2 ) X = (0, 1, Escreva equações paramétricas dos eixos coordenados.
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- Cármen Lopes Santos
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1 Universidade Federal Rural do Semi-Árido-UFERSA. Departamento de Ciências Exatas e Naturais. Bacharelado em Ciências e Tecnologia. Disciplina de Geometria Analítica. Lista 1. Estudando Geometria Analítica numa noite de sábado, Amanda resolveu vários exercícios que pediam equações de reta. Relacionamos as respostas dela e as do livro. Quais exercícios Amanda acertou? a) X = (1,, 1) + λ( 1,, 1) X = (1,, 1) + λ( 1, 1, 1 ) b) X = ( 1, 1, ) + λ( 1, 1, 1) X = (1, 1, ) + λ( 1, 1, 1) c) X = (1, 1, 0) + λ(1, 0, 1 ) X = (0, 1, 1 ) + λ(, 0, 1). Sejam B = ( 5,, ) e C = (4, 7, 6). Escreva equações nas formas vetorial, paramétrica e simétrica para a reta BC. Verifique se D = (, 1, 4) pertence a essa reta.. Dados A = (1,, ) e u = (,, 1), escreva equações da reta que contém A e é paralela a u, nas formas vetorial, paramétricas e simétrica. Supondo que o sistema de coordenadas seja ortogonal, obtenha dois vetores diretores unitários dessa reta. 4. Escreva equações paramétricas dos eixos coordenados. 5. Obtenha dois pontos e dois vetores diretores da reta de equações paramétricas x = 1 λ y = λ z = 4 + λ Verifique se os pontos P = (1,, ) e Q = (, 4, 1) pertencem à reta. 6. Sejam B = (1, 1, 0) e C = ( 1, 0, 1). Escreva equações paramétricas da reta que contém o ponto (,, ) e é paralela à reta BC. 7. Escreva equações nas formas paramétrica e simétrica da reta que contém o ponto A = (, 0, ) e é paralela à reta descrita pelas equações 1 x 5 = y 4 = z Sejam A = (, 6, 7), B = ( 5,, ) e C = (4, 7, 6). a) Mostre que A, B e C são vértices de um triângulo. b) Escreva equações paramétricas da reta que contém a mediana relativa a hipotenusa ao vértice C. 9. Sejam A = (1,, ) e B = (,, 0). Escreva equações da reta AB nas formas vetorial, paramétrica e simétrica e obtenha o pontos da reta que distam 19 de A. 10. Sejam A = (0,, 1) e r : X = (0,, ) + λ(1, 1, ). Obtenha os pontos de r que distam de A. Em seguida, verifique se a distância do ponto A à reta r é maior, menor ou igual a e justifique sua resposta. 1
2 11. sejam A = (1, 1, 1), B = (0, 0, 1) e r : X = (1, 0, 0) + λ(1, 1, 1). Determine os pontos de r equidistantes de A e B. 1. Mostre que o ponto (1,, 1) não pertence a reta r : X = (1, 0, 1) + λ(1,, 1). 1. Obtenha equações paramétricas do plano que contém o ponto A = (1, 1, ) x = 1 + λ + µ e é paralelo ao plano π : y = λ + µ. z = λ 14. Obtenha equações paramétricas dos planos coordenados. 15. Obtenha uma equação geral do plano π em cada caso. a) π contém A = (1, 1, 0) e B = (1, 1, 1) e é paralelo a u = (, 1, 0). b) π contém A = (1, 0, 1) e B = (0, 1, 1) e é paralelo a CD, sendo C = (1,, 1) e D = (0, 1, 0). c) π contém A = (1, 0, 1), B = (, 1, 1) e C = (1, 1, 0). d) π contém A = (1, 0, ), B = ( 1, 1, ) e C = (, 1, 1). e) π contém A = (1, 0, 1) e r : x 1 = y = z 1 f) π contém A = (1, 1, 1) e r : X = (0,, ) + λ(1, 1, 1). 16. Verifique se o vetor u é paralelo ao plano π : 4x 6y + z = 0, nos casos: a) u = ( 1,, ) b) u = (0, 1, 6) c) u = (,, 0) d) u = (,, 4) 17. Seja π o plano de equação geral ax + by + cz + d = 0. Mostre que o vetor n = (a, b, c) não é paralelo a π. 18. Dada a equação geral, obtenha a equação paramétrica do plano. a) 4x + y z + 5 = 0 b) 5x y 1 = 0 c) z = 0 d) y z = Verifique se as retas r e s são concorrentes e, se forem, obtenha o ponto de interseção. a) r : X = (1, 1, 0) + λ(1,, ) e s : X = (,, ) + µ(,, 1) x = 1 + λ x = 1 + 4λ b) r : y = λ e s : y = 1 + λ z = 1 + λ z = + 6λ c) r : x = y+ = z 1 e s : x = y = z.
3 0. Duas partículas realizam movimentos descritos pelas equações X = (0, 0, 0)+ t(1,, 4) e X = (1, 0, ) + t( 1, 1, 1), t R. As trajetórias são concorrentes? Pode haver colisão das partículas em algum instante? 1. Uma partícula realiza o movimento descrito pela equação X = (, 1, 5) + t(, 1, ), t R. Uma segunda partícula, também em movimento retilíneo uniforme, ocupa, no instante -, a posição P = ( 4, 14, 4) e, no instante, a posição Q = (6, 11, 41). a) Vefifique se as trajetórias são concorrentes e se há perigo de colisão. b) Qual a equação do movimento da segunda partícula?. Mostre que as retas r e s são concorrentes, determine o ponto comum e obtena uma equação geral do plano determinado por elas. x = λ a) r : y = λ e s : x 1 = y 5 = +z 5. z = 1 + 4λ b) r : c) r : x x = λ y = 4 + λ z = λ = y 6 e s : x = 1 + λ y = λ z = λ = z 1 e s : x = y 8 = z Obtenha a interseção da reta r com o plano π. a) r : X = ( 1, 1, 0) + λ(1, 1, 1) e π : x + y + z + 1 = 0. b) r : X = ( 1, 1, 1) + λ(1, 1, 0) e π : x + y + z + 1 = 0. c) r : x = y = z+1 e π : x + y z = 10. d) r : X = ( 1, 1, 0) + λ(1, 1, 0) e π : x + y + z + 1 = O detonador de uma bomba está localizado no ponto P = (, 1, ). Para provocar a explosão, acende-se a extremidade A = (, 1, 1) de uma haste combustível paralela ao vetor u = (1, 0, ), cuja extremidade B toca o ponto inicial de um rastilho de pólvora retilíneo que termina no detonador. Sabendo que o fogo se propaga com velocidade unitária na haste e no rastilho e que este está contido no plano π : x + y z = 0, mostre que a explosão ocorre entre e 4 segundos após o início do processo. O sistema de coordenadas é ortogonal. 5. Determine a interseção dos planos π 1 e π. Quando se tratar de uma reta, descreva-a por equaçõs paramétricas. a) π 1 : x + y z 1 = 0 = e π : x + y z + 1 = 0. b) π 1 : z 1 = 0 e π : y x + = 0 c) π 1 : x y = 1 z e π : 6z y = x. d) π 1 : x 4y + z = 4 e π : 15x + 0y 10z = O triângulo ABC é retângulo em B e está contido em π 1 : x + y + z = 1. O cateto BC está contido em π : x y z = 0 e a hipotenusa mede 6. Sendo A = (0, 1, 0), determine B e C (o sistema de coordenadas é ortogonal.).
4 7. Obtenha equações planares para as retas a) r : X = (1, 9, 4) + λ( 1, 1, 1). b) r : X = ( 7, 1, 10) + λ( 1, 0, 1). c) r : X = (1, 0, ) + λ(, 1, ). 8. Obtenha uma equação vetorial para a reta r. x y z + 4 = 0 a) r : x + y z 5 = 0 x + z = 0 b) r : x y + z 1 = 0 9. Um triângulo retângulo de área 1 tem os catetos contidos nos eixos Ox e Oy e a hpotenusa na reta r. Seus vértices têm coordenadas inteiras, e 6x + y 4z 6 = 0 r é concorrente com a reta s :. Escreva uma y z = 0 equação vetorial de r (o sistema de coordenadas é ortogonal.) 0. Na noite de natal, Michelle resolvia exercícios de Geometria Analítica enquanto esperava a chegada de Papai Noel(kkkkkkkk). Em cada um dos itens, apresentamos as equações planares encontradas por Michelle e as respostas do livro. Quais exercícios Michelle acertou? x + y = 0 y + z + 1 = 0 a) e x + y z 1 = 0 x z = 0 4x + y + z = 0 4x + y + z = 0 b) e c) x y + z + 1 = 0 x + 5y z = 0 x y + z + 4 = 0 e 5x + z = 0 8x + 7y + 1 = 0 11y 8z 4 = 0 1. Estude a posição relativa das retas r e s. a) r : X = (1, 1, 1) + λ(, 1, 1) e s : b) r : x y z = x + y z = 0. e s : y + z = x + y z = 6 x y + z = 5 x + y z = 0 c) r : x+1 = y = z+1 e s : X = (0, 0, 0) + λ(1,, 0) d) r : x+ = y 1 4 = z 1 e s : x y + 7 = 0 x + y 6z = e) r : x + = y 4 4 = z 1 e s : X = (0,, ) + λ(1, 1, 1).. Calcule m em cada caso, usando a informação dada sobre as retas r : x my + 1 = 0 y z 1 = 0 a) r e s são paralelas. b) r e t são concorrentes. c) r e s são reversas. t : x + y z = 0 y + z + 1 = 0 s : x = y m = z 4
5 d) s e t são coplanares. e) r, s e t são paralelas a um mesmo plano.. Dê condições sobre m e n para que as retas r e s determinem um plano: x nz + m + n = 0 x y = 1 r : s : x + y nz + 11 = 0 nx y z + m + 1 = Estude a posição relativa de r e π e, quando forem transversais, obtenha o ponto de interseção. a) X = (1, 1, 0) + λ(0, 1, 1) e π : x y z =. b) r : x 1 = y = z e π : X = (, 0, 1) + λ(1, 0, 1) + µ(,, 0). x y + z = 0 c) r : x + y z 1 = 0 e π : X = (0, 1, 0) + µ(0, 1, 1). d) r : X = (0, 0, 0) + λ(1, 4, 1) e X = (1, 1, 1) + λ(0, 1, ) + µ(1, 1, 0). 5. Calcule m para que r : X = (1, 1, 1) + λ(, m, 1) seja paralela a π : X = (0, 0, 0) + λ(1,, 0) + µ(1, 0, 1). 6. Sejam r : X = (n,, 0) + λ(, m, n) e π : nx y + z = 1. Usando, em cada caso, a informação dada, obtenha condições sobre m e n. a) r e π são paralelos. b) r e π são transversais. c) r está contida em π. 7. Estude a posição relativa dos planos π 1 e π. a) π 1 : X = (1, 1, 1) + λ(0, 1, 1) + µ( 1,, 1) e π : X = (1, 0, 0) + λ(1, 1, 0) + µ( 1, 1, ) b) π 1 : X = (4,, 4) + λ(1, 1, ) + µ(,, 1) e π : X = (, 0, 0) + λ(1, 1, 0) + µ(0, 1, 4) c) π 1 : x y + z 1 = 0 e π : 4x y + 4z = 0 d) π 1 : x y + z = 0 e π : X = (0, 0, 1) + λ(1, 0, ) + µ( 1, 1, 1). 8. Mostre que os planos x = λ + µ π 1 : y = mλ z = λ + µ x = 1 + mλ + µ π : y = + λ z = + mµ são transversais, qualquer que seja o número real m. 9. Obtenha uma equação geral do plano que contém o ponto P e a reta r. a) P = (1, 1, 1) e r : X = (0,, ) + λ(1, 1, 1). b) P = (1, 0, 1) e r : x 1 = y = z. 40. Obtenha uma equação geral do plano π que contém s e é paralelo a r : X = (, 0, ) + λ(1, 1, 1), nos casos: 5
6 a) s : x y = x + z 1 = 1 y b) s : x + y = x y + z + 5 = 4z + c) s : x y = z 1 = x + y z. 41. Verifique se as retas r e s são ortogonais ou perpendiculares. a) r : x + = y = z e s : x 4 = 4 y 1 = z b) r : x 1 = y 5 = z 7 e s : X = (1,, 0) + λ(0, 7, 5) c) r : X = (1,, ) + λ(1,, 1) e s : X = (, 4, 4) + λ( 1, 1, 1). d) r : X = (0, 1, 0) + λ(, 1, 4) e X = ( 1, 1, 0) + λ(1, 0, 1). e) r : 6x 9y = y + 4z = 18 e s : x + y = z y = Obtenha uma equação vetorial da reta s que contém o ponto P e é perpendicular a r, nos casos: a) P = (, 6, 1) e r : X = (, 0, 0) + λ(1, 1, ). b) P = (1, 0, 1) e r contém A = (0, 0, 1) e B = (1, 0, 0). 4. Obtenha um vetor normal ao plano π em cada caso: a) π contém A = (1, 1, 1), B = (1, 0, 1) e C = (1,, ). b) π : x y + 4z + 1 = 0 c) π : X = (1,, 0) + λ(1, 1, 1) + µ(0, 1, ). 44. a) Obtenha a equação geral do plano que contém o ponto (1, 1, ) e é paralelo ao plano de equação x y + z + 1 = 0. b) O plano π contém o ponto P = (, 0, ) e é paralelo a π 1 : X = (, 5, 0) + λ(, 1, 1) + µ(, 1, ). Escreva uma equação geral de π cujos coeficientes tenham soma Determine as coordenadas da projeção ortogonal do ponto p sobre o plano π, os casos: a) P = (1, 0, 1), π : x y + 4z = 1 b) P = (4, 0, 1), π : x 4y + = Determine a projeção ortogonal da reta r : x + 1 = y + = z sobre o plano π : x y + z = Determine a projeção ortogonal da origem O = (0, 0, 0) sobre a reta de interseção dos planos π 1 : X = (1, 1, 1) + λ(1, 0, 1) + µ(0, 1, 1) e π : x + y + z = Verifique se π 1 e π são perpendiculares. a) b) c) d) π 1 : X = (1,, 4) + λ(1, 0, ) + µ(0, 1, ) π : X = (0, 0, 0) + λ(1, 1, 6) + µ(1, 1, 0) π 1 : X = (1, 1, 1) + λ( 1, 0, 1) + µ(4, 1, 1) π : X = (, 1, 1) + λ(1,, 1) + µ(, 1, 0) π 1 : X = (4,, 1) + λ(1, 0, 1) + µ(4, 1, 1) π : y z = 0 π 1 : x + y z = 0 π : 4x y + z = 0 6
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