3) O ponto P(a, 2) é equidistante dos pontos A(3, 1) e B(2, 4). Calcular a abscissa a do ponto P.

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Bernadete Fagundes Beltrão
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1 Universidade Federal de Pelotas Cálculo com Geometria Analítica I Prof a : Msc. Merhy Heli Rodrigues Lista 2: Plano cartesiano, sistema de coordenadas: pontos e retas. 1) Represente no plano cartesiano os pontos: a) A(-1,4) b) B(3,3) c) C(2, -5) d) D(-2, -2) e) E(4, 1) f) F(2, -3) g) G(-2, 0) h) H(0,1) i) I(5, 0) 2) Observe o triângulo ABC da figura seguinte no plano cartesiano e responda: a) quantas unidades de comprimento tem o lado? b) quantas unidades de comprimento tem o lado? c) Quais as coordenadas dos vértices desse triângulo? 3) O ponto P(a, 2) é equidistante dos pontos A(3, 1) e B(2, 4). Calcular a abscissa a do ponto P. 4) Provar que é isósceles o triângulo cujos vértices são os pontos A(2, -2), B(-3, -1) e C(1, 6). 5) Usando o teorema de Pitágoras, verificar se o triângulo de vértices A(-1, -3), B(6, 1) e C(2, -5) é retângulo. 6) Calcule em cada caso, a distância entre os dois pontos dados: a) (1, 3) e (9, 9) b) (-3, 1) e (5, -14) c) (-4, -2) e (0, 7) d) (2, 3) e (4, 1) 7) A distância do ponto P(a, 1) ao ponto A(0, 2) é igual a 3. Calcule o número a. 8) Uma das extremidades de um segmento é o ponto A(13, 19). Sendo M(-9, 30) o ponto médio do segmento, calcular as coordenadas do ponto B, que é a outra extremidade do segmento. 9) Os vértices de um triângulo são os pontos A(0, 4), B(2, -6) e C(-4, 2). Calcular os comprimentos das medianas do triângulo.

2 10) Determine as coordenadas do ponto médio do segmento quando: a) A(1, 7) e B(11, 3) b) A(-2, 5) e B(-4, -1) c) A(3, -1) e B(-2, 1) d) A( ) e B( ) 11) Obter a equação da reta que passa por: a) A(3, 1) e B(5, 2) b) A(1, 2) e B(7, 6) c) A(-1, 2) e B(3, 0) 12) Dados A(1, 2), B(4, 0), C(0, -2) e D( ), determinar as equações das retas AB, BC e CD. 13) Obter a equação da reta que passa por A(p, -p) e B(-p, -2p), p. 14) Dados A(0, 0), B(3, 7) e C(5, -1), determinar a equação da reta que passa por A e pelo ponto médio do segmento BC. 15) Determinar as equações das retas r, s, t e u indicadas na figura: 16) Quais entre os pontos A(2, 3), B(3, 2), C(-6, 8) e D(18, -8) estão na reta r: 2x + 3y 12 = 0.

3 17) Calcular k para que o ponto P(1, k) pertença à reta r: 3x 4y + 1 = 0 18) Calcular k para que a reta r: 2x + ky + k = 0 passe pelo ponto P(-3, 2). 19) Representar graficamente as equações: a) 3x + 2y 6 = 0 b) x 3y = 0 c) 2x 4 = 0 d) y + 3 = 0 20) Dar a posição relativa de r e s: a) r: 5x 2y 1 = 0 e s: 2x 4y + 7 = 0 b) r: 3x + y + 1 = 0 e s: 6x + 2y + 3 = 0 c) r: 8x - 4y + 6 =0 e s: 2x y + = 0 d) r: 5x + 2y = 0 e s: 10x 4y = 0 21) Determinar os valores de k para os quais as retas r: kx + y + 2 = 0 e s: 3x 6y 2 = 0 são concorrentes. 22) Determinar a intersecção das retas x + 3y = 4 e 2x + 5y = 7. 23) Determinar o ponto de intersecção das retas r e s nos casos: a) r: 3x + 4y 11 = 0 e s: 4x 2y 14 = 0 b) r: x + y = 1 e s: y = 3x 1 c) r: 3x 2y = 7 e s: 4x + 5y = ) Dados A(1, 1), B(3, -1), C(4, 2) e D(3, 1), achar as equações das retas AB e CD e depois obter o ponto de intersecção destas retas. 25) Dados A(3, 0), B(5, 0), C(0, 5) e D(-1, 2), determinar o ponto de intersecção das diagonais AC e BD do quadrilátero ABCD. 26) Determinar as coordenadas do ponto P indicado na figura. 27) Associar a cada item (I a X) uma das afirmações (a, b e c). a) r e s são paralelas b) r e s são perpendiculares c) r e s são concorrentes, mas não perpendiculares I: r: 3x + 4y = 0 e s: 15x + 20y 1 = 0 II: r: 8x 4y 3 = 0 e s: 2x y + 1 = 0

4 III: r: 3x + 2y 1 = 0 e s: 4x 6y 3 = 0 IV: r: 5x + y = 0 e s: x 5y + 2 = 0 V: r: x + y + 1 = 0 e s: x y 1 = 0 VI: r: 3x 4y = 0 e s: 4x 3y 1 = 0 VII: r: 7x + y = 0 e s: x 7y = 0 VIII: r: 4x + 3y 1 = 0 e s: 2x + 5 = 0 IX: r: 2x + 3y = 0 e s: 3y 2x = 0 X: r: 3x 2 = 0 e s: 4y + 5x = 0 28) Determinar o valor de k para que as retas r: kx + 2y + 3 = 0 e s: 3x y k = 0 sejam paralelas. 29) Determinar os valores de k que tornam as retas r: 2x ky + 1 = 0 e s: 8x + ky 1 = 0 perpendiculares. 30) Calcular a distância entre P(-7, -4) e r: 4x + 3y 20 = 0. 31) Calcular a distância entre P e r: a) P(2, 4) e r: 8x 6y + 13 = 0 b) P(3, -1) e r: 2x + y = 0 c) P(-3, 0) e r: 3x + 2y = 1 d) P(6, 5) e r: 3x = 4y 2 e) da origem do sistema cartesiano e r: 32) Calcular a distância entre o ponto A(1, 2) e a reta que passa por B(-1, -1) e C(5, 7). 33) Colocar na forma reduzida e determinar o coeficiente angular. a) 2x + y 3 = 0 b) 4x + 2y + 5 = 0 c) 34) Associar cada item (I a V) a uma das afirmações (a, b e c): a) r e s são paralelas b) r e s são perpendiculares c) r e s são concorrentes, mas não perpendiculares. I: r: y = 2x + 5 e s: y = 2x 3 II: r: y = - 3x + 1 e s: y = III: r: y = e s: y = - 2x + 5 IV: r: y = e s: y = V: r: y = x e s: y = 100 x 35) Calcular o valor de a que torna as retas e paralelas. 36) Determinar o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A e B. a) A(3, 2) e B(5, 10) b) A(-1, -1) e B(2, 6) c) A(-1, 2) e B(3, 10) 37) Determinar a equação geral da reta que passa por P e tem coeficiente angular m:

5 a) P(2, 3) e b) P(-5, -5) e m = ) Determinar a equação da reta que passa por P(2, 5) e tem inclinação. a) b) c) 39) Determinar a equação da reta que passa por P(0, 5) e é paralela a reta y = 3x ) Determinar a equação da reta que passa por P(2, - 1) e é perpendicular a reta y = - 2x + 7.

6 Respostas: 1) 2) a. 4 b. 2 c. A(1, 1), B(5, 1) e C(1, 3) 3) a = 1 4) d(a, C) = d(b, C) d(a, B) 5) o triângulo é retângulo de hipotenusa AB. 6) a. 10 b. 17 c. d.4 7) a = 8) B(-31, 41) 9) e 10) a. M(6, 5) b. M(-3, 2) c. M(1/2, 0) d. (3/2, - 3/2) 11) a. x 2y 1 = 0 b. 2x 3y + 4 = 0 c. x + 2y 3 = 0 12) AB: 2x + 3y 8 = 0 BC: x 2y 4 = 0 CD: 5x y 2 = 0 13) px 2py 3p 2 = 0 14) 3x 4y = 0 15) 2x 3y + 6 = 0, 2x 3y 6 = 0, 2x + 3y 6 = 0 e 2x + 3y + 6 = 0 16) B, C e D 17) k = 1 18) k = 2 19) 20) a. concorrentes b. paralelas distintas c. paralelas coincidentes d. concorrentes 21) k 22) (1, 1) 23) a. (39/11, 1/11) b. (4/7, 5/7) c. (1, -2) 24) (2, 0) 25) (5/2, 5/6) 26) (15/7, 16/7) 27) a, a, b, b, b, c, b, c, c, c 28) k = ) k = 4 30) 12 31) a. ½ b. c. d. 0 e. 60/13 32) 1/5 33) a. y = 3 2x, m = - 2 b. y = 5/2 2x, m = -2 c. y = 5 x, m = 34) a, b, b, c, b 35) a = 1 36) a. 4 b. 7/5 c. 2 37) a. 4x + 3y 14 = 0 b. x + y + 10 = 0 38) a. x y + 3 = 0 b. x + y 7 = 0 c. y = 5 39) y = 3x 15 40) x 2y 4 = 0

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