Lista 2 com respostas

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1 Lista 2 com respostas Professora Nataliia Goloshchapova MAT semestre de 2015 Exercício 1. Sejam OABC um tetraedro e M o ponto médio de BC. Explique por que ( OA, OB, OC ) é base e determine as coordenadas de AM nessa base. Solução 1. Note que AM = OA + 1 2OB + 1 2OC. Exercício 2. Sejam E = ( e 1, e 2, e 3 ) uma base, f 1 = 2 e 1 e 2 + e 3, f 2 = e 2 e 3, f 3 = 3 e 3. (a) Mostre que F = ( f 1, f 2, f 3 ) é base. (b) Calcule m para que (0, m, 1) E e (0, 1, 1) F sejam LD. Solução 2. (b) m = 1/4. Dica: ache as coordenadas de vetor (0, 1, 1) F na base E ou seja ache α, β, γ tais que (0, 1, 1) F = f 2 f 3 = α e 1 + β e 2 + γ e 3. Exercício 3. Verifique se os pontos dados abaixo são colineares: (a) A = (1, 0, 1), B = (2, 2, 0) e C = (0, 2, 2); (b) A = (0, 1, 1), B = (1, 2, 0) e C = (0, 2, 1); (c) A = (3, 1, 4), B = (2, 7, 1) e C = (0, 1, 5); Solução 3. (a) Temos que AB = (1, 2, 1) e que AC = ( 1, 2, 1). Se os pontos fossem colineares AB = λ AC, para algum λ real não nulo. Isso é possível? Exercício 4. Dados os pontos A = (1, 0, 1), B = ( 1, 1, 1) e C = (0, 1, 2). (a) Determine o ponto D tal que A, B, C e D sejam os vértices consecutivos de um paralelogramo. (b) Determine o ponto médio entre A e C e o ponto médio entre B e D. 1

2 Solução 4. (a) Escreva os vetores DC, AB explicitamente considerando D = (x, y, z) a determinar. Após isso note que, como estamos querendo construir um paralelogramo, DC = AB. Exercício 5. Considere um hexagono regular ABCDEF de centro O. Determine as coordenadas dos pontos O, A, B, C, D, E e F nos seguintes sitemas de coordenadas: (a) (O, OC, OD ) (b) (O, OC, OE ) (c) (B, BC, BO ) (d) (B, BC, BE ) Solução 5. (a) A = (0, 1), pois OA = 0 OC + ( 1) OD. B = (1, 1), pois OA = 1 OC + ( 1) OD e assim por diante. Exercício 6. Encontre as coordenadas dos seguintes vetores nas bases do exercício anterior: (a) CD (b) BD (c) AC (d) BE Solução 6. Observe que CD = 1 OD +( 1) OC = 0 OC +1 OE = 0 BC +1 BO = 0 BC BE. Portanto, CD = (1, 1) na base ( OC, OD ), CD = (0, 1) na base ( OC, OE ), CD = (0, 1) na base ( BC, BO ), CD = (0, 1 2 ) na base ( BC, BE ). Exercício 7. Prove: (a) (2 u + w, u v, v + w) são LI ( u w, u + v, u + w) são LI. (b) (2 u + w, u v, v + w) são LD ( u w, u + v, u + w) são LD. 2

3 Solução 7. No primeiro, denote 2 u + w = a, u v = b, v + w = c supondo que a, b e c são LI. Exprima u w, u + v, u + w em função de a, b e c. Depois use mesma ideia para caso contrario. Exercício 8. Escreva t = (4, 0, 13) como combinação linear de u = (1, 1, 3), v = (2, 1, 3), w = ( 1, 1, 4) Solução 8. α +2β γ = 1 Note que t = α u + β v + γ w α +β γ = 0 3α +3β +4γ = 13 e resolva esse sistema. Exercício 9. Sejam E = ( e 1, e 2, e 3 ) uma base, u = e 1 + e 2, v = e 1 + e 2 + e 3, w = a e 1 +b e 2 +c e 3. Deduza uma condição necessária e suficiente sobre a, b e c para que ( u, v, w) seja base. Solução 9. Os vetores são LI somente se a matriz formada incluindo em cada uma de suas linhas os coeficientes de cada vetor em relação da mesma base é não nulo: a b c 0 b a. Exercício 10. Dados os vetores a = (5, 1, 0), b = (2, 0, 1) e c = (0, 1, 3), escreva o vetor x = (2, 1, 1) como combinação linear de a, b e c. Solução 10. α +0β +γ = 1 Note que u = α u + β v + γ w α +β +γ = 1 1α +1β +0γ = 1 e resolva esse sistema. Exercício 11. Sejam u = (1, 1, 1), v = (0, 1, 1) e w = (1, 1, 0) vetores no espaço. Encontre as componentes de um vetor z = (a, b, c) na base formada por u, v, w. Solução 11. Note que u v = (1, 0, 0), u w = (0, 0, 1) e v + w u = (0, 1, 0). Exercício 12. Dado o paralelogramo retângulo ABCDEF GH, sejam e 1 = AB, e 2 = AC e e 3 = AF. 3

4 Determine as coordenadas dos pontos A, B, C, D, E, F, G e H nos seguintes sistemas de coordenadas: (a) (G, e 2, 1 2 e 1, 3 e 3 ) (b) (A; 1 2 e 1, 1 2 e 2, 1 2 e 3) Solução 12. Escrever um ponto X qualquer num sistema de coordenadas (O, B) onde O é origem e B é uma base é o mesmo que encontrar o vetor que parte de O e chega no ponto X. Então, no caso do ponto A para o ítem (a) deste exercício, temos que: GA = ( AC + CG ) = ( AC + BF ) = ( AC + AF AB ) = e 2 e 3 + e 1 = 1 ( e 2 ) + 2 ( 1 2 e 1) + ( 1 3 ) (3 e 3). Observe que, assim, A = (1, 2, 1 3 ). Para os outros pontos é bem parecido. Exercício 13. Os pontos medios dos lados de um triângulo são (2, 5), (4, 2) e (1, 1). Determine as coordenadas dos três vertices. Solução 13. Considere o triângulo ABC tal que M 1 = (2, 5), M 2 = (4, 2) e M 3 = (1, 1) são os pontos médios respectivamente dos segmentos AB, AC e CB. Se A = (a1, a 2 ), B = (b 1, b 2 ) e C = (c 1, c 2 ). Então, temos que: 2 = 1 2 (b 1 + a 1 ) M 1 = (2, 5) = 1 2 (b 5 = 1 + a 1, b 2 + a 2 ) 1 2 (b 2 + a 2 ) M 2 = (4, 2) = 1 2 (c 4 = 1 + a 1, c 2 + a 2 ) 1 2 (c 1 + a 1 ) M 3 = (1, 1) = 1 2 (c 2 = 1 + b 1, c 2 + b 2 ) 1 2 (c 2 + a 2 ) 1 = 1 2 (c 1 + b 1 ) 1 = 1 2 (c 2 + b 2 ) Resolva o sistema acima para determinar quem são os vértices do triângulo. Exercício 14. Determine m, n de modo que os vetores u, v sejam LD, onde: (a) v = (1, m, n + 1), w = (m, n, 2) (b) v = (1, m 1, m), w = (m, n, 4) Solução 14. Note que, no item (a), se eles são LD existe um λ real não nulo tal que u = λ v 1 = λm m = λn e resolva esse sistema. O item (b) é muito parecido. n + 1 = 2λ 4

5 Exercício 15. Dados A = (4, 8, 11), B = ( 3, 1, 4) e C = (2, 3, 3). No triângulo ABC ache: O comprimento dos três lados do triângulo; Os pontos médios dos três lados do triângulo; Os ângulos entre AB e BC. Solução 15. Dica: use as formulas para comprimento de um vetor, ponto medio de um semento, produto escalar dos vetores. Exercício 16. Mostre que se os vetores u e v têm o mesmo comprimento, então u + v e u v são perpendiculares. Solução 16. Note que ( u + v) ( u v) = u 2 v 2 = 0. Exercício 17. (a) Decompor o vetor w = (1, 3, 2) como soma de dois vetores w = u+ v, onde u é paralelo ao vetor (0, 1, 3) e v é ortogonal a (0, 1, 3) (b) Encontre um vetor u que seja ortogonal aos vetores (2, 3, 1) e (2, 4, 6) tal que u = 3 3. Solução 17. (a) Metodo 1: Use o fato que, pelo definição, u = P roj (0,1,3) w. Metodo 2: Leve em consideração as informações do enunciado para obter que u = (0, λ, 3λ) para algum λ R não nulo. Além disso, v (0, 1, 3) v = (x, 3γ, γ) para alguns x, γ R não nulos. Então basta resolver o seguinte sistema: x + 0 = 1 λ 3γ = 3 3λ + γ = 2 Para obter que x = 1, λ = 9 10, γ = (b) Seja u = (u 1, u 2, u 3 ). Note que hipoteses do problema implicam seuinte 2u 1 + 3u 2 u 3 = 0 sistema 2u 1 4u 2 + 6u 3 = 0 u u u 2 3 = 27 5

6 Exercício 18. (a) Demonstre que não existe x tal que os vetores v = (x, 2, 3) e u = (x, 2, 3) sejam perpendiculares. (b) Encontre o ângulo entre os vetores u = (2, 1, 0) e v = (0, 1, 1) e entre os vetores w = (1, 1, 1) e z = (0, 2, 2). Solução 18. (a) Suponha que exista tal x. Teremos que u v = 0 Logo, x = 0, consequentemente, x 2 = 5. Portanto x R. (b) Como u v = 1 e u v = cos θ u v teremos que 1 10 = cos θ. Aplique a função arccos para obter a resposta. Exercício 19. Prove que os vetores u = 7 i 3 j + 6 k, v = 3 i + 3 j 2 k e w = 6 i 16 j 15 k são dois a dois perpendiculares. Solução 19. Como u v = = 0, u w = = 0 e v w = = 0 segue que eles são dois a dois perpendiculares. Exercício 20. Mostre que o ângulo entre as projeções P roj v u e P roj u v é igual ao ângulo entre os vetores u e v. Solução 20. Observe que P roj v u é a projeção de u sobre v, isto é, trata-se de um vetor paralelo v. Além disso P roj u v é a projeção de v sobre u, isto é, trata-se de um vetor paralelo u. Agora é fácil deduzir que o ângulo entre as projeções é o mesmo ângulo entre os vetores u e v. 6