SUMÁRIO. Pra começo de conversa
|
|
- Milena Back Barros
- 6 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 SUMÁRIO Pra começo de conversa Introdução aos Vetores Conceitos Básicos O Conceito de Vetor Operações com Vetores Adição de vetores Diferença de Vetores Multiplicação por Escalar Vetores: Um Tratamento Algébrico Vetores no Plano Operações com Vetores Vetores no Espaço Produtos de Vetores Produto Escalar Ângulo entre Vetores Produto Vetorial Produto Misto Retas no Plano e no Espaço Algumas Formas de Escrever a Equação de uma Reta Posições Relativas de Retas
2 4.3 Ângulos entre Retas Distância de Ponto a Reta Planos Equação de um Plano Posições relativas de reta e plano Posições Relativas de Planos Ângulo entre Reta e Plano Ângulo entre Dois Planos Distância de Ponto a Plano Mudança de Coordenadas Coordenadas Polares Coordenadas Cilíndricas Coordenadas Esféricas Rotação e Translação Rotação dos Eixos Coordenados Translação dos Eixos Coordenados Cônicas Introdução Elipse Equação da Elipse com Centro na Origem do Sistema Equação da Elipse com Centro no Ponto O (x 0, y 0 ) Hipérbole Equação da Hipérbole com Centro na Origem Equação da Hipérbole com Centro no Ponto O (x 0, y 0 )
3 7.4 Parábola Equação da Parábola com Vértice na Origem Parábola com Vértice no Ponto V (x 0, y 0 ) Superfícies Quádricas Introdução Elipsoide Hiperboloide de uma Folha Hiperboloide de Duas Folhas Paraboloide Elíptico Paraboloide Hiperbólico Superfície Cônica Superfície Cilíndrica Para Final de Conversa Referências
4
5 Para Começo de Conversa... Prezado(a) Aluno(a): É com muita satisfação que estamos iniciando o estudo da disciplina de Geometria Analítica. Convido cada um de vocês para mergulharmos profundamente nesta disciplina. Todos nós já estudamos de alguma forma a disciplina chamada Geometria Analítica no ensino médio. Aqui, estudaremos a Geometria Analítica com tratamento vetorial. Estamos falando de Geometria Analítica, mas, você saberia dizer o que significa essa expressão? Como ela surgiu? A geometria analítica, se baseia nos estudos da geometria através da utilização da álgebra. Os estudos iniciais estão ligados ao matemático francês, René Descartes ( ), criador do sistema de coordenadas cartesianas. Os estudos relacionados à Geometria Analítica datam seu início no século XVII. Descartes, ao relacionar a Álgebra com a Geometria, criou princípios matemáticos capazes de analisar por métodos geométricos as propriedades do ponto, da reta e da circunferência, determinando distâncias entre eles, localização e pontos de coordenadas. De agora em diante, nosso principal objetivo será de aproveitar essa disciplina da melhor forma possível, a fim de que você possa enriquecer seus conhecimentos, revisando alguns conceitos e conhecendo outros. Para elaboração deste texto, as principais referências utilizadas foram Winterle (2006) e Boulos (1997). Os conteúdos que abordaremos, nesta disciplina, são distribuídos em oito capítulos (ou
6 unidades). O tempo que você terá para cursar essa disciplina será de sessenta dias e você deverá se organizar para estudar os seguintes tópicos: Introdução aos Vetores Vetores: Um Tratamento Algébrico Produtos de Vetores Retas no Plano e no Espaço Planos Mudança de Coordenadas Cônicas Superfícies Quádricas Importante! Procure se organizar e dedicar da melhor forma possível a esta disciplina. Caso você tenha qualquer tipo de dificuldade, procure trocar ideias com o tutor presencial, com o tutor a distância ou com o professor da disciplina. Que cada um de vocês aproveitem o máximo esta disciplina. Bons estudos! Os Autores.
7 capítulo 1 Introdução aos Vetores Objetivo Construir vetores no plano usando as operações vetoriais. 9
8
9 1.1 Conceitos Básicos Quando nós falamos em vetores, geralmente, o que nos vem em mente é uma seta. Mas não podemos ter isso como definição. Tal seta nos transmite uma ideia de deslocamento ou de translação. Basicamente, podemos imaginar um ponto se deslocando de A para B. Essa é a idéia mais simples que um vetor nos transmite. Assim, o deslocamento é retilíneo, nos dando ideia de direção associada a uma reta. A extremidade da seta nos dá ideia de sentido e o comprimento da seta nos mostra, segundo uma unidade, a distância entre os pontos A e B. Note que tal seta que estamos imaginando não é um vetor, mas representa a idéia que um vetor ou uma grandeza vetorial encerra. Vamos iniciar nossa conversa, para atingirmos a definição precisa de vetor. Segundo WINTERLE (2006), uma reta r é orientada quando se fixa nela um sentido de percurso, considerado positivo e indicado por uma seta, como mostra a figura abaixo. O sentido oposto é negativo. Uma reta orientada é denominada eixo. Um segmento orientado é determinado por um par ordenado de pontos; o primeiro chamado origem do segmento, o segundo chamado extremidade. O segmento orientado de origem A e extremidade B será representado por AB e, geometricamente, indicado por uma seta que caracteriza visualmente o sentido do segmento. Um segmento nulo é aquele cuja extremidade coincide com a origem. 11
10 Se AB é um segmento orientado, o segmento orientado BA é oposto de AB. Fixada uma unidade de comprimento, a cada segmento orientado pode-se associar um número real, não negativo, que é a medida do segmento em relação àquela unidade. A medida do segmento orientado é o seu comprimento ou seu módulo. O comprimento do segmento AB é indicado por AB. Assim, o comprimento do segmento AB representado na figura anterior é de 5 unidades de comprimento: AB = 5 u.c Agora, observe que: Os segmentos nulos têm comprimento igual a zero. AB = BA. Dois segmentos orientados não nulos AB e CD têm a mesma direção se as retas suportes desses segmentos são paralelas ou coincidentes. Então, podemos enfatizar que: Só se pode comparar os sentidos de dois segmentos orientados se eles têm mesma direção. Dois segmentos orientados opostos têm sentidos contrários. 12
11 Dois segmentos orientados, AB e CD, são equipolentes quando têm a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento. Dois segmentos nulos são sempre equipolentes. A equipolência dos segmentos AB e CD é representada por AB CD. Propriedades da Equipolência 1. AB AB (reflexiva). 2. Se AB CD, CD AB (simétrica). 3. Se AB CD, CD EF, AB EF (transitiva). 4. Dado um segmento orientado AB e um ponto C, existe um único ponto D tal que AB CD. 1.2 O Conceito de Vetor Definição Vetor determinado por um segmento orientado AB é o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a AB. 13
12 Se indicarmos com v este conjunto, simbolicamente, poderemos escrever: v = XY/XY AB, em que XY é um segmento qualquer do conjunto. O vetor determinado por AB é indicado por AB ou B A ou v. Um mesmo vetor AB é determinado por uma infinidade de segmentos orientados, chamados representantes desse vetor, e todos equipolentes entre si. Assim, um segmento determina um conjunto que é o vetor, e qualquer um destes representantes determina o mesmo vetor. Portanto, com origem em cada ponto do espaço, podemos visualizar um representante de um vetor. Usando um pouco mais nossa capacidade de abstração, se considerarmos todos os infinitos segmentos orientados de origem comum, estaremos caracterizando, através de representantes, a totalidade dos vetores do espaço. Ora, cada um destes segmentos é um representante de um só vetor. Consequentemente, todos os vetores se acham representados naquele conjunto que imaginamos. As características de um vetor v são as mesmas de qualquer um de seus representantes, isto é: o módulo, a direção e o sentido do vetor são o módulo, a direção e o sentido de qualquer um de seus representantes. O módulo de v é denotado por v. Dois vetores AB e CD são iguais, se, e somente se, AB CD. Os segmentos nulos, por serem equipolentes entre si, determinam um único vetor, chamado vetor nulo ou vetor zero, e que é denotado por O. v. Dado um vetor v = AB, o vetor BA é o oposto de AB e se indica por AB ou por Um vetor v é unitário, se v = 1. Definição Versor de um vetor não nulo v é o vetor unitário de mesma direção e mesmo sentido de v. Os vetores u 1 e u 2 da figura são vetores unitários, pois ambos têm módulo 1. No 14
13 entanto, apenas u 1 tem a mesma direção e o mesmo sentido de v. Portanto, este é o versor de v. Dois vetores u e v são colineares, se tiverem a mesma direção. Em outras palavras: u e v são colineares se tiverem representantes AB e CD pertencentes a uma mesma reta ou a retas paralelas. Se os vetores não nulos u, v e w (o número de vetores não importa) possuem representantes AB, CD e EF pertencentes a um mesmo plano π, diz-se que eles são coplanares. Guardemos bem o seguinte: dois vetores u e v quaisquer são sempre coplanares, pois podemos sempre tomar um ponto no espaço e, com origem nele, imaginar os dois re- 15
14 presentantes de u e v pertencendo a um plano π que passa por este ponto.(winterle, 2006). 1.3 Operações com Vetores Adição de vetores Sejam os vetores u e v representados pelos segmentos orientados AB e BC. Os pontos A e C determinam um vetor s que é, por definição, a soma dos vetores u e v, isto é, s = u + v. Propriedades da adição 1. Comutativa: u + v = v + u. 2. Associativa: ( u + v ) + w = u + ( v + w ). 3. Existe um só vetor nulo O tal que para todo o vetor v se tem: v + O = O + v = v. 16
15 4. Qualquer que seja o vetor v, existe um só vetor v (vetor oposto de v ) tal que v + ( v ) = v + v = O Diferença de Vetores Chama-se diferença de dois vetores u e v, e se representa por d = u v, ao vetor u + ( v ). Dados dois vetores u e v, representados pelos segmentos orientados AB e AC, respectivamente, e construído o paralelogramo ABCD, verifica-se que a soma s = u + v é representada pelo segmento orientado AD e que a diferença d = u v é representada pelo segmento orientado CB. Exemplo Dados dois vetores u e v não paralelos, construa, no mesmo gráfico, os vetores u + v, u v, v u e u v, todos com origem em um mesmo ponto. 17
16 1.3.3 Multiplicação por Escalar Dados um vetor v 0 e um número real (ou escalar) k 0, chama-se produto do número real k pelo vetor v o vetor p = k v, tal que: a) módulo: p = k v = k v ; b) direção: a mesma de v ; c) sentido: o mesmo de v, se k > 0, e contrário ao de v, se k < 0 Se k = 0 ou v = 0, o produto é o vetor O. Se k é um escalar não nulo, a notação v /k significa 1/k v. Se v é um vetor não nulo, o vetor v / v é o versor de v. Propriedades da Multiplicação por Escalar Se u e v são vetores quaisquer, e a e b, números reais, temos: 18
17 1. Associativa: a(b v ) = (ab) v. 2. Distributiva em relação à adição de escalares: (a + b) v = a v + b v. 3. Distributiva em relação à adição de vetores: a( u + v ) = a u + a v. 4. Identidade: 1 v = v. Dois vetores não nulos u e v são paralelos, se, e somente se, existe um escalar k tal que u = k v (e, consequentemente, k 0 e v = u /k). Atividade 1. Dados dois vetores u e v não paralelos, construa em uma mesma figura os vetores 2 u + 3 v, 3 u 2 v, v u e todos com origem em um mesmo ponto. 19
18
19 capítulo 2 Vetores: Um Tratamento Algébrico Objetivos Estabelecer a igualdade entre dois vetores; Manipular operações entre vetores; Reconhecer vetores paralelos; Representar vetores no espaço. 21
20
21 2.1 Vetores no Plano Segundo WINTERLE (2006), dados dois vetores v 1 e v 2, não colineares, qualquer vetor v (coplanar com v1 e v 2 ) pode ser decomposto segundo as direções de v 1 e v 2 e cuja soma seja v. Em outras palavras, iremos determinar dois números reais a 1 e a 2 tais que: v = a1 v1 + a 2 v2 (2.1) Quando o vetor v estiver representado por 2.1 dizemos que v é combinação linear de v 1 e v 2. O par de vetores v 1 e v 2, não colineares, é chamado base do plano. Aliás, qualquer conjunto { v 1, v 2 } de vetores não colineares constitui uma base no plano. Os números a 1 e a 2 da representação 2.1 são chamados componentes ou coordenadas de v em relação à base { v 1, v 2 }. O vetor a 1v1 é chamado projeção de v sobre v 1 segundo a direção de v 2. Do mesmo modo, a 2v2 é a projeção de v sobre v 2 segundo a direção de v1. Na prática, as bases mais utilizadas são as bases ortonormais. Uma base { e 1, e 2 } é dita ortonormal se os seus vetores forem ortogonais e unitários, isto é, e 1 e 2 e e 1 = e 2 = 1. Dentre as infinitas bases ortonormais no plano, uma delas é particularmente importante. Trata-se da base que determina o conhecido sistema cartesiano ortogonal xoy. Os 23
22 vetores ortogonais e unitários, neste caso, são simbolizados por i e j, ambos com origem em O e extremidades em (1, 0) e (0, 1), respectivamente, sendo a base C = { i, j } chamada canônica. Portanto, i = (1, 0) e j = (0, 1). Daqui por diante, trataremos somente da base canônica. Dado um vetor v qualquer do plano, existe uma só dupla de números x e y tal que v = x i + y j (2.2) Os números x e y são as componentes de v na base canônica. A primeira componente é chamada abscissa de v e a segunda componente y é a ordenada de v. O vetor v será também representado por v = (x, y) (2.3) dispensando-se a referência à base canônica C. 24
23 A igualdade anterior é chamado expressão analítica de v. Para exemplificar, veja alguns vetores e suas correspondentes expressões analíticas: 3 i 5 j = (3, 5) 3 j = (0, 3) 4 i = ( 4, 0) Parece óbvio o que se segue, mas a definição de igualdade de vetores é fundamental para continuarmos o estudo de Geometria Analítica.(WINTERLE,2006). Dois vetores u = (x 1, y 1 ) e v = (x 2, y 2 ) são iguais se, e somente se, x 1 = x 2 e y 1 = y 2, escrevendo-se u = v. Exemplo O vetor u = (x + 1, 4) é igual ao vetor v = (5, 2y 6) se x + 1 = 5 e 2y 6 = 4. Assim, se u = v, então x = 4, y = 5 e u = v = (5, 4). Atividade Considere os vetores u = (m + 2n, n 7) e v = (4 m, n + m + 9). Existem valores de m e n de modo que u = v? 2.2 Operações com Vetores Você deve ter notado que já estudamos operações entre vetores. Por que então, tudo isso novamente? A questão é que estudamos operações entre vetores do ponto de vista geométrico. Agora daremos um enfoque algébrico para o que fizemos anteriormente. Sejam os vetores u = (x 1, y 1 ) e v = (x 2, y 2 ) e α R. Define-se: 25
24 1. u + v = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) 2. α u = (αx 1, αx 2 ) Portanto, para somar dois vetores, somam-se as correspondentes coordenadas, e para multiplicar um número real por um vetor, multiplica-se cada componente do vetor por este número. Exemplo Determinar o vetor w na igualdade 3 w + 2 u = 1 2 v + w, sendo dados u = (3, 1) e v = ( 2, 4). A equação pode ser resolvida como uma equação numérica: 6 w + 4 u = v + 2 w = 6 w 2 w = v 4 u = 4 w = v 4 u = 1 w = v u 4 Substituindo u e v na equação acima, vem 1 w = 4 ( 2, 4) (3, 1) = w = ( 1 4, 1) (3, 1) = w = ( 1 + ( 3), 1 + 1) = 2 7 w = ( 2, 2) Vamos considerar agora o vetor AB de origem no ponto A(x 1, y 1 ) e extremidade em B(x 2, y 2 ). 26
25 Os vetores OA e OB têm expressões analíticas OA = (x1, y 1 ) e OB = (x2, y 2 ). Por outro lado, do triângulo OAB da figura, vem OA + AB = OB em que AB = OB OA ou AB = (x 2, y 2 ) (x 1, y 1 ) e AB = (x 2 x 1, y 2 y 1 ) isto é, as componentes de AB são obtidas subtraindo-se das coordenadas da extremidade B as coordenadas da origem A, razão pela qual também se escreve AB = B A. É importante lembrar que um vetor tem infinitos representantes que são os segmentos orientados de mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido. E, dentre os infinitos representantes do vetor AB, o que melhor o caracteriza é aquele que tem origem em O(0, 0) e extremidade em P = (x 2 x 1, y 2 y 1 ). O vetor v = AB é também chamado vetor posição ou representante natural de AB. Por outro lado, sempre que tivermos v = AB ou v = B A podemos também concluir que B = A + v ou B = A + AB, isto é, o vetor v transporta o ponto inicial A para o ponto extremo B. Exemplo Dados os pontos A( 1, 2), B(3, 1) e C( 2, 4), determinar o ponto D de modo que 1 CD = AB. 2 Seja D(x, y). Então, CD = D C = (x, y) ( 2, 4) = (x + 2, y 4) e AB = B A = 27
26 (3, 1) ( 1, 2) = (4, 3). Logo, (x + 2, y 4) = 1 3 (4, 3) (x + 2, y 4) = (2, 2 2 ) Da igualdade anterior concluimos que x + 2 = 2 y 4 = 3 2 Portanto, D(0, 5 2 ). Para você Refletir: Pense outra forma de resolver este exercício. Vimos anteriormente, como determinar o vetor definido por dois pontos. Considere agora o segmento de extremos A(x 1, y 1 ) e B(x 2, y 2 ). Sendo M(x, y) o ponto médio de AB, podemos expressar de forma vetorial como AM = MB ou (x x 1, y y 1 ) = (x 2 x, y 2 y) e daí x x 1 = x 2 x e y y 1 = y 2 y). Com isso, temos M( x 1 + x 2 2, y 1 + y 2 ) 2 28
27 Exemplo Observe que o ponto médio do segmento de extremos A( 2, 3) e B(6, 2) é M( 2 + 6, ) ou M(2, 5 2 ) Você se lembra da definição de vetores paralelos? Pois bem, vamos voltar nesse assunto, mas agora, com a abordagem algébrica. Dois vetores são paralelos se existe um número real α tal que u = α v, ou seja, (x 1, y 1 ) = α(x 2, y 2 ) que pela condição de igualdade resulta em x 1 = αx 2 e y 1 = αy 2 donde x 1 x 2 = y 1 y 2 (= α) Esta é a condição de paralelismo de dois vetores, isto é, dois vetores são paralelos quando suas componentes forem proporcionais. Exemplo Os vetores u = ( 2, 3) e v = ( 4, 6) são paralelos pois 2 4 = 3 6. Atividades 1. Dados os vetores u = (3, 1) e v = ( 1, 2), obtenha o vetor w tal que 3 w (2 v u ) = 2(4 w 3 u ). 2. Dados os pontos A( 1, 3), B(1, 0) e C(2, 1), determine o ponto D de modo que DC = BA. 29
28 2.3 Vetores no Espaço Vamos refletir um pouco sobre o que vimos até agora. Iniciamos nossa disciplina dando aos vetores um tratamento geométrico. Em seguida, vimos que todo vetor de um plano possui uma representação em termos da chamada base canônina. Ou seja, passamos a manipular os vetores do ponto de vista algébrico. Uma questão fundamental, é que tudo o que fizemos para vetores em um plano se estende de maneira natural para vetores do espaço, bastanto para isso fazer algumas adptações. No espaço, de forma análoga, consideraremos a base canônica { i, j, k }, onde estes três vetores unitários e dois a dois ortogonais estão representados com origem no ponto O. Este ponto e a direção de cada um dos vetores da base determinam os três eixos cartesianos: o eixo Ox ou eixo dos x (das abscissas) corresponde ao vetor i, o eixo Oy ou eixo dos y (das ordenadas) corresponde ao vetor j e o eixo Oz ou eixo dos z (das cotas) corresponde ao vetor k. As setas nessa figura indicam o sentido positivo de cada eixo, chamado também de eixo coordenado. Cada dupla de vetores de base, e, consequentemente, cada dupla de eixos, determina um plano coordenado. Portanto, temos três planos coordenados: o plano xoy ou xy, o plano xoz ou xz e o plano yoz ou yz. As figuras a seguir dão uma idéia dos planos xy e 30
29 xz, respectivamente. Assim como no plano, a cada ponto P (x, y, z) do espaço irá corresponder o vetor OP = x i + y j + z k, isto é, as próprias coordenadas x, y e z do ponto P são as componentes do vetor OP na base canônica. As coordenadas x, y e z são denominadas abscissa, ordenada e cota, respectivamente. O vetor OP = v = x i + y j + z k também será expresso por OP = v = (x, y, z). Tomemos o paralelepípedo da figura: Com base nesta figura, temos: a) A(2, 0, 0) - um ponto P (x, y, z) está no eixo dos x, quando y = 0 e z = 0; b) C(0, 4, 0) - um ponto está no eixo dos y, quando x = 0 e z = 0; 31
30 c) E(0, 0, 3) - um ponto está no eixo dos z, quando x = 0 e y = 0; d) B(2, 4, 0) - um ponto está no eixo dos xy quando z = 0; e) F (2, 0, 3) - um ponto está no eixo dos xz, quando y = 0; f) D(0, 4, 3) - um ponto está no eixo dos yz, quando x = 0. O ponto B é a projeção de P no plano xy, assim D e F são as projeções de P nos planos yz e xz, respectivamente. O ponto A(2, 0, 0) é a projeção de P (2, 4, 3) no eixo dos x, assim como C(0, 4, 0) e E(0, 0, 3) são as projeções de P nos eixos dos y e dos z, respectivamente. Como todos os pontos da face a) P DEF distam 3 unidades do plano xy e estão acima dele, são pontos de cota z = 3, isto é, são pontos do tipo (x, y, 3); b) P BCD distam 4 unidades do plano xz e estão à direita dele, são pontos de ordenada y = 4, isto é, são pontos do tipo (x, 4, z); c) P F AB distam 2 unidades do plano yz e estão à frente dele, são pontos de abscissa x = 2, isto é, são pontos do tipo (2, y, z). Ao desejarmos marcar um ponto no espaço, digamos A(3, 2, 4), procedemos assim: 1 o ) Marca-se o ponto A (3, 2) no plano xy; 2 o ) Desloca-se A paralelamente ao eixo dos z, 4 unidades para cima (se fosse 4 seriam 4 unidades para baixo) para obter o ponto A. 32
31 Atividades 1. Considere os seguintes pontos: A(4, 0, 1), B(5, 1, 3), C(3, 2, 5) e D(2, 1, 3). Represente cada um desses pontos no sistema cartesiano. Utilize o que aprendermos anteriormente, para demonstrar que esses pontos são vértices de um paralelogramo.( Lembre da definição de paralelogramo!). 2. Obtenha os valores de a e b de modo que os vetores u = (4, 1, 3) e v = (6, a, b) sejam paralelos. 33
32
33 capítulo 3 Produtos de Vetores Objetivos Calcular a norma de um vetor a partir de sua expressão analítica; Calcular o ângulo formado entre dois vetores; Determinar o vetor projeção; Calcular o produto vetorial entre dois vetores; Utilizar o produto vetorial para calcular a área de um paralelogramo; Reconhecer vetores coplanares com o uso do produto misto. 35
34
35 3.1 Produto Escalar Definição Chama-se produto escalar ou produto interno de dois vetores u = x 1 i + y1 j + z1 k e v = x2 i + y2 j + z2 k, e se representa por u v, ao número real u v = x1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2. v. O produto escalar de u por v também é denotado por < u, v > e se lê u escalar Exemplo Dados os vetores u = 3 i 5 j + 8 k e v = 4 i 2 j k, tem-se: u v = 3(4) 5( 2) + 8( 1) = = 14. Definição Módulo ou norma de um vetor v,denotado por v é o número real não negativo Caso v = (x, y), teremos v = v. v ou ainda v = (x, y).(x, y) v = x 2 + y 2 Apartir de cada vetor v não nulo é possível obter um vetor unitário u fazendo 37
36 u = v v Vamos agora explorarmos algumas propriedades básicas do produto escalar. Para quaisquer vetores u, v e w e o número real α, é fácil verificar que: 1. u v = v u 2. u ( v + w ) = u v + u w e ( u + v ) w = u w + v w 3. α( u v ) = (α u ) v = u (α v ) 4. u u > 0 se u 0 e u u = 0, se u = 0 = (0, 0, 0) 5. u u = u Ângulo entre Vetores Definição O ângulo de dois vetores não nulos u e v é o ângulo θ formado pelas semiretas OA e OB e tal que 0 θ π. A ideia, agora, é estabelecermos uma maneira de calcular o ângulo formado entre dois vetores, a partir de suas componentes. Aplicando a lei dos cossenos ao triângulo ABC da 38
37 figura abaixo, temos u v 2 = u 2 + v 2 2 u v cos θ (3.1) Por outro lado, tem-se: u v 2 = u 2 + v 2 2 u v (3.2) Comparando as igualdades 3.1 e 3.2 resulta em: u 2 + v 2 2 u v = u 2 + v 2 2 u v cosθ e daí, u v = u v cos θ, (3.3) para 0 o θ 180 o. Conclusão: O produto escalar de dois vetores não nulos é igual ao produto de seus módulos pelo cosseno do ângulo por eles formado. Exemplo Calcule o ângulo entre os vetores u = (1, 1, 4) e v = ( 1, 2, 2). u v cos θ = u (1, 1, 4) ( 1, 2, 2) = = = v = 1 = 1 2 = Como cos θ = 2 concluimos que θ = π radianos. 4 Agora, vamos questionar o seguinte fato: O que ocorre com a relação 3.3 caso u v = 0? Podemos verificar que neste caso cos θ deve ser igual a zero, isto é, cos θ = 0, o que implica θ = 90 o, ou seja, θ é ângulo reto
38 Assim, podemos afirmar que dois vetores são ortogonais se, e somente se, o produto escalar deles é nulo, isto é, se: u v = 0 e esses vetores serão denotados por u v (lê-se vetor u ortogonal ao vetor v ). Exemplo Verifique que u = ( 2, 3 2) é ortogonal a v = ( 1, 2, 4). u v = 2( 1) + 3(2) + ( 2)4 = = 0 Portanto u v. Vamos discutir agora a questão da projeção vetorial. Mas o que vem a ser isso? Considere os vetores u e v não nulos e θ o ângulo entre eles. Pretendemos decompor um dos vetores, digamos v, tal que v = v 1 + v 2 sendo v 1 // u e v 2 u. A figura a seguir ilustra as duas situações possíveis, podendo ser θ um ângulo agudo ou obtuso. O vetor v 1 é chamado projeção ortogonal de v sobre u e denotado por v 1 = proj u v. (3.4) 40
39 Ora, sendo v 1 // u, temos v 1 = α u e como v 2 = v v 1 = v α u é ortogonal a u, vem ou e α = ( v α u ) u = 0 v u α u u = 0 v u u u. Portanto, sendo v 1 = α u, por 3.4 conclui-se que proj u v = ( v u u u ) u (3.5) Exemplo Determine o vetor projeção de u = (2, 3, 4) sobre v = (1, 1, 0). u v proj v u = ( v ) (2, 3, 4) (1, 1, 0) v = ( )(1, 1, 0) = (2 v (1, 1, 0) (1, 1, 0) )(1, 1, 0) = 1 (1, 1, 0) 2 Atividades 1. Mostre que u + u = u 2 +2 u v + u Determine o valor de n para que o vetor u = (n, 2, 4 ) seja unitário Calcule o perímetro do triângulo de vértices A(0, 1, 2), B( 1, 0, 1) e C(2, 1, 0). 4. Determine os ângulos do triângulo de vértices A(2, 1, 3), B(1, 0, 1) e C( 1, 2, 1). 5. Determine o vetor projeção do vetor u (1, 2, 3) na direção de v = (2, 1, 2). 41
40 3.3 Produto Vetorial Faremos algumas considerações importantes antes de definirmos produto vetorial: O produto vetorial é um vetor, ao contrário do produto escalar u v que é um escalar (número real); Para simplicidade do cálculo do produto vetorial, faremos uso de determinantes; Algumas propriedades dos determinantes serão utilizadas nesta seção: a) a permutação de duas linhas de uma matriz inverte o sinal do determinante associado a essa matriz; b) se duas linhas de uma matriz forem constituídas de elementos proporcionais, seu determinante é igual a zero(duas linhas iguais é um caso particular). c) se uma das linhas de uma matriz for constituída de zeros, o determinante é igual a zero. O determinante associado a uma matriz de ordem 3 pode ser dado por det a b c x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 = det y 1 z 1 a det x 1 z 1 b + det y 2 z 2 x 2 z 2 x 1 y 1 x 2 y 2 c A expressão da direita é conhecida como desenvolvimento do determinante pelo Teorema de Laplace aplicado à primeira linha. 42
41 Definição Chama-se produto vetorial de dois vetores u = x 1 i + y1 j + z1 k e v = x 2 i + y2 j + z2 k, tomados nesta ordem, e se representa por u v, ao vetor u v = det y 1 z 1 i det x 1 z 1 j + det x 1 y 1 k (3.6) y 2 z 2 x 2 z 2 x 2 y 2 v. O produto vetorial de u por v também é denotado por u v e lê-se u vetorial Observemos que a definição de u v dada em 3.6 pode ser obtida do desenvolvimento segundo o Teorema de Laplace (item d acima) substituindo-se a, b e c pelo vetores unitários i, j e k, fato que sugere a notação u v = det i j k x 1 y 1 z 1 (3.7) x 2 y 2 z 2 Atenção: O símbolo à direita de 3.7 não é um determinante, pois a primeira linha contém vetores em vez de escalares. No entanto, usaremos esta notação pela facilidade de memorização que ela propicia no cálculo do produto vetorial. Exemplo Calcular u v para u = 5 i + 4 j + 3 k e v = i + k. i j k det = det 4 3 i det 5 3 j + det 5 4 k = (4 0) i (5 3) j + (0 4) k = 4 i 2 j 4 k Agora, conforme fizemos com o produto escalar, vamos discutir algumas propriedades do produto vetorial. 43
42 Levando-se em conta as considerações feitas sobre as propriedades dos determinantes, concluímos de imediato que: 1. v u = ( u v ), isto é, os vetores v u e u v são opostos, pois a troca de ordem dos vetores no produto vetorial u v implica troca de sinal de todos os determinantes de ordem 2, ou seja, troca de sinal de todas as suas componentes. 2. u v = 0 se, e somente se, u // v, pois neste caso, todos os determinantes de ordem 2 têm suas linhas constituídas por elementos proporcionais. Estão aí também incluídos os casos particulares: I) u u = 0 (determinantes de ordem 2 com linhas iguais) II) u 0 = 0 (determinantes de ordem 2 com uma linha de zeros) Características do vetor u v Consideremos os vetores u = (x 1, y 1, z 1 ) e v = (x 2, y 2, z 2 ) a) Direção de u v O vetor u v é simultaneamente ortogonal a u e v. b) Sentido de u v O sentido de u v poderá ser determinado utilizando-se a regra da mão direita. Sendo θ o ângulo entre u e v, suponhamos que u (1 o vetor) sofra uma rotação de ângulo θ até coincidir com v. Se os dedos da mão direita forem dobrados na mesma direção da rotação, então o polegar estendido indicará o sentido de u v. A figura acima (b) mostra que o produto vetorial muda de sentido quando a ordem dos vetores é invertida. Observemos que só será possível dobrar os dedos na direção de v para u se invertermos a posição da mão, quando então o dedo polegar estará apontando para baixo. 44
43 c) Comprimento de u v Se θ é o ângulo entre os vetores u e v não-nulos, então u v = u v sen θ. Proposição O módulo do produto vetorial dos vetores u e v mede a área do paralelogramo ABCD determinado pelos vetores u = AB e v = AC Demonstração. De fato a área ABCD = u h = u v sin θ = u v sin θ Usando o fato que segue o resultado. u v = u v sin θ Atividades 1. Considere os vetores u = (2, 1, 1), v = (1, 1, 0) e w = ( 1, 2, 2). Calcule: v w, ( v + u ) w. 2. Calcule a área do paralelogramo definido pelos vetores u = (3, 1, 2) e v = (4, 1, 0). 45
44 3.4 Produto Misto Definição Chama-se produto misto dos vetores u = x 1 i + y1 j + z1 k, v = x 2 i + y2 j + z2 k e w = x3 i + y3 j + z3 k, tomados nesta ordem, ao número real u ( v w ). O produto misto de u, v e w também pode ser denotado por ( u, v, w ). Tendo em vista que i j k v w = det x 2 y 2 z 2 = det y 2 z 2 i det x 2 z 2 j +det y 3 z 3 x 3 z 3 x 3 y 3 z 3 vem u ( v w ) = x1 det y 1 z 1 y 1 det x 1 z 1 + z 1 det y 2 z 2 x 2 z 2 x 1 y 1 x 2 y 2 x 2 y 2 x 3 y 3 k e, portanto, u ( v w ) = det x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 (3.8) x 3 y 3 z 3 Exemplo Calcular o produto misto dos vetores u = 2 i + 3 j + 5 k, v = i + 3 j + 3 k e w = 4 i 3 j + 2 k. u ( v w ) = det = 27 46
45 Vejamos agora algumas propriedades do produto misto. 1. O produto misto ( u, v, w ) muda de sinal ao trocarmos a posição de dois vetores. Então, se em relação ao produto misto ( u, v, w ) ocorrer a) uma permutação - haverá troca de sinal; b) duas permutações - não altera o valor. Resulta desta propriedade que os sinais e podem ser permutados, isto é, u ( v w ) = ( u v ) w. 2. ( u + x, v, w ) = ( u, v, w ) + ( x, v, w ) ( u, v + x, w ) = ( u, v, w ) + ( u, x, w ) ( u, v, w + x ) = ( u, v, w ) + ( u, v, x ) 3. (α u, v, w ) = ( u, α v, w ) = ( u, v, α w ) = α( u, v, w ) 4. ( u, v, w ) = 0 se, e somente se, os três vetores forem coplanares. Exemplo Verificar se são coplanares os vetores u = (2, 1, 1), v = (1, 0, 1) e w = (2, 1, 4). ( u, v, w ) = det = 3 0 Portanto, os vetores não são coplanares. 47
46 Exemplo Qual deve ser o valor de m para que os vetores u = (2, m, 0), v = (1, 1, 2) e w = ( 1, 3, 1) sejam coplanares? 2 m 0 Devemos ter ( u, v, w ) = 0, isto é, det e, portanto, m = 10. = 0 ou 2 2m 12+m = 0 Exemplo Verifique se os pontos A(1, 2, 4), B( 1, 0, 2), C(0, 2, 2) e D( 2, 1, 3) estão no mesmo plano. Os quatro pontos dados são coplanares se forem coplanares os vetores AB, AC e AD, e para tanto, deve-se ter ( AB, AC, AD) = 0. Como ( AB, AC, AD) = = 0 Portanto os pontos A, B, C e D são coplanares. Atividades 1. Verifique se os vetores u = (3, 1, 2), v = (1, 2, 1) e w = ( 2, 3, 4) são coplanares. 2. Para que valores de a os pontos A(a, 1, 2), B(2, 2, 3), C(5, 1, 1) e D(3, 2, 2) são coplanares? 48
47 capítulo 4 Retas no Plano e no Espaço Objetivos Identificar as diferentes formas de escrever a equação de uma reta; Calcular o ângulo formado por duas retas; Reconhecer a posição relativa de duas retas; Calcular a distância de um ponto a uma reta. 49
48
49 4.1 Algumas Formas de Escrever a Equação de uma Reta Consideremos um ponto A(x 1, y 1, z 1 ) e um vetor não nulo v = (a, b, c). Só existe uma reta r que passa por A e tem a direção de v. Um ponto P (x, y, z) pertence a r se, e somente se, o vetor AP é paralelo a v, isto é, para algum real t. AP = t v (4.1) De 4.1, vem P A = t v ou P = A + t v (4.2) ou, em coordenadas (x, y, z) = (x 1, y 1, z 1 ) + t(a, b, c) (4.3) Qualquer uma das equações 4.1, 4.2 ou 4.3 é denominada equação vetorial de r. O vetor v é chamado vetor diretor da reta r e t é denominado parâmetro. 51
50 Exemplo Determine a equação vetorial da reta r que passa pelo ponto A(3, 0, 5) e tem a direção do vetor v = 2 i + 2 j k. Seja P (x, y, z) um ponto genérico dessa reta, tem-se P = A + t v, isto é, (x, y, z) = (3, 0, 5) + t(2, 2, 1). Quando t varia de a +, P descreve a reta r. Assim, se t = 2, por exemplo: (x, y, z) = (3, 0, 5)+t(2, 2, 1) = (x, y, z) = (3, 0, 5)+(4, 4, 2) = (x, y, z) = (7, 4, 7) O ponto P (7, 4, 7) é um ponto da reta r. Reciprocamente, a cada ponto P r corresponde um número real t. Por exemplo, sabe-se que o ponto P (7, 4, 7) pertence à reta r : (x, y, z) = (3, 0, 5) + t(2, 2, 1), logo, é verdadeira a afirmação: (7, 4, 7) = (3, 0, 5) + t(2, 2, 1), para algum número real t. Dessa igualdade, vem: t(2, 2, 1) = (7, 4, 7) (3, 0, 5) = t(2, 2, 1) = (4, 4, 2) = (2t, 2t, 1t) = (4, 4, 2) Da definição de igualdade de vetores, vem: t = 2. Vamos agora apresentar uma outra maneira de escrever as equações de uma reta. Da equação vetorial da reta (x, y, z) = (x 1, y 1, z 1 ) + t(a, b, c) ou ainda (x, y, z) = (x 1 + at, y 1 + bt, z 1 + ct), pela condição de igualdade, obtém-se x = y = x 1 + at y 1 + bt (4.4) z = z 1 + ct As equações são chamadas equações paramétricas da reta. 52
51 Exemplo Dados o ponto A(2, 3, 4) e o vetor v = (1, 2, 3), pede-se: a) Escrever equações paramétricas da reta r que passa por A e tem direção de v. b) Encontrar o ponto B de r de parâmetro t = 1. c) Determinar o ponto de r cuja abscissa é 4. d) Verificar se os pontos D(4, 1, 2) e E(5, 4, 3) pertencem a r. a) De acordo com a forma paramétrica da reta temos imediatamente: r : x = y = z = 2 + t 3 2t 4 + 3t b) Das equações acima tem-se para t = 1: x = 2 + (1) = 3 y = 3 2(1) = 1 z = 4 + 3(1) = 1 Portanto, B(3, 1, 1) r c) Como o ponto tem abscissa 4 (x = 4), temos y = 3 2(2) = 1 4 = 2 + t (1 o equação de r) e, portanto,t = 2. Como t = 2,= z = 4 + 3(2) = 2 O ponto procurado é (4, 1, 2). d) Um ponto pertence à reta r se existe um real t que satisfaz as equações de r. 53
52 Para D(4, 1, 2) as equações 4 = 2 + t 1 = 3 2t 2 = 4 + 3t se verificam para t = 2 e, portanto, D r. Vamos pensar o seguinte fato: Dados dois pontos, por exemplo, no espaço, como determinar as equações paramétricas da reta que passa por esses pontos? Observe que a reta definida pelos pontos A e B é a reta que passa por A (ou B) e tem direção do vetor v = AB. Vejamos um exemplo. 0,3cm Exemplo Escrever equações paramétricas da reta r que passa por A(3, 1, 2) e B(1, 2, 4). Escolhendo o ponto A e o vetor v = AB = B A = ( 2, 3, 6), tem-se r : Das equações paramétricas x = x 1 + at y = y 1 + bt z = z 1 + ct x = y = z = 3 2t 1 + 3t 2 + 6t supondo abc 0, vem t = x x 1 a t = y y 1 b t = z z 1 c Como para cada ponto da reta corresponde um só valor para t, obtemos as igualdades x x 1 a = y y 1 b = z z 1 c (4.5) 54
53 As equações 4.5 são denominadas equações simétricas da reta que passa pelo ponto A(x 1, y 1, z 1 ) e tem a direção do vetor v = (a, b, c). Exemplo A reta que passa pelo ponto A(3, 0, 5) e tem a direção do vetor v = (2, 2, 1), tem equações simétricas x 3 = y 2 2 = z Se desejarmos obter outros pontos da reta, basta atribuir um valor qualquer a uma das variáveis. Por exemplo, para x = 5, tem-se 5 3 = 1 = y 2 2 = z + 5 onde y = 2 e z = 6 1 e, portanto, o ponto (5, 2, 6) pertence à reta. Consideremos agora a seguinte situação Seja a reta r definida pelo ponto A(2, 4, 3) e pelo vetor diretor v = (1, 2, 3) e expressa pelas equações simétricas r : x 2 1 = y 4 2 = z (4.6) A partir destas equações pode-se expressar duas variáveis em função da terceira. Isolando, primeiramente, as variáveis y e z e expressando-as em função de x, obtém-se x 2 1 = y x 2 1 = z (y + 4) = 2(x 2) 1(z + 3) = 3(x 2) y + 4 = 2x 4 z + 3 = 3x + 6 (4.7) y = 2x 8 z = 3x + 3 Estas duas últimas equações são equações reduzidas da reta r, na variável x. Observações a) É fácil verificar que todo ponto P r é do tipo P (x, 2x 8, 3x + 3), onde x pode assumir um valor qualquer. Por exemplo, para x = 3 tem-se o ponto P 1 (3, 2, 6) r. 55
54 y = b) Equações reduzidas na variável x serão sempre da forma z = c) A partir das equações 4.6, pode-se obter as equações x = 1 2 y + 4 z = 3 (equações reduzidas na variável y) 2 y 9 ou x = 1 3 z + 1 y = 2 (equações reduzidas na variável z). 3 z 6 mx + n px + q d) A reta r das equações 4.6 pode ser representada pelas equações paramétricas x = 2 + t y = 4 + 2t z = 3 3t Da primeira equação obtém-se t = x 2 que, substituindo nas outras duas as transforma em y = 4 + 2(x 2) = 2x 8 z = 3 3(x 2) = 3x + 3 que são as equações reduzidas de 4.7. e) Para encontrar um vetor diretor da reta y = 2x 8 r : z = 3x + 3 uma das formas é determinar dois pontos A e B de r e, posteriormente, encontrar o vetor AB = B A. Por exemplo, para x = 0, obtém-se o ponto A(0, 8, 3) e para x = 1, obtém-se o ponto B(1, 6, 0). Logo, AB = (1, 2, 3) é um vetor diretor de r. Atividades 1. Verifique se os pontos P 1 (5, 5, 6) e P 2 (4, 1, 12) pertencem à reta r : x 3 1 = y = z
55 2. O ponto P (2, y, z) pertence à reta determinada por A(3, 1, 4) e B(4, 3, 1). Calcule P. 3. Determine as equações reduzidas, com variável independente x, da reta que passa pelo ponto A(4, 0, 3) e tem a direção do vetor v = 2 i + 4 j + 5 k. x = 2t 4. Cite um ponto e um vetor diretor da reta r : y = 1. z = 2 t 5. Determine a equação da reta que passa por A(1, 2, 4) e é paralela ao eixo dos x. 4.2 Posições Relativas de Retas Duas retas r 1 e r 2, no espaço, podem ser: a) concorrentes, isto é, situadas no mesmo plano. Nesse caso, as retas poderão ser: (a) concorrentes: r 1 r 2 = {P } (P é o ponto de intersecção das retas r 1 e r 2 ; (b) paralelas: r 1 r 2 = ( é o conjunto vazio) 57
56 A condição de paralelismo das retas r 1 e r 2 é a mesma dos vetores v 1 = (a 1, b 1, c 1 ) e v = (a 2, b 2, c 2 ), que definem as direções dessas retas, isto é: v1 = m v 2 ou a 1 a 2 = b 1 b 2 = c 1 c 2 (O caso de serem r 1 e r 2 coincidentes pode ser considerado como um caso particular de paralelismo). b) reversas, isto é, não situadas no mesmo plano. Nesse caso: r 1 r 2 = Observações A igualdade ( v 1, v 2, A 1 A 2 ) = 0 é a condição de coplanaridade de duas retas r 1 e r 2 que passam, respectivamente, pelos pontos A 1 e A 2, e tem por vetores diretores os vetores v 1 e v 2 : a) se r 1 e r 2 forem paralelas, serão coplanares, isto é, ( v 1, v 2, A 1 A 2 ) = 0, pois duas linhas do determinante utilizado para calcular ( v 1, v 2, A 1 A 2 ) apresentam elementos proporcionais v 1 = k v 2. b) se r 1 e r 2 não forem paralelas, a igualdade ( v 1, v 2, A 1 A 2 ) = 0 exprime a condição de concorrência dessas retas. c) se o determinante utilizado para calcular ( v 1, v 2, A 1 A 2 ) for diferente de zero, as retas r 1 e r 2 são reversas. 58
57 Exemplo Estude a posição relativa das retas: x = y = 2x 3 r 1 : e r 2 : y = z = x z = 1 3t 4 6t 3t São vetores diretores de r 1 e r 2 : v1 = (1, 2, 1) e v 2 = ( 3, 6, 3). Como v 2 = 3 v 1, as retas r 1 e r 2 são paralelas e não coincidentes (basta ver que o ponto A 1 (0, 3, 0) r 1 e A 1 (0, 3, 0) r 2. Exemplo Estude a posição relativa das retas x = r 1 : x 2 = y 2 3 = z 5 e r 2 : y = 4 z = 5 + t 2 t 7 2t As retas não são paralelas pois: Calculemos o produto misto ( v 1, v 2, A 1 A 2 ) para A 1 (2, 0, 5) e A 2 (5, 2, 7): ( v 1, v 2, A 1 A 2 ) = = 0 o que significa que as retas r 1 e r 2 são concorrentes (se o determinante fosse diferente de zero, as retas seriam reversas). Conhecidas as equações de duas retas, podemos determinar o seu ponto de intersecção. Duas retas r 1 e r 2 coplanares e não paralelas são concorrentes. Consideremos as retas: x = t y = 3x + 2 r 1 : e r 2 : y = 1 + 2t z = 3x 1 z = 2t 59
58 e determinemos o seu ponto de intersecção. Se I(x, y, z) é este ponto, suas coordenadas satisfazem o sistema formado pelas equações de r 1 e r 2, isto é, I(x, y, z) é a solução do sistema: y = 3x + 2 z = 3x 1 x = y = z = t 1 + 2t 2t Eliminando t nas três últimas equações, temos o sistema equivalente y = 3x + 2 z = 3x 1 y = z = 1 2x 2x Resolvendo o sistema, encontramos: x = 1 y = z = 2 Logo, o ponto de intersecção das retas r 1 e r 2 é: I(1, 1, 2) Ângulos entre Retas Sejam as retas r 1, que passa pelo ponto A 1 (x 1, y 1, z 1 ) e tem direção de um vetor v1 = (a 1, b 1, c 1 ), e r 2, que passa pelo ponto A 2 (x 2, y 2, z 2 ) e tem direção de um vetor v2 = (a 2, b 2, c 2 ). 60
59 Definição Chama-se ângulo de duas retas r 1 e r 2 o menor ângulo de um vetor diretor de r 1 e de um vetor diretor de r 2. Logo, sendo θ este ângulo, tem-se cos θ = v 1 v 2 v 1 v 2, com 0 θ π 2 (4.8) ou, em coordenadas: cos θ = a 1 a 2 + b 1 b 2 + c 1 c 2 a b c 2 1 a b c 2 2 Observação Na figura, o ângulo α é suplementar de θ e, portanto, cos α = cos θ. O ângulo α é o ângulo formado por v 1 e v 2 ou v 1 e v 2. Exemplo Calcular o ângulo entre as retas x = 3 + t r 1 : y = t e r 2 : x = y 3 = z 1 1 z = 1 2t Os vetores que definem as direções das retas r 1 e r 2 são, respectivamente: v1 = (1, 1, 2) e v 2 = ( 2, 1, 1). Logo, temos cos θ = v 1 v 2 v 1 v 2 = (1, 1, 2) ( 2, 1, 1) ( 2) 2 ( 2)
60 cos θ = = 3 = = 1 2 Observemos que duas retas r 1 e r 2 com as direções de v 1 e v 2, respectivamente, são ortogonais se: r 1 r 2 v 1 v 2 = 0 Duas retas ortogonais podem ser concorrentes ou não. Na figura anterior, as retas r 1 e r 2 são ortogonais a r, porém, r 2 e r são concorrentes. Nesse caso, diz-se que são perpendiculares. Exemplo Verifique se as retas y = 2x + 1 r 1 : z = 4x e r 2 : x = y = z = 3 2t 4 + t t são ortogonais. Sendo v 1 = (1, 2, 4) e v 2 = ( 2, 1, 1) vetores diretores de r 1 e r 2 tem-se: v1 v 2 = 1( 2) 2(1) + 4(1) = 0, portanto as retas r 1 e r 2 são ortogonais. 62
61 Agora, sejam as retas r 1 e r 2 não paralelas, com as direções de v 1 e v 2, respectivamente. Toda reta r ao mesmo tempo ortogonal a r 1 e r 2 terá a direção de um vetor v tal que v v1 = 0 v v2 = 0 (4.9) Em vez de tomarmos um vetor v 0 como uma solução particular do sistema 4.9, poderíamos utilizar o produto vetorial, isto é, v = v 1 v 2. Definido um vetor diretor, a reta r estará determinada quando for conhecido um de seus pontos. Exemplo Determine equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto A(3, 4, 1) e é ortogonal às retas r 1 : (x, y, z) = (0, 0, 1) + t(2, 3, 4) e r 2 : x = 5 y = t z = 1 t As direções de r 1 e r 2 são definidas pelos vetores v 1 = (2, 3, 4) e v 2 = (0, 1, 1). Então a reta r tem a direção do vetor i j k v1 v 2 = = (1, 2, 2) Logo, tem-se r : x = y = 3 + t 4 + 2t z = 1 + 2t 63
62 Atividades 1) Determine o ângulo entre as retas x = 2 2t r : y = 2t z = 3 4t e s : x 4 = y = z 1 2. y = mx + 3 2) A reta r : z = x 1 e B( 2, 2m, 2m). Calcule o valor de m. é ortogonal à reta determinada pelos pontos A(1, 0, m) 4.4 Distância de Ponto a Reta Dado um ponto P do espaço e uma reta r, quer-se calcular a distância d(p, r) de P a r. Consideremos na reta r um ponto a e um vetor diretor v. Os vetores v e AP determinam um paralelogramo cuja altura corresponde à distância d(p, r). A área A do paralelogramo é dada por a) A = (base) (altura) = v d ou b) A = v AP. 64
63 Comparando a) e b), vem d = d(r 1, r 2 ) = v AP v (4.10) Exemplo Calcule a distância do ponto P (2, 1, 4) à reta x = 1 + 2t r : y = 2 t z = 3 2t A reta r passa pelo ponto A( 1, 2, 3) e tem a direção do vetor v = (2, 1, 2). Seja ainda o vetor AP = P A = (3, 1, 1). Calculemos Logo temos d(p, r) = i j j v AP = = ( 3, 8, 1) ( 3, 8, 1) (2, 1, 2) = ( 3)2 + ( 8) ( 1) 2 + ( 2) 2 = 74 3 Podemos utilizar do fato de que sabemos calcular a distância de um ponto a uma reta para calcularmos a distância entre duas retas paralelas.dadas as retas r 1 e r 2, quer-se calcular a distância d(r 1, r 2 ). Podemos ter os seguintes casos: (a) r 1 e r 2 são concorrentes. Neste caso : d(r 1, r 2 ) = 0. (b) r 1 e r 2 são paralelas. d(r 1, r 2 ) = d(p, r 2 ), com P r 1 ou d(r 1, r 2 ) = d(p, r 1 ) com P r 2. A figura a seguir ilustra esta situação, que se reduz ao cálculo da distância de ponto à reta. u.c. 65
64 (c) r 1 e r 2 são reversas. Seja r 1 a reta definida pelo ponto A 1 e pelo vetor diretor v 1 e a reta r 2 pelo ponto A 2 e pelo vetor diretor v 2. Os vetores v 1, v 2 e A 1 A 2, por serem não coplanares, determinam um paralelepípedo (figura??) cuja altura é a distância d(r 1, r 2 ) que se quer calcular (a reta r 2 é paralela ao plano da base do paralelepípedo definida por v 1 e v 2 ). Exemplo Calcule a distância entre as retas x = 1 + t y = x 3 r 1 : y = 3 2t e r 2 : z = x + 1 z = 1 t A reta r 1 passa pelo ponto A 1 ( 1, 3, 1) e tem a direção de v 1 = (1, 2, 1) e a reta r 2 pelo ponto A 2 (0, 3, 1) e tem a direção de v 2 = (1, 1, 1). 66
65 Então, A 1 A 2 = A 2 A 1 = (1, 6, 0) e Então temos d(r 1, r 2 ) = ( v 1, v 2, A 1 A 2 ) = = i j j v1 v 2 = = (3, 0, 3) = = (3, 0, 3) = = 6 6 Atividades x = 1 2t 1) Calcule a distância do ponto P (1, 2, 3) à reta s : y = 2t. z = 2 t x = 0 2) Calcule a distância entre as retas r : y = z y = 3 e s : z = 2x. 67
1 Vetores no Plano e no Espaço
1 Vetores no Plano e no Espaço Definimos as componentes de um vetor no espaço de forma análoga a que fizemos com vetores no plano. Vamos inicialmente introduzir um sistema de coordenadas retangulares no
Leia maisJ. Delgado - K. Frensel - L. Crissaff Geometria Analítica e Cálculo Vetorial
178 Capítulo 10 Equação da reta e do plano no espaço 1. Equações paramétricas da reta no espaço Sejam A e B dois pontos distintos no espaço e seja r a reta que os contém. Então, P r existe t R tal que
Leia maisGeometria Analítica e Álgebra Linear
Geometria Analítica e Álgebra Linear por PAULO XAVIER PAMPLONA UFCG-UATA 2011 Conteúdo 1 Vetores 4 1.1 Introdução..................................... 4 1.2 Vetores no Plano.................................
Leia maisGeometria Analítica. Prof Marcelo Maraschin de Souza
Geometria Analítica Prof Marcelo Maraschin de Souza Vetor Definido por dois pontos Seja o vetor AB de origem no ponto A(x 1, y 1 ) e extremidade no ponto B(x 2, y 2 ). Qual é a expressão algébrica que
Leia maisPrograma. 3. Curvas no Plano: equação de lugar geométrico no plano; equações reduzidas da elipse,
Programa 1. Vetores no Plano e no Espaço: conceito; adição de vetores; multiplicação de vetor por n real; combinação linear de vetores; coordenadas; produto interno; produto vetorial; produto misto. 2.
Leia maisExercícios de Geometria Analítica - CM045
Exercícios de Geometria Analítica - CM045 Prof. José Carlos Corrêa Eidam DMAT/UFPR Disponível no sítio people.ufpr.br/ eidam/index.htm 1o. semestre de 2011 Parte 1 Soma e produto escalar 1. Seja OABC um
Leia mais2 Igualdade e Operações com pares ordenados. 1 Conjunto R 2. 3 Vetores. 2.1 Igualdade. 1.2 Coordenadas Cartesianas no Plano
1 Conjunto R 1.1 Definição VETORES NO PLANO Representamos por R o conjunto de todos os pares ordenados de números reais, ou seja: R = {(x, y) x R y R} 1. Coordenadas Cartesianas no Plano Em um plano α,
Leia maisEQUAÇÕES DE RETAS E PLANOS
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE - FURG INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E FÍSICA - IMEF FABÍOLA AIUB SPEROTTO DAIANE SILVA DE FREITAS EQUAÇÕES DE RETAS E PLANOS NO ESPAÇO 1 Edição Rio Grande 2018
Leia maisProduto interno e produto vetorial no espaço
14 Produto interno e produto vetorial no espaço Sumário 14.1 Produto interno.................... 14. Produto vetorial.................... 5 14..1 Interpretação geométrica da norma do produto vetorial.......................
Leia maisJOSÉ ROBERTO RIBEIRO JÚNIOR. 9 de Outubro de 2017
9 de Outubro de 2017 Vetores Ferramenta matemática que é utilizada nas seguintes disciplinas dos cursos de Engenharia: Física; Mecânica Resistência dos materiais Fenômenos do transporte Consideremos um
Leia maisAula Orientação do espaço. Observação 1
Aula 14 Nesta aula vamos definir dois novos produtos entre vetores do espaço, o produto vetorial e o produto misto. Para isso, primeiro vamos apresentar o conceito de orientação. 1. Orientação do espaço
Leia maisGeometria Analítica. Estudo da Reta. Prof Marcelo Maraschin de Souza
Geometria Analítica Estudo da Reta Prof Marcelo Maraschin de Souza Reta Considere um ponto A(x 1, y 1, z 1 ) e um vetor não-nulo v = a, b, c. Só existe uma reta r que passa por A e tem a direção de v.
Leia maisGeometria Analítica. Estudo do Plano. Prof Marcelo Maraschin de Souza
Geometria Analítica Estudo do Plano Prof Marcelo Maraschin de Souza Plano Equação Geral do Plano Seja A(x 1, y 1, z 1 ) um ponto pertencente a um plano π e n = a, b, c, n 0, um vetor normal (ortogonal)
Leia maisCÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANÁLITICA
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANÁLITICA Consideremos uma reta r e sejam A e B dois pontos de r Ao segmento de reta AB, podemos associar 2 sentidos : de A para B e de B para A Escrevemos AB para representar
Leia maisObjetivos. em termos de produtos internos de vetores.
Aula 5 Produto interno - Aplicações MÓDULO 1 - AULA 5 Objetivos Calcular áreas de paralelogramos e triângulos. Calcular a distância de um ponto a uma reta e entre duas retas. Determinar as bissetrizes
Leia mais. f3 = 4 e 1 3 e 2. f2 = e 1 e 3, g 1 = e 1 + e 2 + e 3, 2 g 2 = e 1 + e 2,
INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO MAT-457 Álgebra Linear para Engenharia I Segunda Lista de Exercícios - Professor: Equipe da Disciplina EXERCÍCIOS 1. Dê a matriz de mudança
Leia maisGeometria Analítica e Álgebra Linear
NOTAS DE AULA Geometria Analítica e Álgebra Linear Vetores no Espaço Professor: Luiz Fernando Nunes, Dr. 019/Sem_01 Índice Vetores no Espaço Tridimensional... 1.1 Definição... 1. Operações com vetores...
Leia maisLista de Exercícios Geometria Analítica e Álgebra Linear MAT 105
Lista de Exercícios Geometria Analítica e Álgebra Linear MAT 105 Primeiro período de 2018 Está lista de exercícios contém exercícios de [2], [1] e exercícios de outras referências. Além dos exercícios
Leia maisApresentaremos as equações do plano: Equação vetorial e Equação geral do. = AB e v. C A u B. ) não-colineares do plano.
CAPÍTULO VIII PLANO Consideremos em V 3 o sistema de referência (O, i, j, k ), onde E = ( i, j, k ) é base ortonormal positiva e O(0, 0, 0). 8.1. EQUAÇÕES DO PLANO plano. Apresentaremos as equações do
Leia maisJ. Delgado - K. Frensel - L. Crissaff Geometria Analítica e Cálculo Vetorial
76 Capítulo 4 Distâncias no plano e regiões no plano 1. Distância de um ponto a uma reta Dados um ponto P e uma reta r no plano, já sabemos calcular a distância de P a cada ponto P r. Definição 1 Definimos
Leia maisNoção intuitiva. Definições. Definições. Capítulo 1: Vetores Aula 1. Noção intuitiva e definições; Notações. Segmento orientado
Capítulo 1: Vetores Discussões iniciais; Aula 1 Noção intuitiva e definições; Notações. Noção intuitiva Existem grandezas, chamadas escalares, que são caracterizadas por um número (e a correspondente unidade):
Leia mais1. Operações com vetores no espaço
Capítulo 10 1. Operações com vetores no espaço Vamos definir agora as operações de adição de vetores no espaço e multiplicação de um vetor espacial por um número real. O processo é análogo ao efetuado
Leia maisCapítulo Coordenadas no Espaço. Seja E o espaço da Geometria Euclidiana tri-dimensional.
Capítulo 9 1. Coordenadas no Espaço Seja E o espaço da Geometria Euclidiana tri-dimensional. Um sistema de eixos ortogonais OXY Z em E consiste de três eixos ortogonais entre si OX, OY e OZ com a mesma
Leia maisGeometria Analítica. Geometria Analítica 28/08/2012
Prof. Luiz Antonio do Nascimento luiz.anascimento@sp.senac.br www.lnascimento.com.br Conjuntos Propriedades das operações de adição e multiplicação: Propriedade comutativa: Adição a + b = b + a Multiplicação
Leia maisAula 4 Colinearidade, coplanaridade e dependência linear
Aula 4 Colinearidade, coplanaridade e dependência linear MÓDULO 1 - AULA 4 Objetivos Compreender os conceitos de independência e dependência linear. Estabelecer condições para determinar quando uma coleção
Leia maisCapítulo Propriedades das operações com vetores
Capítulo 6 1. Propriedades das operações com vetores Propriedades da adição de vetores Sejam u, v e w vetores no plano. Valem as seguintes propriedades. Comutatividade: u + v = v + u. Associatividade:
Leia maisEquações da reta no plano
3 Equações da reta no plano Sumário 3.1 Introdução....................... 2 3.2 Equação paramétrica da reta............. 2 3.3 Equação cartesiana da reta.............. 7 3.4 Equação am ou reduzida da reta..........
Leia maisAula 3 Vetores no espaço
MÓDULO 1 - AULA 3 Aula 3 Vetores no espaço Objetivos Ampliar a noção de vetor para o espaço. Rever as operações com vetores e sua representação em relação a um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas.
Leia maisCapítulo 12. Ângulo entre duas retas no espaço. Definição 1. O ângulo (r1, r2 ) entre duas retas r1 e r2 é assim definido:
Capítulo 1 1. Ângulo entre duas retas no espaço Definição 1 O ângulo (r1, r ) entre duas retas r1 e r é assim definido: (r1, r ) 0o se r1 e r são coincidentes, se as retas são concorrentes, isto é, r1
Leia maisAula 3 A Reta e a Dependência Linear
MÓDULO 1 - AULA 3 Aula 3 A Reta e a Dependência Linear Objetivos Determinar a equação paramétrica de uma reta no plano. Compreender o paralelismo entre retas e vetores. Entender a noção de dependência
Leia maisNOTAS DE AULA DE GEOMETRIA ANALÍTICA: VETORES
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE - FURG INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E FÍSICA - IMEF FABÍOLA AIUB SPEROTTO DAIANE SILVA DE FREITAS NOTAS DE AULA DE GEOMETRIA ANALÍTICA: VETORES 1 Edição Rio Grande
Leia mais1 Geometria Analítica Plana
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO PARANÁ CAMPUS DE CAMPO MOURÃO Curso: Matemática, 1º ano Disciplina: Geometria Analítica e Álgebra Linear Professora: Gislaine Aparecida Periçaro 1 Geometria Analítica Plana A Geometria
Leia maisAula 12. Ângulo entre duas retas no espaço. Definição 1. O ângulo (r1, r2 ) entre duas retas r1 e r2 se define da seguinte maneira:
Aula 1 1. Ângulo entre duas retas no espaço Definição 1 O ângulo (r1, r ) entre duas retas r1 e r se define da seguinte maneira: (r1, r ) 0o se r1 e r são coincidentes, Se as retas são concorrentes, isto
Leia maisEquação Geral do Segundo Grau em R 2
8 Equação Geral do Segundo Grau em R Sumário 8.1 Introdução....................... 8. Autovalores e autovetores de uma matriz real 8.3 Rotação dos Eixos Coordenados........... 5 8.4 Formas Quadráticas..................
Leia mais14/03/2013. Cálculo Vetorial. Professor: Wildson Cruz
Estudamos os vetores do ponto de vista geométrico e, no caso, eles eram representados por um segmento de reta orientado. E agora vamos mostrar uma outra forma de representá-los: os segmentos orientados
Leia maisMaterial Teórico - Sistemas Lineares e Geometria Anaĺıtica. Sistemas com três variáveis - Parte 1. Terceiro Ano do Ensino Médio
Material Teórico - Sistemas Lineares e Geometria Anaĺıtica Sistemas com três variáveis - Parte 1 Terceiro Ano do Ensino Médio Autor: Prof Fabrício Siqueira Benevides Revisor: Prof Antonio Caminha M Neto
Leia maisNotas de Aula de SLC602 - Geometria Analítica. Wagner Vieira Leite Nunes Departamento de Matemática ICMC - USP
Notas de Aula de SLC60 - Geometria Analítica Wagner Vieira Leite Nunes Departamento de Matemática ICMC - USP julho de 017 Sumário 1 Introdução 5 Vetores no plano e no espaço 7.1 Introdução.................................................
Leia maisLista de Exercícios de Cálculo 3 Primeira Semana
Lista de Exercícios de Cálculo 3 Primeira Semana Parte A 1. Se v é um vetor no plano que está no primeiro quadrante, faz um ângulo de π/3 com o eixo x positivo e tem módulo v = 4, determine suas componentes.
Leia maisCapítulo Equações da reta no espaço. Sejam A e B dois pontos distintos no espaço e seja r a reta que os contém. Então, P r existe t R tal que
Capítulo 11 1. Equações da reta no espaço Sejam A e B dois pontos distintos no espaço e seja r a reta que os contém. Então, P r existe t R tal que AP = t AB Fig. 1: Reta r passando por A e B. Como o ponto
Leia maisGA3X1 - Geometria Analítica e Álgebra Linear. Definição (Segmentos orientados de mesmo comprimento, direção e sentido):
G3X1 - Geometria nalítica e Álgebra Linear 3 Vetores 3.1 Introdução efinição (Segmento orientado): Um segmento orientado é um par ordenado (,) de pontos do espaço. é a origem e é a etremidade do segmento
Leia maisMAT2457 ÁLGEBRA LINEAR PARA ENGENHARIA I 2 a Lista de Exercícios - 1 o semestre de f 1 = 2 e 1 e 2 e 3,
MAT2457 ÁLGEBRA LINEAR PARA ENGENHARIA I 2 a Lista de Exercícios - 1 o semestre de 2015 1 Sendo E = { e 1 e 2 e 3 } F = { f 1 f 2 f 3 } bases com: f 1 = 2 e 1 e 3 f 2 = e 2 + 2 e 3 f 3 = 7 e 3 e w = e
Leia maisn. 18 Estudo da reta: ângulo, paralelismo, ortogonalidade, coplanaridade e interseção entre retas Ângulo entre duas retas
n. 18 Estudo da reta: ângulo, paralelismo, ortogonalidade, coplanaridade e interseção entre retas Ângulo entre duas retas Sejam as retas r1, que passa pelo ponto A (x1, y1, z1) e tem a direção de um vetor
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA LISTA DE EXERCÍCIOS DE MAT243-CÁLCULO III
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA LISTA DE EXERCÍCIOS DE MAT243-CÁLCULO III Capítulo 1 Vetores no Rn 1. Sejam u e v vetores tais que e u v = 2 e v = 1. Calcule v u v. 2. Sejam u
Leia maisn. 9 VERSOR_EXPRESSÃO CARTESIANA_PARALELISMO_COPLANARIDADE_ COLINEARIDADE Como o versor é um vetor unitário, temos que v = 1
n. 9 VERSOR_EXPRESSÃO CARTESIANA_PARALELISMO_COPLANARIDADE_ COLINEARIDADE Definição Dado um vetor u 0, chama-se versor do vetor u, um vetor unitário, paralelo e de mesmo sentido que u. Logo, se considerarmos
Leia maisMAT2457 ÁLGEBRA LINEAR PARA ENGENHARIA I Gabarito da 2 a Prova - 1 o semestre de 2015
MAT27 ÁLGEBRA LINEAR PARA ENGENHARIA I Gabarito da 2 a Prova - 1 o semestre de 201 Nesta prova considera-se fixada uma orientação do espaço e um sistema de coordenadas Σ (O, E) em E 3, em que E é uma base
Leia maisFigura disponível em: <http://soumaisenem.com.br/fisica/conhecimentos-basicos-e-fundamentais/grandezas-escalares-egrandezas-vetoriais>.
n. 7 VETORES vetor é um segmento orientado; são representações de forças, as quais incluem direção, sentido, intensidade e ponto de aplicação; o módulo, a direção e o sentido caracterizam um vetor: módulo
Leia maisMaterial Teórico - Módulo: Vetores em R 2 e R 3. Produto Vetorial. Terceiro Ano - Médio
Material Teórico - Módulo: Vetores em R 2 e R 3 Produto Vetorial Terceiro Ano - Médio Autor: Prof. Angelo Papa Neto Revisor: Prof. Antonio Caminha M. Neto Nesta aula, estudaremos uma operação definida
Leia maisAula 6 Produto interno
MÓDULO 1 - AULA 6 Objetivos Aula 6 Produto interno Estabelecer os conceitos de norma de um vetor e de ângulo entre dois vetores do espaço. Definir o produto interno de vetores no espaço e estabelecer suas
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS INSTITUTO DE MATEMÁTICA Aluno(a): Professor(a): Curso:
5 Geometria Analítica - a Avaliação - 6 de setembro de 0 Justique todas as suas respostas.. Dados os vetores u = (, ) e v = (, ), determine os vetores m e n tais que: { m n = u, v u + v m + n = P roj u
Leia maisA Reta no Espaço. Sumário
16 A Reta no Espaço Sumário 16.1 Introdução....................... 2 16.2 Equações paramétricas da reta no espaço...... 2 16.3 Equação simétrica da reta no espaço........ 8 16.4 Exercícios........................
Leia maisLista de Exercícios Geometria Analítica e Álgebra Linear MAT 105
Lista de Exercícios Geometria Analítica e Álgebra Linear MAT 105 2 de fevereiro de 2017 Esta lista contém exercícios de [1], [2] e [3]. Os exercícios estão separados por aulas em ordem decrescente de aula.
Leia maisJ. Delgado - K. Frensel - L. Crissaff Geometria Analítica e Cálculo Vetorial
128 Capítulo 7 Coordenadas e distância no espaço 1. Coordenadas no Espaço Seja E o espaço da Geometria Euclidiana tridimensional. Um sistema de eixos ortogonais OXY Z em E consiste de três eixos ortogonais
Leia maisGAAL - Exame Especial - 12/julho/2013. Questão 1: Considere os pontos A = (1, 2, 3), B = (2, 3, 1), C = (3, 1, 2) e D = (2, 2, 1).
GAAL - Exame Especial - /julho/3 SOLUÇÕES Questão : Considere os pontos A = (,, 3), B = (, 3, ), C = (3,, ) e D = (,, ) (a) Chame de α o plano que passa pelos pontos A, B e C e de β o plano que passa pelos
Leia mais4 Produto de vetores. 4.1 Produto Escalar. GA3X1 - Geometria Analítica e Álgebra Linear
4 Produto de vetores 4.1 Produto Escalar Definição (Medida angular): Sejam u e vetores não-nulos. Chama-se medida angular entre u e a medida θ do ângulo PÔQ, sendo (O,P) e (O,Q), respectivamente, representantes
Leia maisNa figura acima, o vetor tem origem no ponto A e extremidade no ponto B. Notação usual: 1 O ESPAÇO R3
VETORES E R3 Ultra-Fast Prof.: Fábio Rodrigues fabio.miranda@engenharia.ufjf.br Obs.: A maioria das figuras deste texto foram copiadas do livro virtual álgebra vetorial e geometria analítica, 9ª edição,
Leia maisLista de exercícios de GA na reta e no plano Período de Prof. Fernando Carneiro Rio de Janeiro, Janeiro de 2017
Lista de GA no plano 1 Lista de exercícios de GA na reta e no plano Período de 016. - Prof. Fernando Carneiro Rio de Janeiro, Janeiro de 017 1 Retas no plano 1.1) Determine os dois pontos, que chamaremos
Leia mais21 e 22. Superfícies Quádricas. Sumário
21 e 22 Superfícies uádricas Sumário 21.1 Introdução....................... 2 21.2 Elipsoide........................ 3 21.3 Hiperboloide de uma Folha.............. 4 21.4 Hiperboloide de duas folhas..............
Leia maisPonto 1) Representação do Ponto
Ponto 1) Representação do Ponto Universidade Federal de Pelotas Cálculo com Geometria Analítica I Prof a : Msc. Merhy Heli Rodrigues Plano Cartesiano, sistemas de coordenadas: pontos e retas Na geometria
Leia mais2. Na gura abaixo, representa-se um cubo. Desenhe a echa de origem H que representa ! DN =! DC
1 Universidade Estadual de Santa Catarina Centro de Ciências Tecnológicas -DMAT ALG- CCI Professores: Ivanete, Elisandra e Rodrigo I Lista - vetores, retas e planos 1. Dados os vetores ~u e ~v da gura,
Leia maisDefinição. Geometria plana
Geometria analítica Definição A palavra geometria vem do grego geometrien onde geo significa terra e metrien medida. Geometria foi, em sua origem, a ciência de medição de terras. O historiador grego Heródoto
Leia maisGeometria analítica. Professor Me: Lucas Corrêa de Almeida
Geometria analítica Professor Me: Lucas Corrêa de Almeida Definição A palavra geometria vem do grego geometrien onde geo significa terra e metrien medida. Geometria foi, em sua origem, a ciência de medição
Leia maisAula 17 Superfícies quádricas - parabolóides
Objetivos Aula 17 Superfícies quádricas - parabolóides Apresentar os parabolóides elípticos e hiperbólicos identificando suas seções planas. Estudar os parabolóides regrados e de revolução. Nas superfícies
Leia maisChamamos de grandezas coisas que podem ser medidas. Por exemplo, tempo, área, volume, temperatura, velocidade, aceleração, força, etc..
Introdução a vetor Professor Fiore O que são grandezas? Chamamos de grandezas coisas que podem ser medidas. Por exemplo, tempo, área, volume, temperatura, velocidade, aceleração, força, etc.. O que são
Leia mais10. Determine as equações cartesianas das famílias de retas que fazem um ângulo de π/4 radianos com a reta y = 2x + 1.
Geometria Analítica. 1. Determine as posições relativas e as interseções entre os conjuntos em R abaixo. Em cada item também faça um esboço dos dois conjuntos dados no mesmo sistema de eixos. (a) C : (x
Leia maisQuestões. 2ª Lista de Exercícios (Geometria Analítica e Álgebra Linear) Prof. Helder G. G. de Lima 1
ª Lista de Exercícios (Geometria Analítica e Álgebra Linear) Prof. Helder G. G. de Lima 1 Questões 1. Sejam A, B, C e D vértices de um quadrado. Quantos vetores diferentes entre si podem ser definidos
Leia maisMaterial Teórico - Módulo: Vetores em R 2 e R 3. Operações Envolvendo Vetores. Terceiro Ano - Médio
Material Teórico - Módulo: Vetores em R 2 e R 3 Operações Envolvendo Vetores Terceiro Ano - Médio Autor: Prof. Angelo Papa Neto Revisor: Prof. Antonio Caminha M. Neto 1 Adição de vetores Na aula anterior
Leia mais0 < c < a ; d(f 1, F 2 ) = 2c
Capítulo 14 Elipse Nosso objetivo, neste e nos próximos capítulos, é estudar a equação geral do segundo grau em duas variáveis: Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0, onde A 0 ou B 0 ou C 0 Para isso, deniremos,
Leia maisLista de Exercícios de Geometria
Núcleo Básico de Engenharias Geometria - Geometria Analítica Professor Julierme Oliveira Lista de Exercícios de Geometria Primeira Parte: VETORES 1. Sejam os pontos A(0,0), B(1,0), C(0,1), D(-,3), E(4,-5)
Leia maisGA - Retas no espaço euclidiano tridimensional
1 GA - Retas no espaço euclidiano tridimensional Prof. Fernando Carneiro, IME-UERJ Rio de Janeiro, Março de 014 Conteúdo 1 O que é reta Equação paramétrica de uma reta.1 Exemplos...........................
Leia maisAula 10 Produto interno, vetorial e misto -
MÓDULO 2 - AULA 10 Aula 10 Produto interno, vetorial e misto - Aplicações II Objetivos Estudar as posições relativas entre retas no espaço. Obter as expressões para calcular distância entre retas. Continuando
Leia mais2 a Lista de Exercícios de MAT2457 Escola Politécnica 1 o semestre de 2014
a Lista de Eercícios de MAT4 Escola Politécnica o semestre de 4. Determine u tal que u = e u é ortogonal a v = (,, ) e a w = (, 4, 6). Dos u s encontrados, qual é o que forma um ângulo agudo com o vetor
Leia mais1 Segmentos orientados e vetores, adição e multiplicação
MAP2110 Modelagem e Matemática 1 o Semestre de 2007 Resumo 1 - Roteiro de estudos - 07/05/2007 Espaços vetoriais bi e tri-dimensionais (plano ou espaço bidimensional E 2, e espaço tridimensional E 3 )
Leia maisProduto Misto, Determinante e Volume
15 Produto Misto, Determinante e Volume Sumário 15.1 Produto Misto e Determinante............ 2 15.2 Regra de Cramer.................... 10 15.3 Operações com matrizes............... 12 15.4 Exercícios........................
Leia maisLista 3 com respostas
Lista 3 com respostas Professora Nataliia Goloshchapova MAT0105-1 semestre de 2019 Exercício 1. Sendo que w = ( u v) ( u + v), determine o ângulo entre os vetores u e v, sabendo que u = v = w = 1 e u v
Leia maisCálculo Vetorial. Estudo da Reta Prof. Vasco Ricardo Aquino da Silva
Cálculo Vetorial Estudo da Reta Prof. Vasco Ricardo Aquino da Silva 1. Equação Vetorial da Reta r Consideremos a reta r que passa pelo ponto vetor não nulo e tem a direção do Sendo um ponto qualquer (variável)
Leia maisCapítulo 2. Retas no plano. 1. Retas verticais e não-verticais. Definição 1
Capítulo 2 Retas no plano O objetivo desta aula é determinar a equação algébrica que representa uma reta no plano. Para isso, vamos analisar separadamente dois tipos de reta: reta vertical e reta não-vertical.
Leia mais3º. EM Prof a. Valéria Rojas Assunto: Determinante, Área do Triângulo, Equação da reta, Eq. Reduzida da Reta
1 - O uso do Determinante de terceira ordem na Geometria Analítica 1.1 - Área de um triângulo Seja o triângulo ABC de vértices A(x a, y a ), B(x b, x c ) e C(x c, y c ). A área S desse triângulo é dada
Leia maisLista 5. Em toda a lista, as coordenadas referem-se a um sistema de coordenadas fixo (O; i, j, k)
UFPR - Universidade Federal do Paraná Departamento de Matemática CM045 - Geometria Analítica Prof. José Carlos Eidam Lista 5 Em toda a lista, as coordenadas referem-se a um sistema de coordenadas fixo
Leia mais6.1 equações canônicas de círculos e esferas
6 C Í R C U LO S E E S F E R A S 6.1 equações canônicas de círculos e esferas Um círculo é o conjunto de pontos no plano que estão a uma certa distância r de um ponto dado (a, b). Desta forma temos que
Leia maisMA23 - Geometria Anaĺıtica
MA23 - Geometria Anaĺıtica Unidade 1 - Coordenadas e vetores no plano João Xavier PROFMAT - SBM 8 de agosto de 2013 Coordenadas René Descartes, matemático e filósofo, nasceu em La Have, França, em 31 de
Leia maisAula 22 Produto vetorial, produto misto e volume
Aula 22 Produto vetorial, produto misto e volume MÓDULO 2 - AULA 22 Objetivos Definir o produto misto de três vetores no espaço a partir do cálculo de volumes de paralelepípedos. Exprimir o produto vetorial
Leia maisMaterial Teórico - Módulo: Vetores em R 2 e R 3. Módulo e Produto Escalar - Parte 1. Terceiro Ano - Médio
Material Teórico - Módulo: Vetores em R 2 e R 3 Módulo e Produto Escalar - Parte 1 Terceiro Ano - Médio Autor: Prof. Angelo Papa Neto Revisor: Prof. Antonio Caminha M. Neto 1 Módulo de um vetor O módulo
Leia maisTransformações geométricas planas
9 Transformações geométricas planas Sumário 9.1 Introdução....................... 2 9.2 Transformações no plano............... 2 9.3 Transformações lineares................ 5 9.4 Operações com transformações...........
Leia maisAula 4 Produto Interno
MÓDULO 1 - AULA 4 Objetivos Aula 4 Produto Interno Definir as noções de ângulo entre dois vetores, a norma de um vetor e a operação de produto interno. Compreender as propriedades básicas da norma e do
Leia maisPosição relativa entre retas e círculos e distâncias
4 Posição relativa entre retas e círculos e distâncias Sumário 4.1 Distância de um ponto a uma reta.......... 2 4.2 Posição relativa de uma reta e um círculo no plano 4 4.3 Distância entre duas retas no
Leia maisGeometria Analítica II - Aula 4 82
Geometria Analítica II - Aula 4 8 IM-UFF K. Frensel - J. Delgado Aula 5 Esferas Iniciaremos o nosso estudo sobre superfícies com a esfera, que já nos é familiar. A esfera S de centro no ponto A e raio
Leia mais3.2 Determine a equação da circunferência de raio 5, tangente à reta 3x +4y =16no ponto A (4, 1).
3.1 Obtenha a equação e esboce o gráfico da circunferência caracterizada por: (a) Centro C (, 1) eraior =5; (b) Passa pelos pontos A (1, ),B(1, 1) e C (, 3) ; (c) Inscrita no triângulo determinado pelas
Leia maisTítulo do Livro. Capítulo 5
Capítulo 5 5. Geometria Analítica A Geometria Analítica tornou possível o estudo da Geometria através da Álgebra. Além de proporcionar a interpretação geométrica de diversas equações algébricas. 5.1. Sistema
Leia maisEstudaremos três tipos de equações de retas: vetorial, paramétricas e simétricas.
CAPÍTULO VII RETA Consideremos em V 3 o sistema de referência (O, i, j, k ), onde E = ( i, j, k ) é base ortonormal positiva e O(0, 0, 0). 7.1. EQUAÇÕES DA RETA Estudaremos três tipos de equações de retas:
Leia mais1 a Lista de Exercícios MAT 105 Geometria Analitica
1 a Lista de Exercícios MAT 105 Geometria Analitica - 2017 1 a parte: Vetores, operações com vetores 1. Demonstre que o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo
Leia mais6. Calcular as equações paramétricas de uma reta s que passa pelo ponto A(1, 1, 1) e é ortogonal x 2
Lista 2: Retas, Planos e Distâncias - Engenharia Mecânica Professora: Elisandra Bär de Figueiredo x = 2 + 2t 1. Determine os valores de m para que as retas r : y = mt z = 4 + 5t sejam: (a) ortogonais (b)
Leia maisc) F( 4, 2) r : 2x+y = 3 c) a = 3 F 1 = (0,0) F 2 = (1,1)
Lista de Exercícios Estudo Analítico das Cônicas e Quádricas 1. Determine o foco, o vértice, o parâmetro e a diretriz da parábola P e faça um esboço. a) P : y 2 = 4x b) P : y 2 +8x = 0 c) P : x 2 +6y =
Leia maisCálculo II - Superfícies no Espaço
UFJF - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Cálculo II - Superfícies no Espaço Prof. Wilhelm Passarella Freire Prof. Grigori Chapiro 1 Conteúdo 1 Introdução 4 2 Plano 6 2.1 Parametrização do plano...................................
Leia maisO Plano no Espaço. Sumário
17 Sumário 17.1 Introdução....................... 2 17.2 Equações paramétricas do plano no espaço..... 2 17.3 Equação cartesiana do plano............. 15 17.4 Exercícios........................ 21 1 Unidade
Leia maisVetores. A soma, V+W, de dois vetores V e W é determinada da seguinte forma:
Vetores Geometricamente, vetores são representados por segmentos de retas orientadas no plano ou no espaço. A ponta da seta do segmento orientado é chamada ponto final ou extremidade e o outro ponto extremo
Leia maisAula 15 Superfícies quádricas - cones quádricos
Aula 15 Superfícies quádricas - cones quádricos MÓDULO - AULA 15 Objetivos Definir e estudar os cones quádricos identificando suas seções planas. Analisar os cones quádricos regrados e de revolução. Cones
Leia maisExercícios de Geometria Analítica - Prof. Ademir
Exercícios de Geometria nalítica - Prof. demir Vetores 1. onsidere o triângulo, onde = (1, 1, 1), = (2, 1, 0) e = (3, 2, 3). Verifique que este triângulo é retângulo, diga qual vértice contém o ângulo
Leia maisGEOMETRIA ANALÍTICA CONTEÚDOS. Distância entre pontos Equação da reta Distância ponto reta Coeficientes Equação da circunferência.
GEOMETRIA ANALÍTICA CONTEÚDOS Distância entre pontos Equação da reta Distância ponto reta Coeficientes Equação da circunferência. AMPLIANDO SEUS CONHECIMENTOS Neste capítulo, estudaremos a Geometria Analítica.
Leia mais