Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica. Vetores, Retas e Planos

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1 universidade de aveiro departamento de matemática Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica Agrupamento IV (ECT, EET, EI) Capítulo 3 Vetores, Retas e lanos

2 roduto interno em R n [3 01] Dados os vetores X = (x 1,..., x n ) e Y = (y 1,..., y n ) R n o produto interno (ou produto escalar) de X e Y é o escalar real ] X Y = X T Y = [x 1 x n = x 1 y x n y n Nota: ode também utilizar-se a notação X Y ou X, Y. y 1. y n o comprimento ou norma de X é X = X X = x x2 n

3 ropriedades do produto interno em R n [3 02] Dados X, Y, Z R n e α R, 1. X X 0; 2. X X = 0 X = 0; 3. X Y = Y X; 4. (X + Y ) Z = X Z + Y Z, X (Y + Z) = X Y + X Z; 5. (αx) Y = α (X Y ) = X (αy ); 6. αx = α X.

4 Desigualdade de Cauchy-Schwarz e desigualdade triangular [3 03] Teorema (Desigualdade de Cauchy-Schwarz) Dados X, Y R n, X Y X Y. Teorema (Desigualdade Triangular) Dados X, Y R n, X + Y X + Y.

5 Ângulo entre vetores [3 04] X = (x, 0), x > 0 y Y = (a, b) (0, 0) Y = (a, b) X Y = xa e X = x Y X Y X = a = Y cos(θ) θ cos(θ) = X Y, θ [0, π] X Y O X = (x, 0) a x Em geral, para X, Y R n, X, Y 0, o ângulo entre os vetores X e Y é θ = (X, Y ) = arccos X Y X Y = arccos( X X Y Y ).

6 Vetores ortogonais, colineares, com mesmo sentido e unitários [3 05] Dados os vetores X, Y R n, X, Y 0 X e Y são ortogonais ou perpendiculares, X Y, se θ = π, i.e. se 2 X Y = 0. X e Y são colineares ou paralelos ou têm a mesma direção, se θ = 0 ou θ = π, i.e. se X Y = X Y. X e Y têm o mesmo sentido, se θ = 0, i.e. se X Y = X Y. X e Y têm sentido oposto ou contrário, se θ = π, i.e. se X Y = X Y. Se X = 0 ou Y = 0, por convenção, X e Y são colineares e ortogonais. Um vetor unitário é um vetor de norma igual a 1. O vetor U = 1 X X é um vetor unitário com a mesma direção e sentido de X.

7 roduto externo em R 3 [3 06] Dados os vetores X = (x 1, x 2, x 3 ) e Y = (y 1, y 2, y 3 ) R 3, o produto externo (ou produto vetorial) de X e Y é o vetor de R 3 X Y = (x 2 y 3 x 3 y 2, x 3 y 1 x 1 y 3, x 1 y 2 x 2 y 1 ). Nota: ara determinar o produto externo pode utilizar-se como auxiliar de cálculo o seguinte determinante simbólico : i j k i = (1, 0, 0) X Y x 1 x 2 x 3 com j = (0, 1, 0) y 1 y 2 y 3 k = (0, 0, 1)

8 ropriedades do produto externo em R 3 [3 07] Dados X, Y, Z R 3, α R, e O o vetor nulo R 3 1. X Y = (Y X); 2. X (Y + Z) = X Y + X Z, (X + Y ) Z = X Z + Y Z; 3. α(x Y ) = (αx) Y = X (αy ); 4. X X = O; 5. X O = O X = O; 6. Fórmula de Lagrange (X Y ) Z = (Z X)Y (Z Y )X, X (Y Z) = (X Z)Y (X Y )Z. 7. Identidade de Jacobi X (Y Z) + Y (Z X) + Z (X Y ) = O.

9 roduto misto [3 08] Se X = (x 1, x 2, x 3 ), Y = (y 1, y 2, y 3 ), Z = (z 1, z 2, z 3 ) R 3, então x 1 x 2 x 3 (X Y ) Z = X (Y Z) = y 1 y 2 y 3 z 1 z 2 z 3 e este diz-se o produto misto de X, Y e Z. Consequências das propriedades do produto interno em R 3 1. Como (X Y ) X = (X Y ) Y = 0, então X Y é um vetor ortogonal a X e a Y. 2. X Y = X Y sin(θ), onde θ é o ângulo entre X e Y. Exercício: Mostre que Y (Z X) = (X Y ) Z.

10 Aplicações do produto externo e do produto misto [3 09] Sejam X, Y, Z R 3, então a área do paralelogramo com lados correspondentes aos vetores X, Y é A = X Y a área do triangulo com dois dos seus lados correspondentes aos vetores X, Y é A = X Y 2 o volume do paralelepípedo com arestas correspondentes aos vetores X, Y, Z é V = (X Y ) Z Exercício: Verifique os exercícios 7 e 9 da Folha prática n o 3.

11 Retas em R 3 [3 10] Dada uma reta R em R 3 que passa pelo ponto e tem vetor diretor v, X R α R : OX = O + αv. Uma equação vetorial da reta R é OX = O + αv, α R, a partir da qual se obtêm as equações paramétricas de R: x = x 0 + αv 1 y = y 0 + αv 2, α R, z = z 0 + αv 3 sendo X(x, y, z), (x 0, y 0, z 0 ) e v = (v 1, v 2, v 3 ). Eliminando o parâmetro α do anterior sistema, obtém-se um sistema de grau 1 com 3 incógnitas e 2 equações, ditas as equações cartesianas de R.

12 lanos em R 3 Equações vetoriais e paramétricas [3 11] Dado um plano em R 3 que passa pelo ponto e tem vetores diretores u e v (não colineares), X α, β R : Uma equação vetorial do plano é OX = O + αu + βv. OX = O + αu + βv, α, β R, a partir da qual se obtêm as equações paramétricas de : x = x 0 + αu 1 + βv 1 y = y 0 + αu 2 + βv 2, α, β R, z = z 0 + αu 3 + βv 3 com X(x, y, z), (x 0, y 0, z 0 ), u = (u 1, u 2, u 3 ), v = (v 1, v 2, v 3 ).

13 lanos em R 3 Equações cartesianas [3 12] Eliminando os parâmetros α e β do anterior sistema, tem-se uma equação ax + by + cz + d = 0, dita equação (cartesiana) geral do plano. Verifica-se que w = (a, b, c) é um vetor não nulo ortogonal a. De facto, dois pontos arbitrários deste plano, i (x i, y i, z i ), i = 0, 1, satisfazem donde ax i + by i + cz i + d = 0, i = 0, 1, a(x 1 x 0 ) + b(y 1 y 0 ) + c(z 1 z 0 ) = 0, ou seja, para qualquer vetor 0 1 do plano, tem-se w 0 1 = 0.

14 osição relativa de dois planos [3 13] Seja [A B] a matriz ampliada 2 4 do sistema constituído pelas equações gerais dos planos e de R 3. Então os planos e são: coincidentes se car ([A B]) = car(a) = 1; concorrentes, isto é, intersectam-se numa reta se car ([A B]) = car(a) = 2. estritamente paralelos se car ([A B]) > car(a) = 1;

15 osição relativa de uma reta e um plano [3 14] Seja [A B] a matriz ampliada 3 4 do sistema constituído pelas equações cartesianas da reta R e pela equação geral do plano de R 3. Então a reta R e o plano são: tais que R se car ([A B]) = car(a) = 2; concorrentes, isto é, intersectam-se num ponto se car ([A B]) = car(a) = 3. estritamente paralelos se car ([A B]) > car(a) = 2;

16 osição relativa de duas retas [3 15] Seja [A B] a matriz ampliada 4 4 do sistema constituído pelas equações cartesianas das retas R e R de R 3. Então as retas R e R são: coincidentes se car ([A B]) = car(a) = 2; concorrentes, isto é, intersectam-se num ponto se car ([A B]) = car(a) = 3; estritamente paralelas se car ([A B]) = 3 > car(a) = 2; enviezadas, isto é, não complanares se car ([A B]) = 4 > car(a) = 3.

17 Distâncias [3 16] A distância entre dois pontos e Q de R n é d(, Q) = Q. Em particular, para Q(x 1,..., x n ) e (y 1,..., y n ), tem-se d(, Q) = (x 1 y 1 ) (x n y n ) 2. Dados um ponto, reta ou plano F e um ponto, reta ou plano G de R 3, a distância entre F e G é d(f, G) = min { d(, Q) : F, Q G}. Nota: Se F G, então d(f, G) = 0. De seguida, analisamos os casos em que F e G são disjuntos.

18 Distância de um ponto a um plano [3 17] Dados um plano e um ponto, existe uma única reta R perpendicular ao plano e contendo o ponto. R d(, ) Q A distância do ponto ao plano é d(, ) = d(, Q), em que Q é o ponto de interseção da reta R com o plano.

19 Distância de um ponto a um plano (equação geral) [3 18] Dados um plano e um ponto, sejam Q e w um vetor não nulo ortogonal ao plano. Então, d(, ) = Q w. w w d(, ) Q Sendo (x 0, y 0, z 0 ) e ax + by + cz + d = 0 uma equação geral do plano, tem-se d(, ) = ax 0 + by 0 + cz 0 + d a2 + b 2 + c 2.

20 Aplicação: Distância de uma reta a um plano [3 19] Uma reta R e um plano disjuntos são estritamente paralelos. R d(r, ) Nesse caso, a distância da reta R ao plano é d(r, ) = d(, ), para qualquer R.

21 Aplicação: Distância entre planos [3 20] Dois planos e disjuntos são estritamente paralelos. d(, ) A distância entre os planos e é d(, ) = d(, ), para qualquer. Nota: Nos dois casos antes descritos, distância reta/plano ou plano/plano, o estudo reduz-se ao cálculo da distância de um ponto a um plano.

22 Distância de um ponto a uma reta [3 21] Dada uma reta R e um ponto R, existe um único plano perpendicular a R e que contém. d(, R) R Q A distância do ponto à reta R é d(, R) = d(, Q), em que Q é o ponto de interseção da reta R com o plano.

23 Distância de um ponto a uma reta (equação vetorial) [3 22] Dada uma reta R que passa pelo ponto Q e que tem vetor diretor u, d(, R) θ R Q u e um ponto R, tem-se que d(, R) = Q sin(θ) = sendo θ o ângulo entre os vetores u e Q. u Q, u

24 Aplicação: Distância entre retas paralelas [3 23] Duas retas disjuntas de R 3 são estritamente paralelas ou enviezadas. R d(r, R) R A distância entre retas estritamente paralelas R e R é d(r, R) = d(, R), para qualquer R.

25 Aplicação: Distância entre retas enviezadas [3 24] Dadas retas enviezadas R e R, existe um único plano estritamente paralelo a R e que contém R. d(r, R ) R R A distância entre retas enviezadas R e R é d(r, R ) = d(r, ) = d(, ), para qualquer R.

26 Aplicação: Ângulo entre retas [3 25] Dadas duas retas R e R de vetores diretores u e u, respetivamente, u θ R u R o ângulo entre as retas R e R é (R, R ) = θ = arccos u u u u [ 0, π ]. 2

27 Aplicação: Ângulo entre planos [3 26] R θ R O ângulo entre os planos e é (, ) = θ = (R, R ), sendo R e R retas perpendiculares aos planos e, respetivamente.

28 Aplicação: Ângulo entre uma reta e um plano [3 27] R R θ = (R, ) θ α α = (R, R ) são ângulos complementares (θ = π 2 α) O ângulo entre uma reta R e um plano é (R, ) = θ = π 2 (R, R ) = arcsin u w u w [ 0, π ], 2 onde R é uma reta ortogonal ao plano, u um vetor diretor da reta R e w um vetor ortogonal ao plano.

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