(e) apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

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1 Nas questões da prova em que está fixado um sistema de coordenadas Σ = (O, E, quando for necessário, considera-se que E é uma base ortonormal positiva. 1Q 1. Seja V um espaço vetorial e x 1, x 2,, x q, x vetores de V. Com respeito às afirmações: (I x / [x 1, x 2,, x q ] {x 1, x 2,, x q, x} é linearmente independente (II {x 1, x 2,, x q } linearmente dependente x q [x 1, x 2,, x q 1 ] (III V = [x 1, x 2,, x q ] e dimv = q {x 1, x 2,, x q } é linearmente independente. (a as três afirmações são falsas (b as três afirmações são verdadeiras (c apenas as afirmações (I e (III são verdadeiras (d apenas a afirmação (III é verdadeira (e apenas as afirmações (II e (III são verdadeiras. 1Q2. Considere as retas: r : X = (1, 1, 2 + λ(2, 3, 1, λ R, s : x 1 = y 3 = z 2. 2 Seja v o vetor diretor da perpendicular comum a r e a s tal que v = 2 5. A soma das coordenadas de v é: (a 2 (b 2 (c 6 (d 6 (e 14. 1Q3. Dadas as retas: r : X = (2, 1, 3 + λ(0, 2, 2, λ R s : X = ( 1, 0, 0 + µ(0, 1, 1, µ R, a alternativa correta é: (a a distância de r a s é 3 17 (b a distância de r a s é 2 17 (c apenas o ponto (2, 1, 3 de r dista 17 de s (d apenas o ponto (2, 1, 3 de r dista 2 17 de s (e todos os pontos de r distam 17 da reta s.

2 1Q4. Seja S = [ 1 + x + x 2, 2 + x ] um subespaço de P 2 (R. Sendo a, b R, o polinômio 2 + ax + bx 2 pertence a S se e somente se: (a 2a b 2 = 0 (b a e b são números reais quaiquer (c a = b = 2 (d a = b = 0 (e a = 2b. 1Q5. A medida em radianos do ângulo entre os vetores AB e AC é π 6 e o vetor AD é ortogonal a AB e a AC. Sabendo-se que AB = 2, AC = 3, AD = 4 e que ( AB, AC, AD é uma base negativa de V 3, pode-se concluir que o volume do tetraedro ABCD é igual a: (a 12 3 (b 12 (c 2 3 (d 2 (e 6. 1Q6. Considere as seguintes afirmações: (I proj u v = proj λ u v, λ R, λ 0 (II u v w = u v w (III o ângulo entre u e v é igual ao ângulo entre u e proj u v. (a as afirmações (II e (III são falsas (b apenas a afirmação (II é falsa (c as afirmações (I e (II são falsas (d apenas a afirmação (III é falsa (e apenas a afirmação (I é falsa. 1Q 7. Seja V um espaço vetorial. Um vetor foi escrito de duas maneiras distintas como combinação linear dos vetores de A = {x 1, x 2,, x n } V. Pode-se afirmar que: (a A é uma base de V (b um dos vetores de A é combinação linear dos demais (c V = [A] (d existe um índice j tal que V = [A {x j }] (e todo vetor de A é combinação linear dos demais.

3 1Q8. Seja S = [(0, 1, 1, 1, (1, 1, 1, 2, (3, 0, 1, 3] R 4. A afirmação falsa é: (a S = [(0, 1, 1, 1, (1, 2, 2, 1] (b o vetor (2, 1, 0, 1 S (c a dimensão de S é 3 (d o vetor (2, 3, 3, 3 S (e existe uma base de R 4 que contém os três geradores de S. 1Q9. Dados o plano π : x y + 2z + d = 0 e o ponto P = (1, 0, 1, os valores de d para que a distância de P ao plano π seja 6 3 são: (a 5 ou 2 (b 5 ou 3 (c 1 ou 3 (d 1 ou 5 (e 1 ou 2. 1Q10. Se y(t = λ 1 e 2t + λ 2 t e 2t + λ 3 e t cos(3t + λ 4 e t sen(3t é solução geral da equação diferencial y (t+a 3 y (t+a 2 y (t+a 1 y (t+a 0 y(t = 0, então a 0 + a 1 + a 2 + a 3 é igual a: (a 76 (b 84 (c 82 (d 78 (e 80. 1Q11. Sejam E = ( e 1, e 2, e 3 e F = ( f 1, f 2, f 3 bases de V 3 com E ortonormal e f 1 = e 1 e 2, f 2 = 2 e 2 e f 3 = 3 e 3. Considere as seguintes afirmações: (I as bases E e F têm a mesma orientação (II o vetor ( 2, 0, 1 F não é ortogonal ao vetor (1, 2, 2 E (III (1, 1, 2 F = (1, 2, 5 E. (a (I e (II são verdadeiras (b apenas (I é verdadeira (c apenas (II é verdadeira (d (II e (III são verdadeiras (e apenas (III é verdadeira.

4 1Q12. Considere o subespaço S = [sent, cos t, sen(3t, cos(3t, sen 3 t, cos 3 t] do espaço das funções contínuas de R em R. Assinale a alternativa correta: (a dims = 6 (b dims = 5 (c dims = 2 (d dims = 4 (e dims = 3. 1Q13. No cubo ABCDEF GH de aresta unitária, dado abaixo, considere a base E = ( AB, AC, GA. Dentre as alternativas abaixo assinale aquela que contém uma base ortonormal F = ( f 1, f 2, f 3 tal que: (I ( AB, f1 seja linearmente dependente (II ( AB, AC, f2 seja linearmente independente (III as bases E e F têm orientações contrárias. H E F G A D B C (a F = ( HG, HD, HE (b F = ( AB, GF, GA (c F = ( CD, CG, CB (d F = ( F E, F B, F G (e F = ( AB, AE, DA.

5 { 1Q14. Seja S = a b c b d e c e f } M 3 (R. A afirmação verdadeira é: (a existe uma base de S que não pode ser completada a uma base de M 3 (R (b a matriz nula não pertence a S (c S é um subespaço de M 3 (R e dims = 5 (d S não é um subespaço de M 3 (R (e S é um subespaço de M 3 (R e dims = 6. 1Q15. Seja E uma base ortonormal de V 3 e sejam x e y vetores de V 3 cujas coordenadas com respeito à base E sejam ( 1, 1, 0 e (2, 1, 1. Se z = λ y e proj x z = 1 2 x, então o escalar λ é igual a: (a 1 (b 2 (c 1 2 (d 1 2 (e 1. 1Q16. Considere o tetraedro de vértices A, B, C, D. Seja X o ponto contido na face ABC tal que a reta XD seja perpendicular à face ABC. Sabendo que os lados AB, AC e AD medem 1 e que a medida dos ângulos α = CÂB, β = DÂC e γ = DÂB são dadas por cos α = 1 3, cos β = 1 3 e cos γ = 2 3, os valores dos escalares a e b tais que AX = a AB + bac são: (a a = 5 8 e b = 1 8 (b a = 1 2 e b = 1 2 (c a = 1 4 e b = 3 4 (d a = 1 3 e b = 2 3 (e a = 2 3 e b = 1 3.

6 1Q17. Considere os planos π 1, π 2 de equações: π 1 : 3x y 2z + 2 = 0, π 2 : x 2y + z 1 = 0 e a reta r = π 1 π 2. Dada a reta: pode-se afirmar que: (a r e s são coincidentes (b r e s são paralelas (c r e s são reversas (d r e s são ortogonais (e r e s são concorrentes. s : X = (1, 1, 2 + λ(2, 1, 1, λ R, 1Q18. Se y : R R é a solução geral da equação diferencial: y (t + 4y (t = 0, com condições iniciais y(0 = 1, y (0 = 4 e y (0 = 8, então y( π 4 é igual a: (a 5 (b 4 (c 2 (d 3 (e 1. 1Q19. Seja P o ponto que está na interseção do plano π : x+y z 6 = 0 com a reta perpendicular a π que passa por ( 3, 1, 2. A soma das coordenadas de P é: (a 2 (b 5 (c 3 (d 2 (e 3.

7 1Q20. A respeito das retas concorrentes: a afirmação falsa é: r : X = (1, 0, 2 + λ(1, 1, 2, λ R, s : X = (2, 1, 4 + µ(1, 1, 1, µ R, (a uma equação geral do plano que contém r e s é x + 3y + 2z 3 = 0 (b um vetor diretor da reta perpendicular a r e a s é ( 1, 3, 2 (c o plano π : x y + 2z + 1 = 0 é perpendicular a r e intersecta s no ponto P = (8, 5, 1 (d a reta t : X = (2, 1, 4 + α(2, 2, 2, α R, é concorrente com r e é coincidente com a reta s (e P = (2, 1, 4 é o ponto de intersecção de r e s.