Geometria Analítica. Estudo da Reta. Prof Marcelo Maraschin de Souza

Transcrição

1 Geometria Analítica Estudo da Reta Prof Marcelo Maraschin de Souza

2 Reta Considere um ponto A(x 1, y 1, z 1 ) e um vetor não-nulo v = a, b, c. Só existe uma reta r que passa por A e tem a direção de v. Um ponto P(x,y,z) pertence a r se, e somente se, o vetor AP é paralelo a v.

3 Reta Logo, se o vetor AP é paralelo a v, temos que AP = t v para algum número real t. Reescrevendo, P = A + t v Ou x, y, z = x 1, y 1, z 1 + t a, b, c que denominamos equação vetorial de r, onde v é o vetor diretor e t é o parâmetro.

4 Exemplo Obtenha a equação vetorial da reta r que passa por A(1,- 1,4) e tem direção v=(2,3,2). Sugira valores para t.

5 Equações Paramétrica da Reta Da equação vetorial da reta tem-se x, y, z = x 1 + at, y 1 + bt, z 1 + ct Pela igualdade de vetores temos, x = x 1 + at y = y 1 + bt z = z 1 + ct Estas equações são chamadas de equações paramétricas da reta.

6 Exemplo Uma reta r que passa pelo ponto A(-1,2,4) é paralela ao plano xoy e tem vetor diretor v = (2,3,0). Quais são as equações paramétricas?

7 Exemplo

8 Reta definida por dois pontos A reta definida pelos pontos A e B é a reta que passa por A (ou B) e tem a direção do vetor v = AB. Exemplo: escrever as equações paramétricas da reta r que passa por A(3,-1,-2) e B(1,2,4).

9 Equações Paramétricas do Segmento As equações paramétricas são as mesmas que para a reta r, porém 0 t 1,

10 Equações Paramétricas do Segmento Observação: As equações vetoriais dos segmentos AB e BA com 0 t 1, são P = A + t B A e P = B + t(a B)

11 Equações Reduzida da Reta Das equações paramétricas da reta, supondo a, b, c 0, temos, ou seja, t = x x 1 a x x 1 a, t = y y 1 b = y y 1 b, t = z z 1 c = z z 1 c Escrevendo duas variáveis em função da terceira temos as equações reduzidas.

12 Equações Reduzida da Reta Para a variável x, temos as equações reduzidas da reta, y = mx + n z = px + q O vetor direção para a variável x é dado por v = 1, m, p. Exemplo: seja a reta definida pelo ponto A(2,-4,-3) e pelo vetor v = (1,2, 3), encontre as equações reduzidas da reta em função da variável x.

13 Exercício 1) Encontre as equações reduzidas da reta que passa por B(4,0,-2) e tem direção v = 2, 1,1. 2) Estabelecer as equações da reta que passa pelos pontos A(1,0,9) e B(4,8,9) 3) Determinar as equações da reta que passa pelo ponto A(0,3,-2) e tem a direção do vetor v = 2 i.

14 Ângulo de duas retas Chama-se o ângulo de duas retas r 1 e r 2 o menor ângulo de um vetor diretor de r 1 e de um vetor diretor r 2. Logo, sendo θ o ângulo, tem-se cos θ = v 1 v 2 v 1 v 2, com 0 θ π 2

15 Ângulo de duas retas

16 Retas paralelas A condição do paralelismo de duas retas r 1 e r 2, é a mesma de dois vetores v 1 = x 1, y 1, z 1 e v 2 = x 2, y 2, z 2, segue ou v 1 = αv 2 x 1 x 2 = y 1 y 2 = z 1 z 2 = α

17 Retas paralelas Exemplo 1: Mostre que a reta r 1, que passa pelos pontos A 1 ( 3,4,2) e B 1 5, 2,4, e a reta r 2, que passa pelos pontos A 2 ( 1,2, 3) e B 2 ( 5,5, 4), são paralelas. Exemplo 2: Mostre que as retas r 1 e r 2 são paralelas. r 1 : y = 2x 3 z = 4x + 5 e r 2 : y = 2x + 1 z = 4x

18 Retas Ortogonais A condição de ortogonalidade de duas retas r 1 e r 2 (retas perpendiculares), é a mesma de dois vetores v 1 = x 1, y 1, z 1 e v 2 = x 2, y 2, z 2, segue r r 2 v v 2 = 0

19 Retas Ortogonais Duas retas ortogonais podem ser concorrentes ou não, na figura do slide anterior temos um exemplo onde as retas são concorrentes.

20 Retas Ortogonais a duas retas Sejam r 1 e r 2 não paralelas, com direções de v 1 e v 2, respectivamente. Toda reta s ao mesmo tempo ortogonal a r 1 e r 2 terá a direção de um vetor u tal que, Ou v 1 u = 0 v 2 u = 0 u = v 1 v 2

21 Retas Ortogonais a duas retas

22 Interseção de Duas Retas

23 Interseção de Duas Retas Conclusão de cada caso: 1) O ponto de interseção é I(2,-1,3). Logo são coplanares.

24 Interseção de Duas Retas 2) Não existe ponto de interseção, ou seja, retas não concorrentes. Neste caso também não são paralelas, logo são reversas (não-coplanares).

25 Interseção de Duas Retas 3) v 1 = (1, 3,2) e v 2 = (2, 6,4) são vetores diretores das retas, e v 2 = 2v 1, logo são retas paralelas e nãocoincidentes (ver que A 1 0,2,5 r 1 e A 1 r 2 ).

26 Ponto Médio de um segmento de reta Considere os pontos P 1 (x 1, y 1, z 2 ) e P 2 (x 2, y 2, z 2 ) pertencentes a reta r. Suponha que P pertencente a reta r divide ao meio o segmento P 1 P 2. Então, P x 1 + x 2 2, y 1 + y 2 2, z 1 + z 2 2

27 Distância de um ponto P a uma reta r Considere na reta r um ponto A e um vetor diretor v. Os vetores v e AP determinam um paralelogramo cuja altura corresponde à distância d(p,r).

28 Distância de um ponto P a uma reta r Assim, Ou Daí, temos A = base (altura) A = v d A = v AP d = d P, r = v AP v

29 Retas Coplanares A reta r 1, que passa por um ponto A 1 (x 1, y 1, z 1 ) e tem direção de um vetor v 1 a 1, b 1, c 1 e a reta r 2, que passa por um ponto A 2 (x 2, y 2, z 2 ) e tem direção de um vetor v 2 a 2, b 2, c 2 são coplanares se os vetores v 1, v 2 ea 1 A 2 forem coplanares, isto é, se o produto misto for nulo. (v 1, v 2, A 1 A 2 )=0

30 Retas Coplanares Exemplo: Mostre que as seguintes retas são coplanares.

31 Resumo Estudo de retas: A. Coplanares: Concorrentes: calcula-se interseção; Paralelas: ver se são coincidentes; B. Reversas: verifica-se através do produto misto ou através de um absurdo.

32 Exercícios Estude a posição relativa as retas. 1) 2)

33 Exercícios Estude a posição relativa as retas. 3) 4)

34 Distância entre duas retas Dadas as retas r 1 e r 2, podemos ter os seguintes casos: Caso 1) Retas concorrentes. Neste caso: d(r 1, r 2 )=0

35 Distância entre duas retas Caso 2) Retas paralelas. Neste caso: d(r 1, r 2 )=d(r 1, P 1 ) ou d(r 1, r 2 )=d(p 2, r 2 ) Neste caso, se reduz ao cálculo da distância entre ponto e reta.

36 Distância entre duas retas Caso 3) Retas reversas. Neste caso, as retas não são coplanares, e determinam um paralelepípedo cuja altura é a distância d(r 1, r 2 ).

37 Distância entre duas retas Caso 3) Lembre que o volume do paralelepípedo é dado por, V = área da base altura ou Assim, V = v 1 v 2 d r 1, r 2 V = (v 1, v 2, A 1 A 2 ) d(r 1, r 2 ) = (v 1, v 2, A 1 A 2 ) v 1 v 2

38 Exemplo

39 Exercícios Achar a distância entre as retas, nos casos: 1) 2)