MA71B - Geometria Analítica e Álgebra Linear Prof a Dr a Diane Rizzotto Rossetto. LISTA 2 - Álgebra Vetorial

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1 Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Curitiba - DAMAT MA71B - Geometria Analítica e Álgebra Linear Prof a Dr a Diane Rizzotto Rossetto LISTA 2 - Álgebra Vetorial Desenvolvidas juntamente com os professores Adriano Verdério e Nara Bobko a partir das referências que constam no plano de ensino. Questão 1: Sendo u, v e w representados na gura abaixo, represente x = 2 u v + 5 w/4 por uma echa de origem O. Questão 2: Verique se é verdadeira ou falsa cada uma das armações abaixo. Se for verdadeira, justique porque, se for falsa, dê um exemplo em que a armação não é válida. a) Se u = v, então u = v. b) Se u = v, então u = v. c) Se u v, então u = v. d) Se u = v, então u v. e) Se w = u + v, então w = u + v f) Se w = u + v, então u, v e w são paralelos g) 5 v = 5 v = 5 v. h) Os vetores 3 v e 4 v são paralelos e de mesmo sentido. i) Se u v, u = 2 e v = 4, então v = 2 u ou v = 2 u. j) Se v = 3, o versor de 10 v é v/3. Questão 3: Dados os vetores u = 3 j + 2 i, v = i j e w = ( 2, 1), determinar: 1

2 a) 2 u v b) 1 u 2 v w 2 c) v u + 2 w d) 3 u 1 2 v 1 2 w Questão 4: Qual deve ser o ponto de origem do segmento orientado que representa o vetor v = ( 1, 3) e cujo ponto de extremidade é o (3, 1)? Questão 5: Calcular os valores de a para que o vetor u = (a, 2) tenha módulo 4. Questão 6: Dado o vetor v = (1, 3), determine o vetor paralelo a v que tenha: a) sentido contrário ao de v e duas vezes o módulo de v b) o mesmo sentido de v e módulo 2 c) sentido contrário ao de v e módulo 4 Questão 7: Dados os vetores u = (2, 3, 1), v = (1, 1, 1) e w = ( 3, 4, 0) a) determinar o vetor x tal que 3 u v + x = 4 x + 2 w b) encontrar os números a 1, a 2 e a 3 tais que a 1 u + a 2 v + a 3 w = ( 2, 13, 5) Questão 8: Dados os pontos A = (1, 0, 1), B = (4, 2, 1) e C = (1, 2, 0), determine o valor de m para que v = 7 onde v = m AC + BC. Questão 9: Dados os pontos A = ( 1, 3), B = (2, 5), C = (3, 1) e O = (0, 0), calcule: a) OA AB b) OC BC c) 3BA 4CB Questão 10: Considere os vetores u = (2, 4), v = ( 5, 1) e w = ( 12, 6). O conjunto { u, v} é uma base do plano? Se sim, determine a 1 e a 2 tais que w = a 1 u + a 2 v. Questão 11: Dados os vetores u = (2, a, 1), v = (3, 1, 2) e w = (2a 1, 2, 4). Determinar a de modo que u v = ( u + v) ( v + w) Questão 12: Sabendo que u = 2, v = 3 e u v = 1, calcular ( u + v) ( v 4 u) Questão 13: Qual deve ser o valor de α para que os vetores α i+2 j 4 k e 2 i+(1 2α) j +3 k sejam ortogonais? Questão 14: Mostre que se u v = u w, nem sempre v = w, ou seja, não vale a lei do cancelamento para o produto escalar. Questão 15: Em cada caso, decomponha o vetor v como soma de dois vetores p e q, de modo que p seja paralelo a u e q seja ortogonal a u. a) v = ( 1, 3, 2) e u = (0, 1, 3). 2

3 b) v = (0, 1, 2) e u = (0, 1, 2). c) v = (1, 2, 1) e u = (2, 1, 0). Questão 16: Seja u = 3 i j 2 k, v = 2 i + 4 j k e w = i + k. Calcule a) u u b) ( u w) + ( w u) c) ( u v) ( v u) Questão 17: Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores u + 2 v e v u onde u = ( 3, 2, 0) e v = (0, 1, 2). Este vetor é único? Questão 18: Calcular a, sabendo que os pontos A = (2, 0, 0), B = (0, 2, 0) e C = (0, 0, a) são vértices de um triângulo de área 6. Questão 19: Dados os vetores u = (3, 1, 1), v = (1, 2, 2) e w = (2, 0, 3) calcule: a) u v w b) w u v Questão 20: Seja u = (2, 1, a), v = (1, 0, 2) e w = (a, 3, a). Determine os valores de a para que os vetores sejam coplanares. Questão 21: Considere os pontos A = (1, 1, 1), B = (2, 1, 1), o escalar α = 1/2 e os vetores v = i + 4 k + 2 j, w = AB e u = α ( v + w). Calcule: a) v u b) v u c) A norma do vetor v u d) u ( v w) e) A área do paralelogramo determinado pelos vetores v e u? f) O volume do paralelepípedo determinado pelos vetores v, w e u? g) Os vetores v e u são ortogonais? (Justique) h) Os vetores v e u são paralelos? (Justique) i) Os vetores v, w e u são coplanares? (Justique) Questão 22: Determine x de modo que u e v sejam ortogonais. a) u = (x + 1, 1, 2) e v = (x 1, 1, 2) b) u = (x, 1, 4) e v = (x, 3, 1) 3

4 Questão 23: Obtenha um vetor u ortogonal a v = (4, 1, 5) e w = (1, 2, 3) tal que u (1, 1, 1) = 1. Questão 24: Sejam os vetores u = (1, 2, 1), v = (0, 3, 4), w = (1, 0, 3) e t = (0, 0, 2). Calcule o volume do tetraedro ABCD, sabendo que AB = proj v u, que AC é o vetor oposto ao versor de w e que BD = proj t ( AB AC). Questão 25: Sabendo que os vetores u = (2, 1, 4), v = (m, 1, 3) e w = ( 3, 1, 2) determinam um tetraedro de volume 3, calcule o valor de m. Questão 26: Seja h a altura do triângulo ABC relativa ao lado AB. Prove que h = AB AC AB Respostas 2. a) V b) F c) F d) V e) F f) F g) V h) F i) V j) V 3. a) (3, 5) b) (1, 1/2) c) ( 5, 4) d) (13/2, 9) 4. (4, 2) 5. ± a) ( 2, 6) b) (2/ 10, 6/ 10) c) ( 4/ 10, 12/ 10) 7. a) (11/3, 2/3, 4/3) b) a 1 = 2, a 2 = 3 e a 3 = 1 8. m = 3 ou m = 13/5 9. 4

5 a) ( 4, 1) b) (2, 5) c) ( 5, 30) 10. Sim. a 1 = 1 e a 2 = a = α = a) 0 b) 0 c) Qualquer vetor paralelo ao vetor ( 12, 18, 9) 18. a = 4 ou a = a) 29 b) a = a) 11 b) (0, 2, 1) c) 5 d) 0 f) 0 g) Não pois v u 0 h) Não pois v u 0 e) 5 i) Sim pois ( v w) u = m = 17/2 ou m = 19/2 5