Matemática Básica II - Trigonometria Nota 01 - Sistema de Coordenadas no Plano

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1 Matemática Básica II - Trigonometria Nota 01 - Sistema de Coordenadas no Plano Márcio Nascimento da Silva Universidade Estadual Vale do Acaraú - UVA Curso de Licenciatura em Matemática marcio@matematicauva.org 11 de março de Coordenadas no plano A idéia de localizar posições utilizando-se números, vem de longe e é usada em muitas situações da nossa vida. Quando vamos ao teatro e temos um bilhete marcado G-7, sabemos que devemos nos dirigir a fileira (linha) G, cadeira (coluna) número 7. Também quando localizamos uma cidade no mapa usamos a linha do Equador (horizontal) e o meridiano de Greenwich (vertical) para informar onde está esta cidade. Retas paralelas ao Equador determinam a latitude de um ponto qualquer, isto é a distância, dada em graus, deste ponto ao Equador. Como o Equador divide a Terra em duas metades, pontos (no mapa) localizados acima dele têm latitude Norte e pontos localizados abaixo, latitude Sul. Da mesma maneira, retas paralelas ao meridiano de Greenwich determinam a longitude de um ponto ou sua distância em relação a este meridiano. Pontos localizados a sua esquerda têm longitude Oeste e pontos localizados a sua direita, longitude Leste. y 4 3 P x 4 Figura 1: A cada ponto P do plano fica associado um par de números (x, y), que são as coordenadas deste ponto. 1

2 Em 1619, o filósofo e matemático francês René Descartes ( ) percebeu que a ideia de determinar posições utilizando retas escolhidas como referência, poderia ser aplicada à matemática. Para isso usou retas numeradas. Como já sabemos, numa reta numerada cada ponto corresponde a um número e cada número corresponde a um ponto, definindo-se desta maneira, um sistema de coordenadas na reta. Como o plano tem duas dimensões, para localizar pontos no plano, precisamos de dois números, e não apenas um. Descartes resolveu este problema usando duas retas numeradas, perpendiculares, cujo ponto de encontro chamamos origem. Usualmente, uma dessas retas é horizontal, com a direção positiva para a direita. Esta reta será chamada eixo X ou eixo das abscissas 1. A outra reta, vertical com a direção positiva para cima, é chamada eixo Y, ou eixo das ordenadas 2. Veja Figura 1. Pelo esquema fixado, todo ponto P determina um par ordenado de números reais e reciprocamente, todo par ordenado de números reais (a, b) determina um único ponto do plano. Temos, então, uma correspondência biunívoca entre os pontos do plano e os pares ordenados de números reais. Uma correspondência desse tipo é chamada um sistema de coordenadas no plano. Este sistema de coordenadas é chamado sistema de coordenadas retangulares ou sistema de coordenadas cartesianas em homenagem, claro, a Descartes, que primeiro definiu um sistema de coordenadas no plano, estabelecendo as bases de um novo ramo da Matemática chamado, hoje, Geometria Analítica. Parte do mérito da descoberta da Geometria Analítica deve ser creditado também, a um outro francês, Pierre Fermat (1601, 1665) que estabeleceu os mesmos princípios, mais ou menos na mesma época que Descartes. O plano, munido deste sistema de coordenadas, é usualmente chamado plano coordenado ou plano cartesiano e é denotado por R 2 (que é a convenção para o produto cartesiano R R). O eixo das abscissas e o eixo das ordenadas, usualmente colocados na posição indicada na Figura 2, dividem o plano em quatro regiões, denominadas quadrantes, indicados por i, ii, iii, iv, respectivamente. ii i iii iv Figura 2: O primeiro quadrante é o conjunto de todos os pontos (x, y) do plano para os quais x > 0 e y > 0; o segundo quadrante é o conjunto de todos os pontos (x, y) do plano para os quais x < 0 e y > 0; no terceiro temos x < 0 e y > 0 e, no quarto, x > 0 e y < 0. Como a correspondência entre os pontos do plano e o conjunto de pares ordenados de números reais é biunívoca, em geral, nos referimos a um ponto P escrevendo P(x, y) que 1 Palavra derivada do latim abscindere, que significa cortar em dois; divide o plano em dois. 2 Ordena os pontos em relação a abscissa. 2

3 significa, sem ambiguidade, o ponto do plano cujas coordenadas são (x, y). Exercícios I 1. Represente no plano cartesiano os seguinte pontos: P 1 (0, 1), P 2 ( 2, 1), P 3 (1, 1) 2. Represente no plano cartesiano os seguintes subconjuntos de R 2 : (a) A = {(x, y) R 2 ; x 0, y > 1} (b) B = {(x, y) R 2 ; x < 2, y < 1} (c) C = {(x, y) R 2 ; x < 1} (d) {(x, y) R 2 ; x 1, y 2} (e) E = {(x, y) R 2 ; x > 0, y = 1} 2 Distância entre dois pontos A distância entre dois pontos P 1 (x 1, y 1 ) e P 2 (x 2, y 2 ) no plano é representada por d(p 1, P 2 ) e definida por: d(p 1, P 2 ) = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 y 2 P 2 P 1 y 1 x 1 x 2 Figura 3: Esta fórmula é facilmente justificada pelo Teorema de Pitágoras se observarmos que o comprimento do segmento P 1 P 2 é a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos medem x 2 x 1 e y 2 y 1, como mostra a figura. Exemplo 1 Calcular a distância entre os pontos (1, 2), (6, 2). d(p 1, P 2 ) = (1 6) 2 + ( 2 2) 2 = ( 5) 2 + ( 4) 2 = = 41 Exemplo 2 Calcular a distância entre os pontos (0, 0), (3, 1) d(p 1, P 2 ) = (0 3) 2 + (0 1) 2 = ( 3) 2 + ( 1) 2 = = 10 3

4 Exercícios II 1. Calcule os valores de t para que o ponto P, de coordenadas (2t + 4, 3 2t), esteja: (a) No primeiro quadrante. (b) No quarto quadrante. (c) Sobre os eixos. 2. Calcular o perímetro do triângulo ABC sendo dados A(2, 1), B( 1, 3), C(4, 2) 3. Determinar x de modo que o triângulo ABC seja retângulo. São dados: A(4, 5), B(1, 1), C(x, 4) 4. Dados A(x, 5), B( 2, 3), C(4, 1) obter x de modo que modo que A seja equidistante de B e C. 5. Determinar o ponto P, pertencente ao eixo das abcissas, sabendo que é equidistante dos pontos A(1, 3), B( 3, 5). 6. Determinar o ponto P da bissetriz dos quadrantes pares, que equidista de A(8, 8) e B(12, 2). 7. Dados os pontos M(a, 0) e N(0, a), determinar P de modo que o triângulo MNP seja equilátero. 8. Dados A( 2, 4), B(3, 1) vértices consecutivos de um quadrado, determinar os outros dois vértices. 9. Dados A(8, 7), C( 2, 3) extremidades da diagonal de um quadrado, calcular as coordenadas dos vértices B e D, sabendo que x B > x D. 10. Mostre que os três pontos (1, ), (2 + 3, 2 + 3) e ( 3, 3) são vértices de um triângulo equilátero. 11. Mostre que os quatro pontos (4, 2), (10, 8), ( 6, 5), (0, 15) são vértices de um paralelogramo. 12. Mostre que os três pontos ( 2, 2), (5, 1), (4, 5) estão em um círculo com o centro em (1, 2). Qual o raio deste círculo? 13. Prove que se o ponto (x, y) está no círculo com centro (3, 2) e de raio 4 unidades, então x 2 + y 2 6x + 4y = Ache um ponto sobre o eixo dos Y que está equidistante de (9, 11) e (5, 15). 15. Ache as coordenadas do centro de um círculo que passe por três pontos Qual o raio desse círculo? ( 1, 1), (6, 0), (5, 1) 4

5 2.1 Condição para alinhamento de três pontos Teorema 3 Três pontos A(x 1, y 1 ), B(x 2, y 2 ), C(x 3, y 3 ) são colineares se, e somente se, x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 = 0 x 3 y 3 1 Exemplo 4 Mostrar que A( 1, 1), B(1, 3), C(7, 9) são colineares: = ( ) ( ) = = Exemplo 5 Para que valores de x os pontos A(x, x), B(3, 1), C(7, 3) são colineares? x x = (x + 7x 9) (7 3x + 3x) = 8x Logo, se 0, os pontos são colineares, isto é, se 8x = 16 x = 2. Exercícios III 1. Mostrar que A(a, 2a 1), B(a + 1, 2a + 1) e C(1 + 2, 2a + 3) são colineares para todo valor real de a. 2. Dados A(1, 1), B(10, 2), obter o ponto em que a reta AB intercepta o eixo das abscissas. 3. Dados A(2, 3) e B(8, 1), obter o ponto que em que a reta AB intercepta a bissetriz dos quadrantes ímpares. 4. Dados A( 3, 4), B(2, 9), C(2, 7), D(4, 5) obter a interseção das retas AB e CD. 5