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1 4.13. Condição de Paralelismo. Analisando as retas com equação na forma geral, facilmente sabemos, pela resolução do sistema de equações, qual é a posição relativa entre as retas. Agora, se as equações de duas retas, r e s, estão na forma reduzida facilmente identificamos o coeficiente angular das retas (tangente do ângulo que a reta faz com o eixo ox +). Então se as retas são paralelas, elas fazem o mesmo ângulo com o eixo ox + e assim os coeficientes angulares serão iguais. Devemos apenas visualizar o coeficiente linear para não coincidirem, pois nesse caso elas deixariam de ser paralelas, para serem coincidentes. Caso que queremos diferenciar. Considere r: y = a rx +b r e s: y = a sx + b s r // s a r = a s e b r b s Exemplo: As retas r: 2x 3y = 1 e s: 10x 15y = 18 são paralelas? Condição de Perpendicularidade. Considere as retas r e s de equações, r: y = a rx + b r e s: y = a sx + b s. Observe seus gráficos, os ângulos formados pelas retas r e s com o eixo ox + são, respectivamente, β e α. Assim os coeficientes angulares são: a r = tan β e a s = tan α

2 Exemplo: (a) As retas r: 4x 8y + 3 = 0 e s: y = 2x + 7 são perpendiculares? (b) As retas r: 4x + 12y = 5 e s: 3x y = 1 são perpendiculares entre si? Aplicações da condição de perpendicularidade Mediatriz de um segmento Mediatriz m de um segmento AB é a reta perpendicular ao segmento que contém o ponto médio desse segmento. Exemplo: Determine a mediatriz do segmento AB, sendo A (2,1) e B(8,5). Observação: A reta mediatriz se destaca, pois é o lugar geométrico de todos os pontos do plano que equidistam dos pontos A e B, dados. Ou seja, se sabemos que para um ponto P tem-se d(p,a) = d(p,b), então P pertence a mediatriz do segmento AB. E se um ponto P pertence a mediatriz do segmento AB, então d(p,a) = d(p,b). Dica: Faça o mesmo exemplo anterior aplicando a condição da equidistância, considerando P(x,y) e os pontos A(2,1) e B(8,5).

3 Distância entre ponto e reta Para determinar o menor caminho entre um ponto P e uma reta, devemos definir um segmento d perpendicular à reta, cujos extremos são: o ponto que se quer calcular a distância, ponto P na figura, e um ponto da reta, identificado como Q. A distância Q entre o ponto P e a reta r é a medida desse segmento. Notação: d(p,r). Existem algumas possibilidades para determinar essa r medida, usaremos um modo mais algébrico que geométrico. Para obter a medida desse segmento devemos determinar o segmento, que na figura é denominado de PQ. Sabemos calcular a distância entre dois pontos, essa distância seria coincidente ao que queremos calcular, d(p,r), mas não temos as coordenadas de Q. São conhecidos a equação da reta r : mx + ny + k = 0, e as coordenadas do ponto P (x 0, y 0 ). A partir desses dados, podemos obter uma reta s perpendicular à reta r que contém o ponto P. Se determinarmos o ponto de intersecção entre r e s, este será o ponto Q. Basta calcular a distância entre P e Q e esta será a distância entre o ponto P e a reta r. Aplicando o procedimento com s a equação da reta r : mx + ny + k = 0, e as coordenadas do ponto P (x 0, y 0 ). d(r, P) mx 0 ny m² n² Exemplo: Calcule a distância do ponto P (1, 1) à reta r: x + 3y 5 = 0. 0 k Distância entre retas A distância entre objetos é sempre a medida do menor caminho que liga esses objetos. Dessa forma, a distância de entre retas coincidentes ou concorrentes é zero, pois nos dois casos existem pontos em comum. A princípio não sabemos calcular a distância quando as retas forem paralelas. P Notação: d(r,s) Se duas retas são paralelas conseguimos escrevê-las no formato da equação geral como: r: mx + ny + k r = 0 e s: mx + ny + k s = 0. Escolhemos um ponto de s e calculamos a distância até s a reta r. r Se P s, então: Substituindo na fórmula da distância entre ponto e reta:

4 Obtemos: Exemplo: Calcule a distância entre as retas r: 3x + 4y 13 = 0 e s: 3x + 4y + 7 = Exercícios. 1. Determine para que as retas r e s sejam paralelas: (a) r: ( +1)x y = 7 e s: x + y = 1 (b) r: 3x 6y = 0 e s: 3x + 6y + k + 1=0 2. Obtenha a equação da reta r que passa pelo ponto P ( 2,5) e é paralela à reta s, de equação s: x + 2y + 3 = 0. E se r passasse pela origem, qual seria sua equação? 3. Obtenha a equação da reta r que passa por P( 1, 3) e é perpendicular a s: 3x 5y + 11=0. 4. Calcule a área do triângulo determinado pelas retas r: x y = 0, s: x + y = 0 e t: 3y 11x + 56 = Determine a equação da reta que passa por B ( 3,0) e é paralela à reta determinada pelos pontos A (2,1) e C (1, 3). 6. Verifique se as retas r e s são perpendiculares: (a) r: x + y = 1 e s: x y = 7 (b) r: 3x y 7 = 0 e s: 3x y + 1 = 0 (c) r: x + 2y + 4 = 0 e s: 2x + y 1 = 0 (d) r: 2x + y 4 = 0 e s: 3x + 6y + 7 = 0 7. Determine a equação da reta s, que é perpendicular à reta r: 3x 7y = 9 e que passa pela origem. 8. Obtenha a equação da mediatriz do segmento AB, considerando A (1,-4) e B (8,3).

5 9. Usando argumentos da geometria analítica, estabeleça a posição relativa entre as retas abaixo diferenciando o caso de serem concorrentes (apenas) e de serem perpendiculares. r: 3x 12y = 6 s: 4x + 5y = 1 t: 2x + 8y = 3 p: 10x 8y = 6 q: x 4y = 2 (a) entre r e s; (b) entre r e t; (c) entre s e p; (d) entre r e q. 10. Qual o coeficiente angular da mediatriz do segmento AB, sendo A(-2,-1) e B(8,3)? Pense se a maneira que resolveste é a mais econômica possível. 11. É possível calcular a distância entre as retas: r: 5x 3y + 15 = 0 e s: y = 3 5 x 5? Caso afirmativo, calcule, caso contrário, justifique. 12. Calcule a medida da altura h, relativa ao lado BC, do triângulo ABC, cujos vértices são: A(5,1), B(1,5) e C( 2, 1). 13. Obtenha as coordenadas do ponto P', simétrico de P(2,3) em relação à reta r: x + y = No plano cartesiano, os pontos A ( 1,4) e B(3,6) são simétricos em relação à reta r. Qual a equação da reta r? 15. Determine o ortocentro do triângulo, cujos vértices são ( 3,0), (0,6) e (2,0). 16. Determine as equações das retas que contém as alturas do triângulo ABC e prove que elas concorrem no mesmo ponto H, chamado de ortocentro do triângulo. Dados: A(0, -3) B(-4,0) e C(2,1) Respostas da lista (a) a: (b) r: y + 5 = 2(x 2) 2 t (c)uma solução: s : (d) t : 1 3t;t lr t (e) r: 1 (f) t: t;t lr 2. (a) P sim, Q não. 7 (b) A(0,7) B,0 2 (d) T( 1, 9) 2 3t 3. s : 1 2t;t lr 4. (a) A(1,2), B(4, 3), C(7, 8), D(10, 13), E( 2,7), F( 5,12). (c) 34 (d) 34 (e) iguais. (f) d(e,d)= 34 ; d(f,c) = 4 34 ; d(f,d)=3 34 (g) d(p,q) = Sim. (desenvolvimento sem traçar gráfico) (a) Sim P, (b) Não. 9. s: s: 1 ou r:

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