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1 n. 20 EQUAÇÃO GERAL DO PLANO Seja A (x 1, y 1, z 1 ) um ponto que pertence ao plano π e n = a i + b j + c k, sendo n (0, 0, 0) um vetor ortogonal ao plano. O plano π pode ser definido como o conjunto de todos os pontos P (x, y, z) do espaço, tais que o vetor AP é ortogonal a n. O ponto P pertence a π se, e somente se: n. AP = 0 Seja n = (a, b, c) e AP = P A = (x, y, z) ( x 1, y 1, z 1 ) = (x x 1, y y 1, z z 1 ) (a, b, c). (x x 1, y y 1, z z 1 ) = 0 a (x x 1 ) + b (y y 1 ) + c(z z 1 ) = 0 a x a x 1 + b y b y 1 + c z c z 1 = 0 Fazendo a x 1 b y 1 c z 1 = d Temos: a x + b y + c z + d = 0 que é a equação geral do plano ou equação cartesiana do plano

2 d é o termo independente, uma constante que influencia na interseção entre o plano e os eixos cartesianos. EQUAÇÃO GERAL DO PLANO: a x + b y + c z + d = 0 Exemplos: 1. Escreva a equação do plano que contém o ponto A (3, 4, 5) e é ortogonal ao vetor n = (1, 2, 6) R: α: x + 2 y + 6 z + 19 = 0 2. Escreva a equação do plano π que contém o ponto A ( 3, 2, 0) e é paralelo ao plano α: 4 x + 5 y 7 z + 8 = 0. R: π: 4 x + 5 y 7 z + 2 = 0 3. Escreva a equação do plano que contém o ponto A ( 1, 3, 5) e é paralelo aos vetores u = (2, 4, 6) e v = (1, 0, 3). R: α: 3 x z 2 = 0 4. Escreva a equação do plano mediador do segmento AB, dados A (2, 1, 4) e B (4, 3, 2). R: α: x y 3z 2 = 0 Resolução dos exercícios: 1. Escreva a equação do plano que contém o ponto A (3, 4, 5) e é ortogonal ao vetor n = (1, 2, 6) Equação geral: a x + b y + c z + d = 0 (a, b, c) é o vetor normal (x 1, y 1, z 1 ) é o ponto que pertence ao plano: A (3, 4, 5) d = a x 1 b y 1 c z 1

3 1 x + 2 y + 6 z + [ 1 (3) 2 (4) 6 ( 5) ] = 0 1 x + 2 y + 6 z + [ ] = 0 A equação do plano é: x + 2 y + 6 z + 19 = 0 2. Escreva a equação do plano π que contém o ponto A ( 3, 2, 0) e é paralelo ao plano α: 4 x + 5 y 7 z + 8 = 0. Se π é paralelo ao plano α, um vetor normal é (4, 5, 7) Então a equação do plano é: 4 x + 5 y 7 z + [ 4 ( 3) 5 (2) + 7 (0)] = 0 4 x + 5 y 7 z = 0 4 x + 5 y 7 z + 2 = 0

4 3. Escreva a equação do plano que contém o ponto A ( 1, 3, 5) e é paralelo aos vetores u = (2, 4, 6) e v = (1, 0, 3). O vetor normal ao plano é o produto vetorial, ou produto externo entre u e v, ou seja, i j k n = (u x v) = = (12-0) i (6 6) j + (0 4)k = 12 i 4 k = (12, 0, - 4) a equação do plano é: 12 x + 0 y 4 z + [- 12 (- 1) 0 (3) (- 4) (- 5) ] = 0 12 x 4 z = 0 12 x 4 z 8 = 0 α: 3 x z 2 = 0

5 4. Escreva a equação do plano mediador do segmento AB, dados A (2, 1, 4) e B (4, 3, 2). O plano mediador de AB é o plano ortogonal a AB e que contém seu ponto médio. Logo, um vetor normal a este plano é AB = B A = (4, 3, 2) (2, 1, 4) = (2, 2, 6) Um ponto do plano é A + B 2 = , 1 +( 3) 2, 4 +( 2) 2 = 6 2, 4 2, 2 2 = (3, 2, 1) a equação do plano é: 2 x 2 y 6 z + [ 2 (3) ( 2) ( 2) ( 6) (1) ] = 0 2 x 2y 6 z = 0 2 x 2y 6 z 4 = 0 x y 3z 2 = 0

6 Equação vetorial do plano Seja A (x 0, y 0, z 0 ) um ponto do plano π e u = (a 1, b 1, c 1 ) e v = (a 2, b 2, c 2 ) dois vetores não paralelos pertencentes a esse plano. Um ponto P (x, y, z) pertence ao plano π, se e somente se, existem números reais h e k tais que: AP = h u + k v (adição de vetores pela construção paralelogramo) do Escrevendo a equação em coordenadas temos: AP = h u + k v P A = h (a 1, b 1, c 1 ) + k (a 2, b 2, c 2 )

7 P = A + h (a 1, b 1, c 1 ) + k (a 2, b 2, c 2 ) (x, y, z) = (x 0, y 0, z 0 ) + h (a 1, b 1, c 1 ) + k(a 2, b 2, c 2 ) equação vetorial do plano Ou (x, y, z) = (x 0 + h a 1 + k a 2, y 0 + h b 1 + k b 2, z 0 + h c 1 + k c 2 ) equação vetorial do plano Os vetores u e v são chamados de vetores diretores do plano π. Equações paramétricas do plano x = x 0 + a 1 h + a 2 k y = y 0 + b 1 h + b 2 k { z = z 0 + c 1 h + c 2 k Exemplos: 1. Escreva as equações paramétricas do plano que passa pelo ponto A (2, 1, 3) e é paralelo aos vetores u = ( 3, 3, 1) e v = (2, 1, 2). 2. Escreva as equações paramétricas do plano determinado pelos pontos A (5, 7, - 2), B (8, 2, - 3 ) e C (1, 2, 4). Resolução dos exercícios: 1. Escreva as equações paramétricas do plano que passa pelo ponto A (2, 1, 3) e é paralelo aos vetores u = ( 3, 3, 1) e v = (2, 1, 2). { x = x 0 + a 1 h + a 2 k y = y 0 + b 1 h + b 2 k z = z 0 + c 1 h + c 2 k

8 x = 2 3h + 2k { y = 1 3h + 1k z = 3 + 1h 2k Se quisermos um ponto de plano, basta atribuir valores quaisquer para h e k. Por exemplo: se h = 5 e k = 1, temos x = 2 3(5) + 2(1) x = 11 { y = 1 3(5) + 1(1) y = 13 z = 3 + 1(5) 2(1) z = 6 Logo, B (- 11, - 13, 6) é um ponto do plano. Para descobrir a equação geral do plano: O vetor normal ao plano é o produto vetorial, ou produto externo entre u e v, ou seja, i j k n = (u x v) = = (6-1) i (6 2) j + (-3+6)k = 5i 4j +3 k = (5,- 4,3) a equação do plano é: 5 x 4 y + 3 z + [ 5 (2) ( 4) (1) 3 (3) ] = 0 5 x 4 y +3z +[ ) = 0 5 x 4 y +3 z 5 = 0 α: 5 x 4y +3z 5 = 0

9 2. Escreva as equações paramétricas do plano determinado pelos pontos A (5, 7, - 2), B (8, 2, - 3 ) e C (1, 2, 4). Primeiro descobrir se os pontos são colineares ou não. Logo, det = 0 colinearidade [ ] = = = Três pontos não colineares determinam um plano, assim: u = AB = B A = (8, 2, - 3) (5, 7, - 2) = (3, - 5, - 1) v = AC = C A = (1, 2, 4) (5, 7, - 2) = (- 4, - 5, 6) Logo, as paramétricas desse plano, utilizando o ponto A são: x = 5 + 3h 4k { y = 7 5h 5k z = 2 1h + 6k Exercícios:

10 1. Escreva a equação do plano π que passa pelo ponto A (3, 1, - 4) e é paralelo ao plano: α: 2 x 3 y + z 6 = 0 R: π: 2 x 3 y + z + 1 = 0 2. Determine a equação geral do plano δ que passa pelo ponto A (2, 1, - 2) e é x = 4 + 3t ortogonal à reta r: { y = 1 + 2t z = t R: δ: 3 x + 2 y + 1 z - 6 = 0 x = 1 2u + v 3. São dadas as equações paramétricas de um plano α: { y = 2 + u 2 v z = 3 + u Encontre a equação geral. R: α: 2x + y + 3z 13 = 0 4. Ache a equação geral do plano que contém os pontos A (0, 4, 1) e B (- 1, 3, 2) e têm à direção do vetor v = ( - 1, 3, 5). R: π: 2 x y + z + 3 = 0 5. Determine a equação do plano que contém A (4, -1, 2) e é ortogonal ao vetor v = ( - 2, 3, 1). R: 2x + 3y + z + 9 = 0 6. Obtenha um vetor unitário ortogonal ao plano π: 2 x + y - z + 5 = 0 R: n = ( 2 6, 1 6, 1 6 ) 7. Determine o valor de a para que o ponto P(a, 3, -1) pertença ao plano π: 2x + 11y + 8z = 27. R: a = 1 8. Determine as equações paramétricas e a equação geral do plano que passa pelos pontos A (4, - 2, 1), B (- 1, 1, - 1) e C (3, 0, 2). x = 4 5 u v R: π: x + y z 1 = 0 e π: { y = u + 2 v z = 1 2 u + v 9. Encontre a equação geral do plano que passa por P (1, 2, - 3) e é paralelo ao plano yoz. R: π: x 1 = 0

11 10. Determine a equação geral do plano que passa pelo ponto P (3, - 1, 2) e é ortogonal à reta: R: π: 2 x + y z + 9 = 0 x 1 = y = z Determine a equação geral do plano paralelo aos vetores u = (- 2, 0,1) e v = (- 1, - 2, 1) e passa pelo ponto A(1, 1, 0). R: π: 2 x + y + 4 z 3 = Encontre a equação do plano α que passa pelos pontos M ( 1, 0, 0), 2 N (0, 1, 0) e O (0, 1, 1 ) R: α: 2 x + 2 y + 4 z 1 = Calcule o valor de k para que os planos π: 3x y + z - 4 = 0 e α: k x + 3y z 2 = 0 sejam ortogonais. R: k = 4 3 Resoluções: 1. Escreva a equação do plano π que passa pelo ponto A (3, 1, - 4) e é paralelo ao plano: α: 2 x 3 y + z 6 = 0 Se os dois planos são paralelos então o vetor normal (ortogonal) ao plano α também é ortogonal ao plano π, logo n = ( 2, - 3, 1). Então a equação do plano π pode ser escrita como: 2 x 3 y + z + d = 0 Descobrindo d: d = 2 ( 3) ( 3). (1 ) 1 ( 4) + d = d = 1 Logo a equação do plano π é: 2 x 3 y + z + 1 = 0

12 2. Determine a equação geral do plano δ que passa pelo ponto A (2, 1, - 2) e é x = 4 + 3t ortogonal à reta r: { y = 1 + 2t z = t Se o plano δ é ortogonal a reta r, então o vetor diretor de r será um vetor ortogonal ao plano δ, logo, n = (3, 2, 1) então, a equação do plano pode ser escrita como: δ: 3 x + 2 y + 1 z + d = 0 3 (2) + 2 (1) + 1 ( 2) + d = d = 0 d = 6 Logo, a equação do plano δ é: δ: 3 x + 2 y + 1 z 6 = 0

13 3. São dadas as equações paramétricas de um plano: x = 1 2u + v { y = 2 + u 2 v z = 3 + u Encontre a equação geral. Os vetores u = ( 2, 1, 1) e v = (1, 2, 0) são vetores diretores do plano. O vetor u x v (produto externo) é o vetor normal ao plano, logo:

14 u x v = [ i j k 2 1 1] = 2 i + 1 j + 3 k = u x v = (2, 1, 3) Ponto do plano: A (1, 2, 3) Descobrindo o termo independente d : d = 1. (2) 2. (1) 3. (3) d = 13 Logo, a equação geral do plano é: 2 x + y + 3 z 13 = 0 4. Ache a equação geral do plano que contém os pontos A (0, 4, 1) e B (- 1, 3, 2) e têm à direção do vetor v = ( - 1, 3, 5). R: π: 2 x y + z + 3 = 0 AB = B A = (-1, 3, 2) (0, 4, 1) = ( - 1, - 1, 1) = u Outro vetor do plano: v = (-1, 3, 5) i j k u x v = = ( 5 3)i ( 5 + 1) j + ( 3 1)k = ( 8, 4, 4) n = ( - 8, 4, - 4) utilizando o ponto A d = ( 8)(0) 4 (4) ( 4) (1) d =

15 d = - 12 Logo, π: 2 x y + z + 3 = 0 5. Determine a equação do plano que contém A (4, -1, 2) e é ortogonal ao vetor v = ( - 2, 3, 1). R: π: 2x + 3y + z + 9 = 0 d = - (-2) (4) 3 (- 1) (1) 2 d = d = 9 Logo, a equação do plano é π: 2x + 3y + z + 9 = 0 6. Obtenha um vetor unitário ortogonal ao plano π: 2 x + y - z + 5 = 0 n = (2, 1, -1) n = ( 1) 2 = 6 u = n n = ( 2 6, 1 6, 1 6 ) 7. Determine o valor de a para que o ponto P(a, 3, -1) pertença ao plano π: 2x + 11y + 8z = 27. R: a = 1 d = - 2 x0 11 y0 8 z0-27 = - 2 x0 11 y0 8 z0-27 = - 2 a 11 (3) 8 (-1) 2 a = a = 2 a = 1 8. Determine as equações paramétricas e a equação geral do plano que passa pelos pontos A (4, - 2, 1), B (- 1, 1, - 1) e C (3, 0, 2). R: π: x + y z 1 = 0 e π: { x = 4 5 u v y = u + 2 v z = 1 2 u + v AB = B A = (-1, 1, -1) (4, - 2, 1) = (- 5, 3, - 2) = u

16 AC = C A = (3, 0, 2) (4, - 2, 1) = (- 1, 2, 1) = v i j k u x v = = 7 i + 7 j 7k = (7, 7, 7) n = (7, 7, 7) Encontrando d pelo ponto A d = - 7 (4) 7 (- 2) (-7) 1 d = d = - 7 Logo, a equação geral é π: x + y z 1 = 0 Vetorial pelo ponto A: π: { x = 4 5 u v y = u + 2 v z = 1 2 u + v 9. Encontre a equação geral do plano que passa por P (1, 2, - 3) e é paralelo ao plano yoz. R: π: x - 1 = 0 como é paralelo ao yoz e a normal é ortogonal ao plano temos: n = (x, 0, 0) = ( 1,0, 0) n = (1, 0, 0) d = - 1 (1) 0 (2) 0 (- 3) d = - 1 Portanto, π: x - 1 = Determine a equação geral do plano que passa pelo ponto P (3, - 1, 2) e é ortogonal à reta: x 1 = y = z 2 1 Vetor diretor da reta: (-2, 1, -1) d = - (-2) (3) 1 (-1) (-1).(2) d = d = 9 Portanto, π: 2 x + y z + 9 = 0 R: π: 2 x + y z + 9 = Determine a equação geral do plano paralelo aos vetores u = (- 2, 0,1) e v = (- 1, - 2, 1) e passa pelo ponto A(1, 1, 0). R: π: 2 x + y + 4 z 3 = 0 Como u e v não são paralelos fazemos produto externo: i j k u x v = = 2 i ( 2 + 1)j + 4k = 2 i + j + 4k = (2, 1, 4) n = (2, 1, 4) A (1, 1, 0)

17 d = -2 (1) 1 (1) 4 (0) d = d = - 3 π: 2 x + y + 4 z 3 = Calcule o valor de k para que os planos π: 3x y + z - 4 = 0 e α: k x + 3y z 2 = 0 sejam ortogonais. R: k = 4 3 (3, -1, 1). (k, 3, -1) = 0 3 k 3 1 = 0 3 k = 4 k = Encontre a equação do plano α que passa pelos pontos M ( 1 2, 0, 0), N (0, 1 2, 0) e O (0, 1, 1 ) R: α: 2 x + 2 y + 4 z 1 = Como 3 pontos determinam um plano, então com os 3 pontos dados obtemos os vetores MN = N M =(0, 1, 0) 2 (1, 0, 0) = ( 1, 1, 0) = u MO = O M =(0, 1, 1 ) 2 2 (1, 0, 0) = ( 1, 1, 1 ) = v u x v = 1 2 i j k = 1 4 i j k = (1 4, 1 4, 1 2 ) n = (1 4, 1 4, 1 2 ) Encontrando o d a partir do ponto M ( 1 2 d = 1 4 (1 2 ) 1 4 (0) 1 2 (0), 0, 0): d = 1 8 Logo, 1 4 x y z 1 8 = 0 multiplicando tudo por 8: α: 2 x + 2 y + 4 z 1 = 0 Referências Bibliográficas BOULOS, P. e CAMARGO, I. de. Geometria analítica: um tratamento vetorial. São Paulo: McGraw-Hill, BORGES, A. J. Notas de aula. Curitiba. Set Universidade Tecnológica Federal do Paraná UTFPR.

18 NUNES, Luiz Fernando. Notas de aula: Matemática 1. Professor do Departamento de Matemática da Universidade Tecnológica Federal do Paraná UTFPR. STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. Geometria analítica. São Paulo: Pearson-Makron Books, VALLADARES, R. J. C. Geometria analítica do plano e do espaço. Rio de Janeiro: LTC, VENTURI, J. J. Álgebra Vetorial e Geometria Analítica. 9 ed. Curitiba

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