Aula Elipse. Definição 1. Nosso objetivo agora é estudar a equação geral do segundo grau em duas variáveis:

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1 Aula 18 Nosso objetivo agora é estudar a equação geral do segundo grau em duas variáveis: Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0, onde A 0 ou B 0 ou C 0 Vamos considerar primeiro os casos em que B = 0. Isto é, vamos estudar a equação: Ax + Cy + Dx + Ey + F = 0 1. Elipse Definição 1 Uma elipse, E, de focos F 1 e F, é o conjunto do plano que consiste de todos os pontos P cuja soma das distâncias a F 1 e F é igual a uma constante a > 0, maior do que a distância entre os focos c 0. Ou seja: E = { P dp, F 1 ) + dp, F ) = a }, 0 c < a ; df 1, F ) = c Terminologia Como dissemos na definição, os pontos F 1 e F são os focos da elipse. A reta l que contém os focos é a reta focal. Fig. 1: Posicionamento dos focos da elipse na reta focal. A intersecção da elipse com a reta focal l consiste de exatamente dois pontos, A 1 e A, chamados vértices da elipse sobre a reta focal. De fato, seja A E l. Então A F 1 F, pois se A F 1 F, teríamos c = df 1, F ) = da, F 1 ) + da, F ) = a,

2 Geometria Analítica - Aula isto é, c = a, o que é impossível, já que, por definição, c < a. Seja A E l F 1 F tal que x = da, F ). Como a = da, F 1 ) + da, F ) = x + c + x, pois A E, temos que x = a c. Fig. : Posicionamento dos vértices em relação aos focos da elipse na reta focal. Logo o ponto A pertencente a l F 1 F, que dista a c do foco F, pertence à elipse E. De modo análogo, temos que o ponto A 1 pertencente a l F 1 F que dista a c do foco F 1, pertence à elipse E. Fig. : Determinação da distância dos vértices aos focos da elipse. O segmento A 1 A é denominado eixo focal da elipse. O seu comprimento é a. Fig. 4: Posicionamento dos focos, vértices e centro da elipse na reta focal. O ponto médio C do eixo focal A 1 A é o centro da elipse. Esse ponto é, também, o ponto médio do segmento F 1 F, delimitado pelos focos. A reta l que passa pelo centro C e é perpendicular à reta focal l é a reta não-focal. A elipse intersecta a reta não-focal l em exatamente dois pontos, B 1 e B, denominados vértices da elipse sobre a reta não-focal. De fato, como l é a mediatriz do segmento F 1 F, temos que B l E se, e somente se, db, F 1 ) = db, F ) = a. Logo, pelo teorema de Pitágoras, temos que l E consiste de dois pontos, B 1 e B, em l, que distam b = a c do centro C da elipse. Fig. 5: Posicionamento dos focos, vértices e centro da elipse nas retas focal e não-focal. IM-UFF K. Frensel - J. Delgado

3 15 Geometria Analítica - Aula 18 O segmento B 1 B é denominado eixo não-focal da elipse e seu comprimento é b, onde b = a c. O número e = c a é chamado a excentricidade da elipse. Note que 0 e < 1. O número a é a distância do centro aos vértices sobre a reta focal, b é a distância do centro aos vértices sobre a reta não-focal e c é a distância do centro aos focos. Observação 1 1. Se c = 0, a elipse se reduz ao círculo de centro C e raio a pois, nesse caso, F 1 = F = C e, portanto, E = {P dp, C) = a} = {P dp, C) = a} Em particular, a excentricidade e = 0 se, e somente se, a elipse é um círculo.. Pela desigualdade triangular, temos que se dp, F 1 ) + dp, F ) = a e df 1, F ) = c, então c = df 1, F ) dp, F 1 ) + dp, F ) = a. Isto é, c a. Além disso, c = a dp, F 1 ) + dp, F ) = a = c = df 1, F ) P F 1 F. Ou seja, se c = a, então { P dp, F 1 ) + dp, F ) = a } = F 1 F. Por isso, na definição da elipse, tomamos c < a.. A elipse E é simétrica em relação à reta focal, à reta não-focal e ao centro. De fato, se P E e P é o simétrico de P em relação à reta focal, então: F PQ F P Q e F 1 PQ F 1 P Q. Em particular, F 1 P F 1 P e F P F P. Logo, a = dp, F 1 ) + dp, F ) = dp, F 1 ) + dp, F ) = P E. Fig. 6: Simetria da elipse em relação à reta focal. Se P E e P é o simétrico de P em relação ao centro, então PCF P CF 1 e F 1 CP P CF. Em particular, F 1 P F P e F P F 1 P. Portanto, a = dp, F 1 ) + dp, F ) = dp, F ) + dp, F 1 ) = P E. K. Frensel - J. Delgado IM-UFF

4 Geometria Analítica - Aula Fig. 7: Simetria da elipse em relação ao centro. A simetria em relação à reta não-focal se verifica de maneira análoga, usando congruência de triângulos.. Forma canônica da elipse Seja OXY um sistema de eixos ortogonais no plano. Vamos obter a equação da elipse em relação a esse sistema de eixos para alguns casos especiais. Elipse com centro na origem e reta focal coincidente com o eixo OX Nesse caso, temos F 1 = c, 0), F = c, 0), A 1 = a, 0), A = a, 0), B 1 = 0, b) e B = 0, b). Logo, P = x, y) E dp, F 1 ) + dp, F ) = a x + c) + y + x c) + y = a x + c) + y = a x c) + y x + c) + y = 4a 4a x c) + y + x c) + y x + xc + c + y = 4a 4a x c) + y + x xc + c + y 4xc = 4a 4a x c) + y a cx = a x c) + y a cx) = a x c) + y ) a 4 a cx + c x = a x xc + c + y ) a c )x + a y = a 4 a c = a a c ) b x + a y = a b x a + y b = 1 Forma canônica da elipse de centro na origem e reta focal coincidente com o eixo OX. IM-UFF K. Frensel - J. Delgado

5 17 Geometria Analítica - Aula 18 Esboço da Elipse Como y b = 1 x a = a x, temos que y = ± b a x a. a Consideremos o gráfico da função y = b a a x, x [0, a]. Como para x = 0 e x = a, temos y = b e y = 0, respectivamente; y bx = < 0 decrescente) e a a x y ba = < 0 côncava), para x 0, a), o gráfico da função é da forma: a x ) / Fig. 8: Gráfico da função y = b a p a x, x [0, a]. Como a elipse é simétrica em relação ao eixo OX reta focal) e em relação ao eixo OY reta não-focal), seu gráfico tem a forma: Fig. 9: Gráfico da elipse E : x a + y b = 1. Elipse com centro na origem e reta focal coincidente com o eixo OY Neste caso, temos F 1 = 0, c), F = 0, c), A 1 = 0, a), A = 0, a), B 1 = b, 0) e B = b, 0). Desenvolvendo como no caso anterior, podemos verificar que a equação da elipse é: x b + y a = 1 Forma canônica da elipse de centro na origem e reta focal coincidente com o eixo OY. K. Frensel - J. Delgado IM-UFF

6 Geometria Analítica - Aula Fig. 10: Elipse E : x b + y a = 1. Exemplo 1 Os vértices de uma elipse são os pontos 4, 0) e 4, 0), e seus focos são os pontos, 0) e, 0). Determine a equação da elipse. Como F 1 =, 0) e F =, 0), a reta focal é o eixo OX, e A 1 = 4, 0) e A = 4, 0) são os vértices sobre a reta focal l. Então, C = F 1 + F = A 1 + A = 0, 0) é o centro da elipse, a = dc, A 1 ) = dc, A ) = 4, c = dc, F 1 ) = dc, F ) = e b = a c = 4 = 16 9 = 7. Logo, a equação da elipse é E : x 16 + y 7 = 1. Exemplo Dois vértices de uma elipse E são os pontos 0, 6) e 0, 6), e seus focos são os pontos 0, 4) e 0, 4). Determine a equação da elipse E. Temos F 1 = 0, 4) e F = 0, 4). Então a reta focal que contém os focos) é o eixo OY, os vértices sobre a reta focal são A 1 = 0, 6) e A = 0, 6), e o centro da elipse E é a origem, 0, 4) + 0, 4) pois C = = 0, 0). Como a = dc, A 1 ) = 6 e c = dc, F 1 ) = 4, temos que b = a c = 6 16 = 0. Portanto, a equação da elipse é E : x 0 + y 6 = 1. IM-UFF K. Frensel - J. Delgado

7 19 Geometria Analítica - Aula 18 Exemplo Os focos de uma elipse são os pontos, 0) e, 0), e sua excentricidade é. Determine a equação da elipse. Temos que a reta focal é o eixo OX, o centro da elipse é a origem C = 0, 0), c = dc, F 1 ) = e e = = c a = a = a =. Logo, b = a c = 9 4 = 5. Portanto, a equação da elipse é E : x 9 + y 5 = 1. Exemplo 4 Uma elipse E tem seu centro na origem e um de seus vértices sobre a reta focal é 0, 7). Se 5, ) 14 a elipse passa pelo ponto, determine sua equação, seus vértices, seus focos e sua excentricidade. Faça, também; um esboço da elipse. A reta focal, que contém o centro e o vértice dado, é o eixo OY. A distância do centro C = 0, 0) ao vértice A = 0, 7) é a = dc, A ) = 7 e o outro vértice na reta focal é A 1 = 0, 7). Logo, a equação da elipse E é da forma: Como Isto é, 5, 14 5 ) 14 + b 49 ) E, temos: ) E : x b + y x = 1, ou seja, E : a b + y 7 = 1. = 1, ou seja, 5 b = 1. 5 b = = 5 9. Assim, b = 9 e a equação da elipse é E : x 9 + y 49 = 1. Como a reta não-focal é o eixo OX e b =, os vértices na reta não-focal são B 1 =, 0) e B =, 0). Temos, também, que c = a b = 49 9 = 40 = 10. Logo, os focos são F 1 = 0, 10) e F = 0, 10). Finalmente, a excentricidade de E é e = c a = Fig. 11: Gráfico da elipse E : x 9 + y 49 = 1. K. Frensel - J. Delgado IM-UFF

8 Geometria Analítica - Aula Translação dos eixos coordenados Seja OXY um sistema de eixos ortogonais e seja O = x 0, y 0 ) um ponto no plano. Seja O X Y o sistema cujos eixos O X e O Y são paralelos aos eixos OX e OY e têm, respectivamente, o mesmo sentido que esses eixos. Sejam x, y) as coordenadas do ponto P no sistema de eixos O X Y e sejam x, y) as coordenadas de P no sistema de eixos OXY. Então, as coordenadas do ponto P nos sistemas OXY e O X Y são relacionadas por: { x = x + x 0 y = y + y 0 Fig. 1: Ponto P = x, y) O X Y = x 0 + x, y 0 + y) OXY. Exemplo 5 Faça um esboço da curva x x y + x + 4y 5 = 0. Para isso, escreva a equação nas coordenadas x e y do sistema de eixos O X Y, com origem O = 1, ), obtido transladando o sistema OXY para a origem O. Fazendo x = x + 1 e y = y + na equação dada, obtemos: x + 1) x + 1) y + ) + x + 1) + 4y + ) 5 = 0. Simplificando essa identidade, obtemos x = y. Então, y = ±x / e x 0. Fig. 1: Gráfico da curva x x y + x + 4y 5 = 0. Fazer, agora, o esboço da curva é bem mais simples. IM-UFF K. Frensel - J. Delgado

9 1 Geometria Analítica - Aula Elipse com centro no ponto O = x 0, y 0 ) Caso I. Reta focal paralela ao eixo OX Como o centro O = x 0, y 0 ) pertence à reta focal, temos que l : y = y 0 é a equação cartesiana da reta focal. Além disso, como df 1, O) = df, O) = c, onde F 1 e F são os focos da elipse, temos que F 1 = x 0 c, y 0 ) e F = x 0 + c, y 0 ). Seja P = x + x 0, y + y 0 ) um ponto pertencente à elipse, onde x, y são suas coordenadas no sistema OXY e x, y são suas coordenadas no sistema O X Y, obtido transladando o sistema OXY para a origem O = x 0, y 0 ). Então, P pertence à elipse se, e somente se, dp, F 1 ) + dp, F ) = a, ou seja, dx + x 0, y + y 0 ), x 0 c, y 0 )) + dx + x 0, y + y 0 ), x 0 + c, y 0 )) = a dx, y), c, 0)) + dx, y), c, 0)) = a x a + y b = 1 x x 0) + y y 0) = 1. a b Logo, a forma canônica da equação da elipse com centro no ponto x 0, y 0 ) e eixo focal paralelo ao eixo OX é x x 0 ) a + y y 0) b = 1, onde b = a c Os focos são F 1 = x 0 c, y 0 ) F = x 0 + c, y 0 ); a reta focal é l : y = y 0 ; os vértices sobre a reta focal são A 1 = x 0 a, y 0 ) e A = x 0 + a, y 0 ); a reta não-focal é l : x = x 0 e os vértices sobre a reta não-focal são B 1 = x 0, y 0 b) e B = x 0, y 0 + b). Fig. 14: Gráfico da elipse E : x x 0) a + y y 0) b = 1. K. Frensel - J. Delgado IM-UFF

10 Geometria Analítica - Aula 18 Caso II. Reta focal paralela ao eixo OY Procedendo de maneira análoga ao caso anterior, pode-se verificar que a forma canônica da equação da elipse com centro no ponto x 0, y 0 ) e eixo focal paralelo ao eixo OY é: x x 0 ) b + y y 0) a = 1, onde b = a c Neste caso, os focos são F 1 = x 0, y 0 c) F = x 0, y 0 + c); a reta focal é l : x = x 0 ; os vértices sobre a reta focal são A 1 = x 0, y 0 a) e A = x 0, y 0 + a); a reta não-focal é l : y = y 0 e os vértices sobre a reta não-focal são B 1 = x 0 b, y 0 ) e B = x 0 + b, y 0 ). Exemplo 6 Fig. 15: Gráfico da elipse E : x x 0) b + y y 0) a = 1. Os focos de uma elipse E são, 8) e, ), e o comprimento do seu eixo não-focal é 8. Determine a equação da elipse E, os seus vértices e a sua excentricidade. Como F 1 =, ) e F =, 8) são os focos da elipse, a reta focal de E é l : x = paralela ao eixo OY) e o centro de E é C = F 1 + F =, 5). Além disso, b = 8, isto é, b = 4, c = dc, F 1 ) = dc, F ) = e a = b + c = 4 + = = 5, isto é, a = 5. Portanto, e = c a = 5 ; A 1 =, 0) e A =, 10) são os vértices de E sobre a reta focal; l : y = 5 é a reta não-focal; B 1 = 1, 5) e B = 7, 5) são os vértices de E sobre a reta não-focal e E : x ) 16 + y 5) 5 = 1. é a equação da elipse. IM-UFF K. Frensel - J. Delgado

11 Geometria Analítica - Aula 18 Exemplo 7 A equação de uma elipse é E : x + 4y + x 1y + 6 = 0. Determine a equação da elipse na forma canônica, o seu centro, os seus vértices, os seus focos e a sua excentricidade. Completando os quadrados na equação de E, temos: E : x + x) + 4y y) = 6 E : x + x + 1) + 4 y y + 9 ) = = 4 E : x + 1) + 4 y = 4 ) E : x + 1) 4 + y ) = 1, sendo esta última equação a forma canônica de E. Dessa equação obtemos que o centro da elipse é C = 1, ), a =, b = 1 e, portanto, c = a b = 1 =, ou seja c =. A reta focal de E é l : y =, paralela ao eixo OX, e a reta não-focal é a reta vertical l : x = 1, paralela ao eixo OY. Os focos da elipse são F 1 = 1, ) e F = 1 +, ) ; os vértices sobre a reta focal são A 1 = 1, ) =, ) e A = 1 +, ) = 1, ) e os vértices sobre a reta não-focal são B 1 = 1, ) 1 = 1, 1 ) e B = 1, ) + 1 = 1, 5 ). Finalmente, a excentricidade de E é e = c a =. 5. Equação do segundo grau com B = 0 e AC > 0 eixo OX: Consideremos a equação da elipse E de centro no ponto x 0, y 0 ) e reta focal paralela ao Desenvolvendo, obtemos a equação: que é da forma E : x x 0) a + y y 0) b = 1. b x + a y b x 0 x a y 0 y + b x 0 + a y 0 a b = 0, Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0, onde A = b, B = 0, C = a, D = b x 0, E = a y 0 e F = b x 0 + a y 0 a b. K. Frensel - J. Delgado IM-UFF

12 Geometria Analítica - Aula 18 4 Então, B = 0 e A e C têm o mesmo sinal. O mesmo vale para a equação da elipse com centro no ponto x 0, y 0 ) e reta focal paralela ao eixo OY. Reciprocamente, temos: Proposição 1 Suponha que os coeficientes A e C da equação do segundo grau Ax + Cy + Dx + Ey + F = 0, ) têm o mesmo sinal. Seja M = C D + ACE 4AFC. Então, a equação ) representa: Prova. uma elipse com eixos paralelos aos eixos coordenados, se M > 0. um ponto, se M = 0. o conjunto vazio, se M < 0. Dividindo a equação ) por AC, obtemos: ou seja, x C + y A + D AC x + E AC y + F AC = 0, Completando os quadrados, temos: x + D A x C + y + E C y A = F AC. Isto é, x + D ) A C x + D D x+ A 4A C + y + E C A + y + E E y+ C 4C A ) Se M = 0, a equação ) representa o ponto Se M 0, podemos escrever a equação ) na forma x + D ) y + E A C + M 4A C = F AC + D 4A C + E 4AC. = C D + ACE 4AFC = M 4A C 4A C. ) D A, E ), pois A e C têm o mesmo sinal. C ) = 1. ) M 4ACC Como AC > 0, a equação ) representa uma elipse de eixos paralelos aos eixos coordenados e centro no ponto D A, E ), se M > 0. C Se M < 0, a equação ) representa o conjunto vazio, pois M 4A C < 0 e M 4ACC < 0. IM-UFF K. Frensel - J. Delgado

13 5 Geometria Analítica - Aula 18 Os casos em que a equação do segundo grau Ax + Cy + Dx + Ey + F = 0, com AC > 0, representa um ponto ou o conjunto vazio são chamados de casos degenerados da elipse. Exemplo 8 Determine se as equações abaixo representam uma elipse ou uma elipse degenerada. Caso seja uma elipse, determine seus principais elementos. a) 5x + 9y 5 = 0. Como 5x + 9y = 5, obtemos, dividindo por 5, que a equação x 9 + y 5 = 1 representa uma elipse com: a = 5, b = e c = 5 9 = 4. centro: C = 0, 0). reta focal: l = eixo OY : x = 0. reta não-focal: l = eixo OX : y = 0. vértices sobre a reta focal: A 1 = 0, 5) e A = 0, 5). vértices sobre a reta não-focal: B 1 =, 0) e B =, 0). focos: F 1 = 0, 4) e F = 0, 4). b) 4x + 9y 40x + 6y = 0. Completando o quadrado, obtemos: 4x 10x) + 9y + 4y) = 100 4x 10x + 5) + 9y + 4y + 4) = x 5) + 9y + ) = 6 x 5) y + ) + = Logo, a equação representa uma elipse com: a =, b = e c = 9 4 = 5. centro: C = 5, ). reta focal: l : y =, paralela ao eixo OX. reta não-focal: l : x = 5, paralela ao eixo OY. vértices sobre a reta focal: A 1 =, ) e A = 8, ). vértices sobre a reta não-focal: B 1 = 5, 4) e B = 5, 0). focos: F 1 = 5 5, ) e F = 5 + 5, ). K. Frensel - J. Delgado IM-UFF

14 Geometria Analítica - Aula 18 6 c) 6x + 9y 108x + 6y + 8 = 0. Completando o quadrado, obtemos: 6x x) + 9 y + 6 ) 9 y = 8 6 x x + 9 ) + 9 y + 4 y + 1 ) = x ) + 9 y + 1 = ) 6 x ) + 9 y + 1 = 0. ) ) Apenas o ponto, 1 satisfaz a equação dada, isto é, a equação representa um ponto. d) 9x + 4y + 18x 9y + 5 = 0. Completando o quadrado, obtemos: 9x + x) + 4 y 9 ) 4 y = 5 9x + x + 1) + 4 y 9 4 y + 81 ) = x + 1) + 4 y 9 ) 81 = = Como 175 < 0, não existe nenhum ponto do plano que satisfaz a equação, isto é, a equação 16 representa o conjunto vazio. Exemplo 9 Dizemos que uma reta r é tangente a uma elipse E num ponto P se r intersecta E só nesse ponto, isto é, se r E = {P}. Mostre que a reta r tangente à elipse E : b x + a y = a b em um ponto P = x 0, y 0 ) sobre a curva tem por equação r : x 0 b x + y 0 a y = a b. Seja r : { x = x 0 + mt y = y 0 + nt ; t R, a reta tangente à elipse E no ponto P = x 0, y 0 ) E. Então Q = x 0 + mt, y 0 + nt) E r se, e somente se, IM-UFF K. Frensel - J. Delgado

15 7 Geometria Analítica - Aula 18 b mt + x 0 ) + a nt + y 0 ) = a b b m t + x 0 mt + x 0 ) + a n t + y 0 nt + y 0 ) = a b b m + a n )t + x 0 mb + y 0 na )t + b x 0 + a y 0 a b = 0 Como b x 0 + a y 0 a b = 0, já que P E, temos que Q = x 0 + mt, y 0 + nt) E r se, e somente se, t [ b m + a n )t + x 0 mb + y 0 na ) ] = 0. Sendo b m + a n > 0 e como r E consiste de um único ponto, temos: x 0 mb + y 0 na = 0, ou seja, m, n) x 0 b, y 0 a ). Logo, o vetor x 0 b, y 0 a ) é perpendicular a r, isto é, r : b x 0 x + a y 0 y = b x 0 + a y 0 = a b, já que P = x 0, y 0 ) r e b x 0 + a y 0 = a b. Exemplo 10 Determine as equações cartesianas das retas tangentes à elipse que passam pelo ponto Q = 10, 5 ). E : x 0 + y 5 = 1, Sendo a = 0 e b = 5 temos, pelo exercício anterior, que a reta tangente à elipse E que passa por Q tem a forma r : b x 0 x + a y 0 y = a b, ou seja, r : 5x 0 x + 0y 0 y = 100, onde P = x 0, y 0 ) é o ponto de tangência. 10 Como Q =, 5 ) r, temos que: 5x y 0 5 = x y 0 = 00 x 0 = 6 y 0. Além disso, P = x 0, y 0 ) E, isto é, 5x 0 + 0y 0 = 100. Logo, 56 y 0 ) + 0y 0 = y 0 + 4y 0 ) + 0y 0 = y 0 + 0y 0 + 0y 0 = y 0 10y = 0 y 0 y 0 + = 0 y 0 = 1 ou y 0 =. Se y 0 = 1, então x 0 = 6 y 0 = 4 e r : 0x + 0y = 100, ou seja, r 1 : x + y = 5 é a reta tangente 10 a E no ponto 4, 1) que passa pelo ponto Q =, 5 ). Se y 0 =, então x 0 = 6 y 0 = e r : 10x + 40y = 100, ou seja r : x + 4y = 10 é a reta tangente 10 a E no ponto, ) que passa pelo ponto Q =, 5 ). K. Frensel - J. Delgado IM-UFF