GAAL /1 - Simulado - 3 exercícios variados de retas e planos

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1 GAAL - 201/1 - Simulado - exercícios variados de retas e planos SOLUÇÕES Exercício 1: Considere as retas m e n de equações paramétricas m : (x, y, z) = (1, 1, 0) + t( 2, 1, ) (a) Mostre que m e n são retas reversas. n : (x, y, z) = (2,, 1) + s(4, 1, 2) (b) Determine a equação paramétrica da reta l que passa por P = ( 1,, 8) e que é concorrente com m e com n. SOLUÇÃO: (a) Os vetores diretores das retas m e n são V m = ( 2, 1, ) e V n = (4, 1, 2). Como estes vetores diretores não são múltiplos escalares, as retas não são paralelas. Para elas serem concorrentes deve existir um ponto (x, y, z) que satisfaz simultaneamente as equações paramétricas de m e de n. Para um tal ponto, igualando estas equações paramétricas, devemos ter 1 2t = 2 + 4s 1 + t = + s t = 1 + 2s Como este sistema linear de três equações e duas incógnitas não possui solução (verifique isso) vemos que as retas m e n não são concorrentes. Deste modo, como elas não são paralelas nem concorrentes, provamos que estas retas são reversas. (b) Para resolver este item vamos ter que fazer uma boa intepretação geométrica da situação descrita neste exercício. Temos duas retas reversas m e n e temos um ponto P que não pertence a nenhuma destas retas. Estamos procurando uma reta l que passa por P e que é concorrente com as retas m e n. A figura a seguir ilustra este problema resolvido.

2 A dificuldade neste exercício é encontrar o vetor diretor da reta l. Para achar este vetor diretor, vamos pensar do seguinte modo. (veja figura a seguir) Como a reta l deve ser concorrente com a reta m, estas retas devem ser coplanares. O plano π que contém as retas m e l é o plano que contém a reta m e o ponto P. Então sabemos calcular a equação de π como o plano que contém uma reta m e um ponto P fora da reta. Calculada a equação de π, podemos calcular o ponto de interseção Q entre o plano π e a reta n. Determinado o ponto Q, a reta l é a reta que passa por P e que tem vetor diretor V l = P Q. Então, seguindo esta estratégia, para determinar a reta l é suficiente executar os seguintes passos. 1. Calcular a equação do plano π que contém a reta m e o ponto P. 2. Calcular o ponto de interseção Q do plano π com a reta n.. Calcular o vetor V l = P Q. Antes de continuar estudando esta solução, é muito importante que você tenha entendido a estratégia adotada acima. O que permite a solução do problema é esta estratégia geométrica. Se você ainda não entendeu esta estratégia, pare e pense novamente, porque daqui para frente só vamos fazer as contas dos passos descritos acima. 1. Para calcular π considere um ponto qualquer da reta m, como por exemplo o ponto A = (1, 1, 0). Como os vetores AP = ( 2, 4, 8) e V r = ( 2, 1, ) são paralelos ao plano π, o produto vetorial N = AP V r é um vetor normal de π.

3 N = AP V r = det i j k = (20, 22, 6). Portanto o plano π tem equação da forma 20x + 22y + 6z = d. Substituindo as coordenadas do ponto A = (1, 1, 0), obtemos d = 2. Assim o plano π tem equação 20x + 22y + 6z = 2 ou, dividindo por 2, 10x + 11y + z = Agora para calcular o ponto de interseção Q = π n, substituimos as coordenadas x = 2 + 4s, y = + s e z = 1 + 2s de um ponto da reta n na equação do plano π. 10(2 + 4s) + 11( + s) + (1 + 2s) = 1. A solução desta equação é s = 1. Para este valor de s, obtemos o ponto Q = ( 2, 2, 1) na interseção π n.. O vetor diretor da reta l pode ser o vetor P Q = ( 1, 1, 7). Portanto uma equação paramétrica da reta l pode ser dada por l : (x, y, z) = ( 1,, 8) + u( 1, 1, 7). Somente para deixar registrado, sabemos que l n = ( 2, 2, 1). Por um cálculo direto verifica-se que l m = (, 1, 6). Exercício 2: Considere os pontos A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0) e C = (0, 0, 1). Observe que estes três pontos são vértices de um triângulo equilátero de lado 2. (a) Determine um ponto D no espaço tal que ABCD é um tetraedro regular, isto é, é uma pirâmide de base triangular com todas as arestas de mesma medida. (b) Quantos tais pontos D existem? (c) Escolha um dos pontos D que você encontrou no item (a). Para este ponto mostre que as arestas opostas AB e CD são ortogonais. (na verdade, esta é uma propriedade verdadeira para quaisquer pares de arestas opostas de um tetraedro regular).

4 SOLUÇÃO: (a) Estamos procurando por um ponto D = (x, y, z) tal que dist(a, D) = 2, dist(b, D) = 2 e dist(c, D) = 2. Calculando cada uma destas distâncias e elevando ao quadrado, obtemos o sistema (x 1) 2 + y 2 + z 2 = 2 x 2 + (y 1) 2 + z 2 = 2 x 2 + y 2 + (z 1) 2 = 2 Desenvolvendo os quadrados e simplificando obtemos x 2 2x + y 2 + z 2 = 1 x 2 + y 2 2y + z 2 = 1 x 2 + y 2 + z 2 2z = 1 Subtraindo a primeira da segunda equação obtemos 2x + 2y = 0, ou seja, x = y. Agora subtraindo a primeira da terceira equação obtemos 2x + 2z = 0, ou seja, x = z. Portanto x = y = z e o ponto procurado P possui todas as coordenadas iguais P = (x, x, x). Substituindo x = y = z em qualquer uma das equações do sistema, obtemos a equação x 2 2x 1 = 0, cujas soluções são x = 1 e x = 1. Para cada um destes valores, obtemos um possível ponto D. D = (1, 1, 1) e D = ( 1 ), 1, 1. (b) Existem dois valores de D que completam o triângulo equilátero ABC em um tetraedro regular ABCD. Estes dois pontos D são simétricos em relação ao plano do triângulo ABC. (c) Vamos considerar, por exemplo D = (1, 1, 1). Arestas opostas do tetraedro regular possuem vetores diretores AB = B A = ( 1, 1, 0) e CD = D C = (1, 1, 0). Calculando o produto escalar AB, CD = 0 verificarmos que estas arestas são ortogonais.

5 Exercício : (a) Determine a equação do plano π que passa pelos pontos A = (1, 0, 0), B = (0, 2, 0) e C = (0, 0, ). (b) Seja O = (0, 0, 0) a origem do sistema de coordenadas. Determine o ponto P π tal que a reta que liga os pontos O e P seja perpendicular ao plano π. (c) Calcule o volume do tetraedro OABC. (d) Determine a equação geral do plano que contém o eixo z e que é perpendicular ao plano π. SOLUÇÃO: (a) Os vetores AB = ( 1, 2, 0) e AC = ( 1, 0, ) são paralelos ao plano π. Portanto o produto vetorial N = AB AC é um vetor normal ao plano. N = AB AC = det i j k = (6,, 2). Portanto o plano tem equação da forma 6x + y + 2z = d. Substituindo as coordenadas de A, B ou C obtemos d = 6 e concluímos que o plano π tem equação geral 6x + y + 2z = 6. (b) Em primeiro lugar vamos determinar a equação paramétrica da reta que passa pela origem e que é perpendicular ao plano π. Para isso observe que o vetor normal N = (6,, 2) do plano π é um vetor diretor desta reta. Como esta reta passa pela origem, ela tem equação paramética (x, y, z) = (0, 0, 0) + t(6,, 2). Para calcular a interseção desta reta com o plano π, substituimos as coordenadas x = 6t, y = t e z = 2t de um ponto da reta na equação do plano. Fazendo isto obtemos a equação 6(6t) + (t) + 2(2t) = 6 cuja solução é t = 6. Substituindo este valor de t na equação da reta, obtemos 49 ( ) 6 P = 49, 18 49,

6 (c) Muitos alunos apresentam dificuldades no cálculo do volume da pirâmide OABC pois ao utilizarem a expressão volume é igual a um terço da área da base vezes a altura, consideram o triângulo ABC como a base e o segmento OP como a altura. Esta estratégia para calcular o volume está correta, mas ela gera um volume muito grande de contas. Em vez de fazer isso, vamos olhar a pirâmide OABC de outra forma. Vamos considerar o triângulo retângulo OAB como base e o segmento OC como altura. Como a área do triângulo retângulo OAB é igual a 1 2 = 1 e como a altura OC 2 é igual a, vemos que o tetraedro OABC tem volume igual a volume(oabc) = (área da base) (altura) = 1 = 1. (d) Como queremos um plano que contenha o eixo z, o vetor diretor k = (0, 0, 1) do eixo z é um vetor paralelo ao plano procurado. Por outro lado, como este plano deve ser perpendicular ao plano π, o vetor normal N = (6,, 2) do plano π também é um vetor paralelo ao plano procurado. Como k e N são paralelos ao plano procurado, um vetor normal deste plano é o produto vetorial k N. k N = det i j k = (, 6, 0). Portanto o plano procurado tem equação da forma x + 6y + 0z = d. Como ele passa pela origem d = 0 e sua equação geral é, então, x + 6y + 0z = 0. Dividindo por - obtemos também x 2y + 0z = 0. - FIM -