Lista de Exercícios de Geometria

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1 Núcleo Básico de Engenharias Geometria - Geometria Analítica Professor Julierme Oliveira Lista de Exercícios de Geometria Primeira Parte: VETORES 1. Sejam os pontos A(0,0), B(1,0), C(0,1), D(-,3), E(4,-5) e F(-3,-3). Obtenha os seguintes vetores pela forma algébrica: a ) AB f ) BA b) AC g ) BC c ) AD h) BD d ) AE i) BE e) AF j ) BF k ) CA l ) CB m) CD n) CE o) CF p) DA q) DB r ) DC s ) DE t ) DF u ) EA v) EB w) EC x ) ED y ) DF z ) FA ab) FB ac) FC ad ) FD ae) FE. Calcule o módulo para todos os vetores da primeira questão. 3. Sejam os vetores v1 = ( 5,3), v = ( 4, 0 ), v3 = (, 1), v4 = ( 0, ). Obtenha os seguintes vetores pelo método gráfico, e depois, confirme o resultado utilizando o método algébrico: a) a = v1 + v b) b = v1 v c ) c = v v1 d ) d = v v3 e) e = v 4 + v1 f ) f = v4 + v3 g ) g = v1 + v v 4 h) h = v 4 v 3 + v i ) m = v v1 + v 3 ( ( ) ) j ) n = v1 + v + v3 + v 4 k ) o = v1 + v3 v + v 4 l ) p = v1 v v 3 + v 4 ( ) ( ( ) ) 4. Calcule o módulo para cada um dos vetores calculados no exercício anterior. 5. Assumindo que m e n são dois números Reais, e que u e v são dois vetores pertencentes ao R², realize as seguintes demonstrações: a) ( m + n ) v = mv + nv b) n u + v = nu + nv ( )

2 6. Demonstre que a lei necessária para que dois vetores do R 3, u = (x 1, y 1, z 1 ) e v = (x, y, z ), x1 y1 z1 sejam paralelos é: = = x y z 7. Determine os valores de m e n para que os vetores u e v sejam paralelos. u= m+ 1 i + 3j + k v = 4,, n 1 ( ) ( ) 8. Sendo AB um seguimento de reta formado entre os pontos A(x 1, y 1, z 1 ) e B(x, y, z ). Seja M(x, y, z) um ponto médio entre este A e B. Mostre que: x1 + x x= y + y y= z1+ z z= 1 9. Dados os vetores u =(1, a, a-1), v =(a, a-1, 1) e w =(a, -1, 1), determine o valor de a u v= u+ v w para que ( ) 10. Seja o vetor v = (m+7) i + (m + ) j + 5 k. Calcule m para que v = Calcule o ângulo formado entre os vetores u = (1, 1, 4) e o vetor v = (-1,, ). 1. Determine um vetor w que seja simultaneamente ortogonal aos vetores u = (, -3, -1) e v = (-6, 4, -). 13. Calcule um vetor w ortogonal aos vetores u = (1, 1, 4) e o vetor v = (-1,, ). Após obter o vetor w, calcule a área do paralelogramo formado pelos vetores w eu, depois calcule a área do paralelogramo formado por w e v, e por fim a área do paralelogramo formado por u e v. Calcule o volume do paralelepípedo gerado por u, v e w.

3 Segunda Parte: A Reta 14. Verifique se os Pontos P 1 (5, -5, 6) e P (4, -1, 1) pertencem a reta r: 15. Determine o ponto da reta r que tem o valor da abscissa igual a 4: x 3 y + 1 z = = 1 x= t r : y = 3 + t z = 1 t 16. Determine o valor de m e n para que o ponto P(3, m, n) pertença a reta r: x= 1 t r : y = 3 t z = 4 + t 17. O ponto P(, a, b) pertence a uma reta r. Esta reta r passa pelos pontos C(3, -1, 4) e D(4, -3,-1). Calcule o valor de a e b. 18. Mostre que os pontos A(-1, 4, -3), B(, 1, 3) e C(4, -1, 7) são colineares. 19. Qual o valor de m para que os pontos A(3, m, 1), B(1, 1, -1) e C(-, 10, -4) pertençam à mesma reta? x= 1+ t 0. A reta r : y = t forma um ângulo de 60 com a reta que passa pelos pontos z = 3 t A(3, 1, -) e B(4, 0, m). Calcule o valor de m.

4 1. Calcule o valor de m para que as retas r e s sejam paralelas. x= 3 t x+ 5 y 1 r : y = 3 + t s : = ; z = 6 6 m z = 4. Sejam os pontos A(,0,5), B(4,3,9), C(-1,0,3), D(,-1,3), E(-1,,1), F(3,8,9), G(5,8,-7), H(5,,-3), I(-5,-3,6) e J(-6,-,9): a) Obtenha a equação vetorial da reta r, que passa pelos pontos A e B, e da reta s, que passa pelos pontos C e D. b) Obtenha a equação paramétrica da reta r e da reta s. c) Obtenha a equação simétrica da reta r e da reta s. d) Obtenha a equação reduzida da reta r e da reta s. e) Calcule o ângulo formado entre as retas r e s. f) Seja t a reta que passa pelos pontos E e F, verifique se a mesma é paralela à r e s. g) Seja u a reta que passa pelos pontos G e H, esta reta é ortogonal a r ou s? h) Seja q a reta que passa pelos pontos I e J. Esta reta é coplanar às retas r e s? Terceira Parte: O Plano 3. Seja o plano π: x y + 3z + 1 = 0. Calcule: a) Um ponto deste plano que tem abscissa 4 e ordenada 3; b) Um ponto deste plano que tem abscissa 1 e cota ; c) O valor de k para que o ponto P(, k+1, k) pertença ao plano; d) O valor da abscissa do ponto deste plano onde a ordenada vale o dobro da cota. 4. Determine a equação geral do plano para os seguintes casos: a) Paralelo ao plano π: x 3y - z + 5 = 0 e que contém o ponto P(4,-1, ); x= y 3 b) Que contém o ponto A(1,, 3) e que é perpendicular a reta r : z = y + 1 c) Do plano que corta perpendicularmente o seguimento de reta de extremidades A(1, -, 6) e B(3, 0, 0) ao meio; d) Perpendicular ao eixo dos y e que contém o ponto A(3, 4, -1).

5 5. Determine a equação geral do plano determinado pelos pontos: a) A(-1,, 0), B(, -1, 1) e C (1, 1, -1); b) A(,1, 0), B(-4, -,-1) e C (0, 0, 1); c) A(0, 0, 0), B(0, 3, 0) e C (0,, 5); d) A(, 1, 3), B(-3, -1, 3) e C (4,, 3); 6. Determine a equação geral do plano que contém: a) O ponto A(3, -1, ) e a reta r: (x, y, z) = (0,, 3) + t(1, -1, ); x 1 z 1 y= x 3 = b) As retas r : e s : 3 5 z= x+ y= 1 7. Estabeleça as equações paramétricas do plano que contém os pontos A(1, 1, 0), B(, 1, 3) e C(-1, -, 4). 8. Dada a equação geral do plano π: 3x y z 6 = 0, determine um sistema de equações paramétricas deste plano. 9. Calcule: a) O ângulo entre os planos: π 1 : x + y + z 10 = 0 e π : x + y - z + 1 = 0 b) O ângulo entre os planos: π 1 : 3x + y 6 = 0 e π : plano yoz c) O valor de m para que o ângulo entre os planos seja de 30 : π 1 : x + my + z 7 = 0 e π : 4x + 5y + 3z - = 0 d) O valor de a e b para que os planos sejam paralelos: π 1 : ax + by + 4z 1 = 0 e π : 3x 5y z + 5 = 0 e) O valor de m para que os planos sejam perpendiculares: π 1 : mx + y z = 0 e π : 3x my + z 1 = 0 f) O ângulo entre o plano π e a reta r: π: x y + 7z 1 = 0 e r: (x, y, z) = (, 0, -1) + t(3, -4, 5) g) A equação paramétrica da reta r que passa pelo ponto P(-1,0,0), e que seja simultaneamente paralela aos planos: π 1 : x y z + 1 = 0 e π : x + 3y + z 5 = 0

6 Quarta Parte: Interseções e Distâncias 30. Mostre que o ponto P 1 (,,3) é eqüidistante aos pontos P (1,4,-) e P 1 (3,7,5). 31. Determine um ponto sobre o eixo das ordenadas que é eqüidistante aos pontos A(1,1,4) e B(-6,6,4). 3. Calcule a distância entre o ponto P(1,,3) e: a) A reta: x= 1 t r : y = t z= t b) Ao eixo da abscissa, ao e da ordenada e ao eixo da cota. 33. Descubra a relação existente em cada par de retas dadas e depois calcule a distância entre elas: a) x= 0 y= 3 r : s : y= z z= x b) A reta r passa pelos pontos A(1,0,1) e B(-1, -1, 0) e a reta S passa pelos pontos C(0,1,-) e D(1,1,1); c) x= 3 x= 1 r : s : y= y= 4 d) e) x 5y z+ x= 1 r : = = s : 5 1 y = 4 x= 1 t r : y = + 3 t s : Eixo do x z = t Quinta Parte: Cônicas

7 34. Em cada um dos problemas a seguir, estabeleça a equação da parábola sabendo que: a) Vetrice em V(0,0) e diretriz em d: y= ; b) Vetrice em V(0,0) e foco em F(0,-3); c) Vetrice em V(0,0), simetria em relação ao eixo dos y e que passa pelo ponto P(,-3). 35. Em cada um dos problemas a seguir, determine o vértice, o foco e a diretriz da parábola. Esboce o gráfico. a) x² = -1y b) y² = -100x c) y² -x = Em cada um dos problemas a seguir, determine os vértices A 1 e A, os focos da elípse. Esboce o gráfico. a) b) c) d) e) x y + = x y + = x + 5y = 5 9x + 5y 45= 0 4x + 9y = Em cada um dos problemas a seguir, determine os vértices, os focos da hipérbole. Esboce o gráfico. a) b) c) d) e) x y = y x = x 16y = 144 4x 5y + 0= 0 x y = 1

8 RESPOSTAS 1. a) AB 1,0 ) BC 1,1 )CD, ) DE 6, 8 ) DF 1, b) AC= 0,1 h) BD= 3,3 n)ce= 4, 6 t) DF= 1, 6 z) FA= 3,3 c) AD=,3 i) BE= 3, 5 o)cf= 3, 4 u) EA= 4,5 ab) F d) AE= 4, 5 j) BF= 4, 3 p) DA=, 3 v) EB= 3,5 ac) FC = 3, 4 e) AF= 3, 3 k)ca= 0, 1 q) DB= 3, 3 w) EC = 4,6 ad) FD= 1,6 f ) BA= 1,0 l) CB= 1, 1 r) DC=, x) ED= 6,8 = ( ) g = ( ) m = ( ) s = ( ) y = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B= ( 4,3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ae ) FE= ( 7, ). a) AB = 1 g) BC = m) CD = s) DE = 10 y) DF = 5 b) AC = 1 h) BD = 3 n) CE = 13 t) DF = 37 z) FA = 3 c) AD = 13 i) BE = 34 o) CF = 5 u) EA = 41 ab) FB = 5 d) AE = 41 j) BF = 5 p) DA = 13 v) EB = 34 ac) FC = 5 e) AF = 3 k) CA = 1 q) DB = 3 w) EC = 13 ad) FD = 37 f ) BA = 1 l) CB = r) DC = x) ED = 10 ae) FE = a) a= 9,3 d) d = 6,1 g) g= 9,5 j) n= 7,0 b) b= 1,3 e) e= 5,1 h) h=, 1 k) o= 1, 4 c) c= 1, 3 f ) f = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (, 3 ) i) m= ( 3, 3 ) l) p= ( 1, 0)

9 4. a) a = 3 10 d) d = 37 g) g = 106 j) n = 7 b) b = 10 e) e = 6 h) h = 5 k) o = 17 c) c = 10 f ) f = 13 i) m = 3 l) p = 1 5. Questão demonstrativa a cargo do aluno. 6. Questão demonstrativa a cargo do aluno. 7. m = 5 e n = 5/6 8. Questão demonstrativa a cargo do aluno. 9. a = 10. m = θ = Qualquer múltiplo de w = (54, 76, 10). 13. w = ( 6, 6, 3); Aw e u 14. P 1 r e P r 15. P(4, 1, 5) 16. m = e n = a = 1 e b = 9 = 7 u.d.a ; Aw e v 18. Questão demonstrativa a cargo do aluno. 19. m = 5 0. m = 4 1. m = = 7 u.d.a; Au e v = 9 u.d.a; V = 81 u.d.v.

10 ( x y z) = ( ) + t( ) ( x y z) = ( ) + t( ). a) r :,,,0,5,3, 4 s :,, 1,0,3 3, 1,0 x= + t x= 1+ 3t b) r : y= 3 t s : y= t z 5 4t = + z= 3 x y z 5 c) r : = = 3 4 x+ 1 s : = y ; z = 3 3 3x y= 3 x= 3y 1 d) r : s : z = 3 z= x+ 1 e) θ = 79,85 o f ) É paralela apenas à reta r g) Não é ortogonal a nenhuma das duas h) Não é coplanar 3. a) P 1 (4,3,-) b) P (-3,1,) c) k= d) z 1 x= e y= z 4. a) π 1 : x 3y z 9 = 0 b) π : x + y z 1 = 0 c) π 3 : x + y 3z + 8 = 0 d) π 4 : y 4 = 0 5. a) π 1 : 4x + 5y + 3z 6 = 0 b) π : x + z = 0 c) π 3 : x = 0 d) π 4 : z 3 = 0 6. a) π 1 : x + y = 0 b) π : 5x 3y z 7 = 0 x= 1+ t h 7. π : y = 1 3 h z = 3t + 4 h

11 x= 1 t 8. π : y = 1 h z = 5 3t + h 9. a) θ = 4,5 b) θ = 64,6 c) m = 1 ou m = 7 d) a = 6 e b = 10 x= 1+ t e) m = 0,5 f) θ = 60 g) r : y = 3 t z = 7 t 30. Questão demonstrativa a cargo do aluno. 31. b = 7 3. a) d = b) dx = 13 ; d y = 10 ; dz = a) Retas reversas, d = 6 b) Retas reversas, d = 35 7 c) Retas reversas, d = d) Retas reversas, d = 3 e) Retas reversas, d = 10 5 x 34. a) y= 8

12 x b) y= 1 c) 3x y= a)

13 b) c) 36. a)

14 b) c) d)

15 e) 37. a) b)

16 c) d) e)