Geometria Analítica - Retas e Planos

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Thomas Bentes Azeredo
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1 Geometria Analítica - Retas e Planos Cleide Martins DMat - UFPE Turmas E1 e E3 Cleide Martins (DMat - UFPE) Ângulos Turmas E1 e E3 1 / 10

2 Objetivos 1 Estudar ângulos entre retas, entre planos e entre retas e planos e 2 Apresentar os conceitos de projeção ortogonal de um ponto sobre um plano e de uma reta sobre um plano Cleide Martins (DMat - UFPE) Ângulos Turmas E1 e E3 2 / 10

3 Ângulo entre duas retas Considere que são conhecidas as equações vetoriais das retas r e s r : X = A + λ u r é a reta que contem A e é paralela a u s : X = B + λ v s é a reta que contem B e é paralela a v O ângulo entre duas retas é o menor ângulo entre vetores diretores dessas retas. Cleide Martins (DMat - UFPE) Ângulos Turmas E1 e E3 3 / 10

4 Ângulo entre duas retas Considere que são conhecidas as equações vetoriais das retas r e s r : X = A + λ u r é a reta que contem A e é paralela a u s : X = B + λ v s é a reta que contem B e é paralela a v O ângulo entre duas retas é o menor ângulo entre vetores diretores dessas retas. Se o ângulo entre os vetores u e v é agudo então o ângulo entre as retas r e s é o ângulo θ tal que u. v cos θ = u. v Cleide Martins (DMat - UFPE) Ângulos Turmas E1 e E3 3 / 10

5 Ângulo entre duas retas Considere que são conhecidas as equações vetoriais das retas r e s r : X = A + λ u r é a reta que contem A e é paralela a u s : X = B + λ v s é a reta que contem B e é paralela a v O ângulo entre duas retas é o menor ângulo entre vetores diretores dessas retas. Se o ângulo entre os vetores u e v é agudo então o ângulo entre as retas r e s é o ângulo θ tal que u. v cos θ = u. v Se o ângulo entre os vetores u e v é obtuso então o ângulo entre as retas r e s é o ângulo θ tal que u. v cos θ = u. v Cleide Martins (DMat - UFPE) Ângulos Turmas E1 e E3 3 / 10

6 Ângulo entre duas retas Em qualquer caso o cosseno do ângulo θ entre as retas r : X = A + λ u e s : X = B + λ v é cos θ = u. v u. v Cleide Martins (DMat - UFPE) Ângulos Turmas E1 e E3 4 / 10

7 Projeção ortogonal de um ponto sobre um plano A projeção ortogonal A de um ponto A = (x 1, y 1, z 1 ) sobre um plano π : ax + by + cz = d é a interseção da reta l que contem A e é paralela a n= (a, b, c) (vetor normal do plano π) l : X = A + λ n com o plano π. A = l π Cleide Martins (DMat - UFPE) Ângulos Turmas E1 e E3 5 / 10

8 Projeção ortogonal de uma reta sobre um plano A projeção de uma reta r : X = A + λ u sobre um plano π : ax + by + cz = d é a reta r denida pelas projeções dos pontos da reta r sobre o plano π. Em geral basta determinar A a projeção de A sobre π. Cleide Martins (DMat - UFPE) Ângulos Turmas E1 e E3 6 / 10

9 Projeção ortogonal de uma reta sobre um plano A projeção de uma reta r : X = A + λ u sobre um plano π : ax + by + cz = d é a reta r denida pelas projeções dos pontos da reta r sobre o plano π. Em geral basta determinar A a projeção de A sobre π. Se r é paralela a π então r é a reta X = A + λ u Cleide Martins (DMat - UFPE) Ângulos Turmas E1 e E3 6 / 10

10 Projeção ortogonal de uma reta sobre um plano A projeção de uma reta r : X = A + λ u sobre um plano π : ax + by + cz = d é a reta r denida pelas projeções dos pontos da reta r sobre o plano π. Em geral basta determinar A a projeção de A sobre π. Se r é paralela a π então r é a reta X = A + λ u r A u n r A u Cleide Martins (DMat - UFPE) Ângulos Turmas E1 e E3 6 / 10

11 Projeção ortogonal de uma reta sobre um plano A projeção de uma reta r : X = A + λ u sobre um plano π : ax + by + cz = d é a reta r denida pelas projeções dos pontos da reta r sobre o plano π. Em geral basta determinar A a projeção de A sobre π. Se r não é paralela a π e Q = r π A, então r é a reta X = Q + λ QA Cleide Martins (DMat - UFPE) Ângulos Turmas E1 e E3 6 / 10

12 Projeção ortogonal de uma reta sobre um plano A projeção de uma reta r : X = A + λ u sobre um plano π : ax + by + cz = d é a reta r denida pelas projeções dos pontos da reta r sobre o plano π. Em geral basta determinar A a projeção de A sobre π. Se r não é paralela a π e Q = r π A, então r é a reta X = Q + λ QA A u n r Q A r Cleide Martins (DMat - UFPE) Ângulos Turmas E1 e E3 6 / 10

13 Ângulo entre uma reta e um plano Suponha que sejam conhecidas uma equação vetorial da reta r e a equação geral do plano π r : X = A + λ u r é a reta que contem A e é paralela a u π : ax + by + cz = d π é o plano perpendicular a n= (a, b, c) O ângulo entre r e π é o ângulo entre r e a reta r que é a projeção ortogonal de r sobre π Cleide Martins (DMat - UFPE) Ângulos Turmas E1 e E3 7 / 10

14 r A u n Cleide Martins (DMat - UFPE) Ângulos Turmas E1 e E3 8 / 10

15 r A u n Cleide Martins (DMat - UFPE) Ângulos Turmas E1 e E3 8 / 10

16 r A u n Cleide Martins (DMat - UFPE) Ângulos Turmas E1 e E3 8 / 10

17 r A u n O ângulo θ entre r e π é o complementar do ângulo entre u e n. Portanto θ sen θ = u. n u. n Cleide Martins (DMat - UFPE) Ângulos Turmas E1 e E3 8 / 10

18 Ângulo entre dois planos Considere os planos π 1 : ax + by + cz = d n e π 2 : mx + ny + pz = h w Se π 1 e π 2 são paralelos então o ângulo entre eles é zero. Se π 1 e π 2 não são paralelos então então o ângulo θ entre eles é o menor dos ângulos formados por seus vetores normais. Cleide Martins (DMat - UFPE) Ângulos Turmas E1 e E3 9 / 10

19 cos θ = n. w n. w w n n Cleide Martins (DMat - UFPE) Ângulos Turmas E1 e E3 10 / 10

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