Geometria Analítica I - MAT Lista 2 Profa. Lhaylla Crissaff

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1 1. Encontre as equações paramétricas das retas que passam por P e Q nos casos a seguir: (a) P = (1, 3) e Q = (2, 1). (b) P = (5, 4) e Q = (0, 3). 2. Dados o ponto P = (2, 1) e a reta r : y = 3x 5, encontre a equação paramétrica da reta que contém o ponto P e (a) é paralela à reta r. (b) é perpendicular à reta r. 3. Dados o ponto A = (2, 3) e o vetor v = (1, 2). (a) Escreva equações paramétricas da reta r que passa por A e tem direção v. (b) Encontre os dois pontos B e C de r de parâmetros t = 1 e t = 4, respectivamente. (c) Determine o ponto de r cuja coordenada y é 4. (d) Verifique se os pontos D = (4, 1) e E = (5, 4) pertencem a r. 4. Encontre a equação cartesiana da reta nos casos a seguir: (a) r passa pelos pontos (2, 1) e (3, 4). (b) s é perpendicular ao vetor (1, 3) e passa pelo ponto (1, 0). (c) t é paralela ao vetor (1, 3) e passa pelo ponto (1, 1). 5. Verifique que v r, onde: (a) v = ( 1, 2) e r : 2x 4y + 1 = 0. (b) v = Ä 1 5, 4 ä x = 1 3 e r : 5 + t y = 4 3 t ; t R. 6. Classifique em verdadeiro(v) ou falso(f): (a) Um vetor normal à reta 3x + y 1 = 0 é n = (3, 1). (b) Um vetor normal à reta 2x 5y + 3 = 0 é u = (2, 5). (c) Um vetor normal à reta x + y + 1 = 0 é n = (2, 2). (d) Um vetor paralelo à reta 3x y + 1 = 0 é n = (1, 3). 7. Determine o ângulo entre as retas r e s nos casos dados abaixo: (a) r : 2x + 3y = 1 e s : y = 5x + 8. x = 1 2t (b) r : x + y + 1 = 0 e s : y = 2 + 5t ; t R. 8. Encontre as equações paramétricas das seguintes retas: (a) 2x 5y = 3. (b) x = 3y. (c) x 4 = Dadas as equações paramétricas, identifique quais delas representam a mesma reta: (a) x = 3t + 1, y = 2t + 2; t R. (b) x = 6t 2, y = 4t + 4; t R. (c) x = 3t + 2, y = 2t; t R. 10. Determine as equações cartesianas das seguintes retas: (a) x = t + 5, y = 2t + 4; t R. Retas no Plano 1

2 (b) x = 2t 1, y = t + 1; t R. (c) x = 1 t, y = 3t; t R. 11. Determine se as retas r 1 e r 2 são paralelas, coincidentes ou concorrentes, determinando, no último caso, o ponto de interseção: x = 1 + t (a) r 1 : 2x + y 1 = 0 e r 2 : ; t R. y = t x = 3 + 3t (b) r 1 : y = t ; t R e r 2 : x 6y = 3. x = t x = 4 + 4s (c) r 1 : y = t ; t R e r 2 : y = 2 6s ; s R. 12. Sejam P = (1, 2) e Q = ( 2, 2). (a) Determine a equação cartesiana da reta que passa por P e Q. (b) Determine as coordenadas dos pontos que estão sobre a reta do item anterior e cuja distância ao ponto Q é o dobro da distância do ponto P. (c) Determine as coordenadas dos pontos que estão sobre a reta do item(a) e cuja distância ao ponto Q é λ vezes a distância ao ponto P, onde λ > Determine as equações reduzidas das retas suportes dos lados do triângulo cujos vértices são A = (0, 0), B = (1, 3) e C = (4, 0). 14. A reta determinada por A = (a, 0) e B = (0, b) passa por C = (3, 4). Qual é a relação existente entre a e b. 15. Verifique que os pontos A = (a, b + c),b = (b, a + c) e C = (c, a + b) são colineares e determine a equação cartesiana da reta que os contém. 16. Faça o esboço das seguintes retas: (a) y = 2x (b) x + y = 5 (c) x y + 5 = 0 (d) x + y + 3 = 0 (e) 2y + x = 0 (f) x y = Sejam r 1 : x + 2y = 3 e r 2 : 2x + 3y = 5. (a) As retas r 1 e r 2 são paralelas ou coincidentes? (b) As retas r 1 e r 2 são perpendiculares? Se sim, calcule o ponto de interseção entre elas. (c) Se todas as respostas acima forem NÃO, o que podemos concluir? 18. As retas suportes dos lados do triângulo ABC são (AB) : 3x 4y = 0, Mostre que o triângulo ABC é isósceles. (BC) : x + y 7 = 0, (CA) : 4x 3y = Determine a para que as retas r 1 : x + 2y = 2a, r 2 : ax y = 3 e r 3 : 2x 2y = a sejam concorrentes no mesmo ponto P. 20. Num triângulo ABC sabe-se que: Retas no Plano 2

3 A pertence ao eixo-ox. B pertence ao eixo-oy. A reta BC tem equação x y = 0. A reta AC tem equação x + 2y = 3. Determine seu perímetro. 21. Determine a posição relativa das seguintes retas, tomando duas a duas: (a) r 1 : 2x y = 3 (b) r 2 : 2x y = 5 (c) r 3 : 3x 6y = 3 (d) r 4 : x 2y = 3 (e) r 5 : 2x + 4y = 3 (f) r 6 : 4x 2y = Discuta a posição relativa das retas: r : (m 1)x + my = 1 s : (1 m)x + (m + 1)y = Discuta em função de m e p a posição relativa das retas: r : mx + y = p, s : 3x + 3y = Dada a equação da reta r : 7x + 3y = 2, faça o que se pede a seguir: (a) Encontre a equação de todas as retas paralelas à reta r. (b) Encontre a equação da reta paralela à r que passa pela origem. (c) Encontre a equação da reta paralela à r que passa por P = (9, 10). 25. Dois dos lados de um paralelogramo estão sobre as retas r : 2x + 3y = 7 e s : x 3y = 4. Obtenha as equações das retas suportes dos outros dois lados, sabendo que um dos vértices do paralelogramo é o ponto (3, 2). 26. Determine a equação reduzida da reta r que passa pelos pontos A = ( 1, 1) e B = (7, 25). 27. Determine a equação reduzida das retas da figura 1. (a) 23a (b) 23b (c) 23c Figura 1: Questão 27. Retas no Plano 3

4 28. Obtenha uma reta paralela à reta r : 2x + y = 0 e que define com os eixos um triângulo cuja área é Calcule a distância do ponto P à reta r dados abaixo: (a) P = ( 3, 1) e r : 3x 4y = 8 (b) P = ( 1, 2) e r : y = 3x Calcule a altura AH do triângulo de vértices A = ( 3, 0), B = (0, 0) e C = (6, 8). Atenção: utilize a teoria estudada no curso de Geometria Analítica! 31. Calcule a distância entre as retas: r : 3x + 4y = 13, s : 3x + 4y = Seja r : 2x 4y = 7. Encontre as retas paralelas à reta r que distam 5 da reta r. s : 3x + 4y = Determine os pontos P e Q da reta y = 2x que estão à distância 2 da reta 4x + 3y = Quantas são as retas paralela à reta x + y = 6 e que distam 2 do ponto (1, 1)? Determine a equação(ões) desta(s) reta(s). 35. Determine as equações das retas perpendiculares à reta 7x 24y = 1, as quais estão à distância 3 do ponto P = (1, 0). 36. Dada a equação m 2 x + my + (2 m) = 0, m R, responda: (a) Para que valores de m ela representa uma reta? (b) Para que valor de m ela representa uma reta passando pela origem? 37. Encotre a equação reduzida e a cartesiana da reta da figura 2. Figura 2: Questão Determine o valor de n para que a reta r : x = nt 1 y = 2t, t R, faça um ângulo de 30 o com o eixo OX. Retas no Plano 4

5 Respostas: x = t (a) y = 4t 1 ; t R x = 5t (b) y = t + 3 ; t R 2. (a) 3x + y = 7 (b) x + 3y = 1 3. (a) x = 2 + t, y = 3 2t, t R (b) (3, 1) e (6, 5) (c) ( 3 2, 4) (d) D r e E / r 4. (a) r : 3x y = 5 (b) s : x + 3y = 1 (c) t : 3x y = 4 5. (a) Não (b) Não 6. (a) V (b) F (c) V (d) V 7. (a) 45 o (b) arccos x = 5t (a) 2 ; t R y = 2t x = 3t (b) ; t R y = t x = 4 (c) ; t R y = t 9. r 1 = r 2 e r 1 r (a) 2x y = 6 (b) x + 2y = 1 (c) 3x + y = (a) Concorrentes em (2, 3) (b) Concorrentes em (6, 1 2 ) (c) r 1 r (a) 4x 3y = 2 (b) (0, 2 3 ) e (4, 6) (c) Para λ = 1, a solução é ( 1 2, 0) e para 0 < λ 1, temos duas soluções ( λ+2 λ 1, 2λ+2 λ 1 ) e ( λ 2 λ+1, 2λ 2 λ+1 ). 13. y = 3x, y = x + 4, y = a + 3b ab = x + y = a + b + c 16. As respostas estão na figura (a) Não. (b) Não. (c) As retas são concorrentes no ponto P = (1, 1). 18. m(ab) = m(ca) = a = 2 ou a = Paralelas: r 1 e r 2, r 2 e r 6, r 3 e r 4 Coincidentes: r 1 e r 6 Concorrentes: r 1 e r 5, r 2 e r 5, r 4 e r 5, r 5 e r Se m = 1 2 então r = s. Se m 1, então r e s são concorrentes, e em particular, se m = 1 3, então r s. 23. Se m = 1 e p 7 3 então r s. Se m = 1 e p = 7 3 então r = s. Se m 1 então r e s são concorrentes, e em particular, se m = 1, então r s. 24. (a) 7x + 3y = c onde c R, c 2 (b) 7x + 3y = 0 (c) 7x + 3y = x + 3y = 12 e x 3y = y = 3x (a) y = 3 2 x + 3 (b) y = 1 2 x 1 (c) y = 2x x + y = (a) 3 5 (b) x 4y = e 2x 4y = P = (1, 2) ou Q = ( 1, 2) 34. Duas retas: x + y = 0 e x + y = x + 7y = 51 ou 24x + 7y = (a) m 0 (b) m = y = 3 3 x + 2 e 3x + 3y = n = ±2 3 Retas no Plano 5

6 Figura 3: Respostas da Questão 16 Retas no Plano 6