n. 18 Estudo da reta: ângulo, paralelismo, ortogonalidade, coplanaridade e interseção entre retas Ângulo entre duas retas

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1 n. 18 Estudo da reta: ângulo, paralelismo, ortogonalidade, coplanaridade e interseção entre retas Ângulo entre duas retas Sejam as retas r1, que passa pelo ponto A (x1, y1, z1) e tem a direção de um vetor v 1 = (a1, b1, c1), e r2, que passa pelo ponto A2 (x2, y2, z2) e tem a direção de um vetor v 2 = (a2, b2, c2) Chama-se ângulo de duas retas r1 e r2 o menor ângulo de um vetor diretor de r1 e de um vetor diretor de r2. Logo, sendo θ este ângulo, temse: cos θ = v 1. v 2 v 1 v 2 Em coordenadas: Relembrando: Seno Cosseno Tangente

2 Exercício: 1. Calcular o ângulo entre as retas: x = 3 + t r1: y = t r2: x + 2 = y z = 1 2 t = z 1 R: 60 graus a) Primeiro temos que achar quem são os vetores que definem as direções das retas r1 e r2: v 1 = (1, 1, - 2) e v 2 = ( - 2, 1, 1) Aplicando a fórmula: cos θ = v 1. v 2 v 1 v 2 cos θ = (1,1, 2).( 2,1,1 ) v 1 v 2 Resposta: cos θ = 1 2 = 60 graus

3 Condição de paralelismo de duas retas Para que duas retas r1 e r2 sejam paralelas, o vetor v 1 de r1 deve ser igual a uma variável que multiplica o vetor v 2 de r2. Logo: v 1 = m v 2 ou a 1 a 2 = b 1 b 2 = c 1 c 2 Ou seja, qualquer reta r2, paralela a r1, tem parâmetros diretores (a2, b2, c2), proporcionais aos parâmetros diretores (a1, b1, c1), de r1. Exemplo: 1. Verifique se a reta r1 que passa pelos pontos A1 ( -3, 4, 2) e B1 (5, -2, 4) e a reta r2 que passa pelos pontos A2 ( - 1, 2, -3) e B2 (- 5, 5, - 4) são paralelas. R: São

4 2. Verifique se as retas r1 e r2 são paralelas. R: São y = 2x 3 r 1 : { z = 4x + 5 y = 2x + 1 e r 2 : { z = 4x Resoluções: 1. Verifique se a reta r1 que passa pelos pontos A1 ( -3, 4, 2) e B1 (5, -2, 4) e a reta r2 que passa pelos pontos A2 ( - 1, 2, -3) e B2 (- 5, 5, - 4) são paralelas. A1 B1 = (8, - 6, 2) A2 B2 = (- 4, 3, - 1) 8 = 6 = logo: - 2 = - 2 = -2 R: São 2. Verifique se as retas são paralelas: y = 2x 3 r 1 : { z = 4x + 5 y = 2x + 1 e r 2 : { z = 4x x = y+3 2 e x = z 5 4 Logo, r 1 (1, 2, 4) x = y 1 2 e x = z 4 Logo, r 2 (1, 2, 4) 1 = 2 = = 1= 1 R: São

5 Condição de ortogonalidade entre duas retas Para que duas retas r1 e r2 sejam ortogonais o produto interno/ou escalar entre os vetores deve ser igual a zero. v 1. v 2 = 0 (a1, b1, c1 ). (a2, b2, c2 ) = 0 Ou, a1 a2 + b1 b2 + c1 c2 = 0 Usamos o termo: ortogonal quando as retas não estão no mesmo plano perpendicular quando as retas estão no mesmo plano Exemplo: 1. Dada a reta r: (x1, y1, z1) = (1, 1, 1 ) + t (2, 1, -3) e a reta s: (x2, y2, z2) = (0, 1, 0) + t (-1, 2, 0), verifique se são ortogonais. R: São ortogonais. 2. Sejam as retas t e k, verifique se são ortogonais. t: { x 3 8 y = 3 = z e k: { x 3 = y = z 3 4 R: São ortogonais. Representação: 1.

6 Condição de coplanaridade de duas retas A reta r1, que passa por um ponto A1 (x1, y1, z1) e tem a direção de um vetor v 1 = (a1, b1, c1) e a reta r2, que passa por um ponto A2 (x2, y2, z2) e tem a direção de um vetor v 2 = (a2, b2, c2) são coplanares se os vetores v 1, v 2 e A 1 2 forem coplanares, isto é, se for nulo o produto misto: ( v 1, v 2, A ) 1 2 a 1 b 1 c 1 ( v 1, v 2, A ) 1 2 = a 2 b 2 c 2 = 0 x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1

7 Exemplo: 1. Determine o valor de m para que as retas r1 e r2 sejam coplanares: R: m = 3 y = mx + 2 r 1 : { z = 3x 1 x = t e r 2 : { y = 1 + 2t z = 2t 2. Verifique se as retas r e s são coplanares: r: { x 2 2 = y 3 = z 5 4 e s: { x+ 5 1 = y = z 6 3 R: As retas r e s são coplanares. Resoluções: 1. Determine o valor de m para que as retas r1 e r2 sejam complanares: y = mx + 2 r 1 : { z = 3x 1 x = t e r 2 : { y = 1 + 2t z = 2t r 1 : x = y 2 m e x = z Logo: x = y 2 = z + 1 m 3 Ponto de r 1 : A (0, 2, -1) e v 1 = (1, m, 3) r 2 : Ponto de r 2 : B (0, 1, 0) e v 2 = (1, 2, 2) AB = B A = (0, 1, 0 ) ( 0, 2, -1) = (0, - 1, 1)

8 1 m 3 (v 1, v, 2 ) AB = m 1 2 = (v 1, v, 2 ) AB = m = 0 3 m = 0 m = 3 Para m = -3 as retas são coplanares, ou seja, o produto misto é igual a zero. 2. Verifique se as retas r e s são coplanares: r: { x 2 2 = y 3 = z 5 4 e s: { x+ 5 1 = y = z 6 3 Ponto de r: A (2, 0, 5) e v 1 = (2, 3, 4) Ponto de s: B (- 5, - 3, 6 ) e v 2 = ( 1, 1, 3) AB = B A = (- 5, - 3, 6 ) (2, 0, 5) = (- 7, - 3, 1) (v 1, v, 2 ) AB = = (v 1, v, 2 ) AB = = = 0 R: As retas r e s são coplanares.

9 Intersecção entre retas O ponto de intersecção entre duas retas é o ponto I (x, y, z), tal que suas coordenadas satisfazem o sistema formado pelas equações de r1 e r2, isto é, I (x, y, z) é a solução do sistema. Exemplo: 1. Dadas duas retas r1 e r2 coplanares e não paralelas, logo, são concorrentes, então, calcule o ponto de interseção: y = 3x + 2 r 1 : { z = 3x 1 x = t e r 2 : { y = 1 + 2t z = 2t r 1 : {x = y 2 3 = z e r 2 : { x 1 = y 1 2 v r1 = (1, 3, 3) e v r2 = ( 1, 2, 2) A r1 = (0, 2, 1) e B r2 = (0, 1, 0) = z 2 y = 3x + 2 z = 3x 1 x = t y = 1 + 2t { z = 2t Eliminando t nas 3 últimas equações: x = - t então t = - x Logo, y = 3x + 2 z = 3x 1 x = t y = 1 + 2( x) y = 1 2x { z = 2( x) z = 2x Mas, z = 2 x e z = - 3 x + 2 logo, x = 1

10 Então, z = 2 e y = - 1 Logo, o ponto de interseção é I = (1, -1, 2)

11 2. Calcular o ponto de interseção entre as retas: a. r: { y = 3x 1 z = 2x + 1 e s: { y=4x 2 z=3x b. r: { y = 2x 3 z = 4x 10 e s: {x = y 7 3 = z 12 7 Exercícios resolvidos: 2. Calcular o ponto de interseção entre as retas: a. r: { y = 3x 1 z = 2x + 1 e s: { y=4x 2 z=3x 1) y = 3 x 1 2) z = 2 x + 1 3) y = 4 x - 2 4) z = 3 x Logo, de 1 e 3: 3 x 1 = 4 x 2 x = 1 (5) 5 em 4: z = 3 (1) z = 3 5 em 3: y = 4 (1) - 2 y = 2 O ponto de interseção entre as retas r e s é: I (1, 2, 3) b. r: { y = 2x 3 z = 4x 10 e s: {x = y 7 3 = z 12 7 Achando as reduzidas da reta s: - 3 x = y 7 y = - 3 x x = z 12 z = - 7 x + 12

12 1) y = 2 x 3 2) z = 4 x ) y = - 3 x + 7 4) z = - 7 x + 12 Logo, de 1 e 3: 2 x 3 = - 3 x x = 10 x = 2 (5) 5 em 4: z = - 7 (2) + 12 z = = em 3: y = - 3 (2) + 7 y = 1 O ponto de interseção entre as retas r e s é: I (2, 1, -2) Retomada das equações da reta: Equação geral de uma reta A equação geral é da forma: ax + by + c = 0 Aplicando a regra de Sarrus para obter o discriminante de uma matriz quadrada de ordem 3 x 3, temos que ter no mínimo 2 pares ordenados (x, y) dos possíveis pontos alinhados. Exemplo: Dado um ponto e o vetor diretor da reta. AP = t v AP = P A = (x x 1, y y 1, z z 1 ) v = (a, b, c) x x 1 y y 1 z z 1 a b c 1 1 1

13 Vetorial: P = A + t v (x, y, z) = (x 1, y 1, z 1 ) + t (a, b, c) x = x 1 + a t Paramétricas: y = y 1 + b t { z = z 1 + c t Simétricas: x x 1 a = y y 1 b = z z 1 c Reduzida: 1º achar as equações simétricas, depois deixar y em função de x e z, ou, de acordo com a variável independente indicada. Colinearidade entre três pontos: A 1 2 = m A 1 3 x 1 y 1 z 1 m = x 2 x 1 = y 2 y 1 = z 2 z 1 ou = 0 x 2 y 2 z 2 = 0 x 3 x 1 y 3 y 1 z 3 z 1 x 3 y 3 z 3 Ângulo entre duas retas: cos θ = v 1.v 2 v 1 v 2 Paralelismo entre duas retas: Ortogonalidade entre duas retas: v 1. v 2 = 0 a1 a2 + b1 b2 + c1 c2 = 0 v 1 = m v 2 a 1 a 2 = b 1 b 2 = c 1 c 2

14 Coplanaridade: a 1 b 1 c 1 ( v 1, v 2, A ) 1 2 = a 2 b 2 c 2 = 0 x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1 Coplanaridade entre pontos: A, B, C e D u AB, AC, AD = (u, v, w ) = v = 0 w Interseção entre duas retas: se forem coplanares e não paralelas, logo, são concorrentes em um ponto de interseção. Relembrando: Se r1 e r2 forem paralelas, serão coplanares, logo ( v 1, v 2, A ) 1 2 = 0 Se r1 e r2 não forem paralelas e forem coplanares, então elas são concorrentes Se o determinante de ( v 1, v 2, A ) as retas r1 e r2 são reversas Duas retas no espaço R 3 podem ser: paralelas, concorrentes ou reversas.

15 Duas retas são paralelas se elas não possuem interseção e estão em um mesmo plano. Duas retas são concorrentes se elas têm um ponto em comum. As retas perpendiculares são retas concorrentes que formam entre si um ângulo reto. Duas retas são ditas reversas quando uma não tem interseção com a outra e elas não são paralelas. Isto significa que elas estão em planos diferentes. Referências Bibliográficas BOULOS, P. e CAMARGO, I. de. Geometria analítica: um tratamento vetorial. São Paulo: McGraw- Hill, NUNES, Luiz Fernando. Notas de aula: Matemática 1. Professor do Departamento de Matemática da Universidade Tecnológica Federal do Paraná UTFPR. STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. Geometria analítica. São Paulo: Pearson-Makron Books, VALLADARES, R. J. C. Geometria analítica do plano e do espaço. Rio de Janeiro: LTC, 1990.