0) são Solução: Temos [ u, v, w ] = = 0. Como [ u, v, w ] = 0, segue que os vetores são coplanares. Exemplo Determinar o valor de m de modo que os vetores u = (2, m, 0), v = (1, 1, 2) e w = ( 1, 3, 1) sejam coplanares. Solução: Devemos ter [ u, v, w ] = 0. Logo, devemos ter [ u, v, 2 m 0 w ] = = 0 2 2m 12 + m = 0 m = Exemplo Verificar se os pontos A(1, 2, 4), B( 1, 0, 2), C(0, 2, 2) e D( 2, 1, 3) estão no mesmo plano. Solução: Os quatro pontos dados são coplanares se os vetores AB = ( 2, 2, 6), AC = ( 1, 0, 2) e AD = ( 3, 1, 7) forem coplanares, ou seja, se [ AB, AC, AD] = 0. Temos [ AB, AC, AD] = = 0. Logo, os pontos dados são coplanares. Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Misto Logo, o volume do paralelepípedo é V = (área da base)(altura) = v w u cos θ = ( u v w cos θ) = u.( v w ), onde a última igualdade decorre de (1.2). Portanto, V = [ u, v, w ]. 34

35 Geometricamente, o produto misto [ u, v, w ] é igual, em módulo, ao volume do paralelepípedo de arestas determinadas pelos vetores não-coplanares u, v e w. A área da base do paralelepípedo é v w. Seja θ o ângulo entre os vetores u e v w. Sendo v w um vetor ortogonal à base, a altura será paralela a ele, e, portanto, h = u cos θ. Note que consideramos o valor absoluto cos θ, pois θ pode ser um ângulo obtuso. Exemplo Determinar o volume do paralelepípedo gerado pelos vetores u = (0, 0, 2), v = (0, 2, 2) e w = (2, 2, 0). Solução: Temos que Logo, [ u, v, w ] = = 8. V = [ u, v, w ] = 8 = 8. Exemplo Dados os vetores u = (3, m, 2), v = (1, 1, 0) e w = (2, 1, 2), calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores u, v e w seja igual a 16 u.v (unidades de volume). Solução: Devemos ter V = [ u, v, w ] = 16. Sendo segue que [ u, v, 3 m 2 w ] = = 2m 8, m 8 = 16 2m 8 = 16 ou 2m 8 = 16 m = 12 ou m = 4. Observação: Sejam A, B, C e D pontos não-coplanares. Segue que os vetores AB, AC e AD também são não-coplanares. Por outro lado, da Geometria, Espacial sabemos que o prisma pode ser repartido em três pirâmides de mesmo volume, sendo uma delas o tetraedro ABCD. Assim, o volume V t do tetraedro é um terço do volume do prisma, isto é, V t = 1 3 V p = 1 6 V. 35

36 Em consequência, estes vetores determinam um paralelepípedo cujo volume é V = [ AB, AC, AD]. Este paralelepípedo, por sua vez, pode ser repartido em dois prismas triangulares de mesmo tamanho e, portanto, o volume V p de cada prisma é a metade do volume V do paralelepípedo, isto é, V p = 1 2 V. Logo, o volume do tetraedro é dado por V t = 1 6 [ AB, AC, AD]. Exemplo Determinar o volume do tetraedro formado a partir dos vetores u = (1, 1, 0), v = (1, 1, 1) e w = (3, 2, 1). Solução: O volume do tetraedro é dado por V t = 1 6 [ u, v, w ]. Como segue que, [ u, v, w ] = = 1, V t = 1 6 (1) = 1 6. Exemplo Sejam A(1, 2, 1), B(5, 0, 1), C(2, 1, 1) e D(6, 1, 3) vértices de um tetraedro. Calcular a) O volume deste tetraedro; b) A altura do tetraedro relativa ao vértice D. Solução: a) O volume do tetraedro é dado por V t = 1 6 [ AB, AC, AD]. Como segue que, [ AB, AC, AD] = = 36, V t = 1 (36) = 6u.v. 6 36

37 b) A altura do tetraedro traçada do vértice D é a própria altura do paralelepípedo de base determinada por AB e AC. Como o volume V do paralelepípedo é dado por V = (base)(altura) = AB AC h, tem-se que Sendo segue que AB AC = h = h = V AB AC. i j k = (2, 6, 10), (2, 6, 10) = = u.c. 37

38 Capítulo 2 Reta, Plano, Cônicas e Quádricas 2.1 A reta - Descrição e Interseções Equação Vetorial da Reta Consideremos um ponto A(x 1, y 1, z 1 ) e um vetor não-nulo v = (a, b, c). Só existe uma reta r que passa por A e tem a direção de v. Um ponto P (x, y, z) pertence a r se, e somente se, o vetor AP é paralelo a v, isto é, AP = t v, (2.1) para algum t R. Segue de (2.1) que ou Em coordenadas, tem-se P A = t v. P = A + t v. (2.2) (x, y, z) = (x 1, y 1, z 1 ) + t(a, b, c). (2.3) Qualquer uma das equações (2.1), (2.2) ou (2.3) é denominadaequação vetorial da reta r. O vetor v é chamado vetor diretor da reta r e t é denominado parâmetro. Exemplo Determine a equação vetorial da reta r que passa pelo ponto A(1, 1, 4) e tem a direção de v = (2, 3, 2). Solução: Segue de (2.3) que a reta procurada tem equação vetorial onde (x, y, z) representa um ponto qualquer de r. Observações: r : (x, y, z) = (1, 1, 4) + t(2, 3, 2), (2.4) 38

39 1) Se quisermos obter pontos de r, basta atribuir valores para t. Por exemplo, para t = 1, obtém-se (x, y, z) = (1, 1, 4) + 1(2, 3, 2) = (1 + 2, 1 + 3, 4 + 2) = (3, 2, 6), obtendo assim o ponto P 1 (3, 2, 6) r. Para t = 2, obtém-se (x, y, z) = (1, 1, 4) + 2(2, 3, 2) = (1 + 4, 1 + 6, 4 + 4) = (5, 5, 8), obtendo assim o ponto P 2 (5, 5, 8) r. E assim por diante. Para todos os valores reais infinitos de t, teremos todos os infinitos pontos da reta. 2) Dado um ponto P que passa por uma reta r, existe um número real t que satisfaz a equação vetorial da reta. Por exemplo, se o ponto P (7, 8, 10) pertence a reta r : (x, y, z) = (1, 1, 4) + t(2, 3, 2), então temos que (7, 8, 10) = (1, 1, 4) + t(2, 3, 2) (7, 8, 10) (1, 1, 4) = t(2, 3, 2) (6, 9, 6) = t(2, 3, 2) t = 3. 3) A equação (2.4) não é a única equação vetorial de r, pois basta tomar outro ponto de r diferente de A, ou tomar qualquer vetor não-nulo que seja múltiplo de v. Por exemplo, a equação r : (x, y, z) = (1, 1, 4) + t(6, 9, 6) é outra equação vetorial de r onde se utilizou o vetor 3 v = (6, 9, 6) como vetor diretor em vez de v = (2, 3, 2). Equações Paramétricas da Reta Podemos escrever a equação vetorial (2.3) da seguinte maneira Que nos dá as seguintes equações (x, y, z) = (x 1 + at, y 1 + bt, z 1 + ct). x y z = x 1 + at = y 1 + bt = z 1 + ct. As equações dadas em (2.5) são chamadas equações paramétricas da reta. Exemplo Determinar as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto A(3, 4, 2) e é paralela ao vetor v = (2, 1, 3). Solução: Seja P (x, y, z) um ponto qualquer da reta r. A equação vetorial de r é dada por (x, y, z) = (3, 4, 2) + t(2, 1, 3). Logo, as equações paramétricas de r são dadas por x = 3 + 2t y = 4 + t z = 2 + 3t. (2.5) 39

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