Capítulo 12. Ângulo entre duas retas no espaço. Definição 1. O ângulo (r1, r2 ) entre duas retas r1 e r2 é assim definido:

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1 Capítulo 1 1. Ângulo entre duas retas no espaço Definição 1 O ângulo (r1, r ) entre duas retas r1 e r é assim definido: (r1, r ) 0o se r1 e r são coincidentes, se as retas são concorrentes, isto é, r1 r {P }, então (r1, r ) é o menor dos ângulos positivos determinados pelas retas no plano que as contém. Em particular, 0o < (r1, r ) 90o. Fig. 1: Retas concorrentes: θ (r1, r ) < ϕ. se r1 r, temos duas situações a considerar: se r1 k r, então (r1, r ) 0o. se r1 e r não são paralelas e não se intersectam, dizemos que as retas são reversas. Neste caso, seja P r1 e seja r0 a paralela a r que passa por P. Então as retas r1 e r0 são concorrentes e definimos (r1, r ) (r1, r0 ) Fig. : Retas reversas: θ (r1, r ).

2 00 Geometria Analítica - Capítulo 1 Além disso, pelo paralelismo, (r 1, r ) independe do ponto P escolhido. A medida dos ângulos pode ser dada em graus ou radianos. Sejam v1 e v vetores paralelos às retas concorrentes (ou reversas) r 1 e r, respectivamente. Então, v1, v cos (r 1, r ) cos ( v1, v ) v1 v, 0o < (r 1, r ) 90 o Pois ( v1, v ) (r 1, r ) ou ( v1, v ) 180 o (r 1, r ). Fig. 3: (r 1, r ) θ. A fórmula vale também quando r 1 e r são paralelas ou coincidentes, isto é, quando (r 1, r ) 0 o, pois λ v, v v 1 λ v λ v v λ v, v λ v v 1 cos 0o cos (r 1, r ). Exemplo 1 Calcule o ângulo entre as retas r 1 : x 1 y + 1 z e r : x + y 1 Mostre, também, que essas retas são reversas. z 3. Solução. Temos que v1 (,, ) r 1 e v (1,, 3) r. Logo, IM-UFF K. Frensel - J. Delgado

3 Geometria Analítica - Capítulo 1 01 cos (r 1, r ) v1, v v1 v Assim, o ângulo entre r 1 e r é o ângulo entre 0 o e 90 o cujo cosseno é igual a 7. Para verificar que as retas r 1 e r são reversas, observamos primeiro que os vetores v1 e v não são múltiplos, pois ( ) det Portanto, as retas não são coincidentes e nem paralelas, podendo ser concorrentes ou reversas. Para concluir que r 1 e r são reversas, devemos mostrar que elas não se intersectam. As equações paramétricas de r 1 são: x 1 + t r 1 : y 1 + t ; t R. z t Seja P (1 + t, 1 + t, t) um ponto de r 1. Vamos tentar determinar o valor do parâmetro t de modo que P esteja também em r : P r (1 + t) t + t ( 1 + t) 1 t 3 t t 1 + t (t 1) 3 Da segunda igualdade, obtemos t 1 0, ou seja, t 1. Porém, substituindo esse valor na primeira igualdade, obtemos a identidade impossível 5 0. Portanto, não existe P r 1 r. Isto é, as retas não são concorrentes e sim reversas. K. Frensel - J. Delgado IM-UFF

4 0 Geometria Analítica - Capítulo 1. Ângulo entre dois planos Definição Sejam π 1 : a 1 x + b 1 y + c 1 z d 1 e π : a x + b y + c z d dois planos no espaço. O ângulo entre os planos π 1 e π, representado por (π 1, π ), se define da seguinte maneira: (π 1, π ) 0 o se os planos são paralelos (π 1 π ) ou coincidentes (π 1 π ). se π 1 e π não são paralelos nem coincidentes, então se intersectam ao longo de uma reta r. Fig. 4: (π 1, π ) θ. Sejam P r um ponto qualquer, r 1 a reta perpendicular a r contida em π 1 que passa por P e r a perpendicular a r contida em π que passa por P. Definimos (π 1, π ) (r 1, r ) Tomando A r 1 {P} e B r {P}, vemos que (π 1, π ) é o menor ângulo positivo cujo cosseno é PA, PB cos (π 1, π ) cos (r 1, r ) cos ( PA, PB ) PA PB Sejam agora a reta s 1 perpendicular ao plano π 1 que passa pelo ponto A, e a reta s perpendicular ao plano π que passa por B. As retas s 1 e s se intersectam em um ponto C. Como os ângulos ( PA, PB ) e ( CA, CB ) são suplementares (a soma é 180 o ), temos cos cos (π 1, π ) cos ( PA, PB ) ( CA, CB ). Além disso, como π 1 v1 (a 1, b 1, c 1 ) e π v (a, b, c ), os IM-UFF K. Frensel - J. Delgado

5 Geometria Analítica - Capítulo 1 03 ângulos ( v1, v ) e ( CA, CB ) são iguais ou suplementares. Logo, v1, v cos (π 1, π ) cos ( v1, v ) v1 v A fórmula vale também quando os planos são paralelos ou coincidentes. Exemplo Calcule o ângulo entre os planos π 1 : y+1 0 e π : y+z+ 0. Solução. Temos que v1 (0, 1, 0) π 1 e v o menor ângulo positivo cujo cosseno é v1, v cos (π 1, π ) cos ( v1, v ) v1 v (0, 1, 0), (0, 1, 1) (0, 1, 0) (0, 1, 1) Portanto, (π 1, π ) 45 o π 4. (0, 1, 1) π. Logo (π 1, π ) é 1 (1) 1, 3. Ângulo entre uma reta r e um plano π Definição 3 Sejam r uma reta e π um plano no espaço. Sejam w um vetor normal ao plano π e v um vetor paralelo à reta r. Seja θ o menor ângulo não-negativo entre r e w (0 θ 90 o ). O ângulo entre r e π é, por definição, o complementar do ângulo θ. Isto é, (r, π) 90 o θ π θ Fig. 5: (r, π) π θ. K. Frensel - J. Delgado IM-UFF

6 04 Geometria Analítica - Capítulo 1 Logo, ( ) π sen (r, π) sen θ cos θ v, w v w Essa fórmula vale ainda quando r π e quando r π, pois θ 90 o nesses casos, já que v w. Exemplo 3 Calcular o seno do ângulo entre a reta r e o plano π, onde x t r : y t 1 ; t R e π : x y z 4 Solução. Temos que v (1,, 0) r v, w sen (r, π) v w e w (1,, 0) π. Logo, (1,, 0), (1,, 0) (1,, 0) (1,, 0) Distância de um ponto P 0 a um plano π Definição 4 A distância do ponto P 0 ao plano π, designada d(p 0, π), é, por definição, a menor das distâncias de P 0 aos pontos P π. Isto é, d(p 0, π) min { d(p 0, P) P π } Com a notação da definição anterior, seja P o ponto de intersecção de π com a reta r que passa por P 0 e é perpendicular a π. Se P é um ponto qualquer no plano π, diferente de P, obtemos, pelo teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo retângulo P 0 P P, que: d(p 0, P) d(p 0, P ) + d(p, P) > d(p 0, P ). Logo d(p 0, P) > d(p 0, P ) e, portanto, d(p 0, P ) min {d(p 0, P) P π}. IM-UFF K. Frensel - J. Delgado

7 Geometria Analítica - Capítulo 1 05 Isto é, d(p 0, π) d(p 0, P ) Se P 0 (x 0, y 0, z 0 ) e π : ax + by + cz d, temos que r w (a, b, c) π e, portanto, as equações paramétricas de r são: x x 0 + at r : y y 0 + bt ; t R. z z 0 + ct Fig. : Cálculo de d(p 0, π). Como P r, P (x 0 + at, y 0 + bt, z 0 + ct), para algum valor t R por determinar. Além disso, P π. Logo, ou seja, a(x 0 + at) + b(y 0 + bt) + c(z 0 + ct) d, (a + b + c )t d ax 0 by 0 cz 0 t ax 0 + by 0 + cz 0 d a + b + c. Assim, d(p 0, P ) P 0 P (at, bt, ct) t(a, b, c) t (a, b, c) ax 0 + by 0 + cz 0 d a + b + c (a, b, c) ax0 + by 0 + cz 0 d (a, b, c) (a, b, c) ax0 + by 0 + cz 0 d (a, b, c) Logo a distância do ponto P 0 (x 0, y 0, z 0 ) ao plano π : ax + by + cz d é: d(p 0, π) ax0 + by 0 + cz 0 d a + b + c Exemplo 4 Calcular a distância do ponto A (1,, 3) ao plano π : x +y 5z 4. K. Frensel - J. Delgado IM-UFF

8 0 Geometria Analítica - Capítulo 1 Solução. (a) Usando a fórmula: d(a, π) ax0 + by 0 + cz 0 d (1) + 1() 5(3) 4 15 a + b + c ( 5) 30 (b) Sem usar a fórmula: 15. A reta r que passa por A (1,, 3) e é paralela ao vetor w (, 1, 5) π, é dada por: x 1 + t r : y + t ; t R. z 3 5t Seja {B} r π. As coordenadas de B (1+t, +t, 3 5t) satisfazem a equação de π: ou seja, (1 + t) + ( + t) 5(3 5t) 4, + 4t + + t t 4 30t 15 t 1. Logo B A + 1 w, isto é, AB 1 w 1 (, 1, 5) e, portanto, 1 d(a, π) d(a, B) AB w é a distância procurada. 5. Distância entre dois planos Definição 5 A distância entre os planos π 1 e π, designada d(π 1, π ), é, por definição, a menor dentre as distâncias dos pontos de π 1 aos pontos de π. Isto é, d(π 1, π ) min { d(p, Q) P π 1 e Q π } Note que, IM-UFF K. Frensel - J. Delgado

9 Geometria Analítica - Capítulo 1 07 se π 1 e π são coincidentes, isto é, π 1 π, então d(π 1, π ) 0. se π 1 e π são concorrentes, π 1 π é uma reta, e d(π 1, π ) 0. O caso interessante a considerar é o seguinte: suponhamos que π 1 e π são planos paralelos dados pelas equações: π 1 : ax + by + cz d 1 π : ax + by + cz d Sejam P 1 π 1 e Q 1 o pé da perpendicular baixada do ponto P 1 sobre o plano π. Sejam P π 1, Q π e P o pé da perpendicular baixada do ponto P sobre o plano π. Então, d(p, Q) d(p, P ) d(p 1, Q 1 ), pois P 1 Q 1 P P é um retângulo. Assim, Fig. 7: Cálculo de d(π 1, π ). d(π 1, π ) d(p 1, Q 1 ) d(p 1, π ), qualquer que seja P 1 π 1 Se P 1 (x 1, y 1, z 1 ) π 1, isto é, ax 1 + by 1 + cz 1 d 1, então: ax1 + by 1 + cz 1 d d(π 1, π ) d(p 1, π ) d 1 d a + b + c a. + b + c Isto é, a distância entre π 1 : ax + by + cz d 1 e π : ax + by + cz d é dada por: d(π 1, π ) d 1 d a + b + c Exemplo 5 Calcule a distância entre π 1 : x + y + z e π : x + 4y + z. Solução. Como π : x + y + z 3, π 1 π ; logo, d(π 1, π ) K. Frensel - J. Delgado IM-UFF

10 08 Geometria Analítica - Capítulo 1. Distância entre uma reta e um plano Definição A distância entre uma reta r e um plano π é o número d(r, π) dado por: d(r, π) min { d(p, Q) P r e Q π } Note que, se r π (r π ou r π {P}) então d(r, π) 0. O caso interessante ocorre quando r π, isto é, r π. Sejam P 1 r e Q 1 o pé da perpendicular baixada do ponto P 1 sobre o plano π. Sejam P r e Q π pontos arbitrários e P o pé da perpendicular baixada do ponto P sobre o plano π. Então, d(p, Q) d(p, P ) d(p 1, Q 1 ), pois P 1 Q 1 P P é um retângulo. Logo, d(r, π) d(p 1, Q 1 ) d(p 1, π), Fig. 8: Cálculo de d(r, π ). qualquer que seja P 1 r Exemplo Mostre que a reta r é paralela ao plano π, onde r : x + 3y + 1 Calcule também d(r, π). Solução. 1 z 3 e π : x 3y + z 3. A equação simétrica de r pode ser reescrita da seguinte maneira: r : x + y z 1 3. Logo a reta r passa pelo ponto A (, 1, 1) e é paralela ao vetor 3 v (,, 3), e o plano π é perpendicular vetor w (, 3, ). IM-UFF K. Frensel - J. Delgado

11 Geometria Analítica - Capítulo 1 09 Temos v w, pois: v, w (,, 3), (, 3, ) ()() + ( )( 3) + ( 3)() Logo a reta r é paralela ao plano π ou está contida no plano π. Para mostrar que r π, basta verificar que um ponto de r não pertence a π. De fato, A (, 1, 1) π, pois 3 ( ) 3( 1 ) + (1) Portanto, r π, isto é, r π. Além disso, ( ) 3( 1 3 d(r, π) d(a, π) ) + (1) Distância de um ponto a uma reta Definição 7 Sejam P um ponto e r uma reta no espaço. A distância do ponto P à reta r, designada d(p, r ), é o número d(p, r ) min { d(p, Q) Q r } Seja P o pé da perpendicular baixada do ponto P sobre a reta r. Para todo ponto Q r, Q P, temos, pelo teorema de Pitágoras, que: d(p, Q) d(p, P ) + d(p, Q) > d(p, P ), Logo d(p, Q) > d(p, P ) e, portanto, d(p, r ) d(p, P ) Fig. 9: Cálculo de d(p, r ). Assim, para calcular a distância de P à reta r, devemos: K. Frensel - J. Delgado IM-UFF

12 10 Geometria Analítica - Capítulo 1 determinar o ponto P, pé da perpendicular baixada de P sobre r ; calcular d(p, P ) PP. Determinando o ponto P Suponhamos que r é dada por { r P 1 + t } v t R. Como P r, P P 1 + t v para algum t R. Determinar P equivale, então, a determinar t. Sendo o vetor PP PP 1 + t v perpendicular a v, temos: 0 PP, v PP 1 + t v, v PP 1, v + t v, v PP 1, v + t v, v PP 1, v + t v. Logo t PP 1, v v Cálculo de d(p, r ) e o ponto P é: P P 1 + t v P1 PP 1, v v v Conhecendo o ponto P, pé da perpendicular baixada de P sobre a reta r, formamos o vetor PP, cuja norma é a distância d(p, r ). Temos PP PP 1 + t PP 1, v v PP 1 v v. Logo, d(p, r ) PP PP, PP PP 1 + t v, PP 1 + t v PP 1, PP 1 + t PP 1, v + (t ) v, v PP 1 + t PP 1, v + (t ) v. IM-UFF K. Frensel - J. Delgado

13 Geometria Analítica - Capítulo 1 11 Substituindo t PP 1, v nessa expressão, obtemos: v d(p, r ) PP 1 PP 1, ( v PP v 1, PP 1, ) v v + v v PP 1 PP 1, v v + PP 1 PP 1, v v PP 1 v PP 1, v v PP 1, v v Isto é, d(p, r ) PP 1 v PP 1, v v Exemplo 7 Calcule a distância entre o ponto P (, 5, 1) e a reta r que passa por P 0 (1, 1, ) e é paralela ao vetor v (1, 0, 1). Solução. Seja Q o pé da perpendicular baixada do ponto P sobre a reta r e seja t 0 R tal que Q P 0 + t 0 v. Então PQ é perpendicular à reta r se, e somente se, 0 PQ, v PP 0 + t 0v, v PP 0, v + t0 v, v. Como PP 0 ( 1,, 3) e v (1, 0, 1): 0 PP 0, v + t0 v, v Logo t 0 1 e, portanto, ( 1,, 3), (1, 0, 1) + t 0 (1, 0, 1), (1, 0, 1) ( 1 + 3) + t 0 (1 + 1) + t 0. Q P 0 + t 0 v (1, 1, ) (1, 0, 1) (0, 1, 1). K. Frensel - J. Delgado IM-UFF

14 1 Geometria Analítica - Capítulo 1 Assim, d(p, r ) d(p, Q) PQ ( 0) + (5 ( 1)) + ( 1 1) Exemplo 8 Determine o conjunto S dos pontos do espaço que estão a distância da reta r paralela ao vetor v (1,, 1) que passa pela origem. Solução. Temos que Q S se, e somente se, existe P r tal que PQ. PQ r e Sejam P (t, t, t), t R, um ponto de r e Q (x, y, z). Então, PQ r PQ v PQ, v 0 se, e somente se, 0 PQ, v (x t, y t, z t), (1,, 1) x t + y 4t + z t x + y + z t. Isto é, t x + y + z. Fig. 10: Exemplo 8. IM-UFF K. Frensel - J. Delgado

15 Geometria Analítica - Capítulo 1 13 Suponhamos agora que PQ. Como ( x + y + z P, x + y + z, x + y + z ), temos: PQ ( x x + y + z ( 5x y z,, y x + y + z x + y z,, z x + y + z ) ). x y + 5z Logo d(q, r ) d(p, Q) PQ se, e somente se, PQ 4, isto é, se, e somente se, 4 PQ se, e somente se, (5x y z) 3 + ( x + y z) 3 + ( x y + 5z) 3 (5x y z) + ( x + y z) + ( x y + 5z) 4(3). Desenvolvendo os quadrados e simplificando, obtemos a equação de S: S : 30x + 1y + 30z 4xy 1xz 4yz O conjunto S é o cilindro circular reto de raio cujo eixo é a reta r., Exemplo 9 Determine o conjunto dos pontos do plano π : x + y + z 1 que estão a distância três da reta r que passa pelos pontos A (1, 0, 1) e B (, 1, 1). Solução. A reta r é paralela ao vetor (1, 1, 0) e o plano π é perpendicular ao vetor w (1, 1, ). AB Como AB, w (1, 1, 0), (1, 1, ) 1 1 0, e A π (note que as coordenadas de A (1, 0, 1) não satisfazem a equação de π) obtemos que r π. Sejam P A + t AB (1 + t, t, 1) r e Q (x, y, z) π tais que PQ r e d(q, r ) d(q, P) 3. Então, K. Frensel - J. Delgado IM-UFF

16 14 Geometria Analítica - Capítulo 1 PQ, AB (x 1 t, y + t, z 1), (1, 1, 0) x 1 t y t x y t 1 0, ou seja, x y t + 1. Como Q π, as suas coordenadas x, y e z satisfazem o sistema formado pela equação acima e pela equação de π: x y t + 1 x + y z + 1. Somando as equações, obtemos x + t z x 1 + t z e, subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos y z t y t z. Então as coordenadas de um ponto Q (x, y, z) do plano π que se projeta perpendicularmente sobre o ponto P (1 + t, t, 1) r, satisfazem x 1 + t z y t z. Fig. 11: Exemplo 9. Além disso, devemos ter d(p, Q) 3, ou seja, 9 d(p, Q) (x (1 + t)) + (y ( t)) + (z 1) ( z) + ( z) + (z 1) 3z z + 1. Resolvendo a equação 3z z+1 9, obtemos as raízes z e z 4 3 IM-UFF K. Frensel - J. Delgado

17 Geometria Analítica - Capítulo 1 15 Substituindo essas raízes no sistema anterior, obtemos as retas x 7 x 1 + t 3 + t r 1 : y t ; t R, e r : y 4 3 t ; t R, z z 4 3 paralelas à reta r e contidas no plano π, cujos pontos estão a distância três de r. K. Frensel - J. Delgado IM-UFF

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