Planos no Espaço. Laura Goulart. 28 de Agosto de 2018 UESB. Laura Goulart (UESB) Planos no Espaço 28 de Agosto de / 31
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1 Planos no Espaço Laura Goulart UESB 28 de Agosto de 2018 Laura Goulart (UESB) Planos no Espaço 28 de Agosto de / 31
2 Equação Vetorial do Plano Um dos axiomas de Geometria Espacial nos diz que três pontos A, B e C não colineares determinam um único plano π. É claro que os vetores AB e AC são li. Laura Goulart (UESB) Planos no Espaço 28 de Agosto de / 31
3 Equação Vetorial do Plano Um dos axiomas de Geometria Espacial nos diz que três pontos A, B e C não colineares determinam um único plano π. É claro que os vetores AB e AC são li. Portanto, um ponto P π sse os vetores AB, AC e AP são coplanares, ie, eles são ld. Laura Goulart (UESB) Planos no Espaço 28 de Agosto de / 31
4 Equação Vetorial do Plano Um dos axiomas de Geometria Espacial nos diz que três pontos A, B e C não colineares determinam um único plano π. É claro que os vetores AB e AC são li. Portanto, um ponto P π sse os vetores AB, AC e AP são coplanares, ie, eles são ld. Logo, existem parâmetros t, h tais que AP = t AB + h AC. Laura Goulart (UESB) Planos no Espaço 28 de Agosto de / 31
5 Equação Vetorial do Plano Um dos axiomas de Geometria Espacial nos diz que três pontos A, B e C não colineares determinam um único plano π. É claro que os vetores AB e AC são li. Portanto, um ponto P π sse os vetores AB, AC e AP são coplanares, ie, eles são ld. Logo, existem parâmetros t, h tais que Portanto, AP = t AB + h AC. π : P = A + t AB + h AC (1) Laura Goulart (UESB) Planos no Espaço 28 de Agosto de / 31
6 Observações 1) Os vetores AB e AC são chamados de vetores diretores do plano π e a equação (1) é chamada de equação vetorial do plano. Laura Goulart (UESB) Planos no Espaço 28 de Agosto de / 31
7 Observações 1) Os vetores AB e AC são chamados de vetores diretores do plano π e a equação (1) é chamada de equação vetorial do plano. 2) Não faz sentido dizer que um vetor pertence a um plano. De fato, um plano é um conjunto de pontos e por outro lado, os vetores são "livres", ie, podem ser transladados para qualquer outro ponto que não pertence ao plano. O correto é dizer que um vetor é paralelo a um plano. Laura Goulart (UESB) Planos no Espaço 28 de Agosto de / 31
8 3) É fundamental na determinação da equação vetorial de um plano conhecermos um ponto deste plano e dois vetores l.i. e paralelos ao plano. Laura Goulart (UESB) Planos no Espaço 28 de Agosto de / 31
9 Exemplo Dê uma equação vetorial do plano determinado pelos pontos A(1, 1, 0); B( 1, 2, 1) e C(3, 2, 1). Laura Goulart (UESB) Planos no Espaço 28 de Agosto de / 31
10 Equação Paramétrica do Plano Consideremos P 0 (x 0, y 0, z 0 ) um ponto do plano π e os vetores diretores u = (a 1, b 1, C 1 ) e v = (a 2, b 2, c 2 ). Laura Goulart (UESB) Planos no Espaço 28 de Agosto de / 31
11 Equação Paramétrica do Plano Consideremos P 0 (x 0, y 0, z 0 ) um ponto do plano π e os vetores diretores u = (a 1, b 1, C 1 ) e v = (a 2, b 2, c 2 ). A equação 1 equivale ao sistema: Laura Goulart (UESB) Planos no Espaço 28 de Agosto de / 31
12 Equação Paramétrica do Plano Consideremos P 0 (x 0, y 0, z 0 ) um ponto do plano π e os vetores diretores u = (a 1, b 1, C 1 ) e v = (a 2, b 2, c 2 ). A equação 1 equivale ao sistema: x = x 0 + a 1 t + a 2 h y = y 0 + b 1 t + b 2 h z = z 0 + c 1 t + c 2 h (2) Laura Goulart (UESB) Planos no Espaço 28 de Agosto de / 31
13 Equação Paramétrica do Plano Consideremos P 0 (x 0, y 0, z 0 ) um ponto do plano π e os vetores diretores u = (a 1, b 1, C 1 ) e v = (a 2, b 2, c 2 ). A equação 1 equivale ao sistema: x = x 0 + a 1 t + a 2 h y = y 0 + b 1 t + b 2 h z = z 0 + c 1 t + c 2 h A equação (2) é chamada equação paramétrica do plano. (2) Laura Goulart (UESB) Planos no Espaço 28 de Agosto de / 31
14 Exemplo Dê uma equação paramétrica do plano π paralelos aos vetores u = ( 1, 2, 1); (1, 0, 3) e que passa pelo ponto A(2, 4, 1). Laura Goulart (UESB) Planos no Espaço 28 de Agosto de / 31
15 Equação Geral do Plano Lembremos que os vetores [ P 0 P, u, v] = 0 P 0 P, u e v são coplanares, ie, Laura Goulart (UESB) Planos no Espaço 28 de Agosto de / 31
16 Equação Geral do Plano Lembremos que os vetores P 0 P, u e v são coplanares, ie, [ P 0 P, u, v] = 0 < P 0 P, u v >= 0. Laura Goulart (UESB) Planos no Espaço 28 de Agosto de / 31
17 Equação Geral do Plano Lembremos que os vetores P 0 P, u e v são coplanares, ie, [ P 0 P, u, v] = 0 < P 0 P, u v >= 0. O vetor n = u v = (a, b, c) é chamado de vetor normal ao plano π. Laura Goulart (UESB) Planos no Espaço 28 de Agosto de / 31
18 Equação Geral do Plano Lembremos que os vetores P 0 P, u e v são coplanares, ie, [ P 0 P, u, v] = 0 < P 0 P, u v >= 0. O vetor n = u v = (a, b, c) é chamado de vetor normal ao plano π. Por outro lado, P 0 P = P P 0 = (x x 0, y y 0, z z 0 ). Laura Goulart (UESB) Planos no Espaço 28 de Agosto de / 31
19 Equação Geral do Plano Lembremos que os vetores P 0 P, u e v são coplanares, ie, [ P 0 P, u, v] = 0 < P 0 P, u v >= 0. O vetor n = u v = (a, b, c) é chamado de vetor normal ao plano π. Por outro lado, P 0 P = P P 0 = (x x 0, y y 0, z z 0 ). Portanto, π : ax + by + cz + d = 0 (3) Laura Goulart (UESB) Planos no Espaço 28 de Agosto de / 31
20 Equação Geral do Plano Lembremos que os vetores P 0 P, u e v são coplanares, ie, [ P 0 P, u, v] = 0 < P 0 P, u v >= 0. O vetor n = u v = (a, b, c) é chamado de vetor normal ao plano π. Por outro lado, P 0 P = P P 0 = (x x 0, y y 0, z z 0 ). Portanto, π : ax + by + cz + d = 0 (3) A equação (3) é chamada de equação geral do plano. Laura Goulart (UESB) Planos no Espaço 28 de Agosto de / 31
21 Exemplo Determine uma equação geral do plano π que passa pelo ponto A(3, 1, 2) e é paralelo aos vetores u = ( 1, 1, 2) e v = (1, 1, 0). Laura Goulart (UESB) Planos no Espaço 28 de Agosto de / 31
22 Posição Relativa entre Planos Dois planos podem ser concorrentes, paralelos distintos ou paralelos coincidentes e para estudar a posição relativa, vamos dividir o nosso estudo nesses casos. Considere os planos π 1 : a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 π 2 : a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0. e Laura Goulart (UESB) Planos no Espaço 28 de Agosto de / 31
23 1o. Caso: Planos Concorrentes π 2 e π 2 são concorrentes sse n π1 e n π2 são l.i. Laura Goulart (UESB) Planos no Espaço 28 de Agosto de / 31
24 Exemplo Estude a posição relativa dos planos π 1 : P = (1, 0, 1) + t (2, 1, 3) + h (0, 0, 1) e π 2 : 2x + y z + 1 = 0. Laura Goulart (UESB) Planos no Espaço 28 de Agosto de / 31
25 Observação A interseção de dois planos concorrentes é uma reta r determinada pelo seguinte sistema: { a1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 (4) Esse sistema é denominado equação geral da reta r. Laura Goulart (UESB) Planos no Espaço 28 de Agosto de / 31
26 Observação A interseção de dois planos concorrentes é uma reta r determinada pelo seguinte sistema: { a1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 (4) Esse sistema é denominado equação geral da reta r. Exemplo Dados os planos π 1 : 2x + 4y z + 1 = 0 e π 2 : x + 2y + z + 2 = 0, determine uma equação paramétrica da reta r de interseção dos planos. Laura Goulart (UESB) Planos no Espaço 28 de Agosto de / 31
27 2o. caso: Planos Paralelos π 1 e π 2 são paralelos sse n π1 e n π2 são l.d. Laura Goulart (UESB) Planos no Espaço 28 de Agosto de / 31
28 2o. caso: Planos Paralelos π 1 e π 2 são paralelos sse n π1 e n π2 são l.d. Observação Além de paralelos, os planos podem ser distintos ou coincidentes. Para que os planos sejam coincidentes é necessário e suciente que todo ponto que satisfaz a equação do plano π 1 plano π 2, ie, se n π1 deve também satisfazer a equação do = α n π2 então d 1 = α d 2. Laura Goulart (UESB) Planos no Espaço 28 de Agosto de / 31
29 Exemplo Estude a posição relativa dos planos π 1 : 2x + y z + 1 = 0 π 2 : 4x + 2y 2z + 1 = 0. e Laura Goulart (UESB) Planos no Espaço 28 de Agosto de / 31
30 Ângulo entre planos Considere os planos concorrentes π 1 : a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 π 2 : a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0. e O ângulo formado pelos planos π 1 e π 2 é o menor ângulo formado pelos vetores normais n π1 e n π2. Laura Goulart (UESB) Planos no Espaço 28 de Agosto de / 31
31 Ângulo entre planos Considere os planos concorrentes π 1 : a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 π 2 : a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0. e O ângulo formado pelos planos π 1 e π 2 é o menor ângulo formado pelos vetores normais n π1 e n π2. Logo, cos (π 1, π 2 ) = < n π 1, n π2 > n π1 n π2 Laura Goulart (UESB) Planos no Espaço 28 de Agosto de / 31
32 Observações 1) Se os planos são paralelos e coincidentes diremos que o ângulo é nulo. Laura Goulart (UESB) Planos no Espaço 28 de Agosto de / 31
33 Observações 1) Se os planos são paralelos e coincidentes diremos que o ângulo é nulo. 2) Para planos que são paralelos e distintos não denimos o ângulo. Laura Goulart (UESB) Planos no Espaço 28 de Agosto de / 31
34 Exemplo Determine o ângulo formado pelos planos π 1 : 2x + y z + 1 = 0 π 2 : x + y + z + 2 = 0. e Laura Goulart (UESB) Planos no Espaço 28 de Agosto de / 31
35 Distância entre um ponto e um plano A distância do ponto P 0 (x 0, y 0, z 0 ) ao plano π : ax + by + cz + d = 0 denida como sendo a menor distância entre P 0 até o ponto de π mais próximo de P 0. é Laura Goulart (UESB) Planos no Espaço 28 de Agosto de / 31
36 Distância entre um ponto e um plano A distância do ponto P 0 (x 0, y 0, z 0 ) ao plano π : ax + by + cz + d = 0 denida como sendo a menor distância entre P 0 até o ponto de π mais próximo de P 0. Assim, dado um ponto P 1 (x 1, y 1, z 1 ) π, podemos achar a projeção ortogonal de P 1 P 0 na direção do vetor normal n. é Laura Goulart (UESB) Planos no Espaço 28 de Agosto de / 31
37 Distância entre um ponto e um plano A distância do ponto P 0 (x 0, y 0, z 0 ) ao plano π : ax + by + cz + d = 0 denida como sendo a menor distância entre P 0 até o ponto de π mais próximo de P 0. Assim, dado um ponto P 1 (x 1, y 1, z 1 ) π, podemos achar a projeção ortogonal de P 1 P 0 na direção do vetor normal n. é Portanto, a distância entre o ponto P 0 projeção ortogonal. e o plano π é a norma da Laura Goulart (UESB) Planos no Espaço 28 de Agosto de / 31
38 Portanto, d(p 0, π) = < P 1 P 0, n > n Laura Goulart (UESB) Planos no Espaço 28 de Agosto de / 31
39 Exemplo Determine a distância do ponto A(1, 1, 2) ao plano π : 2x y + 2z + 4 = 0. Laura Goulart (UESB) Planos no Espaço 28 de Agosto de / 31
40 Distância entre planos A distância entre os planos π 1 : a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 π 2 : a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 pontos dos planos. Portanto, é defnida como a menos distância entre os e Laura Goulart (UESB) Planos no Espaço 28 de Agosto de / 31
41 Distância entre planos A distância entre os planos π 1 : a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 π 2 : a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 pontos dos planos. Portanto, é defnida como a menos distância entre os Se os planos são paralelos e distintos, podemos concluir que d(π 1, π 2 ) = d(p 1, π 2 ) ou d(π 1, π 2 ) = d(p 2, π 1 ), onde P 1 π 1 e P 2 π 2. e Laura Goulart (UESB) Planos no Espaço 28 de Agosto de / 31
42 Para os planos concorrentes ou paralelos coincidentes, denimos que d(π 1, π 2 ) = 0. Laura Goulart (UESB) Planos no Espaço 28 de Agosto de / 31
43 Exemplo Determine a distância entre os planos π 1 : 2x + 2y 2z + 1 = 0 x = h π 2 : y = t + h. z = t e Laura Goulart (UESB) Planos no Espaço 28 de Agosto de / 31
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