EQUAÇÕES DE RETAS E PLANOS

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE - FURG INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E FÍSICA - IMEF FABÍOLA AIUB SPEROTTO DAIANE SILVA DE FREITAS EQUAÇÕES DE RETAS E PLANOS NO ESPAÇO 1 Edição Rio Grande 2018

2 S749e Sperotto, Fabíola Aiub Equações de retas e planos no espaço [recurso eletrônico] / Fabíola Aiub Sperotto, Daiane Silva de Freitas. - Rio Grande: Ed. da FURG, p. Modo de acesso: ISBN: XXXX 1. Equações de retas 2.Equações de planos 3. Geometria analítica I. Freitas, Daiane Silva de II. Título CDU Catalogação na fonte: Bibliotecária Vanessa Dias Santiago CRB10/1583

3 Universidade Federal do Rio Grande - FURG EQUAÇÕES DE RETAS E PLANOS NO ESPAÇO Instituto de Matemática, Estatística e Física - IMEF Fabíola Aiub Sperotto Daiane Silva de Freitas site: i

4 Sumário 1 Retas Equações Paramétricas Reta definida por Dois Pontos Equações Simétricas Agora tente resolver! Equações Reduzidas Retas Paralelas aos Planos e aos Eixos Coordenados Retas Paralelas aos Planos Coordenados Retas Paralelas aos Eixos Coordenados Agora tente resolver! Ângulo entre Retas Condições de Ortogonalidade, Paralelismo e Coplanaridade entre retas Condição de Ortogonalidade entre duas retas Condição de Paralelismo entre duas retas Retas Coplanares Posições relativas entre retas Agora tente resolver! Interseção de duas retas Agora tente resolver! Reta ortogonal a duas retas Agora tente resolver! Distâncias Distância de um ponto a uma reta Distância entre retas Lista de Exercícios - Retas Planos Determinação da Equação de um Plano Agora tente resolver! Outra forma para determinar a equação geral do plano Planos Paralelos aos Eixos e Planos Coordenados Planos Paralelos aos Eixos Coordenados ii

5 2.2.2 Planos Paralelos aos Planos Coordenados Agora tente resolver! Equação Vetorial e Equações Paramétricas do Plano Ângulo entre dois planos Planos Paralelos e Perpendiculares Retas e Planos Ângulo de uma reta com um plano Condições de paralelismo e perpendicularismo entre reta e plano Condições para que uma reta esteja contida num plano Agora tente resolver! Interseção entre Planos Interseção de uma reta com o plano Agora tente resolver! Interseção de um Plano com os Eixos e Planos coordenados Distâncias Distância de um ponto a um Plano Distância entre dois planos Distância de uma reta a um plano Agora tente resolver! Lista de Exercícios - Planos Gabaritos Lista de Exercícios - Retas Lista de Exercícios - Planos A Retas e Planos - Exemplos 62 B Estudo da Reta no plano cartesiano 66 B.1 Conceito de Produto Cartesiano B.1.1 Coordenadas Cartesianas na reta B.1.2 A Equação da Reta no plano iii

6 Capítulo 1 Retas No estudo da reta no plano cartesiano (R 2 ), é fácil perceber que dados dois pontos distintos obtemos uma única reta, que é definida por uma equação linear. Para maiores detalhes, revise o apêndice B.1. Nosso objetivo agora é o estudo da reta no espaço (R 3 ), que será determinada por um ponto e um vetor indicando a direção da reta, conforme a Figura 1.1. Neste capítulo, mostraremos como usar os produtos escalares e vetoriais para escrever equações para retas e segmentos de retas. Figura 1.1: Ponto da reta e vetor direcional Definição: Considere uma reta r que passa pelo ponto A(x 1,y 1,z 1 ) e com direção do vetor não nulo v = (a,b,c). Dado um ponto P qualquer, esse ponto pertence a reta r se, e somente se, o vetor AP é paralelo ao vetor v. Então, AP = t v, para algum t real. (1.1) 1

7 Pela equação (1.1), temos que ou em coordenadas, P A = t v P = A + t v, (x,y,z) = (x 1,y 1,z 1 ) + t(a,b,c). (1.2) A equação (1.2) é denominada equação vetorial da reta r no espaço (R 3 ). O vetor v é o vetor diretor ou vetor direcional da reta e t é denominado parâmetro. A reta no R 3 é o conjunto de todos os pontos A(x 1,y 1,z 1 ) para os quais AP v ( AP é paralelo ao vetor v) e o parâmetro t depende da localização do ponto A ao longo da reta. E o domínio de t é (, ). Exemplo 1. Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto A(2,3,5) e tem direção do vetor v = 3 i + 4 j k. Solução: O vetor v = 3 i + 4 j k pode ser reescrito na forma de coordenadas: v = (3,4, 1). Então, a equação vetorial da reta é (x,y,z) = (2,3,5) + t(3,4, 1). Se desejarmos obter pontos da reta r, atribuímos valores para o parâmetro t. Assim, para t = 0 A(2,3,5) t = 1 B(5,7,4) t = 1 C( 1, 1,6), e assim sucessivamente. Se o parâmetro t assumir todos os valores reais teremos todos os infinitos pontos da reta. Observe o gráfico da Figura

8 1.1. EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS Figura 1.2: Pontos selecionados sobre a reta. Exemplo 2. Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto A(1, 3,2) e tem direção do vetor v = 3 i + 5 j 4 k. Reescrevendo o vetor na forma de coordenadas, v = (3,5, 4). A equação vetorial da reta fica (x,y,z) = (1, 3,2) + t(3,5, 4). Observação: A equação vetorial dos exemplos anteriores não é única. Existem infinitas equações vetoriais para uma mesma reta, pois basta escrever a equação usando outro ponto da reta ou outro vetor não nulo que seja múltiplo do vetor diretor. 1.1 Equações Paramétricas Pela equação vetorial da reta (1.2): (x,y,z) = (x 1, y 1,z 1 ) + t(a,b,c) ou ainda (x,y,z) = (x 1 + at,y 1 + bt,z 1 + ct) igualamos as componentes correspondentes dos dois lado, e temos: x = x 1 + at y = y 1 + bt < t < +. (1.3) z = z 1 + ct As equações (1.3) são denominadas de Equações Paramétricas. O parâmetro t das equações paramétricas é único para cada ponto da reta de coordenadas (x,y,z). Sabendo que o domínio do parâmetro t é (, ), as equações paramétricas nos fornecem as coordenadas de todos os pontos da reta. 3

9 1.1. EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS Exemplo 3. Dado o ponto A(4,6, 8) e o vetor v = (1, 2,3): a) Escrever as equações paramétricas da reta r que passa por A e tem direção de v. b) Determinar dois pontos B e C da reta r cujos parâmetros são t = 1 e t = 8, respectivamente. Soluções: x = 4 + t a) y = 6 2t z = 8 + 3t b) Ponto B: x = 4 + (1) = 5 y = 6 2(1) = 4 z = 8 + 3(1) = 5 O ponto B tem coordenadas (5,4, 5). Ponto C: x = 4 + (8) = 12 y = 6 2(8) = 10 z = 8 + 3(8) = 16 O ponto C tem coordenadas (12, 10,16). Observação: O parâmetro t das equações paramétricas pode ser interpretado como o instante de tempo. Por exemplo, uma partícula lançada no espaço que descreve um movimento retilíneo uniforme m.r.u. para um determinado vetor velocidade v = (a,b,c), a cada instante de tempo estará localizada em um determinado ponto (x,y,z) no espaço Reta definida por Dois Pontos O segmento de reta definido pelos pontos A(x 1,y 1,z 1 ) e B(x 2,y 2,z 2 ) é o segmento de reta que passa pelo ponto A (ou pelo B) e tem direção do vetor: v = AB= (x 2 x 1,y 2 y 1,z 2 z 1 ). Exemplo 4. Parametrize o segmento de reta que liga os pontos P ( 3,2, 3) e Q(2, 2,4). 4

10 1.1. EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS Solução: r : P Q= (2, 2,4) ( 3,2, 3) = (5, 4,7). x = 3 + 5t y = 2 4t z = 3 + 7t Observe que quando t = 0 temos o ponto P e para t = 1 temos o ponto Q. Se adicionarmos a restrição 0 t 1 parametrizamos o segmento. x = 3 + 5t r : y = 2 4t 0 t 1 z = 3 + 7t Figura 1.3: Parametrização do segmento de reta PQ Exemplo 5. Parametrize o segmento de reta r que passa por A(3, 1, 2) e B(1,2,4). Solução: Primeiramente, calculando o vetor AB= B A = (1,2,4) (3, 1, 2) = ( 2,3,6). Agora escolhemos um dos pontos, A ou B e escrevemos as equações paramétricas da reta. Neste caso escolheremos o ponto B. x = 1 2t y = 2 + 3t 1 t 0. z = 4 + 6t 5

11 1.2. EQUAÇÕES SIMÉTRICAS 1.2 Equações Simétricas Pelas equações paramétricas (1.3), x = x 1 + at y = y 1 + bt. z = z 1 + ct Sendo as componentes do vetor diretor não nulas, podemos escrever a equação da reta como t = x x 1 a, t = y y 1 b, t = z z 1, c e, sabendo que para cada ponto da reta corresponde um único valor para o parâmetro t: x x 1 a = y y 1 b = z z 1. (1.4) c As equações (1.4) são denominadas Equações Simétricas da reta. Observe que para escrever a equação 1.4, as componentes do vetor, (a, b, c), devem ser não nulas. Exemplo 6. Escreva as equações simétricas da reta que passa pelo ponto A( 2,4,0) e tem direção do vetor v = 2 i + j 3 k. Solução: Substituindo as coordenadas do vetor direção e o ponto A temos: x = y 4 = z 3. Exemplo 7. Seja o triângulo de vértices A( 1,4, 2), B(3, 3,6) e C(2, 1,4). Escrever as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto médio do lado AB e pelo vértice C. Solução: Primeiro, vamos calcular o ponto médio M, entre A e B: M = ( ( 1) + 3, 4 + ( 3), ( 2) + 6 ) = (1, ,2). Agora vamos calcular o vetor diretor da reta, o vetor v com origem no ponto M e extremidade em C. v = C M = (2, 1,4) (1, 1 2,2) = (1, 3 2,2). 6

12 1.2. EQUAÇÕES SIMÉTRICAS Por fim, escreveremos as equações paramétricas da reta que passa no ponto C e tem vetor diretor v. x = 2 + t y = t. z = 4 + 2t Figura 1.4: Reta que passa pelo vértice C do triângulo ABC. Exemplo 8. Verificar se M(13,17, 14) pertence a reta r : (x,y,z) = (1, 3,2) + t(3,5, 4). Solução: Reescrevendo a equação da reta r na forma paramétrica e isolando o parâmetro t, temos: x = 1 + 3t t = x 1 3 y = 3 + 5t t = y+3 5 z = 2 4t t = z 2 4. Igualando o parâmetro t, vamos escrever a equação na forma simétrica: t = x 1 = y + 3 = z Agora, vamos substituir o ponto M e verificar se ele satisfaz a equação: 13 1 = = = Logo, verificamos que o ponto M(13,17, 4) pertence a reta r. 7

13 1.3. EQUAÇÕES REDUZIDAS Agora tente resolver! 1. Escreva as equações paramétricas e simétricas da reta: (a) que passa pelos pontos P ( 3, 4,6) e Q(5,3,2); (b) que passa pelo ponto P (3,5, 6) e é paralela a reta que passa pelos pontos A(2,3,1) e B(3, 2,1); x 1 (c) que passa pelo ponto ( 4,2,5) e é paralela à reta r : = 2 y = z 7 4 ; (d) que passa na origem e é paralela à reta r : x Escreva as equações paramétricas dos eixos coordenados. = y 2 3 = z Escreva as equações paramétricas da reta que passa no ponto (3,0,4) e pelo ponto médio do segmento AB, sendo A(2,7,9) e B(2,3,5). 1.3 Equações Reduzidas Podemos isolar duas variáveis em função de uma terceira, desta forma temos outra maneira de escrever a equação da reta. Partindo das equações simétricas (1.4) vamos escrever a equação da reta em função da variável x. Então: y y 1 = x x 1 b a y y 1 = b a (x x 1) y y 1 = b a x b a x 1 Portanto, y = b a x b a x 1 + y 1 y = mx + n. y = mx + n. (1.5) Observando que b a = m e b a x 1 + y 1 = n. De forma análoga, temos z z 1 = x x 1 z = px + q (1.6) a c As equações (1.5 e 1.6) são denominadas como Equações Reduzidas da reta em na variável x. Sendo assim, 8

14 1.3. EQUAÇÕES REDUZIDAS { y = mx + n z = px + q Observação: Como determinar um ponto e um vetor dada a equação reduzida da reta: Podemos isolar a variável independente nas equações reduzidas e compará-las com as equações simétricas da reta. Se a equação reduzida está em função da variável x: { y = mx + n z = px + q então, x = y n m e x = z q p. Então, a sua forma simétrica é dada por x = y n m = z q p. Agora fica fácil perceber que a reta passa pelo ponto P (0,n,q) y0z e seu vetor diretor é v = (1,m,p). Exemplo 9. { y = 3x 4 z = 4x + 3 Solução: P (0, 4,3) o ponto P é obtido fazendo x = 0, v = (1,3,4). Se a equação reduzida está em função da variável y: { x = m1 y + n 1 z = p 1 y + q 1 então, y = x n 1 m 1 e y = z q 1 p 1. Portanto, x n 1 m 1 = y = z q 1 p 1. A reta passa no ponto P (n 1,0,q 1 ) x0z e seu vetor v = (m 1,1,p 1 ). Se a equação reduzida está em função da variável z: { x = m2 z + n 2 y = p 2 z + q 2 então, z = x n 2 m 2 e z = y q 2 p 2. Assim, reescrevendo na forma simétrica temos x n 2 m 2 = y q 2 p 2 = z. A reta passa no ponto P (n 2,q 2,0) x0y e tem v = (m 2,p 2,1). 9

15 1.3. EQUAÇÕES REDUZIDAS Exemplo 10. Estabelecer as equações reduzidas da reta r que passa por A(4,2,1) e tem direção do vetor v = (3,1,1). Solução: Primeiramente, vamos escrever a equação na forma simétrica: x 4 3 = y 2 = z 1 Agora, reescrevendo as equações na variável x: e, x 4 3 = y 2 y = x x 4 3 y = x Portanto, z = x = z 1 z = x Agora tente resolver! 1. Escrever equações reduzidas na variável x da reta que passa pelos pontos M(3, 1,4) e N(4,0,5). 2. Determinar equações reduzidas na variável y da reta que passa pelos pontos M( 1,5,7) e N(8,6,9). x = 1 + t 3. Escreva equações reduzidas da reta l: y = 2 + 3t z = 3 t x = 2 + 2t 4. Escreva equações reduzidas da reta s: y = 1 4t z = 6 t 5. Escreva as equações reduzidas da reta s que passa no ponto P (3,1, 3) e tem direção do vetor s = (3, 6,4): a. na variável z, b. na variável y. 10

16 1.4. RETAS PARALELAS AOS PLANOS E AOS EIXOS COORDENADOS 6. Escrever um ponto e o vetor diretor de cada uma das retas: a. r : { b. s : x = 3y 2 3 z = y + 2 y = 6x 2 5 z = 1 2 x + 3 x = 3z + 4 c. t : 3 y = 3 7 z 2 x = 5 2 z d. p : y = z 3 2 { x = y e. m : z = 2 3 y Retas Paralelas aos Planos e aos Eixos Coordenados Retas Paralelas aos Planos Coordenados Uma das componentes do vetor diretor é nula: O vetor diretor v é ortogonal a um dos eixos coordenados, e a reta r é paralela ao plano dos outros eixos. 1. Se a=0, v = { (0,b,c) Ox r yoz. x = x1 Equações: y y 1 = z z 1 b c x = 4 Exemplo 11. y 3 3 = z

17 1.4. RETAS PARALELAS AOS PLANOS E AOS EIXOS COORDENADOS Figura 1.5: Reta paralela ao plano yoz. 2. Se b = 0, v { = (a,0,c) Oy r xoz. y = y1 Equações: x x 1 = z z 1 a c { y = 4 Exemplo 12. x 2 = z Figura 1.6: Reta paralela ao plano xoz. 3. Se c = 0, v { = (a,b,0) Oz r xoy. z = z1 Equações: x x 1 = y y 1 a b z = 4 Exemplo 13. x 4 = y

18 1.4. RETAS PARALELAS AOS PLANOS E AOS EIXOS COORDENADOS Figura 1.7: Reta paralela ao plano xoy Retas Paralelas aos Eixos Coordenados Duas componentes do vetor diretor são nulas: O vetor diretor v tem direção de um dos vetores i ou j ou k e a reta é paralela ao eixo que tem direção de i ou j ou k. 1. Se a = b = 0, v = (0,0,c) k r Oz. x = x 1 Equações: y = y 1 z = z 1 + ct Figura 1.8: Reta paralela ao eixo Oz { x = 3 Exemplo 14. r : y = 6 13

19 1.4. RETAS PARALELAS AOS PLANOS E AOS EIXOS COORDENADOS 2. Se a = c = 0, v = (0,b,0) j r Oy. x = x 1 Equações: y = y 1 + bt z = z 1 { x = 1 Exemplo 15. r : z = 2 Figura 1.9: Reta paralela ao eixo Oy 3. Se b = c = 0, v = (a,0,0) i r Ox. x = x 1 + at Equações: y = y 1 z = z 1 { y = 2 Exemplo 16. r : z = 3 Observação: Os eixos coordenados Ox, Oy e Oz, são retas particulares: a reta Ox passa pela origem O(0,0,0) e tem direção do vetor i = (1,0,0). Equações paramétricas: x = t y = 0 z = 0 14

20 1.4. RETAS PARALELAS AOS PLANOS E AOS EIXOS COORDENADOS a reta Oy passa pela origem O(0,0,0) e tem direção do vetor j = (0,1,0). Equações paramétricas: x = 0 y = t z = 0 a reta Oz passa pela origem O(0,0,0) e tem direção do vetor k = (0,0,1). Equações paramétricas: x = 0 y = 0 z = t Exemplo 17. Determinar as equações simétricas da reta que passa no ponto A( 2,3, 2) e tem direção do vetor v = 3 i + 2 k. Solução: Pelo vetor v percebemos que a reta é perpendicular ao plano Oy e paralelo ao eixo xoz, então as equações simétricas são: Agora tente resolver! { y = 3 x + 2 = z Escreva as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos A(7,4,3) e B(7,5,4). 2. Escreva as equações da reta que passa pelo ponto A(6,8,9) e tem direção do vetor v = 7 j. 3. Determine a posição relativa das retas em relação aos eixos ou planos coordenados, e escreva um ponto e um vetor diretor para cada uma das retas: a. r : b. s : c. p : { x = 4 y = z y = 2 x 4 = z { z = 4 x = 2y

21 1.5. ÂNGULO ENTRE RETAS { y = 8 d. m : z = 6 { x = 4 e. n : y = 4 { x = 6 f. o : z = 3 4. Determinar a equação da reta, em todas as suas formas possíveis, que passa no ponto R(2, 6,8) e (a) tem direção de u = (2,0, 3) (b) é paralela ( ) ao eixo Oz 5. Escreva as equações paramétricas das retas nos seguintes casos: a. Passa pelo ponto (7,8,6) e é perpendicular ao plano xoz. b. Passa pelo ponto (4, 4,5) e é paralela ao eixo x. c. Passa pelo ponto (6, 3,4) e é paralela ao eixo z. d. Passa pelo ponto (5,5,2) e tem direção do vetor 2 i j. e. Passa pelo ponto (1,3,4) e tem direção do vetor 2 j x = 1 + 2t 6. Considere a reta s : y = t encontre a interseção da reta s z = t com o plano coordenado xy. 1.5 Ângulo entre Retas Considere duas retas, a reta r que passa pelo ponto A 1 e tem direção do vetor v 1 e a reta s que passa pelo ponto A 2 e tem direção do vetor v 2. Denomina-se ângulo de duas retas o menor ângulo formado por r e s, isto é, o menor ângulo de um vetor diretor de r e de um vetor diretor de s. Sendo assim: cos(θ) = v 1 v 2 v 1 v 2, 0 θ π 2 Exemplo 18. Calcular o ângulo entre as retas x = 3 + 3t { x + 2 r : y = 6t s : = y z = 1 2t = z 2 16

22 1.6. CONDIÇÕES DE ORTOGONALIDADE, PARALELISMO E COPLANARIDADE ENTRE RETAS Solução: O vetor diretor da reta r é v 1 = (3, 6, 2) e o vetor diretor da reta s é v 2 = (2,1, 2), então: (3, 6, 2) (2,1, 2) cos(θ) = (3, 6, 2) (2,1, 2) = 4 21 ( ) 4 θ = arccos 79, Condições de Ortogonalidade, Paralelismo e Coplanaridade entre retas Condição de Ortogonalidade entre duas retas Dadas duas retas r e s e seus respectivos vetores diretores v 1 = (a 1,b 1,c 1 ) e v 2 = (a 2,b 2,c 2 ), a condição de ortogonalidade (Capítulo de Produto Escalar) diz que se então as retas r e s são ortogonais. v 1 v 2 = 0 ou a 1 a 2 + b 1 b 2 + c 1 c 2 = 0. Exemplo 19. Verifique se as retas a seguir são ortogonais. { x = 3 2t y = 2x + 1 r : s : y = 4 + t z = 4x z = t Solução: O vetor diretor da reta r é v 1 = (1, 2,4) e o vetor diretor da reta s é v 2 = ( 2,1,1), então: (1, 2,4) ( 2,1,1) = = 0, logo as retas são ortogonais Condição de Paralelismo entre duas retas Se duas retas r e s são paralelas, então seus vetores v 1 e v 2 são paralelos: v 1 = m v 2 ou a 1 a 2 = b 1 b 2 = c 1 c 2. 17

23 1.6. CONDIÇÕES DE ORTOGONALIDADE, PARALELISMO E COPLANARIDADE ENTRE RETAS Figura 1.10: Retas paralelas Exemplo 20. Sejam u = (8, 6,2) e v = ( 4,3, 1) vetores diretores das retas r e s respectivamente. Essas retas são paralelas? Solução: Observe que, logo as retas são paralelas Retas Coplanares 8 4 = 6 3 = 2 1 = 2 Dadas as retas r que passa pelo ponto A 1 e tem direção do vetor v 1 = (a 1,b 1,c 1 ) e s que passa pelo ponto A 2 e tem direção do vetor v 2 = (a 2,b 2,c 2 ), elas serão coplanares se os vetores v 1, v 2 e A 1 A 2 forem coplanares, isto é, se for nulo o produto misto ( v 1, v 2, A 1 A 2 ). Exemplo 21. Determinar o valor de m para que as retas r : x = t s : y = 1 + 2t sejam coplanares. z = 2t Solução: { y = mx + 1 z = 3x 1 18

24 1.7. POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETAS O vetor diretor de r é v 1 = (1,m,3) e de s v 2 = (1,2, 2) e o vetor A 1 A 2 é A 2 A 1 = (0,1,0) (0,1, 1) = (0,0,1). O produto misto mostra que: 1 m 3 ((1,m,3),(1,2, 2),(0,0,1)) = = 0 = 2 m m = 2 Portanto, para que as retas sejam coplanares m deve ser igual a Posições relativas entre retas Suponha duas retas r e s no espaço. Elas podem ser: 1. Retas Coplanares: Situadas no mesmo plano. Podem ser: Paralelas, Concorrentes, Coincidentes. 2. Retas Não Coplanares: São as retas reversas, então r s =. Como classificar cada uma: 1. Analisar os vetores direcionais das retas dadas. 2. Se os vetores forem colineares então as retas são paralelas (r s = ) ou coincidentes. 3. Se as retas forem paralelas e o produto misto ( v 1, v 2, A 1 A 2 ) = 0 então, as retas são coplanares. Se as retas não forem paralelas e o produto misto ( v 1, v 2, A 1 A 2 ) = 0 então, as retas são concorrentes, mas se o produto misto ( v 1, v 2, A 1 A 2 ) 0 são reversas. Exemplo 22. Estudar a posição relativa das retas: r : { x 2 = y 1 1 = z s : Solução: x = 2 4t y = 2t z = 2t + 1 O vetor diretor de r é v 1 = (2, 1,1) e de s é v 2 = ( 4,2, 2), temos que: 2 4 = 1 2 = 1 2 = 1 2. Logo as retas são paralelas. Pergunta: Será que elas são coincidentes? 19

25 1.7. POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETAS Vamos escolher um ponto da reta s, para t = 1, teremos: x = 2 s : y = 2 z = 1 Agora vamos substituir os pontos em r: { 2 r : 2 = 1 1 = 1 Temos um ponto em comum entre as duas retas, vamos testar para outro ponto de s, escolhemos t = 0. x = 2 s : y = 0 z = 1 { 2 r : 2 = 1 1 = 1 Temos outro ponto em comum, logo as retas são coincidentes Agora tente resolver! 1. Estudar a posição relativa das retas: { x 2 r : 2 = y 3 = z 5 4 x = 5 + t s : y = 2 t z = 7 2t 2. Verificar se as seguintes retas são paralelas ou ortogonais(perpendiculares): a. r : x + 3 = y 4 { 4 3 x 3 b. l : = y 3 = z x = t c. r : y = t s : z = 18t x = 2 + 2h d. r 1 : y = 3 + h z = 1 = z 2 s : M( 1,2, 3) e N( 5,5,4) r 2 : l : x 1 = y x = 2 + 5t 1 y = 2 + 8t 1 z = 9t 1 x = 4 y = 1 z = t = z 3 1 { y = mx A reta r : é perpendicular a reta s determinada pelos pontos A(1,0, 3) e B( 2,2m,2m). Determinar m e as equações z = x 1 paramétricas da reta s. 20

26 1.8. INTERSEÇÃO DE DUAS RETAS 4. Verificar se a retas r : x 2 2 ortogonais. = y 3 = z 5 4 e s : { x = y 8 z = 3y + 15 são 5. Determinar a equação da reta t que passa no ponto T ( 1,0, 2) { é ortogonal ao vetor v = (2,1, 1) e coplanar com a reta l : x = z 3 y = 3z Interseção de duas retas Duas retas r e s coplanares e não paralelas são concorrentes, logo existe um ponto em comum entre elas. Figura 1.11: Interseção de duas retas Exemplo 23. Encontrar o ponto de interseção das retas: { x = t y = 3x + 2 r : s : y = 1 + 2t z = 3x 1 z = 2t Solução: Vamos determinar seu ponto de interseção I(x,y,z), as coordenadas deste ponto satisfazem o sistema formado pelas equações das respectivas retas. Sendo assim, primeiramente vamos reescrever a equação da reta s na forma reduzida: { y = 1 2x z = 2x 21

27 1.9. RETA ORTOGONAL A DUAS RETAS Agrupando todas as equações, temos um sistema a resolver: y = 3x + 2 z = 3x 1 y = 1 2x z = 2x Igualando a segunda equação com a quarta equação, temos: 3x 1 = 2x x = 1 Logo, y = 1 e z = 2. Por fim, o ponto de interseção é I(1, 1,2) Agora tente resolver! 1. Encontrar a equação da{ reta t, em todas as suas formas, que passa na x = y 1 interseção das retas r : z = y + 3 e s : x + 1 = y 1 = z e { x = y 1 é paralela a reta m : z = y Dois foguetes F A e F B são lançados de suas plataformas situadas nos pontos A(4,2, 6) e B( 2,4,2) respectivamente. Sabe-se que suas trajetórias são retilíneas e seus vetores velocidades são v A = ( 1,3,1) e v B = (2,2, 3), pergunta-se: a. Será que suas trajetórias interceptam-se? b. Caso afirmativo, em que ponto ocorre? c. Sendo os vetores dados em km/h, quantas horas após o lançamento ocorrerá a colisão? 3. Encontrar o ponto de interseção das retas: x = 2 + 2h r : y = 3h s : x 5 = y = z 7 2. z = 5 + 4h 1.9 Reta ortogonal a duas retas Suponha duas retas não paralelas r e s sendo v 1 e v 2 seus vetores diretores. Se uma terceira reta t é simultaneamente ortogonal as retas dadas, então o vetor diretor da reta t é paralelo ou igual ao vetor v 1 v 2. Neste caso, é possível determinar a equação da reta t conhecendo um de seus pontos. 22

28 1.9. RETA ORTOGONAL A DUAS RETAS Exemplo 24. Dadas as retas: { y = 2x 3 r : z = 3x + 1 s : x 1 = y = z + 2. Determine a equação da reta t que passa pelo ponto M(3, 6,7) e é simultaneamente ortogonal às retas r e s. Solução: Observe que os vetores diretores das retas r e s não são paralelos: Como a reta t é simultaneamente ortogonal as retas r e s, o vetor diretor v t será: v t = v r s s Portanto, v t = v r v s = i j k = i 16 j 11 k v t = ( 1, 16, 11) = (1,16,11) Assim, ficam determinadas as equações paramétricas da reta t: x = 3 + t y = t z = t No caso em que as retas r e s sejam paralelas, existem infinitas retas que passam por um ponto e estão em um plano ortogonal as retas r e s. Figura 1.12: Retas ortogonais a retas paralelas 23

29 1.9. RETA ORTOGONAL A DUAS RETAS Exemplo 25. O ponto M(10,8, 9) pertence a reta t e sabe-se que o vetor diretor v t = (a,b,c) é perpendicular as retas r e s onde as equações das retas são: r : Determine a equações da reta t. { x = y z = 2y + 3 s : x = 2 t y = 3 t z = 2t Solução: Um ponto e o vetor da reta r são: P r (0,0,3) e v r = (1,1,2). Um ponto e o vetor da reta s são: P s = (2,3,0) e v s = ( 1, 1, 2). Observem que as reta são paralelas, 1 1 = 1 1 = 2 1 = 1 = 1, 2 logo, α = 1. Então, temos infinitas possibilidades para as equações da reta t. Por exemplo, sabendo que M t e sendo a reta t ortogonal a reta r: Resolvendo o produto escalar: v t v r v t v r = 0 (a,b,c) (1,1,2) = 0. a + b + 2c = 0 a = b 2c. Uma possível solução: se b = 1 e c = 2 a = 5 e v t = ( 5,1,2) x = 10 5t t : y = 8 + t z = 9 + 2t Outra solução: se b = 0 e c = 1 a = 2 e v t = (2,0, 1) x = t t : y = 8 z = 9 t Observação: Podemos obter uma solução particular dando-se outra condição, por exemplo, dizendo que a reta t é ortogonal ao plano de r e s. Se t é ortogonal ao plano de r e s, podemos determinar o vetor diretor da reta t fazendo: v t = v r P r P s 24

30 1.10. DISTÂNCIAS v t = v r v s = i j k Desta forma, as equações paramétrica da reta são x = 10 9t t : y = 8 + 7t z = 9 + t Agora tente resolver! = 9 i + 7 j + k 1. Determine as equações simétricas da reta que passa pelo ponto A( 2,1,3) e é ortogonal às retas não paralelas x = 2 t t : y = 1 + 2t z = 3t s : x 1 3 = y + 1 = z { Determinar as equações da reta t ortogonal ao plano das retas r : y = 2x 3 z = 3x 5 e s : x = y 2 = z e que passa no ponto T (2, 1,6) Distâncias Distância de um ponto a uma reta Dados um ponto P 1 (x 1,y 1,z 1 ) e uma reta r. Seja P 0 (x 0,y 0,z 0 ) um ponto qualquer no espaço não pertencente a reta r. O vetor diretor v da reta e o vetor P 1 P 0 determinam um paralelogramo cuja altura corresponde à distância d de P 0 a r que pretendemos calcular: Sabemos que a área do paralelogramo é definida pela multiplicação da base do paralelogramo pela sua altura, A = d v. Ou pela interpretação geométrica do produto vetorial: comparando os dois, temos: A = v P 1 P 0, d = d(p 0,r) = v P 1 P 0. (1.7) v 25

31 1.10. DISTÂNCIAS Figura 1.13: Distância entre ponto e reta x = 3 + t Exemplo 26. Calcular a distância do ponto P (2,3,-1) à reta r : y = 2t z = 1 2t Solução:. Primeiro, vamos calcular o vetor P 1 P = P P 1 = (2,3, 1) (3,0,1) = ( 1,3, 2). Desta forma, d = d(p,r) = (1, 2, 2) ( 1,3, 2) (1, 2, 2) = (10,4,1) 117 (1, 2, 2) = u.c. 3 Sendo assim, d(p,r) = 117 u.c Distância entre retas A distância entre retas só está definida se as retas forem paralelas ou reversas: Retas Paralelas: A distância entre duas retas paralelas se reduz ao cálculo da distância de ponto a uma reta. P 0 d P 1 s r 26

32 1.10. DISTÂNCIAS Retas reversas: Consideremos duas retas: a reta r que passa pelo ponto P 1 (x 1,y 1,z 1 ) e tem direção do vetor u, e a reta s que passa pelo ponto P 2 (x 2,y 2,z 2 ) e tem direção do vetor v. Os vetores u, v e P 1 P 2 determinam um paralelepípedo, cuja base é definida por u e v e a altura à distância d entre as retas r e s. O volume deste paralelepípedo é dado pelo produto da sua área da base multiplicado pela sua altura: V = u v d ou de acordo com a interpretação geométrica do módulo do produto misto: Comparando os dois, temos: V = ( u, v, P 1 P 2 ). d = d(r,s) = ( u, v, P 1 P 2 ). (1.8) u v Figura 1.14: Distância entre retas reversas x = 1 t Exemplo 27. Calcular a distância entre as retas r e s onde: r : y = 2 + 3t z = t e s: é o eixo Ox. Solução: Um ponto do eixo OX é P (1,0,0) e o vetor é v x = i = (1,0,0). Um ponto da reta r é P r (1,2,0) e o vetor é v r = ( 1,3, 1). 27

33 1.11. LISTA DE EXERCÍCIOS - RETAS Calculando o vetor P P r = (0,2,0) e aplicando na equação, temos: Portanto, d(r,s) = P P r ) d = d(r,s) = ( i, v r, i v r 10 5 u.c Lista de Exercícios - Retas = = Escrever as equações paramétricas e simétricas da reta que passa por A(6,3,9) e é paralela à reta r : (x,y,z) = (4,5,2) + t(2, 6, 1). 2. Representar graficamente as seguintes retas de equações: (a) (b) (c) (d) x = 2 + t y = 1 + 2t z = 3 + 3t x = 3 y = 1 + t z = 2t { y = 4 z = 3 { x = 4 z = 2 (1.9) (1.10) (1.11) (1.12) 3. Obter as equações reduzidas na variável x, das seguintes retas: (a) Que passa por A(8,2, 2) e tem direção de v = (4,8,7). (b) Pelos pontos A(3,2,1) e B(6, 1,0). 4. Escrever as equações reduzidas na variável z da reta que passa por A( 1,6,3) e B(2,2,1). 5. Escrever equações paramétricas das retas que passam pelo ponto A(4, 5,3) e são, respectivamente, paralelas aos eixos Ox, Oy, Oz. 6. Determinar o ângulo entre as seguintes retas: 28

34 1.11. LISTA DE EXERCÍCIOS - RETAS x = 2 t (a) r 1 : y = t z = 3 2t { y = x + 5 (b) r 2 : z = 3x 2 { x r 2 : 2 = y { r 2 : = z 1 1 x 2 = y = z Determine o valor de m sabendo que as retas são coplanares: r 1 : { y = 4x 3 { z = 2x + 1 r 2 : x 4 = y m = z Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar o ponto de interseção: { { y = 2x 3 y = 3x + 7 (a) r 1 : z = x + 5 r 2 : z = x + 1 x = 2 t x = 3 + 6h (b) r 1 : y = 3 5t r 2 : y = 1 + 7h z = 6 6t z = h 9. Determinar as equações das seguintes retas: (a) que passa por A(1, 2,4) e é paralela ao eixo dos x; (b) que passa por B(3,2,1) e é perpendicular ao plano xoz; (c) que passa por A(4, 1,2) e tem direção do vetor i j; (d) que passa pelos pontos M(2, 3,4) e N(2, 1,3). 10. Determine o ponto de interseção das seguintes retas: r 1 : { y = 3x + 3 z = 3x 2 x = t r 2 : y = 1 + 2t z = 2t 11. Determine o ponto de interseção das seguintes retas: x = 4 + t r 1 : y = 1 t z = 1 + t r 2 : x = 9 4h y = 2 + h z = 2 2h 12. Calcular a distância do ponto P (4,2,1) à reta: x = 1 2t r : y = 3 + t z = 6 2t 29

35 1.11. LISTA DE EXERCÍCIOS - RETAS 13. Calcular a distância entre as duas retas: x = 2 t r 1 : y = 3 + 2t z = 2 2t r 2 : { y = x 2 z = x Dado o triângulo de vértices A(3, 4,4), B(4, 7,2), C(1, 3,2) determinar: (a) As Equações simétricas da reta suporte do lado AB. (b) O ponto em que a reta fura o plano xoy. 15. Calcule o valor de m para que sejam coplanares as seguintes retas: { y = mx 3 (a) r : z = x 1 { y = 4x m s : z = x { { x = 2z 4 x Dadas as retas l : y = 3z + 6 e t : = y + 2 = z 2, 2 1 determinar a equação da reta m simultaneamente ortogonal as retas dadas e que passa no ponto de interseção das mesmas. 17. Determinar a equação da reta t que passa pelo { ponto M(3,3,-2) é y = x concorrente com o eixo Oy e ortogonal à reta m : z = x Sendo A(1,0,1), B(2, 1,1), C( 1,0,2), D(3,2,2) vértices de um tetraedro, pede-se: (a) as equações paramétricas da reta r, suporte da altura h D do tetraedro de base ABC relativa ao vértice D. (b) as equações paramétricas da mediana relativa ao vértice C do triângulo ABC. 19. Sendo A(1, 2,2), B(3,0,1), C(3, 2,0) vértices de um triângulo, determinar a equação da reta suporte da altura baixada do vértice C. (Dica: aplicar duas vezes o produto vetorial) 20. Dados os vértices de um triângulo A( 1,1,3), B(2,1,4), C(3, 1, 1), obter as equações simétricas das retas suportes dos lados AB, AC, BC. 21. Estudar a posição relativa das retas e calcular a distância entre as { x 3 retas r : = y 5 = z 1 x = 2 + 3t e s : y = t z = 2 30

36 1.11. LISTA DE EXERCÍCIOS - RETAS 22. Determine a equação da reta t que passa no ponto A(1, 3,2) é concorrente { com o eixo Oz que passa na origem e é ortogonal a reta y = x + 2 m : z = 2x Escreva as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto A(4, 4,2) é ortogonal ao vetor v = (10,10, 1) e intercepta a reta s : { y = x + 3 z = 4x Determine a equação da reta que passa pelo ponto P (2, 3,4), é concorrente com o eixo Ox e ortogonal à reta s : 1 = y + 2 z = x Determinar a equação da reta r que passa pelo { ponto P (3,3, 2) é y = x concorrente com o eixo Oy e ortogonal à reta s : z = x Os itens a seguir mostram pontos e um vetor diretor. Para cada item, escreva as equações paramétricas das retas e faça o estudo da posição relativa das mesmas em relação aos eixos ou planos coordenados, sabendo que as retas passam pelo ponto médio do segmento AB: (a) A( 1, 2, 3), B(1,3,5) e v = (2,0,3) (b) A( 2, 2,4), B(2,2, 4) e v = (1,0,0) (c) A(3, 2,1), B(5,1,4) e v = (0,2,1) (d) A(1,4,1), B(7,8,5) e v = (3,2,0) (e) A(2,1,4), B(8,2,10) e v = (0,1,0) 27. Dadas as seguintes retas: r : { { y = 3x 1 y = 4x 2 z = 2x + 1 s : z = 3x (a) escreva os respectivos vetores diretores das retas; (b) faça o estudo da posição relativa das retas; (c) determine o ponto de interseção das retas; (d) parametrize o segmento de reta que passa pelo ponto de interseção (item c) e pelo ponto (5,0,1). 31

37 Capítulo 2 Planos A equação geral ou cartesiana de um plano π no espaço é determinada conhecendo-se um ponto sobre o plano e sua inclinação ou orientação. Essa inclinação é definida especificando-se um vetor que seja perpendicular ou normal ao plano, observe a Figura 2.1. Figura 2.1: Plano Portanto, o plano pode ser definido como o conjunto de todos os pontos P (x,y,z) R 3, onde o vetor AP é ortogonal ao vetor n. Notação: Usamos letras gregas π, α, β, para representar as equações dos planos. O vetor normal ao plano é dado por n = (a,b,c). Definição: Considere A(x 0,y 0,z 0 ) um ponto pertencente a um plano π e um vetor normal n = (a,b,c), não nulo, ortogonal ao plano que determina sua inclinação ou orientação, observe a Figura 2.2: 32

38 Figura 2.2: Definição de Plano no Espaço Sendo o vetor n ortogonal ao plano π, n será ortogonal a todo vetor representado no plano π. Dado um ponto P (x,y,z) qualquer, esse ponto pertencerá a π se, e somente, se o vetor AP é ortogonal a n, isto é, n AP = 0. (2.1) A igualdade acima é válida pela condição de ortogonalidade (ver produto escalar). Reescrevendo, temos ou, em coordenadas n (P A) = 0 (2.2) (a,b,c) (x x 0,y y 0,z z 0 ) = 0, (2.3) resolvendo o produto escalar, chegamos a seguinte expressão ax + by + cz ax 0 by 0 cz 0 = 0. (2.4) Fazendo ax 0 by 0 cz 0 = d, obtemos ax + by + cz + d = 0. (2.5) A equação 2.5 é denominada equação geral ou cartesiana do plano. Exemplo 28. π : 2x 5y + z 3 = 0. Os coeficientes 2, 5,1 da equação geral representam as componentes do vetor normal ao plano, então, n = (2, 5,1). Esse mesmo vetor é ortogonal a qualquer plano paralelo a ele. Desta forma, todos os infinitos planos paralelos a π teriam como equação geral 2x 5y + z + d = 0. 33

39 2.1. DETERMINAÇÃO DA EQUAÇÃO DE UM PLANO 2.1 Determinação da Equação de um Plano Agora sabemos que um plano é determinado por um de seus pontos e pelo seu vetor normal. Vamos analisar situações que também ficam evidentes para a determinação da equação do plano. A. O plano passa por um ponto A e é paralelo a dois vetores v 1 e v 2, não colineares: o vetor normal será determinado n = v 1 v 2 (2.6) Neste caso, os vetores v 1 e v 2 são chamados de vetores de base do plano e para determinar o vetor normal usamos a definição de produto vetorial, visto que é o único dos produtos de vetores que determina um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores dados (ver propriedades do produto vetorial). 34

40 2.1. DETERMINAÇÃO DA EQUAÇÃO DE UM PLANO Exemplo 29. Determine a equação do plano que passa por A(2,1,4) e é paralelo aos vetores u = (2,1, 1), v = (3,2, 4). Solução: n = v 1 v 2 = (2,1, 1) (3,2, 4) = ( 2,5,1). Portanto, temos a equação: π : 2x + 5y + 1z + d = 0, substituindo o ponto A, temos que d = 5 e reescrevendo a equação: π : 2x + 5y + z 5 = 0 ou π : 2x 5y z + 5 = 0. Observação: Qualquer múltiplo de n, ou seja k n, com k 0 também é normal ao plano π. B. Se o plano passa por três pontos dados A, B e C não em linha reta, neste caso os vetores AB e AC não são paralelos, portanto n = AB AC (2.7) 35

41 2.1. DETERMINAÇÃO DA EQUAÇÃO DE UM PLANO Nesta situação os vetores AB e AC são os vetores de base e novamente usamos o produto vetorial para determinar o vetor normal ao plano. Exemplo 30. Determine a equação do plano que passa por A(2,1, 4), B(1, 2, 1), C(3,0,1). Solução: AB= ( 1, 3,3) e AC= (1, 1,5), fazendo n = AB AC= ( 1, 3,3) (1, 1,5) = ( 12,8,4) = ( 3,2,1). Então, π : 3x + 2y + z + d = 0, substituindo o ponto C, por exemplo, temos que d = 8 portanto, π : 3x + 2y + z + 8 = 0 ou π : 3x 2y z 8 = 0. C. Contém duas retas concorrentes: Primeiro precisamos analisar a posição relativa das retas dadas (ver capítulo de retas). Se as retas dadas não são paralelas, mas são coplanares (ver propriedades do produto misto), então as retas são concorrentes e o vetor normal é determinado da seguinte forma: n = v 1 v 2 (2.8) Exemplo 31. Determine a equação do plano que passa pelas retas: x = t { r : y = 3 + 2t e s : x = y 7 3 = z 1 z = 5 t 36

42 2.1. DETERMINAÇÃO DA EQUAÇÃO DE UM PLANO Solução: O vetor diretor da reta r é v 1 = (1,2, 1) e da reta s é v 2 = (1, 3,1). Analisando a posição relativas das retas dadas elas são concorrentes (verifique!), então o vetor normal é n = v 1 v 2 = ( 1, 2, 5). Assim, π : x 2y 5z + d = 0, substituindo um ponto da reta r, por exemplo (0, 3,5), temos que d = 19 e a equação: π : x 2y 5z + 19 = 0 ou π : x + 2y + 5z 19 = 0. D. Contém duas retas r 1, r 2 paralelas: Verificar se os vetores diretores das respectivas retas satisfazem a condição de paralelismo, e determinar o vetor normal ao plano usando: n = AB v (2.9) onde, A e B são pontos respectivamente das retas r 1 e r 2. O vetor v será o vetor diretor da reta r 1 ou da reta r 2. Exemplo 32. Determine { a equação do plano que passa pelas retas x = y + 3 r : x = y = z + 3 e s : z = y 2 Solução: Um ponto da reta r é A(0,0, 3) e um ponto da reta s é B(3,0, 2), então AB= (3,0,1) e usando o vetor diretor de r, v r = (1,1,1), temos: n = AB v r = ( 1, 2,3) Portanto, π : x 2y + 3z + d = 0, substituindo um ponto da reta r, por exemplo A(0,0, 3), temos que d = 9 e: π : x 2y + 3z + 9 = 0. E. Contém uma reta r e um ponto B / r, desta forma A será um ponto na reta r e v o vetor diretor da reta. Assim, n = v AB (2.10) { Exemplo 33. Determine a equação do plano que contém a reta r : x = 2y e um ponto P (3,0, 1). z = 4y

43 2.1. DETERMINAÇÃO DA EQUAÇÃO DE UM PLANO Solução: Sendo A(0,0,1) um ponto de r, o vetor AP = (3,0, 2). O vetor diretor de r é v = ( 2,1,4), n = v AP = ( 2,8, 3). Temos a equação, π : 2x + 8y 3z + d = 0, substituindo o ponto P, temos que d = 3. Desta forma, π : 2x + 8y 3z + 3 = 0. F. Passa por dois pontos A e B e é paralelo a um vetor não colinear ao vetor AB: n = v AB (2.11) Exemplo 34. Determine a equação do plano que passa por A(2,1,3) e B(4,5,0) e é paralelo ao vetor u = (2, 1,2). Solução: AB= (4,5,0) (2,1,3) = (2,4, 3) n = u AB= (2, 1,2) (2,4, 3) = ( 5,10,10). Assim, π : 5x + 10y + 10z + d = 0, substituindo o ponto B, temos que d = 30 então, π : 5x + 10y + 10z 30 = 0 ou x 2y 2z + 6 = 0. Observação: Nos casos acima fica claro que o vetor normal n é sempre dado pelo produto vetorial de dois vetores representados no plano Agora tente resolver! 1. Encontre a equação do plano que passa pelos pontos A(3,1,2), B( 1,2, 2), C(2,1, 2). 2. Determine a equação do plano que passa pelo ponto P (5,2,3) e é perpendicular à reta r : y = 1 + t. x = 5 + 2t z = 2t 3. Encontre a equação do plano que passa pelo ponto A(2, 2,3) e é perpendicular ao vetor da origem O(0,0,0) até o ponto A. 38

44 2.1. DETERMINAÇÃO DA EQUAÇÃO DE UM PLANO 4. Determine a equação do plano que passa pelo ponto P (2, 1,2) e é paralelo ao plano π : 3x + 2y + z = Dado o plano π : 2x y + 5z 10 = 0 determinar um vetor normal ao plano e um ponto do plano. E, verifique se M(1,-3,5) pertence ao plano π. 6. Determinar a equação do plano perpendicular ao segmento AB que passa no ponto médio do mesmo, sendo A(5,3, 1) e B( 1, 1, 3). 7. Encontre a equação do plano que passa pelos pontos A(1,2,3) e B( 2,0,1) sabendo que o plano é paralelo ao vetor u = (2,3, 1). 8. Determine a equação geral do plano que contém as retas: { { y = 2x 3 y = 3x + 7 r 1 : z = x + 5 r 2 : z = x Outra forma para determinar a equação geral do plano Dados dois vetores de base do plano, por exemplo, v 1 e v 2 e um ponto P (x,y,z) π, se o plano passa pelo ponto A, o produto misto entre os seguintes vetores deve ser nulo, isto é, ( AP, v 1, v 2 ) = 0, pois esses vetores são coplanares. Dados, A(x 1,y 1,z 1 ), v 1 = (a 1,b 1,c 1 ), v 2 = (a 2,b 2,c 2 ), é possível obter a equação geral do plano desenvolvendo o seguinte determinante: ( AP x x 1 y y 1 z z 1, v 1, v 2 ) = a 1 a 2 a 3 = 0 b 1 b 2 b [ ] [ ] 3 [ ] b1 c (x x 1 ) 1 a1 c (y y b 2 c 1 ) 1 a1 b + (z z 2 a 2 c 1 ) 1 = 0 2 a 2 b 2 Portanto, ax + by + cz + d = 0. Exemplo 35. Sendo A(0,2, 4) e os vetores v = (2,4, 6), u = ( 1, 1,5), determine a equação do plano. Solução: ( AP x y 2 z + 4, v, u) = = Desenvolvendo o determinante acima temos que a equação do plano é: 14x 4y + 2z + 16 = 0. Observação: Um plano cuja equação tenha a forma: 39

45 2.2. PLANOS PARALELOS AOS EIXOS E PLANOS COORDENADOS 1. ax + by + d = 0, é perpendicular ao plano xoy; 2. by + cz + d = 0, é perpendicular ao plano yoz; 3. ax + cz + d = 0, é perpendicular ao plano xoz. Isto é, se uma das variáveis não figurar na equação, o plano será perpendicular ao plano coordenado correspondente às duas variáveis presentes. 2.2 Planos Paralelos aos Eixos e Planos Coordenados Planos Paralelos aos Eixos Coordenados Considere n = (a,b,c). No caso de uma componente do vetor normal ser nula, o vetor normal será ortogonal a um dos eixos coordenados. E o plano será paralelo ao mesmo eixo. A. Plano paralelo ao eixo Ox: a = 0, n = (0,b,c) Ox e π Ox Equação: by + cz + d = 0. Equação do plano que contém o eixo Ox: by + cz = 0, onde d = 0, o plano passa na origem O. Observe a Figura 2.3, a equação do plano é π : 3y + 2z + 4 = 0, portanto n = (0,3,2). 40

46 2.2. PLANOS PARALELOS AOS EIXOS E PLANOS COORDENADOS Figura 2.3: Plano paralelo ao eixo Ox π : 3y + 2z + 4 = 0 B. Plano paralelo ao eixo Oy: b = 0, n = (a,0,c) Oy e π Oy Equação: ax + cz + d = 0. Equação do plano que contém o eixo Oy: ax + cz = 0, onde d = 0, já que o plano passa na origem O. C. Plano paralelo ao eixo Oz: c = 0, n = (a,b,0) Oz e π Oz Equação: ax + by + d = 0. Equação do plano que contém o eixo Oz: ax + by = 0, onde d = 0, o plano passa na origem O Planos Paralelos aos Planos Coordenados Quando duas componentes do vetor normal são nulas, o vetor normal é colinear a um dos vetores i ou j ou k. Sendo assim, temos: A. Plano paralelo ao plano xoy: Se a = b = 0, n = (0,0,c) n = (0,0,1) = k π xoy. Equação: cz +d = 0 z = d c. Os planos cujas equações são da forma z=k representam planos paralelos ao plano xoy. Observe a Figura

47 2.2. PLANOS PARALELOS AOS EIXOS E PLANOS COORDENADOS Figura 2.4: Plano paralelo ao plano xoy B. Paralelo ao plano xoz: Se a = c = 0, n = (0,b,0) n = (0,1,0) = j portanto, π xoz. Veja Figura 2.5. Equação: y=k. Figura 2.5: Plano paralelo ao plano xoy C. Paralelo ao plano yoz: Se b = c = 0, n = (a,0,0) n = (1,0,0) = i, portanto, π yoz. A equação para estes planos é da forma x=k. Observe a Figura

48 2.3. AGORA TENTE RESOLVER! Figura 2.6: Plano paralelo ao plano xoy 2.3 Agora tente resolver! 1. Determine a posição relativa dos seguintes planos em relação aos eixos e ou planos coordenados: (a) z 7 = 0; (b) x 3y = 0; (c) 3y 2 = 0; (d) 3x + z 4 = 0; (e) 4y 8z + 5 = 0; (f) x = 4 (g) y 8 = 0 2. Nos itens a seguir, obter a equação geral do plano: (a) paralelo ao eixo y que contenha os pontos A(3,1,2) e B(4,0,3); (b) paralelo ao eixo x que contenha os pontos A(2,1,1) e B(4,0,3). 2.4 Equação Vetorial e Equações Paramétricas do Plano Seja A(x 0,y 0,z 0 ) um ponto pertencente a um plano π e u = (a 1,b 1,c 1 ) e v = (a 2,b 2,c 2 ) dois vetores paralelos ao plano π, porém, u e v são vetores não paralelos entre si. 43

49 2.5. ÂNGULO ENTRE DOIS PLANOS Para um ponto P (x,y,z) pertencer ao plano π, os vetores AP, u e v devem ser coplanares. Sendo assim, um ponto P (x,y,z) pertence a π se, e somente se, existem números reais h e t tais que P A = h u + t v ou, em coordenadas (x,y,z) = (x 0,y 0,z 0 ) + h(a 1,b 1,c 1 ) + t(a 2,b 2,c 2 ), h, t R (2.12) A equação 2.12 é denominada equação vetorial do plano π. Os vetores u e v são vetores de base do plano π. Pela equação 2.12, (x,y,z) = (x 0 + a 1 h + a 2 t,y 0 + b 1 h + b 2 t,z 0 + c 1 h + c 2 t) obtemos, x = x 0 + a 1 h + a 2 t y = y 0 + b 1 h + b 2 t z = z 0 + c 1 h + c 2 t as equações 2.13 que são as equações paramétricas do plano. (2.13) Exemplo 36. Determinar as equações paramétricas, vetorial e geral do plano que passa por A(1,2,5) e B(3,3,5) e é paralelo a v = (1,1,2). Solução: (x,y,z) = (1,2,5) + h(1,1,2) + t(2,1,0) e x = 1 + h + 2t y = 2 + h + t z = 5 + 2h Para encontrar a equação geral do plano resolvemos: n = v AB, desta forma: n = v AB= i j k = 2 i + 4 j k Portanto, a equação geral do plano é 2x+4y z +d = 0, como A(1,2,5) π tem-se 2x + 4y z 1 = 0 ou 2x 4y + z + 1 = Ângulo entre dois planos Sejam: π 1 : a 1 x+b 1 y +c 1 z +d 1 = 0 e π 2 : a 2 x+b 2 y +c 2 z +d 2 = 0, e n 1 = (a 1,b 1,c 1 ) e n 2 = (a 2,b 2,c 2 ) são os vetores normais a π 1 e π 2, denominamos ângulo de dois planos como sendo o menor ângulo que um vetor normal de um plano forma com o outro, observe a Figura 2.7, desta forma 44

50 2.6. PLANOS PARALELOS E PERPENDICULARES cos(θ) = n 1 n 2 n 1 n 2, com 0 θ π 2 (2.14) Figura 2.7: Ângulo de dois planos 2.6 Planos Paralelos e Perpendiculares Considere os seguintes planos π 1 : a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 e π 2 : a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0. Sabe-se que n 1 = (a 1,b 1,c 1 ) π 1 e n 2 = (a 2,b 2,c 2 ) π 2 Então, as condições de paralelismo e de perpendicularismo de dois planos são i. Se π 1 π 2 n 1 n 2 a 1 a 2 = b 1 b2 = c 1 c 2 Se além disso, a 1 a 2 = b 1 b2 = c 1 c 2 = d 1 d 2 os planos são coincidentes. ii. Se π 1 π 2 n 1 n 2 a 1 a 2 + b 1 b 2 + c 1 c 2 = 0 Exemplo 37. Planos paralelos: 45

51 2.7. RETAS E PLANOS Figura 2.8: π 1 : 3x + 6y + 9z 5 = 0 e π 2 : x + 2y + 3z + 8 = 0 Exemplo 38. Planos Perpendiculares: Figura 2.9: π 1 : y = 0 e π 2 : z = Retas e Planos Ângulo de uma reta com um plano Dados uma reta r e um plano π. Considere α sendo o ângulo entre a reta e o plano. Como α é o complemento do ângulo θ que a reta forma com 46

52 2.7. RETAS E PLANOS uma reta normal ao plano (θ + α = 90 α = 90 θ), da trigonometria cos(θ) = sin(α), portanto, sin(α) = v n v n, com 0 α π 2 (2.15) Exemplo 39. Encontre o ângulo formado pela reta x y + 5 = 0 Solução: { y = 2x y = 2x + 1 e π : sin(α) = (1, 2,2) (1, 1,0) α = arcsen( 2 2 ) Condições de paralelismo e perpendicularismo entre reta e plano i. Se r π, v n. ii. Se r π, v n Condições para que uma reta esteja contida num plano i. O vetor v de r é ortogonal ao vetor n. ii. Um ponto A pertence a r pertence também ao plano Agora tente resolver! 1. Determinar o ângulo entre os planos: (a) π 1 : 2x 3y + z 5 = 0 e π 2 : x + 2y 2z 12 = 0 (b) π 1 : 2x 3y + 5z 8 = 0 e π 2 : 3x + 2y + 5z 4 = 0 (c) π 1 : 3x + 2y 6 = 0 e π 2 : plano xoz. 2. Determine se os seguintes planos são paralelos ou ortogonais: (a) π 1 : 4x + 6y + 8z = 0 e π 2 : 2x + 3y + 4z 3 = 0; (b) π 1 : 3x 2y + z + 4 = 0 e π 2 : 2y + 4z = 0; (c) π 1 : 4x 6y + 2z 4 = 0 e π 2 : 6x + 9y 3z + 1 = 0; (d) π 1 : 2x + 3y 2z + 1 = 0 e π 2 : x + 2y + 4z 4 = 0; 3. Verifique se as retas são paralelas aos planos: { x 1 a) r : 3 = y = z e π : x + 2y + 3 = 0 47

53 2.8. INTERSEÇÃO ENTRE PLANOS b) s : { y = 2x z = 3x + 7 e π : 2x + 5y + 4z 12 = 0 { x 1 4. Sendo r : = y 2 = z + 3 e π : 2x+3y z+d = 0, determinar a 1 a e d tal que a reta r esteja contida no plano π. 2.8 Interseção entre Planos Considere dois planos: π 1 : a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 e π 2 : a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0, a interseção de dois planos não paralelos é uma reta r cujas equações se deseja determinar. Portanto, π 1 π 2 = {t}. Figura 2.10: Interseção entre planos Para determinar um ponto e um vetor diretor da reta t, da Figura 2.10, encontramos suas equações reduzidas, isolando duas variáveis em função da terceira. Como a reta t está contida nos dois planos, as coordenadas de 48

54 2.9. INTERSEÇÃO DE UMA RETA COM O PLANO qualquer ponto (x,y,z) t devem satisfazer, simultaneamente, as equações dos dois planos. Assim, os pontos da reta constituem a solução do sistema formado pelas equações dos planos. Exemplo 40. Encontre a reta de interseção dos planos π 1 : x+3y z+4 = 0 e π 2 : 3x 2y + z 7 = 0. Solução: x + 3y z + 4 = 0 3x 2y + z 7 = 0(+) 4x + y 3 = 0 y = 4x + 3 substituindo na primeira equação, temos: x + 3( 4x + 3) z + 4 = 0 11x z + 13 = 0 Então: z = 11x + 13 { y = 4x + 3 z 11x + 13 Estas são as equações reduzidas da reta interseção dos planos, sendo os pontos desta interseção da forma: (x, 4x + 3, 11x + 13). Observação: Sendo v r n 1 e n 2, o vetor da reta pode ser obtido por v r = n 1 n 2. (Resolva o exemplo anterior usando o produto vetorial). Um ponto da reta r satisfaz as equações dos planos, sendo uma solução particular pelo sistema formado por elas. 2.9 Interseção de uma reta com o plano Para ilustrar a situação vamos resolver o exemplo a seguir. { x = y + 2 Exemplo 41. Considere r : e π : 2x + y 4z 13 = 0. z = 3y + 6 Encontre o ponto de interseção entre a reta e o plano. Se existir, terá coordenadas que satisfaçam simultaneamente as equações da reta e do plano. 49

55 2.9. INTERSEÇÃO DE UMA RETA COM O PLANO Resolvendo o sistema: x = y + 2 r π = I z = 3y + 6 2x + y 4z 13 = 0 2( y + 2) + y 4( 3y + 6) 13 = 0. Portanto, o ponto de interseção é I( 1,3, 3). RESUMO: Posição relativa entre reta e plano: a) Se n e v r são ortogonais n v r = 0 ( n v r ). Ou r π ou r π r π =. b) Se n e v r não são ortogonais n v r 0, r π = I a reta intercepta o plano. c) Se n e v r são ortogonais, para decidir se r π ou r π, verificamos se um ponto de r pertence ao plano. Caso afirmativo, r π senão r π. Posição relativa entre planos: a) Se o plano π 1 coincide com π 2 : n 1 n 2. π 1 π 2 se e somente se, os coeficientes a 1, b 1, c 1, d 1 e a 2, b 2, c 2, d 2 são proporcionais. b) π 1 π 2, n 1 n 2 a 1 = b 1 = c 1, porém d 1 e d 2 não tem a mesma a 2 b 2 c 2 proporção. c) n 1 e n 2 não paralelos, π 1 π 2 = r Agora tente resolver! 1. Determinar um ponto e um vetor da reta de interseção com os seguintes planos: (a) π 1 : x 2y + z 8 = 0 e π 2 : 2x y + z 5 = 0 (b) π 1 : 3x + y + 2z + 1 = 0 e π 2 : x + 3y 2 = 0 2. Determinar a interseção, se houver, do planos e a reta: (a) π : x 3y 3z 5 = 0 e r : x+1 3 = y+3 4 = z

56 2.10. INTERSEÇÃO DE UM PLANO COM OS EIXOS E PLANOS COORDENADOS x = 5 + 3t (b) π : x + y 2z + 4 = 0 e y = 2 t z = 4 + t { y = 2x (c) π : xoy e z = 3x Interseção de um Plano com os Eixos e Planos coordenados Considere o plano: π : 3x + 4y + z 12 = 0. Vamos encontrar a interseção de π com os eixos coordenados e com os planos coordenados a) Com os eixos coordenados Lembrando que: { { y = 0 x = 0 Ox z = 0, Oy z = 0 { x = 0, Oz y = 0 (2.16) Voltando ao exemplo, resolvendo os sistemas lineares: 3x + 4y + z 12 = 0 1. π 0x y = 0 z = 0 2. π 0y P y (0,3,0) P x (4,0,0) 3. π 0z P z (0,0,12) 51

57 2.11. DISTÂNCIAS Figura 2.11: Interseção do plano com os eixos b) Com os planos coordenados Lembrando que as equações dos planos coordenados são respectivamente: xoy : z = 0, xoz : y = 0 e yoz : x = 0. { { 3x + 4y + z 12 = 0 y = 3 1. π x0y = r 4 x + 3 z = 0 z = 0 { 3x + 4y + z 12 = 0 2. π x0z = r y = 0 { 3x + 4y + z 12 = 0 3. π y0z = r x = 0 { z = 3x + 12 y = 0 { z = 4x + 12 x = Distâncias Distância de um ponto a um Plano Dado um ponto A(x 0,y 0,z 0 ) não pertencente a π e o plano π : ax + by + cz + d = 0, queremos determinar a distância de A ao plano π. Se P (x,y,z) é um ponto no plano e n a normal ao plano então a distância de qualquer ponto A ao plano, d(a,π), é o módulo da projeção ortogonal P A na direção de n. Observe a Figura

58 2.11. DISTÂNCIAS Figura 2.12: Distância de ponto a plano d(a,π) = proj n P n A = P A n (2.17) d(a,π) = (x 0 x,y 0 y,z 0 z)(a,b,c) a 2 + b 2 + c 2 d(a,π) = a(x 0 x) + b(y 0 y) + c(z 0 z) a 2 + b 2 + c 2 Como P π, suas coordenadas satisfazem a equação do plano, então d = ax by cz. Portanto, d(a,π) = ax 0 + by 0 + cz 0 + d a 2 + b 2 + c 2 (2.18) Observe que a expressão do numerador se obtém substituindo as coordenadas do ponto A. Esse valor será sempre positivo, pois no numerador temos o módulo do número e o denominador é o módulo do vetor normal ao plano Distância entre dois planos A distância entre dois planos só é definida se os planos são paralelos, portanto, a distância d entre eles é a distância de um ponto qualquer de um dos planos ao outro: d(π 1,π 2 ) = d(a,π 2 ) com A π Distância de uma reta a um plano Só é definida quando a reta é paralela ao plano, então a distância da reta ao plano é a distância de um ponto qualquer da reta ao plano, d(r,π) = d(a,π) com A r. 53

59 2.12. LISTA DE EXERCÍCIOS - PLANOS Agora tente resolver! 1. Encontrar a distância da reta: r : { x = 3 y = 4 a) Ao plano x0z b) Ao plano y0z c) Ao plano π : x + y 12 = Lista de Exercícios - Planos 1. Escrever a equação do plano que passa por A(3,2,3) e é perpendicular ao segmento que liga este ponto ao ponto P (4,4,6). { y = 3x Determinar a equação geral do plano perpendicular à reta r : z = 4x 2 e que contenha o ponto A(3,1,2). 3. Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto médio do segmento de extremos A(4,3,6), B(2,1,0) e seja perpendicular a ele. x = 3 + 2h + t 4. Dadas as equações paramétricas y = 4 h + t, obter uma equação z = 6 h + 2t geral do plano. 5. Escrever uma equação geral e as equações paramétricas do plano determinado pelos pontos: A(2,1,6), B( 1,4,8), C(1, 1, 1). 6. Determinar uma equação geral do plano que contém as retas: { { y = 2x + 2 x 1 r 1 : z = 3x 1 r 2 : = y 4 = z Determinar uma equação geral do plano que contém as retas: { { x = 2y 2 y = 2x + 1 r 1 : r z = y 3 2 : z = 3x 2 8. Determinar a equação geral do plano que contenha o ponto e a reta dados: x = t (a) A(3,4,6) e r y = 3 t z = 3 + 2t (b) A(4,5,2) e o eixo z 54

60 2.12. LISTA DE EXERCÍCIOS - PLANOS 9. Obter uma equação geral do plano paralelo ao eixo dos x e que contenha os pontos A( 4,1,2), B(0, 3,4). 10. Determinar a posição relativa dos seguintes planos, em relação aos planos e eixos coordenados: (a) 3x 2y + 6 = 0 (b) x 3z = 0 (c) 2y + z 9 = 0 (d) z 3 = 0 (e) y = 0 (f) x + 5 = Determine as interseções dos planos com os eixos coordenados e represente graficamente: (a) 5x + 2y 10 = 0 (b) y + 2z 4 = 0 (c) x 5 = 0 (d) z = 3 (e) 3x + 2y + 4z = 12 (f) 4x + 2y + 6z = 12 (g) y + z = 5 (h) x + y z = Determine a equação do plano que passa: (a) pelo ponto P (5,6,2) e é paralelo ao plano xoy; (b) pelo ponto P (2,3,3) e é paralelo ao plano xoz; (c) pelo ponto P (1, 2,2) e é paralelo ao plano yoz. 13. Dados os seguintes planos: π : ax + by 4z + 3 = 0 e α : 3x + 2y 2z + 20 = 0, calcule: (a) a e b para que os planos sejam paralelos. (b) a distância entre eles. 14. Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto A( 4,2,9) e é perpendicular ao eixo Oz. 15. Determinar a equação geral do plano mediador do segmento retilíneo que tem por extremidades os pontos A(4,3, 4), B(2,3, 4). 55

61 2.12. LISTA DE EXERCÍCIOS - PLANOS 16. Escreva a equação do plano paralelo ao eixo Ox e que passa pelos pontos A(6,1,2) e B(6, 1,3). 17. Determinar a equação do plano que passa pelo ponto A(3,1, 1) e é perpendicular ao plano 2x 2y + z + 4 = 0, tendo sua interseção com o eixo Oz no ponto de cota igual a Determine a equação do plano que passa pela origem e é perpendicular aos planos xoy e y 2 = Escreva a equação do plano determinado pelas retas r : x 2 = y + 1 = z 3 e (x,y,z) = ( 1,1,0) + t(4,2,2). 20. Determinar a interseção da reta r : (x,y,z) = (0,1,0) + t(1, 2, 1), como plano π : 2x + y z 4 = Escreva a equação do plano: (a) paralelo ao plano xy, 10 unidades acima dele; (b) perpendicular ao eixo dos z, no ponto (0,0, 15); (c) paralelo ao plano xz, 8 unidades atrás dele. 22. Escreva as equações paramétricas da reta r, interseção dos planos: π 1 : 2x + y z = 0 e π 1 : x 2y + z 1 = Determinar a equação do plano π, paralelo ao plano α : 2x + 5y + z 4 = 0, sabendo-se que passa pelo ponto de interseção da reta r : (x,y,z) = (1,0,3) + t(2, 1,3) com o plano π 2 : x + 3y z 2 = O ponto A(3,2,2) π e o plano π é paralelo aos vetores u = (3,2, 1) e v = (2,2,3). Escreva a equação vetorial, as equações paramétricas e a equação geral do plano π. 25. Determine as equações paramétricas do plano π : 3x + 2y z + 6 = Determine a equação geral do plano π de equações: x = 1 + 3h + t y = 1 + h + 2t z = h + 3t 27. Escrever uma equação geral e as equações paramétricas dos planos determinados pelos seguintes pontos: (a) A(2,0, 1), B(3,1,2), C(4, 1, 3) (b) A(3,2,1), B(1, 2,1), C(0,2,3) 56

62 2.12. LISTA DE EXERCÍCIOS - PLANOS 28. Escreva uma equação geral do plano paralelo ao eixo Ox e que contenha A(2,3,0) e B(1,0, 1). 29. Determine uma equação geral para o plano π que contém A(2,1, 1) e B(3,2,3) e é perpendicular ao plano α : 3x y + 2z = Determine a distância dos pontos aos respectivos planos: (a) P (2,3,6) e π : x + y + z = 0 (b) P (2, 1,2) e π : 2x 2y z + 3 = 0 (c) P ( 3,1,2) e π : 2x 3y + 6z 42 = Verifique se os planos são paralelos, caso afirmativo calcule a distância entre os mesmos: π 1 : x + y + z = 4 e π 2 : 2x + 2y + 2z = 5. x = 4 + 3t 32. Determine a distância da reta r ao plano π: r : y = 1 + t π : z = t x y 2z + 4 = 0. 57

63 Capítulo 3 Gabaritos 3.1 Lista de Exercícios - Retas 1. x = 6 + 2t, y = 3 6t, z = 9 t; x gráficos = y 3 6 = z a.y = 2x 14, z = 7 4 x 16; b. y = x + 5, z = 1 3 x x = 3 2 z + 7 2, y = 2z 5. Paralela ao eixo x : x = 4 + t, y = 5,z = 3 ou y = 5,z = 3. Paralela ao eixo y : x = 4, y = 5 + t, z = 3 ou x = 4, z = 3. Paralela ao eixo z : x = 4, y = 5,z = 3 + t ou x = 4, y = a. θ = arccos( 1 2 ); b. θ = arccos( ). 7. m = a. I(2,1,3); b. h = 1, t = 1, I(3,8,12) 9. a. y = 2, z = 4; b. x = 3, z = 1; c. x = 4 + t, y = 1 t, z = 2; d. x = 2, y = 3 + 2t, z = 4 t. 10. I(2, 3,4) 11. I(1,4, 2) u.c u.c. 58

64 3.2. LISTA DE EXERCÍCIOS - PLANOS 14. a. x m = 4 = y = z 4 ; b. (5, 10,0) x = 2 + 2t, y = 3 + 4t, z = 3 + 8t 17. Uma solução: v = ( 3, 1,2); x = 3 3t, y = 3 t, z = 2 + 2t 18. a. x = 3 t, y = 2 t, z = 2 2t; b. x = t, y = 1 2 t, z = 2 t 19. v = ( AB AC) AB = (6, 12, 12); x = 3 + 6t, y = 2 12t, z = 12t x AB = (3,0,1), 3 = z 3, y = 1; AC = (4, 2, 4), x y 1 2 = z 3 4 ; y 1 BC = (1, 2, 5), x 2 = 2 = z u.c. 22. v = (1, 3,1); x = 1 + t, y = 3 3t, z = 2 + t 23. v = (1, 2 5,6); x = 4 + t, y = 4 2 t, z = 2 + 6t 5 = x 2 3 x 3 3 = y = z 4 4 = y 3 = z a. P m (0, 1 2,1), x = 2t, y = 1 2,z = 1 + 3t; b. P m(0,0,0), x = t, y = 0, z = 0; c. P m (4, 1 2,3 2 ); d. P m(4,6,3); e. P m (5, 3 2,7) 27. Não são paralelas, são coplanares, ponto de interseção I(1,2,3), parametrização: y = 2 t 0 t 2. x = 1 + 2t z = 3 t 3.2 Lista de Exercícios - Planos 1. x + 2y + 3z 16 = 0 2. x + 3y + 4z 14 = 0 3. x + y + 3z 14 = 0 4. x + 5y 3z 5 = 0 59

65 3.2. LISTA DE EXERCÍCIOS - PLANOS 5. 17x + 23y 9z 3 = 0 6. x + 4y 3z 11 = x 7y 3z 1 = 0 8. a. 5x 3y 4z + 21 = 0; b.5x 4y = y + 4z 10 = a. plano paralelo Oz; b.plano paralelo Oy; c. plano paralelo Ox; d. plano paralelo ao plano xoy; e. plano paralelo ao plano xoz; f. plano paralelo ao plano yoz 11. Gráficos. 12. a. z 2 = 0; b. y 3 = 0; c. x 1 = a. a = 6, b = z 9 = x 3 = y + 2z 5 = x + y 8z 24 = x = x 5y 5z + 10 = P (3, 5, 3) 21. a. z = 10; b. z = 15; c. y = y = 3x 1, z = 5x x + 5y + z 3 = x 11y + 2z 6 = x = t, y = h, z = 6 + 3t + 2h 26. x 2y + z 3 = a.x + 8y 3z 5 = 0; b. 2x y + 3z 7 = y 3z 3 = x + 10y 4z 26 = 0 60

66 3.2. LISTA DE EXERCÍCIOS - PLANOS 30. a u.c.; b u.c.; c u.c u.c u.c. Bibliografia 1. Steinbruch, A.; Winterle, P. Geometria Analítica, São Paulo: Pearson Makron Books, Winterle, P. Vetores e Geometria Analítica, São Paulo: Makron Books, 2 ed., Boulos, P. Geometria Analítica: um tratamento vetorial, São Paulo: McGraw-Hill, Weir, Maurice D. Cálculo (George B. Thomas), Volume II, São Paulo: Addison Wesley,

67 Apêndice A Retas e Planos - Exemplos Exemplos de retas e planos: Exemplo 42. A interseção dos planos π : 3x 6y 2z 15 = 0 e α : 2x + y 2z 5 = 0 é a reta r : (x,y,z) = (2.8, 1.02, 0.1) + t(14,2,15). Figura A.1: Interseção entre planos. 62

68 Exemplo 43. Três pontos não alinhados pertencentes a um plano. Figura A.2: Pontos pertencentes a um plano. 63

69 Exemplo 44. Interseção entre retas. Essas retas são também ortogonais. Figura A.3: Retas ortogonais. 64

70 Exemplo 45. Reta perpendicular ao plano xoy. O ponto A xoy. Figura A.4: Reta perpendicular ao plano xoy. 65