Capítulo Equações da reta no espaço. Sejam A e B dois pontos distintos no espaço e seja r a reta que os contém. Então, P r existe t R tal que

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1 Capítulo Equações da reta no espaço Sejam A e B dois pontos distintos no espaço e seja r a reta que os contém. Então, P r existe t R tal que AP = t AB Fig. 1: Reta r passando por A e B. Como o ponto P pode ser visto como a translação do ponto A pelo vetor AP, isto é, P = A + AP, a condição acima também se escreve: P r existe t R tal que P = A + t AB. Assim, a reta r é caracterizada pela equação r : P = A + t AB ; t R que é chamada equação paramétrica da reta r com parâmetro t.

2 182 Geometria Analítica - Capítulo 11 Equação paramétrica da reta em coordenadas Seja OXY Z um sistema de eixos ortogonais no espaço e considere os pontos A e B em coordenadas: A = (a, b, c) e B = (a, b, c ) Escrevendo o ponto P em coordenadas, P = (x, y, z), temos: P = (x, y, z) r (x, y, z) = (a, b, c) + t(a a, b b, c c), t R (x, y, z) = (a + t(a a), b + t(b b), c + t(c c)), t R x = a + t(a a), y = b + t(b b), z = c + t(c c), t R. Isto é, P = (x, y, z) r se, e somente se, suas coordenadas x, y e z satisfazem as equações paramétricas da reta r que passa por A = (a, b, c) e B = (a, b, c ) (figura 1): x = a + t (a a) r : y = b + t (b b) ; t R z = c + t (c c) Exemplo 1 Determinar as equações paramétricas da reta r que contém os pontos A = (1, 0, 0) e B = (0, 1, 1). O vetor AB tem coordenadas AB = (0 1, 1 0, 1 0) = ( 1, 1, 1). Logo, x = 1 + t( 1) r : y = 0 + t(1) z = 0 + t(1) x = 1 t ; t R, ou seja, r : y = t z = t ; t R são as equações paramétricas da reta r. Definição 1 Dizemos que uma reta r é paralela a um vetor v 0 quando, para quaisquer dois pontos A e B de r, o vetor AB é múltiplo de v. IM-UFF K. Frensel - J. Delgado

3 Geometria Analítica - Capítulo Assim, o ponto P pertence à reta r que passa por A e é paralela ao vetor v se, e somente se, existe t R tal que AP = t v, ou seja, r : P = A + t v ; t R Em termos de coordenadas, se A = (a, b, c) e v = (α, β, γ), as equações paramétricas de r são: x = a + α t r : y = b + β t z = c + γ t Fig. 2: Vetor v paralelo à reta r. ; t R Exemplo 2 Determine se os pontos P = (1, 1, 1) e Q = (0, 1, 0) pertencem à reta r que passa pelo ponto A = (1, 1, 1) e é paralela ao vetor v = (1, 2, 1). As equações paramétricas da reta r são: x = 1 + t r : y = 1 + 2t ; t R. z = 1 t Logo P r se, e somente se, existe t R, tal que (1, 1, 1) = (1 + t, 1 + 2t, 1 t), isto é, se, e somente se, existe t R que satisfaz as identidades 1 = 1 + t, 1 = 1 + 2t e 1 = 1 t, simultaneamente. Das duas primeiras obtemos t = 0, mas esse valor é incompatível com a terceira identidade, pois implicaria na identidade 1 = 1. Portanto, P r. K. Frensel - J. Delgado IM-UFF

4 184 Geometria Analítica - Capítulo 11 Analogamente, Q r se, e somente se, existe t R, tal que (0, 1, 0) = (1 + t, 1 + 2t, 1 t), isto é, se, e somente se, existe t R que satisfaz, simultaneamente, as identidades 0 = 1 + t, 1 = 1 + 2t e 0 = 1 t, Da primeira identidade, obtemos t = 1, valor que satisfaz as outras duas identidades. Portanto, Q r. 2. Equação simétrica da reta no espaço Consideremos as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto A = (a, b, c) e é paralela ao vetor v = (α, β, γ): x = a + αt r : y = b + βt ; t R. z = c + γt Quando as três coordenadas do vetor direção v são diferentes de zero, podemos colocar em evidência o parâmetro t em cada uma das equações: t = x a α, t = y b β e t = z c γ. Portanto, P = (x, y, z) r se, e somente se, as coordenadas de P satisfazem: r : x a α = y b β = z c γ Essa expressão é chamada equação simétrica da reta r. Quando a reta r é dada por dois pontos A = (a, b, c) e B = (a, b, c ), o vetor v = AB = (a a, b b, c c), paralelo a r, terá suas três coordenadas não-nulas se, e somente se, os pontos A e B não pertencem a um plano paralelo a um dos planos coordenados. IM-UFF K. Frensel - J. Delgado

5 Geometria Analítica - Capítulo Isto é, a a, b b e c c. Nesse caso, podemos expressar a reta r através da equação simétrica: Atenção! r : x a a a = y b b b = z c c c Se a reta r é paralela a um dos planos coordenados, então ela não pode ser representada por uma equação simétrica. Exemplo 3 Determinar, caso seja possível, a forma simétrica da equação da reta r que passa pelos pontos dados. (a) A = (1, 2, 3) e B = (2, 3, 4). (b) A = (1, 0, 1) e B = (1, 2, 3). (a) Como o vetor AB = (1, 1, 1) tem todas suas coordenadas diferentes de zero, a reta r se expressa pela equação simétrica: ou seja, (b) Como o vetor r : x 1 1 = y 2 1 = z 3 1 r : x 1 = y 2 = z 3. AB = (0, 2, 2) é paralelo ao plano πy Z, pois tem a sua primeira coordenada igual a zero, a reta r não pode ser representada por uma equação simétrica., As equações paramétricas de r são: x = 1 x = 1 r : y = 0 + 2t ; t R, ou seja, r : y = 2t z = 1 + 2t z = 1 + 2t Neste exemplo, observe que o vetor 1 v = (0, 1, 1) = AB 2 paralelo à reta r. Portanto, ; t R. é também K. Frensel - J. Delgado IM-UFF

6 186 Geometria Analítica - Capítulo 11 x = 1 r : y = t z = 1 + t ; t R. são também, equações paramétricas para a mesma reta r. Exemplo 4 Seja r a reta que passa pelos pontos A = (1, 0, 0) e B = (0, 0, 1) e seja S a superfície definida pela equação S : z = x 2 + y 2. Determine S r. Como AB = ( 1, 0, 1), a equação paramétrica da reta r é: x = 1 t r : P = A + t AB ; t R. ou seja, r : y = 0 z = t ; t R. Agora, P r S se, e somente se, as coordenadas de P satisfazem as equações paramétricas de r e a equação de S simultaneamente. Como P r P = (1 t, 0, t), para algum t R, temos que P = (1 t, 0, t) S t = (1 t) 2 t = 1 2t + t 2 t 2 3t + 1 = 0 t = 1 ( 3 ± ) 9 4 = ( 3 ± ) 5, Fig. 3: Interseção r S = {P 1, P 2 }. Temos, portanto, duas soluções: ( P = P r S ou ( P =, 0, , 0, ) ) ( 1 5 P =, 0, 3 + ) ou ( P =, 0, 3 ) Logo a reta r intersecta a superfície S em dois pontos. IM-UFF K. Frensel - J. Delgado

7 Geometria Analítica - Capítulo Equações paramétricas do plano no espaço Sejam A, B e C três pontos não-colineares no espaço e seja π o plano que os contém. Então, P π existem s, t R tais que AP = s AB + t AC, isto é, P π se, e somente se, satisfaz a seguinte equação paramétrica do plano π: Observação 1 P = A + s AB + t AC ; s, t R A equação paramétrica de uma reta é determinada a partir da variação de um parâmetro (t R), enquanto a equação paramétrica de um plano é caracterizada pela variação de dois parâmetros (s, t R). dizemos que a reta é uni-dimensional e o plano é bi-dimensional. Equação paramétrica do plano em coordenadas Por isso Consideremos um sistema de eixos ortogonais OXY Z no espaço no qual os pontos A, B e C têm coordenadas: A = (a, b, c), B = (a, b, c ) e C = (a, b, c ). Substituindo, na equação paramétrica do plano π as coordenadas do ponto P = (x, y, z), as coordenadas do ponto A e dos vetores AB = (a a, b b, c c) e AC = (a a, b b, c c), obtemos que: (x, y, z)=(a, b, c)+s(a a, b b, c c)+t(a a, b b, c c); s, t R, ou seja, as equações paramétricas do plano π são: x = a + s (a a) + t (a a) π : y = b + s (b b) + t (b b) ; s, t R z = c + s (c c) + t (c c) Exemplo 5 Determinar equações paramétricas do plano π que contém os pontos A = (1, 0, 0), B = (1, 1, 0) e C = (0, 0, 1). K. Frensel - J. Delgado IM-UFF

8 188 Geometria Analítica - Capítulo 11 Temos AB = (0, 1, 0) e AC = ( 1, 0, 1). Logo, x = 1 + 0s + ( 1)t x = 1 t π : y = 0 + 1s + 0t ; s, t R, ou seja, π : y = s z = 0 + 0s + 1t z = t ; s, t R. são as equações paramétricas do plano π. Definição 2 Dizemos que o plano π é paralelo ao vetor v 0 quando, para qualquer ponto P π, a reta r que passa por P e é paralela ao vetor v contida no plano π. Em particular, se v = PQ e P π então Q π. está Já vimos que a equação paramétrica do plano π que passa pelos pontos não-colineares A, B e C é dada por: π : P = A + s AB + t AC ; s, t R. Seja P o = A + s o AB + to AC um ponto pertencente a π. Como todos os pontos da forma P = P o + s AB = A + (s + so ) AB + to AC, s R, pertencem ao plano π, a reta que passa por P o e é paralela ao vetor AB está contida em π. Sendo P o π arbitrário, obtemos que o vetor AB é paralelo ao plano π. e De forma análoga, verificamos que o vetor AC é paralelo ao plano π. Além disso, como A, B e C são pontos não colineares, os vetores AC não são múltiplo um do outro, isto é, não são colineares. AB Com isso, vemos que um plano π é determinado se conhecemos um ponto pertencente a π e duas direções não-colineares e paralelas a π. Assim, a equação paramétrica do plano π que passa pelo ponto A e é paralelo aos vetores não-colineares u e v é: IM-UFF K. Frensel - J. Delgado

9 Geometria Analítica - Capítulo π : P = A + s u + t v ; s, t R Escrevendo em coordenadas, A = (a, b, c), u = (α, β, γ), v = (α, β, γ ) e P = (x, y, z), obtemos as seguintes equações paramétricas de π: x = a + α s + α t π : y = b + β s + β t ; s, t R z = c + γ s + γ t Exemplo 6 Determine equações paramétricas do plano π que passa por A = (1, 1, 1) e B = (1, 0, 1) e é paralelo à reta r que passa por D = (2, 0, 1) e E = (0, 0, 1). Para determinar equações paramétricas do plano π é necessário conhecer um ponto A pertencente a π e: dois outros pontos de π não colineares com A, ou dois vetores não colineares paralelos a π. Em nosso caso, o vetor DE = ( 2, 0, 0), paralelo à reta r, e portanto a π, não é múltiplo do vetor AB = (0, 1, 0) paralelo a π. Então, π é o plano que passa por A = (1, 1, 1) e é paralelo aos vetores AB = (0, 1, 0) e DE = ( 2, 0, 0), tendo, portanto, as equações paramétricas: x = 1 + (0)s + ( 2)t x = 1 2t π : y = 1 + ( 1)s + (0)t ; s, t R, ou seja, π : y = 1 1s ; s, t R, z = 1 + (0)s + (0)t z = 1 Em particular, π é um plano paralelo ao plano π XY, pois a terceira coordenada dos seus pontos é constante (z = 1). Exemplo 7 Determinar, caso exista, o ponto onde o plano π, que passa pelos pontos A = (1, 2, 3), B = (2, 3, 1) e C = (3, 2, 1), intersecta o eixo OX. K. Frensel - J. Delgado IM-UFF

10 190 Geometria Analítica - Capítulo 11 Determinemos, primeiro, as equações paramétricas do plano π. Os vetores AB = (1, 1, 2) e AC paralelos a π. Logo, x = 1 + s + 2t π : y = 2 + s z = 3 2s 2t = (2, 0, 2) não são colineares e são ; s, t R. O ponto da intersecção de π com o eixo OX deve ser um ponto com a segunda e terceira coordenadas iguais a zero. Isto é, { y = 2 + s = 0 P = (x, y, z) π eixo OX z = 3 2s 2t = 0 Da primeira equação do sistema, vemos que s = 2 e, substituindo esse valor na segunda equação, obtemos t = 3 2( 2) = ) Portanto, P 0 = (1 + ( 2) , 0, 0 = (6, 0, 0) é o ponto da intersecção π eixo OX é 4. Produto interno de dois vetores no espaço As noções de norma e produto interno de vetores no espaço são completamente análogas às correspondentes noções já estudadas para vetores no plano. No entanto, por motivos de completititude, vamos rever esses conceitos considerando vetores no espaço, omitindo, porém, a maioria dos detalhes. Definição 3 A norma ou comprimento de um vetor v = AB no espaço é o número real não-negativo v = d(a, B) Como foi visto no plano, esse número não depende do segmento AB escolhido para representar o vetor v. IM-UFF K. Frensel - J. Delgado

11 Geometria Analítica - Capítulo Em particular, tomando um sistema de eixos ortogonais OXY Z e representando o vetor v pelo segmento OP, as coordenadas de v coincidem com as coordenadas do ponto P em relação ao sistema OXY Z, e, portanto, se v = OP = (α, β, γ), então v = α 2 + β 2 + γ 2 Definição 4 Um vetor v de norma igual a 1 é chamado unitário. O ângulo ( u, v ) entre os vetores u = AB e v = AC não-nulos é o menor ângulo formado pelos segmentos AB e AC. Então ( u, v ) [0, π] Quando os vetores são colineares, isto é, A, B e C são colineares, ( u, v ) = 0 o se B e C estão do mesmo lado em relação a A na reta que os contêm, e ( u, v ) = 180 o se B e C estão em lados opostos em relação a A na reta que os contêm. Lembramos, agora, a definição do produto interno entre dois vetores: Definição 5 Sejam u e v dois vetores no espaço. O produto interno entre u e v é o número real u, v definido da seguinte maneira: 0, se u = 0 ou v = 0 u, v = u v cos θ, se u 0 e v 0 onde θ = ( u, v ). Dessa definição, é claro que para qualquer vetor u no espaço, u, u = u 2 Esse número sempre é não-negativo e é igual a zero se, e só se, u = 0. K. Frensel - J. Delgado IM-UFF

12 192 Geometria Analítica - Capítulo 11 Por um cálculo análogo ao efetuado para o produto interno no plano, aplicando a lei dos cossenos, obtemos a seguinte proposição que caracteriza o produto interno em termos das coordenadas dos vetores. Proposição 1 Sejam u = (α, β, γ) e v = (α, β, γ ) vetores no espaço expressos em termos de suas coordenadas com respeito a um sistema de eixos ortogonais OXY Z. Então, u, v = αα + ββ + γγ Usando essa caracterização do produto interno obtemos as seguintes propriedades: Proposição 2 Sejam u, v e w vetores no espaço e seja λ R. Valem as seguintes propriedades: (1) u, v = v, u (2) λ u, v = λ u, v (3) u, λv = λ u, v (4) u + w, v = u, v + w, v (5) u, v + w = u, v + u, w A noção de perpendicularidade entre dois vetores no espaço é a mesma que no plano. Definição 6 Um vetor u é perpendicular a outro v, e escrevemos u v, quando o ângulo entre eles é reto ou quando um dos vetores é igual a zero. Da definição do produto interno obtemos a seguinte caracterização da perpendicularidade: u v u, v = 0 IM-UFF K. Frensel - J. Delgado

13 Geometria Analítica - Capítulo Equação cartesiana do plano no espaço Agora vamos aplicar a noção de produto interno para determinar a equação cartesiana de um plano no espaço. Definição 7 Dizemos que um vetor u 0 é perpendicular ou normal a um plano π, e escrevemos u π, quando é perpendicular a qualquer vetor paralelo ao plano π. Ou seja, u π se, e somente se, u AB para quaisquer A, B π. Se π é o plano no espaço que passa pelo ponto A e é normal ao vetor u, então: P π AP u AP, u = 0 Escrevendo a última equação em termos das coordenadas dos elementos envolvidos: A = (x 0, y 0, z 0 ), obtemos: P = (x, y, z) π AP, u = 0 v = (a, b, c) e P = (x, y, z), (x x 0, y y 0, z z 0 ), (a, b, c) = 0 a (x x 0 ) + b (y y 0 ) + c (z z 0 ) = 0 ax + by + cz = ax 0 + by 0 + cz 0 Portanto, P = (x, y, z) π se, e somente se, as suas coordenadas satisfazem a equação cartesiana de π: π : ax + by + cz = d onde u = (a, b, c) π e o número d é calculado sabendo que π passa por A = (x 0, y 0, z 0 ): d = ax 0 + by 0 + cz 0 K. Frensel - J. Delgado IM-UFF

14 194 Geometria Analítica - Capítulo 11 Exemplo 8 Determine a equação cartesiana do plano π que passa pelo ponto A = (1, 1, 2) e é normal ao vetor u = (1, 2, 3). Como π u = (1, 2, 3), temos π : 1 x + 2 y + ( 3) z = d, onde d = 1 (1) + 2 (1) + ( 3) (2) = 3. Portanto, π : x + 2y 3z = 3 é a equação cartesiana do plano π. Exemplo 9 Determine a equação cartesiana e as equações paramétricas do plano π que contém os pontos A = (1, 1, 3), B = (4, 0, 1) e C = (2, 1, 3). Como AB = (3, 1, 2) e AC = (1, 2, 0) são vetores paralelos ao plano π e não são múltiplo um do outro, pois det 3 1 = 5 0, obtemos 1 2 π : P = A + s AB + t AC ; s, t R. Isto é, x = 1 + 3s + t π : y = 1 + s + 2t z = 3 2s ; s, t R, são equações paramétricas do plano π. Para determinar a equação cartesiana de π, devemos achar um vetor u perpendicular a π. Como todo vetor paralelo a π é da forma uma combinação linear dos vetores somente se, u AB e u AC. AP, com P π, e AP é AB e AC, temos que u π se, e IM-UFF K. Frensel - J. Delgado

15 Geometria Analítica - Capítulo Então as coordenadas do vetor u = (a, b, c) normal ao plano π devem ser determinadas de modo que u, AB = 0 e u, AC = 0. Isto é, (a, b, c), (3, 1, 2) = 3a + b 2c = 0 (a, b, c), (1, 2, 0) = a + 2b = 0 Da segunda equação, obtemos a = 2b e, substituindo na primeira equação, temos que: 3( 2b) + b 2c = 0 c = 5 2 b. Assim, podemos determinar as coordenadas a e c de u valor arbitrário para a coordenada b. fixando um Como queremos um vetor normal não nulo, b não pode ser igual a zero. Fixando, por exemplo, b = 2, obtemos: a = 2( 2) = 4, c = 5 2 ( 2) = 5 e, portanto, u = (4, 2, 5). Sendo u = (4, 2, 5) um vetor normal a π, a equação cartesiana de π tem a forma: 4x 2y + 5z = d, onde d é calculado sabendo que A = (1, 1, 3) π: d = 4(1) 2( 1) + 5(3) = 21. Portanto, 4x 2y + 5z = 21, é a equação cartesiana do plano π. Exemplo 10 Determine equações paramétricas para o plano π : x + 3y z = 2. Para determinar as equações paramétricas do plano π devemos encontrar um ponto de π e dois vetores paralelos a π que não sejam colineares. K. Frensel - J. Delgado IM-UFF

16 196 Geometria Analítica - Capítulo 11 Tomando y = z = 0 na equação cartesiana de π, obtemos x = 2. Portanto, o ponto A = (2, 0, 0) pertence ao plano π. Tomando, agora, x = y = 0 na equação de π, obtemos z = 2. Logo, B = (0, 0, 2) π. Finalmente, tomando x = 0 e y = 1, obtemos z = 1. Portanto, C = (0, 1, 1) π. Devemos verificar que A, B e C são não-colineares. Para isso, formamos os vetores AB = ( 2, 0, 2) e AC = ( 2, 1, 1). Como det 2 0 = 2 0, concluímos que A, B e C não são colinea- 2 1 res. Logo, AB e AC são vetores não-colineares paralelos a π. Assim, como o plano π passa por A = (2, 0, 0) e é paralelo aos vetores AB = ( 2, 0, 2) e AC = ( 2, 1, 1), x = 2 2s 2t π : y = t ; s, t R, z = 2s + t são equações paramétricas do plano π. Exemplo 11 Determinar a equação cartesiana do plano x = 1 + s + 2t π : y = 1 s + t ; s, t R. z = 3 + 2t Das equações paramétricas de π, obtemos um ponto A = ( 1, 1, 3) pertencente ao plano π e os vetores v = (1, 1, 0) e w = (2, 1, 2) nãocolineares e paralelos ao plano π. Para determinar a equação cartesiana de π, como já sabemos que A π, basta achar um vetor u perpendicular a π. IM-UFF K. Frensel - J. Delgado

17 Geometria Analítica - Capítulo Temos que u π se, e somente se, u v e u w. Tomando u = (a, b, c) temos: u, v = 0 (a, b, c), (1, 1, 0) = 0 u, w = 0 (a, b, c), (2, 1, 2) = 0 a b = 0 2a + b + 2c = 0. Da primeira dessas equações, obtemos a = b. Substituindo na segunda, obtemos 3a + 2c = 0, ou seja, c = 3 2 a. Finalmente, fixando o valor a = 2, obtemos u = (2, 2, 3) π. Assim, a equação cartesiana de π tem a forma: π : 2x + 2y 3z = d, onde o valor d é calculado sabendo que A = ( 1, 1, 3) π: d = 2( 1) + 2(1) 3(3) = 9. Portanto, π : 2x + 2y 3z = 9, é a equação cartesiana do plano π. K. Frensel - J. Delgado IM-UFF

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