Aula 12. Ângulo entre duas retas no espaço. Definição 1. O ângulo (r1, r2 ) entre duas retas r1 e r2 se define da seguinte maneira:

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1 Aula 1 1. Ângulo entre duas retas no espaço Definição 1 O ângulo (r1, r ) entre duas retas r1 e r se define da seguinte maneira: (r1, r ) 0o se r1 e r são coincidentes, Se as retas são concorrentes, isto é, r1 r {P}, então (r1, r ) é o menor dos ângulos positivos determinados pelas retas no plano que as contém. Em particular, 0 < (r1, r ) 90o. se r1 r, temos duas situações a considerar: se r1 k r, então (r1, r ) 0o. se r1 e r não são paralelas e não se intersectam, dizemos que as retas são reversas. Neste caso, seja P r1 e seja r0 a paralela a r que passa por P. Então as retas r1 e r0 são concorrentes e definimos (r1, r ) (r1, r0 ) Além disso, pelo paralelismo, (r1, r ) independe do ponto P escolhido. Fig. 1: Retas concorrentes: θ (r1, r ) < ϕ. Fig. : Retas reversas: θ (r1, r ) (r1, r0 ). A medida dos ângulos pode ser dada em graus ou radianos.

2 Geometria Analítica - Aula Sejam v 1 e v vetores paralelos às retas r 1 e r, respectivamente. Então, v 1, v cos (r 1, r ) cos (v 1, v ) v 1 v, 0o (r 1, r ) 90 o De fato, a fórmula vale também quando r 1 e r são paralelas ou coincidentes, isto é, quando (r 1, r ) 0 o, pois v 1 λ v λ v, v λ v v λ v, v λ v v 1 cos 0o cos (r 1, r ). Exemplo 1 Calcule o ângulo entre as retas r 1 : x 1 y + 1 z Mostre, também, que essas retas são reversas. e r : x + y 1 z. Temos que v 1 (,, ) r 1 e v (1,, ) r. Logo, v1, v cos (r 1, r ) v 1 v Assim, o ângulo entre r 1 e r é o ângulo entre 0 e 90 o π cujo cosseno é 7. Para verificar que as retas r 1 e r são reversas, observamos primeiro que os vetores v 1 e v não ( ) são múltiplos, pois det Portanto, as retas não podem ser coincidentes e nem paralelas, devendo ser, concorrentes ou reversas. Para concluir que r 1 e r são reversas, devemos mostrar que elas não se intersectam (não são concorrentes). As equações paramétricas de r 1 são: x 1 + t r 1 : y 1 + t ; t R. z t Seja P (1 + t, 1 + t, t) um ponto de r 1. Vamos tentar determinar o valor do parâmetro t de modo que P esteja, também, em r. P r ( 1 + t) 1 (1 + t) + + t + t t + t 1 + t (t 1) t Da segunda igualdade, obtemos t 1 0, ou seja, t 1. Porém, substituindo esse valor na primeira igualdade, obtemos a identidade impossível 5 0. Portanto, não existe P r 1 r. Isto é, as retas não são concorrentes e sim reversas. IM-UFF K. Frensel - J. Delgado

3 145 Geometria Analítica - Aula 1. Ângulo entre dois planos Definição Sejam π 1 : a 1 x + b 1 y + c 1 z d 1 e π : a x + b y + c z d dois planos no espaço. O ângulo entre os planos π 1 e π, representado por (π 1, π ), se define da seguinte maneira: (π 1, π ) 0 o se os planos são paralelos (π 1 π ) ou coincidentes (π 1 π ). Se π 1 e π não são paralelos nem coincidentes, então se intersectam ao longo de uma reta r. Sejam P r um ponto qualquer, r 1 a reta perpendicular a r contida em π 1 que passa por P e r a perpendicular a r contida em π que passa por P. Definimos (π 1, π ) (r 1, r ) Fig. : (π 1, π ) θ. Com a mesma terminologia da definição, tomando A r 1 e B r, vemos que (π 1, π ) é o menor ângulo positivo cujo cosseno é cos (π 1, π ) cos (r 1, r ) cos ( PA, PA, PB PB ) PA PB Seja, agora, s 1 a reta perpendicular ao plano π 1 que passa pelo ponto A, e seja s a reta perpendicular ao plano π que passa por B. temos As retas s 1 e s se intersectam em um ponto C. Como os ângulos ( PA, PB ) e ( CA, CB ) são suplementares (a sua soma é 180 o ), cos (π 1, π ) cos ( PA, PB ) cos ( CA, CB ). Além disso, como π 1 v 1 (a 1, b 1, c 1 ) e π v (a, b, c ), os ângulos ( v 1, v ) e ( CA, CB ) são iguais ou suplementares. Logo, cos (π 1, π ) cos ( v1, v ) v 1, v v 1 v Essa fórmula vale, também, quando os planos são paralelos ou coincidentes. Exemplo Calcule o ângulo entre os planos π 1 : y e π : y + z + 0. K. Frensel - J. Delgado IM-UFF

4 Geometria Analítica - Aula 1 14 Temos que v 1 (0, 1, 0) π 1 e v (0, 1, 1) π. Logo (π 1, π ) é o menor ângulo positivo cujo cosseno é cos (π 1, π ) cos ( v 1, v ) Portanto, (π 1, π ) 45 o π 4. v1, v v 1 v (0, 1, 0), (0, 1, 1) (0, 1, 0) (0, 1, 1) 1 (1) 1,. Ângulo entre uma reta r e um plano π Definição Sejam r uma reta e π um plano no espaço. Sejam w um vetor normal ao plano π e v um vetor paralelo à reta r. Seja θ o menor ângulo não-negativo entre r e w (0 θ 90 o ). O ângulo entre r e π é, por definição, o complementar do ângulo θ. Isto é, (r, π) 90 o θ π θ Logo, ( π ) sen (r, π) sen θ cos θ v, w v w Fig. 4: (r, π) π θ. Essa fórmula vale ainda quando r π e quando r π, pois, nesses casos, θ 90 o já que v w, sendo v um vetor paralelo a r e w um vetor perpendicular a π. Exemplo Calcular o seno do ângulo entre a reta r e o plano π, onde x t r : y t 1 ; t R e π : x y + 0. z 4 Temos que v (1,, 0) r e w (1,, 0) π. Logo, sen (r, π) v, w v w (1,, 0), (1,, 0) (1,, 0) (1,, 0) IM-UFF K. Frensel - J. Delgado

5 147 Geometria Analítica - Aula 1 4. Distância de um ponto P 0 a um plano π Definição 4 A distância do ponto P 0 ao plano π, designada d(p 0, π) é, por definição, a menor das distâncias de P 0 aos pontos P π. Isto é, d(p 0, π) min { d(p 0, P) P π } (Nota: min significa o mínimo do conjunto de números considerado). Com a notação da definição anterior, seja P o ponto de intersecção de π com a reta r que passa por P 0 e é perpendicular a π. Se P é um ponto qualquer no plano π, diferente de P, temos, pelo teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo retângulo P 0 P P: d(p 0, P) d(p 0, P ) + d(p, P) > d(p 0, P ). Logo d(p 0, P) > d(p 0, P ) e, portanto, d(p 0, P ) min { d(p 0, P) P π }. Isto é, d(p 0, π) d(p 0, P ) Se P 0 (x 0, y 0, z 0 ) e π : ax + by + cz d, temos r w (a, b, c) π e as equações paramétricas de r são: x x 0 + at r : y y 0 + bt ; t R. z z 0 + ct Além disso, como P r, temos P (x 0 + at, y 0 + bt, z 0 + ct), para algum valor t R por determinar. ou seja, Como P π, temos a(x 0 + at) + b(y 0 + bt) + c(z 0 + ct) d, Fig. 5: Cálculo de d(p 0, π). (a + b + c )t d ax 0 by 0 cz 0, e, portanto, t ax 0 + by 0 + cz 0 d a + b + c. Assim, d(p 0, P ) P 0 P (at, bt, ct) t(a, b, c) t (a, b, c) ax 0 + by 0 + cz 0 d (a, b, c) a + b + c ax 0 + by 0 + cz 0 d (a, b, c) ax 0 + by 0 + cz 0 d (a, b, c) (a, b, c) K. Frensel - J. Delgado IM-UFF

6 Geometria Analítica - Aula Logo a distância do ponto P 0 (x 0, y 0, z 0 ) ao plano π : ax + by + cz d é Exemplo 4 d(p 0, π) ax 0 + by 0 + cz 0 d a + b + c Calcular a distância do ponto A (1,, ) ao plano π : x + y 5z 4. (a) Usando a fórmula: (b) Sem usar a fórmula: d(a, π) ax 0 + by 0 + cz 0 d a + b + c (1) + 1() 5() ( 5) 0. A reta r que passa por A (1,, ) e é paralela ao vetor w (, 1, 5) π, é x 1 + t r : y + t ; t R. z 5t Seja {B} r π. As coordenadas de B (1 + t, + t, 5t) satisfazem a equação de π: ou seja, (1 + t) + ( + t) 5( 5t) 4, + 4t + + t t 4 0t 15 t 1. Logo B A + 1 w, isto é, AB 1 w 1 (, 1, 5) e, portanto, d(a, π) d(a, B) AB 1 w é a distância procurada Distância entre dois planos Definição 5 A distância entre os planos π 1 e π, designada d(π 1, π ), é, por definição, a menor dentre as distâncias dos pontos de π 1 aos pontos de π. Isto é, d(π 1, π ) min { d(p, Q) P π 1 e Q π } Note que, Se π 1 e π são coincidentes, isto é, π 1 π, então d(π 1, π ) 0. IM-UFF K. Frensel - J. Delgado

7 149 Geometria Analítica - Aula 1 Se π 1 e π são concorrentes, isto é, π 1 π é uma reta, então, também, d(π 1, π ) 0. O caso interessante a considerar é o seguinte: Suponhamos que π 1 e π são planos paralelos dados pelas equações: π 1 : ax + by + cz d 1 π : ax + by + cz d Sejam P 1 π 1 e Q 1 o pé da perpendicular baixada do ponto P 1 sobre o plano π. Sejam P π 1, Q π e P o pé da perpendicular baixada do ponto P sobre o plano π. Então d(p, Q) d(p, P ) d(p 1, Q 1 ), pois P 1 Q 1 P P é um retângulo. Assim, Fig. : Cálculo de d(π 1, π ). d(π 1, π ) d(p 1, Q 1 ) d(p 1, π ), qualquer que seja P 1 π 1 Se P 1 (x 1, y 1, z 1 ) π 1, então ax 1 + by 1 + cz 1 d 1 e, portanto, d(π 1, π ) d(p 1, π ) ax 1 + by 1 + cz 1 d a + b + c d 1 d a + b + c. Isto é, a distância entre π 1 : ax + by + cz d 1 e π : ax + by + cz d é dada por: d(π 1, π ) d 1 d a + b + c Exemplo 5 Calcule a distância entre os planos π 1 : x + y + z e π : x + 4y + z. Como π : x + y + z, temos π 1 π ; portanto, d(π 1, π ) Distância entre uma reta e um plano Definição A distância entre uma reta r e um plano π é o número d(r, π) definido por: d(r, π) min { d(p, Q) P r e Q π } Note que, se r π (isto é, r π ou r π {P}), então d(r, π) 0. K. Frensel - J. Delgado IM-UFF

8 Geometria Analítica - Aula O caso interessante a considerar ocorre quando r π, isto é, r π. Sejam P 1 r e Q 1 o pé da perpendicular baixada do ponto P 1 sobre o plano π. Sejam P r, Q π pontos arbitrários e seja P o pé da perpendicular baixada do ponto P sobre o plano π. Então d(p, Q) d(p, P ) d(p 1, Q 1 ), pois P 1 Q 1 P P é um retângulo. Logo, Fig. 7: Cálculo de d(r, π ). d(r, π) d(p 1, Q 1 ) d(p 1, π), qualquer que seja P 1 r Exemplo Mostre que a reta r é paralela ao plano π, onde Calcule também d(r, π). r : x + y z e π : x y + z. A equação simétrica de r é r : x + y + 1 z 1. Logo r é a reta que passa pelo ponto A (, 1, 1) e é paralela ao vetor v (,, ). O vetor w (,, ) é perpendicular ao plano π. Como v, w (,, ), (,, ) ()() + ( )( ) + ( )() , temos v w. Isto é, r é paralela ao plano π ou r está contida no plano π. Para mostrar que r π, basta verificar que um ponto de r não pertence a π. De fato, A (, 1, 1) π, pois ( ) ( 1 ) + (1) Portanto, r π, isto é, r π. Além disso, ( ) ( 1 d(r, π) d(a, π) ) + (1) IM-UFF K. Frensel - J. Delgado

9 151 Geometria Analítica - Aula 1 7. Distância de um ponto a uma reta Definição 7 Sejam P um ponto e r uma reta no espaço. A distância do ponto P à reta r, designada d(p, r), é o número d(p, r) min { d(p, Q) Q r } Seja P o pé da perpendicular baixada do ponto P sobre a reta r. Para todo ponto Q r, Q P, temos, pelo teorema de Pitágoras, que d(p, Q) d(p, P ) + d(p, Q) > d(p, P ), Logo e, portanto, d(p, Q) > d(p, P ). d(p, r) d(p, P ) Fig. 8: Cálculo de d(p, r). Assim, para calcular a distância de P a r devemos: determinar o ponto P, pé da perpendicular baixada de P sobre a reta r; calcular d(p, P ) PP. Determinando o ponto P Suponhamos que r é dada por r { P 1 + t v t R }. Como P r, temos P P 1 + t v para algum t R. Determinar P equivale, então, a determinar t. Sendo que o vetor PP PP 1 + t v é perpendicular a v, temos PP, v 0, ou seja, Logo 0 PP, v PP 1 + t v, v PP 1, v + t v, v PP 1, v + t v, v PP 1, v + t v. PP 1, v + t v 0, K. Frensel - J. Delgado IM-UFF

10 Geometria Analítica - Aula 1 15 e, portanto, t PP 1, v. v Com esse valor de t, determinamos o ponto P : Cálculo de d(p, r) P P 1 + t v P1 PP 1, v v v Conhecendo o ponto P, pé da perpendicular baixada de P sobre a reta r, formamos o vetor PP, cuja norma é a distância d(p, r) procurada. Temos Logo, Substituindo PP PP 1 + t v PP1 d(p, r) PP PP, PP PP 1 t PP 1, v v + t v, PP1 + t v PP 1, v v. v PP 1, PP 1 + t PP 1, v + (t ) v, v PP 1 + t PP 1, v + (t ) v. d(p, r) PP 1 PP 1, v v nessa expressão, obtemos ( PP 1, v + PP 1 PP 1, v + PP 1, v v v PP 1 PP 1, v v PP 1 v PP 1, v v PP 1, ) v v v Isto é, d(p, r) PP 1 v PP 1, v v Exemplo 7 Calcule a distância entre P (, 5, 1) e a reta r que passa por P 0 (1, 1, ) e é paralela ao vetor v (1, 0, 1). IM-UFF K. Frensel - J. Delgado

11 15 Geometria Analítica - Aula 1 Seja Q o pé da perpendicular baixada do ponto P sobre a reta r e seja t 0 R tal que Q P 0 + t 0 v. Então PQ é perpendicular à reta r se, e somente se, 0 PQ, v PP 0 + t 0 v, v PP0, v + t 0 v, v. Como PP 0 ( 1,, ) e v (1, 0, 1), temos: Logo t 0 1 e, portanto, Assim, 0 PP 0, v + t 0 v, v ( 1,, ), (1, 0, 1) + t 0 (1, 0, 1), (1, 0, 1) ( 1 + ) + t 0 (1 + 1) + t 0. Q P 0 + t 0 v (1, 1, ) (1, 0, 1) (0, 1, 1). d(p, r) d(p, Q) PQ ( 0) + (5 ( 1)) + ( 1 1) Exemplo 8 Determine o conjunto dos pontos do plano π : x + y + z 1 que estão a distância três da reta r que passa pelos pontos A (1, 0, 1) e B (, 1, 1). A reta r é paralela ao vetor AB (1, 1, 0) e o plano π é perpendicular ao vetor w (1, 1, ). Como AB, w (1, 1, 0), (1, 1, ) 1 1 0, temos que AB w e, como A π (note que as coordenadas de A (1, 0, 1) não satisfazem a equação de π) obtemos r π. Seja P A + t AB (1 + t, t, 1) um ponto de r e seja Q (x, y, z) π, tal que, PQ r e d(q, r) d(p, Q). Então, PQ, AB (x 1 t, y + t, z 1), (1, 1, 0) x 1 t y t x y t 1 0, ou seja x y t + 1. Como Q π, as suas coordenadas x, y e z satisfazem o sistema formado pela equação acima e pela equação de π: x y t + 1 x + y z + 1. Somando as equações, obtemos x + t z, ou seja x 1 + t z e, subtraindo a primeira K. Frensel - J. Delgado IM-UFF

12 Geometria Analítica - Aula equação da segunda, obtemos y z t, ou seja, y t z. Isto é, as coordenadas de um ponto Q (x, y, z) do plano π que se projeta perpendicularmente sobre o ponto P (1 + t, t, 1) r, satisfazem x 1 + t z y t z. Fig. 9: Exemplo 8. Além disso, devemos ter d(p, Q), ou seja, 9 d(p, Q) (x (1 + t)) + (y ( t)) + (z 1) ( z) + ( z) + (z 1) z z + 1. Resolvendo a equação z z + 1 9, ou seja, z z 8 0, obtemos as raízes z e z 4 Substituindo essas raízes no sistema anterior, obtemos as retas x 7 x 1 + t + t r 1 : y t ; t R, e r : y 4 t z z 4 ; t R. paralelas à reta r, contidas no plano π e cujos pontos estão a distância três de r. Exemplo 9 Determine o conjunto S dos pontos do espaço que estão a distância da reta r paralela ao vetor v (1,, 1) que passa pela origem. Temos que Q S se, e somente se, existe P r tal que PQ r e PQ. Sejam P (t, t, t), t R, um ponto de r e Q (x, y, z). IM-UFF K. Frensel - J. Delgado

13 155 Geometria Analítica - Aula 1 Então, PQ r PQ v PQ, v 0, se, e somente se, 0 PQ, v (x t, y t, z t), (1,, 1) x t + y 4t + z t x + y + z t. Isto é, t x + y + z. Suponhamos, agora, que PQ. Como ( x + y + z P obtemos, ( PQ x x + y + z ( 5x y z,, x + y + z, y x + y + z x + y z,, x + y + z ), z x + y + z ) ). x y + 5z Fig. 10: Exemplo 9. Logo d(q, r) d(p, Q) PQ se, e somente se, PQ 4, isto é, se, e somente se, ou seja, 4 PQ (5x y z) + ( x + y z) + ( x y + 5z) (5x y z) + ( x + y z) + ( x y + 5z) 4(). Desenvolvendo os quadrados e simplificando, obtemos a equação de S: S : 0x + 1y + 0z 4xy 1xz 4yz , K. Frensel - J. Delgado IM-UFF