P1 de Álgebra Linear I Gabarito. 27 de Março de Questão 1)

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1 P1 de Álgebra Linear I de Março de 2009 Gabarito Questão 1) Considere o vetor v = 1, 2, 1) e os pontos A = 1, 2, 1), B = 2, 1, 0) e 0, 1, 2) de R a) Determine, se possível, vetores unitários w e u paralelos ao vetor v tais que w u = 1 Caso não seja possível escreva: IMPOSSÍVEL b) Determine EXPLICITAMENTE pontos D 1, D 2 e D, diferentes entre si, D 1 D 2 D D 1, tais que os pontos A, B, C, D i determinem um paralelogramo i, i = 1, 2, c) Determine as áreas de TODOS os paralelogramos 1, 2, do item anterior Respostas: a) O módulo do vetor v = 1, 2, 1) é v = ) 2 = 6 Portanto, os vetores unitários paralelos a v são v 1 = 1 6 1, 2, 1) e v 2 = 1 6 1, 2, 1)

2 Observe que se escolhemos w e u iguais obtemos w u = 1 Logo as únicas possibilidade para a escolha dos vetores w e u são w = 1 6 1, 2, 1) e u = 1 6 1, 2, 1), e vice-versa Nesses casos o ângulo entre os vetores é π, logo w u = w u cosπ = 1) 1) 1) = 1 Obviamente, v também pode calcular diretamente o produto escalar entre os vetores w e ū b) Existem três possibilidades de paralelogramos com vértices A, B, C, dependendo da escolha dos lados do mesmo faça uma figura): 1 os segmentos AB e AC são lados do paralelogramo, 2 os segmentos BA e BC são lados do paralelogramo, os segmentos CA e CB são lados do paralelogramo Consideramos os vetores AB = 1, 1, 1), A 1, 1, ), B 2, 0, 2) Seja D = x, y, z) o quarto vértice do paralelogramo No primeiro caso temos AD = x 1, y 2, z 1) = AB + A 0, 2, 4) Portanto x = 1, y = 0, z =, D = 1, 0, ) Racicinando de forma similar, no segundo caso temos BD = x 2, y 1, z 0) = BA + B, 1, 1) Portanto x = 1, y = 2, z = 1, D = 1, 2, 1) No terceiro e último) caso temos CD = x 0, y 1, z + 2) = CA + CB =, 1, 5)

3 Portanto x =, y = 2, z =, D =, 2, ) Assim, temos as seguintes possibilidades para os vértices dos paralelogramos: D 1 = 1, 0, ), D 2 = 1, 2, 1), D =, 2, ) c) Obeservamos que todos os paralelogramos considerados têm a mesma área Portanto, é suficiente calcular a área do primeiro deles Por exemplo, para ver esta afirmação para os paralelogramos 1 e 2, v pode usar um pouco de geometria elementar ou usar o producto vetorial Observe que área 1 ) = AB AC, Note que, pelas propriedades do produto vetorial, área 2 ) = BA BC BA B BA BA + AC) = BA BA + BA A AB AC) Logo área 1 ) = AB AC = BA BC = área 2 ) Calcularemos agora a área de 1 : área 1 ) = AB AC = 1, 1, 1) 1, 1, ) = = 1, 1, 1) 1, 1, ) Temos Portanto, 1, 1, 1) 1, 1, ) = i j k = 2, 4, 2) área 1 ) = 2, 4, 2) = = 24 = 2 6 Respostas a)

4 Prova A: Prova B: Prova C: Prova D: 1 1, 2, 1), 1 1, 2, 1) , 1, 1), 1 2, 1, 1) , 1, 2), 1 1, 1, 2) , 2, 1), 1 1, 2, 1) 6 6 b) Prova A: D 1 = 1, 0, ), D 2 = 1, 2, 1), D =, 2, ) Prova B: D 1 = 0, 1, ), D 2 = 2, 1, 1), D = 2,, ) Prova C: D 1 = 1,, 0), D 2 = 1, 1, 2), D =,, 2) Prova D: D 1 =, 0, 1), D 2 = 1, 2, 1), D =, 2, ) c) Todas as provas: área 1 ) = área ) = área ) = 2 6

5 Questão 2) Considere o vetor v = 1, 2, ) e os pontos P = 1, 2, 0) e Q = 2, 2, 1) de R Determine: a) O vetor w projeção ortogonal do vetor a = 1, 0, 2) sobre o vetor v b) O valor de α para que a projeção ortogonal do vetor α, 1, 0) no vetor v seja o vetor 2, 4, 6) = 2 v c) Um ponto B da reta r: 1 + t, 2 t, 2 t), t R tal que a área do triângulo de vértices P, Q e B seja 2 Respostas: a) Temos que vetor projeção ortogonal do vetor a = 1, 0, 2) sobre o vetor v = 1, 2, ) é a v w = 1, 0, 2) 1, 2, ) v v = v 1, 2, ) 1, 2, ) 1, 2, ) = 7 1, 2, ) Portanto, 1 w = 1, 2, ) = 1/2, 1, /2) 2 b) Devemos ter Portanto α, 1, 0) 1, 2, ) α + 2 1, 2, ) = 1, 2, ) = 2 1, 2, ) = 2, 4, 6) 1, 2, ) 1, 2, ) α + 2 c) O ponto B da reta r deve verificar BP PQ 2 = 2, α + 2 = 28, α = 26 = 2, BP PQ = 4

6 Note que e que se B pertence à reta r então Portanto, devemos achar t tal que PQ = 1, 0, 1) PB = t, t, 2 t) 1, 0, 1) t, t, 2 t) = t ) 1, 0, 1) 1, 1, 2) ) = 4 Temos Logo Portanto, 1, 0, 1) 1, 1, 2) = i j k , 0, 1) 1, 1, 1) = t = 4, t = ± 4 = 1, 1, 1) Assim B = 1 + 4, 2 4, 2 4 ) ou B = 1 4, 2 + 4, 2 4 ) Respostas a) Prova A: w = 1 1, 2, ) = 1/2, 1, /2) 2 Prova B: w = 1 2, 1, ) = 1, 1/2, /2) 2 Prova C: w = 1 1,, 2) = 1/2, /2, 1) 2 Prova D: w = 1, 2, 1) = /2, 1, 1/2) 2

7 b) todas as provas: α = 26 c) Prova A: B = 1 + 4, 2 4, 2 4 ), B = 1 4, 2 + 4, 2 4 ) Prova B: B = 2 4, 1 + 4, 2 4 ), B = 2 + 4, 1 4, 2 4 ) Prova C: B = 1 + 4, 2 4, 2 4 ), B = 1 4, 2 4, ) Prova D: B = 2 4, 2 4, ), B = 2 4, 2 + 4, 1 4 ) Questão ) Considere as retas r 1 e r 2 de R cujas equações paramétricas são r 1 : 1 + t, 2 t, 1 2 t), t R, r 2 : + 2 t, 7 t, 2 t), t R, e as reta r de equação cartesiana r : { x + y + z = x 2 y + 2 z = 1

8 Determine: a) O ponto P de interseção das retas r 1 e r 2 b) A equação cartesiana do plano que contém as retas r 1 e r 2 c) Equações paramétricas da reta r Respostas: a) Para calcular o ponto de interseção das retas devemos resolver o sistema note que os parámetros das duas retas são diferentes, e portanto devemos denominá-los de forma diferente, por exemplo t e s): 1 + t = + 2 s, 2 t = 7 s, 1 2 t = 2 s Somando a primeira e a última equação obtemos 2 t = 0, t = 2 A segunda equação fornece s = Veja que este resultado é compatível com todas as equações Substituindo t = 2 na equação de r 1 ou s = na equação de r 2, obtemos o ponto de interseção P =, 4, ) b) Um vetor normal n do plano é o produto vetorial dos vetores diretores das retas r 1 e r 2 Estes vetores são, respetivamente, 1, 2, 2) e 2, 1, 2) Portanto, n = 1, 2, 2) 2, 1, 2) = i j k A equação cartesiana de é da forma, : 6 x + 2 y + 5 z = d Como o ponto, 4, ) pertence ao plano = d, d = 11 = 6, 2, 5)

9 Logo, : 6 x + 2 y + 5 z = 11 c) Para determinar a equação paramétrica de r dvemos resolver o sistema { x + y + z = x 2 y + 2 z = 1 Escalonando, { x +y + z = y + z = 2 Escolhendo y como parámetro, y = t, obtemos Finalmente Logo z = 2 + t x = y z = t + 2 t = 5 4 t r : 5 4 t, t, 2 + t) t R Observe que o vetor diretor da reta r, v = 4, 1, ), é perpendicular aos vetores normais dos planos que definem r os vetores 1, 1, 1) e 1 2, 2)) Respostas a) b) Prova A: P =, 4, ) Prova B: P = 4,, ) Prova C: P =,, 4) Prova D: P =, 4, ) Prova A: : 6 x + 2 y + 5 z = 11 Prova B: : 2 x + 6 y + 5 z = 11 Prova C: : 6 x + 5 y + 2 z = 11

10 Prova D: : 5 x + 2 y + 6 z = 11 c) Prova A: r : 5 4 t, t, 2 + t) t R Prova B: r : t, 5 4 t, 2 + t) t R Prova C: r : 5 4 t, 2 + t, t) t R Prova D: r : 2 + t, t, 5 4 t) t R Questão 4) Considere o plano ρ cuja equação cartesiana é ρ: x + 2 y + z = 6, os pontos A = 1, 1, 1), B = 0, 0, 2) ρ, e a reta r de equação paramétrica Determine: r: 1 + t, 2 t, 1 2 t), t R a) O ponto D de interseção da reta r e o plano ρ b) Um ponto C do plano ρ tal que os pontos A, B e C formam um triângulo retângulo isósceles cujos catetos são AB e AC Respostas: a) Para achar D devemos determinar para que valor de t se verifica 1 + t) t) t) = 6, t + 4 = 6, t = 2 Logo D = 1, 4, 5)

11 b) Observe que o vetor AC deve ser ortogonal ao vetor AB = 1, 1, 1) o triângulo é retângulo) e ao vetor normal do plano n = 1, 2, ) os pontos A e C pertencem ao plano) Portanto, AC é paralelo a AB n Temos AB i j k n = 1, 1, 1) 1, 2, ) = = 5, 4, 1) 1 2 Como o triângulo é isósceles, AC = AB = Portanto, A ± 5, 4, 1) = ± 1 5, 4, 1) 42 Se x, y, z) temos duas possibilidades, no caso +, x 1 = 5, y 1 = 4, z 1 = 1, e obtemos 1 + 5, 1 4, ) No caso ), x 1 = 5, y 1 = +4, z 1 = 1, e obtemos 1 5, 1 + 4, 1 1 ) Respostas a) Prova A: D = 1, 4, 5) Prova B: D = 4, 1, 5) Prova C: D = 1, 5, 4)

12 Prova D: D = 5, 4, 1) b) Prova A: Prova B: Prova C: Prova D: 1 + 5, 1 4, ), 1 5, 1 + 4, 1 1 ) 1 4, 1 + 5, ), 1 + 4, 1 5, 1 1 ) 1 + 5, 1 + 1, 1 4 ), 1 5, 1 1, ) 1 + 1, 1 4, ), , 1 5 )