Geometria Analítica II - Aula 4 82

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1 Geometria Analítica II - Aula 4 8 IM-UFF K. Frensel - J. Delgado

2 Aula 5 Esferas Iniciaremos o nosso estudo sobre superfícies com a esfera, que já nos é familiar. A esfera S de centro no ponto A e raio igual a R > 0, como já foi definida anteriormente, é o conjunto dos pontos do espaço que estão a distância R do ponto A, ou seja, S = {P dp, A) = R}. Dado um sistema de eixos ortogonais OXYZ, vimos que S : x a) + y b) + z c) = R é a equação cartesiana da esfera S de centro no ponto A = a, b, c) e raio R. 1. Posição relativa entre esferas Já provamos que se π é um plano e S é uma esfera, então a interseção de S com π pode ser o conjunto vazio, um ponto ou um círculo. Vamos provar agora, usando os recursos da Geometria Analítica, que a interseção de duas esferas distintas também só pode ser o conjunto vazio, um ponto ou um círculo. Proposição 1 Sejam S 1, S esferas centradas em A 1, A, e de raios R 1 > 0, R > 0, respectivamente, e seja L = da 1, A ). Então: a) S 1 S = se, e somente se, L > R 1 + R ou R > R 1 + L ou R 1 > R + L. b) S 1 S é um único ponto se, e somente se, R 1 + R = L ou R 1 + L = R e L > 0 ou R + L = R 1 e L > 0. c) S 1 S é um círculo se, e somente se, L < R 1 + R, R < R 1 + L e R 1 < R + L. d) S 1 = S se, e somente se, L = 0 e R 1 = R.

3 Geometria Analítica II - Aula 5 84 Prova. Seja OXYZ um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas, com origem O = A 1 e A = 0, 0, L), L 0, isto é, o semi-eixo positivo OZ tem a mesma direção e o mesmo sentido do vetor A 1 A. Em relação a esse sistema de coordenadas, as equações de S 1 e S são: Começamos assumindo que L > 0. S 1 : x + y + z = R 1 e S : x + y + z L) = R. Temos que P = x, y, z) S 1 S se, e somente se, as coordenadas de P satisfazem as equações de S 1 e S, simultaneamente. Substituindo x + y = R 1 z. 1) na equação de S, obtemos: R 1 z + z L) = R. Ou seja, se P = x, y, z) S 1 S, então: z = z 0 = L + R 1 R L No segundo membro da equação 1), temos as seguintes possibilidades: A condição R 1 z 0 = 0 equivale a z 0 = R 1. R 1 z 0 = 0, R 1 z 0 < 0 ou R 1 z 0 > 0.. ) Neste caso, temos x + y = 0 x = 0 e y = 0. Ou seja, se R 1 z 0 = 0, então P = 0, 0, z 0), com z 0 = R 1 ou z 0 = R 1. Usando a equação ), determinamos qual dessas duas possibilidades para a coordenada z 0 do ponto P é a correta. De fato, z 0 = R 1, quando L + R 1 > R, e z 0 = R 1, quando L + R 1 < R. Portanto, a condição R 1 z 0 = 0 é satisfeita se, e somente se, S 1 S consiste apenas de um ponto. A condição R 1 z 0 < 0 equivale a z 0 > R 1. Neste caso, temos x + y < 0. Assim, não existem valores x e y que satisfaçam a equação 1), ou seja, a condição R 1 z 0 < 0 equivale a S 1 S =. A condição R 1 z 0 > 0 equivale a z 0 < R 1. Neste caso, a equação 1) é a equação de um círculo contido no plano z = z 0 = L + R 1 R L com centro no ponto 0, 0, z 0 ) e raio r = R 1 z 0. De fato, lembre que um ponto P = x, y, z 0 ) no plano z = z 0 é um ponto do círculo de centro 0, 0, z 0 ) e raio r se, e somente se, dp, 0, 0, z 0 )) = r., IM-UFF K. Frensel - J. Delgado

4 85 Geometria Analítica II - Aula 5 Isto é, se, e somente se, x 0) + y 0) + z 0 z 0 ) = r. Tomando quadrados em ambos os lados desta equação, obtemos x +y = r, que é exatamente a equação 1). Portanto, a condição R 1 z 0 > 0, equivale a dizer que S 1 S é um círculo. Resumindo, temos as seguintes possibilidades: S 1 S consiste apenas de um ponto R 1 = z 0 ; S 1 S = R 1 > z 0 ; S 1 S é um círculo R 1 < z 0, onde z 0 = L + R 1 R. L Vejamos o que essas condições representam em termos de relações entre os raios e a distância entre os centros. Substituindo ) em 1), obtemos: x + y = R 1 L + R 1 R ) = 4R 1 L L + R 1 R ) 4L 4L x + y R1 L L + R 1 = R )) R 1 L + L + R 1 R )) 4L R x + y = L R 1 L + R 1 )) L + R 1 L + R 1 ) ) R 4L R x + y = L R 1 ) ) L + R 1 ) R ) 4L x + y = R + L R 1 )R + R 1 L)R 1 + L R )R 1 + R + L) 4L. Logo S 1 S consiste de um único ponto P se, e somente se, pois R 1 + R + L > 0. É fácil ver que R 1 = R + L ou L = R 1 + R ou R = R 1 + L, P = A 1 + R 1 L P = A 1 + R 1 L e P = A 1 R 1 L A 1 A, se L = R 1 + R, A 1 A, se R 1 = L + R, A 1 A, se R = L + R 1. Neste caso, dizemos que S 1 e S são tangentes no ponto P, e que o plano perpendicular ao vetor A 1 A que passa por P é o plano tangente a S 1 e S no ponto P. K. Frensel - J. Delgado IM-UFF

5 Geometria Analítica II - Aula 5 86 As três situações são mostradas nas Figuras 1, e 3. Fig. 1: L = R1 + R. Fig. : R1 = L + R. Fig. 3: R = L + R1. Por outro lado, como L > 0, se um dos números R + L R1, R + R1 L ou R1 + L R é negativo, então os outros dois são positivos. Logo S1 S = se, e somente se, R + L < R1 ou R1 + R < L ou R1 + L < R. Nas Figuras 4, 5 e 6 mostramos essas três possibilidades. Fig. 4: R + L < R1. Fig. 5: R1 + R < L. Fig. 6: R1 + L < R. Finalmente, C = S1 S é um círculo se, e só se, R1 + R > L, R + L > R1 e R1 + L > R. Neste caso, o círculo C tem centro no ponto L + R1 R C = 0, 0,, L ou seja, onde γ = C = A 1 + γa 1 A, L + R1 R ; seu raio é L q 4R1 L L + R1 R ) r= L Fig. 7: L > R1 e L > R., e está contido no plano π:z= IM-UFF L + R1 R, L K. Frensel - J. Delgado

6 87 Geometria Analítica II - Aula 5 paralelo ao plano cartesiano Π XY, ou seja, perpendicular à reta que contém os centros das esferas, como mostramos na Figura 7. No caso em que L = 0, isto é, A 1 = A, note que S 1 = S se, e somente se, R 1 = R, e S 1 S = se, e somente se, R 1 > R ou R > R 1. Foi provado, na proposição acima, que se R 1 < R + L, R < R 1 + L e L < R 1 + R, então S 1 S = C é um círculo. Um ponto Q = x, y, z) pertence a C se, e só se, satisfaz o sistema de equações S 1 : x + y + z a 1 x b 1 y c 1 z + a 1 + b 1 + c 1 R 1 = 0 S : x + y + z a x b y c z + a + b + c R = 0. Portanto, subtraindo as equações acima, todo ponto Q do círculo pertence ao plano: π : a 1 a )x + b 1 b )y + c 1 c )z + a + b + c a 1 b 1 c 1 + R 1 R = 0, onde A 1 = a 1, b 1, c 1 ) e R 1, A = a, b, c ) e R são os centros e os raios das esferas S 1 e S, respectivamente. Pela demonstração acima, o centro C do círculo C pertence ao plano π e à reta l : {A 1 + ta 1 A t R}, perpendicular ao plano π. Logo {C} = r π. Uma vez encontrado o centro C, achamos o raio r do círculo por uma das relações abaixo: r = R 1 dc, A 1) r = R dc, A ) já que CA 1 e CA são segmentos perpendiculares ao plano π que contém o círculo C. Exemplo 1 Sejam S 1 e S as esferas abaixo: S 1 : x 1) + y + z 1) = 1 e S : x ) + y 1) + z = 1 a) Mostre que S 1 S é um círculo C. b) Determine o centro e o raio do círculo C, e o plano no qual ele está contido. Solução. a) Pelas equações acima, S 1 é uma esfera de centro no ponto A 1 = 1, 0, 1) e raio R 1 = 1, e S é uma esfera de centro no ponto A =, 1, 0) e raio R = 1. Como L = da 1, A ) = = 3, temos que L < R 1 + R, R < R 1 + L e R 1 < R + L. Logo, pela proposição anterior, S 1 S é um círculo C. K. Frensel - J. Delgado IM-UFF

7 Geometria Analítica II - Aula 5 88 Além disso, como L > R 1 e L > R, A 1 está no exterior de S e A está no exterior de S 1. b) Um ponto x, y, z) pertence ao círculo C se, e só se, satisfaz o sistema: S 1 : x 1) + y + z 1) = 1 x + y + z x z + 1 = 0 ou seja, S : x ) + y 1) + z = 1, x + y + z 4x y + 4 = 0. Subtraindo as duas equações acima, obtemos que x, y, z) pertence ao plano: π : x + y z 3 = 0. Logo o círculo C está contido nesse plano. O centro de C é o ponto de interseção da reta l = {A 1 + ta 1 A t R} com o plano π, ou seja, C = 1, 0, 1) + t1, 1, 1) = 1 + t, t, 1 t) e 1 + t) + t 1 t) = 3. Portanto, t = 1 3 e C =, 1, 1 ). O raio r do círculo C é dado por: r = R 1 dc, A 1) = = 1, já que dc, A 1 ) = 3 1 ) + 1 ) ) = 3. Fig. 8: Cálculo de r Exemplo Sejam S 1 e S as esferas abaixo S 1 : x + y + z = 4, S : x + y 1) + z 1) = 1. a) Mostre que C = S 1 S é um círculo. b) Determine o centro e o raio do círculo C, e o plano no qual ele está contido. c) Parametrize o círculo C. Solução. a) Pelas equações acima, S 1 é uma esfera de centro no ponto A 1 = 0, 0, 0) e raio R 1 =, e S é uma esfera de centro no ponto A = 0, 1, 1) e raio R = 1. Como L = da 1, A ) =, temos que L < R 1 + R, R < L + R 1 e R 1 < L + R. Logo, pela proposição 1, C = S 1 S é um círculo. Sendo L < R 1 e L > R, A está no interior de S 1 e A 1 está no exterior de S. b) Um ponto x, y, z) pertence ao círculo C se, e só se, satisfaz o sistema: x + y + z = 4 x + y + z y z = 1. Subtraindo as duas equações acima, obtemos que x, y, z) pertence ao plano IM-UFF K. Frensel - J. Delgado

8 89 Geometria Analítica II - Aula 5 π : y z + 5 = 0. O centro C do círculo é o ponto de interseção do plano π com a reta l : {A 1 + ta 1 A t R} = {0, t, t) t R}. Logo C = 0, t, t), com t t + 5 = 0, ou seja, t = 5 4 e C = 0, 5 4, 5 ). 4 Como dc, A 1 ) = 5, o raio de C é: 4 r = R 1 dc, A 1) = c) O círculo C tem raio r = = 7 8. Fig. 9: A A 1 C 7 0, 8 e centro no ponto P = 5 4, 5 ), e está contido no plano 4 π : y + z = 5. Por uma translação e uma rotação do sistema de eixos ortogonais OXYZ, obtemos um novo sistema de eixos ortogonais O X Y Z, onde O = C e os semi-eixos positivos O X, O Y e O Z têm a mesma direção e o mesmo sentido dos vetores ortonormais: v 1 = 1, 0, 0), v = v 3 v 1 = v 3 = 0, 1, 0 1/ 1/ = 1 ) π. 0, 1, 1 ) Neste nosso sistema O X Y Z, o círculo C está contido no plano π : z = 0, tem centro na origem 7 O e raio r =, ou seja, 8 x + y = 7/8 C : z = 0. Como x, y, z) = x v 1 + y v + z v 3 + C, e xt) = C : yt) = zt) = cos t 7 8 sen t ; t R, é uma parametrização nas coordenadas x, y, z, temos que: 7 7 C : xt), yt), zt)) = cos t1, 0, 0) sen t 0, 1, 1 ) + 0, 5 4, 5 ), t R, 4 K. Frensel - J. Delgado IM-UFF

9 Geometria Analítica II - Aula 5 90 ou seja, C : 7 xt) = 8 cos t 7 yt) = 4 sen t zt) = 4 sen t t R, é uma parametrização de C nas coordenadas x, y e z. Exemplo 3 Sejam S 1 e S as esferas e S 1 : x + y + z x + y = 7 S : x + y + z ) = 1. a) Mostre que S 1 e S são tangentes. b) Determine o ponto P de tangência de S 1 e S, e o plano π tangente a S 1 e S neste ponto P. Solução. a) Completando os quadrados na equação de S 1, temos que: e daí: S 1 : x x + 1) + y + y + 1) + z = = 9, S 1 : x 1) + y + 1) + z = 3. Logo S 1 é uma esfera de raio R 1 = 3 centrada no ponto A 1 = 1, 1, 0). Como S é uma esfera de raio R = 1 centrada no ponto A = 0, 0, ), temos que: da 1, A ) = = e R 1 = 3 = 1 + = R + da 1, A ). Então, pela proposição 1, S 1 e S são tangentes. b) Como o centro A de S está contido no interior da esfera S 1 por quê?), o ponto P de tangência entre as esferas é o ponto onde a semi-reta r de origem A 1, que contém A, corta a esfera S 1. Logo existe t 0 tal que P = A 1 + ta 1 A = 1, 1, 0) + t 1, 1, ) = 1 t, 1 + t, ) t, e 1 t 1) t + 1) + t = 9. Resolvendo a equação acima, obtemos que 4t = 9. Então t = 3, pois t 0, e IM-UFF K. Frensel - J. Delgado

10 91 Geometria Analítica II - Aula 5 P = 1 3, ), 3 = 1, 1, 3 ) é o ponto de tangência entre S 1 e S. Observe que a semi-reta r corta a esfera S em dois pontos: P = 1, 1, 3 ) ) 1 e Q =, 1,. O plano π tangente a S 1 e S no ponto P é o plano que passa por P e é perpendicular ao vetor A 1 A, ou seja, π : x + y + z = = 8 = 4.. Determinação de uma esfera Provaremos nesta seção alguns resultados que nos permitem determinar uma esfera a partir de pontos e/ou círculos nela contidos. Proposição Dados quatro pontos A, B, C e D não-coplanares, existe uma única esfera S que os contêm. Prova. Como A, B, C e D são pontos não coplanares, temos que: AB AC, AD 0. Sabemos que um ponto P é eqüidistante dos pontos A e B se, e só se, P pertence ao plano π 1 que passa pelo ponto médio M 1 = A + B do segmento AB e é perpendicular ao vetor AB, ou seja, dp, A) = dp, B) M 1 P, AB = 0. Analogamente, um ponto P é eqüidistante dos pontos A e C se, e só se, P pertence ao plano π que passa pelo ponto médio M = A + C do segmento AC e é perpendicular ao vetor AC, ou seja, dp, A) = dp, C) M P, AC = 0. Como AB AC 0, pois, caso contrário, A, B e C seriam colineares = A, B, C e D seriam coplanares), vemos que r = π 1 π é uma reta paralela ao vetor AB AC, formada pelos pontos eqüidistantes dos pontos A, B e C, isto é, r = {P dp, A) = dp, B) = dp, C)}. K. Frensel - J. Delgado IM-UFF

11 Geometria Analítica II - Aula 5 9 Seja, agora, π 3 o conjunto dos pontos eqüidistantes dos pontos A e D. Então π 3 é o plano perpendicular ao vetor AD que passa pelo ponto médio M 3 = A + D do segmento AD. Observe que o vetor paralelo à reta r, AB AC, não é perpendicular ao vetor normal, AD, do plano π 3, ou seja, r 3 não é paralela nem está contida no plano π 3. Assim, r π 3 consiste de um único ponto L. Este ponto L é o único ponto eqüidistante de A, B, C e D, ou seja, dl, A) = dl, B) = dl, C) = dl, D). Portanto, L é o centro e dl, A) é o raio da única esfera que passa pelos pontos A, B, C e D. Fig. 10: r π 3 = {L} Exemplo 4 Verifique que os pontos A = 1,, ), B = 3, 4, 1), C = 0, 1, 1) e D = 1, 3, 0) não são coplanares e determine a equação da única esfera S que passa por esses pontos. Solução. Sendo AB =,, 1), AC = 1, 1, 1) e AD =, 1, ), temos que: AB AC = 1 = 3, 3, 0) 1, 1, 0) e, portanto, AB AC, AD = 3, 3, 0),, 1, ) = 9 0. Logo os pontos A, B, C e D não são coplanares. Pela proposição, o centro da esfera S que passa pelos pontos A, B, C e D é o ponto de interseção da reta r = π 1 π com o plano π 3, onde: π 1 : x + y z = 17, π : x + y + z = 7, π 3 : x y + z = 1 são os planos perpendiculares aos vetores AB, AC e AD que passam pelos pontos médios M 1 = A + B =, 3, 3/), M = A + C = 1/, 3/, 3/), M 3 = 0, 5/, 1) dos segmentos AB, AC e AD, respectivamente. Fazendo x = 0 no sistema obtemos o sistema: x + y z = 17 r = π 1 π : x + y + z = 7, IM-UFF K. Frensel - J. Delgado

12 93 Geometria Analítica II - Aula 5 cuja solução é o ponto Q = 0, 4, 1/). Então, y z = 17 y + z = 7, x = t r : y = 4 t z = 1/ ; t R é a equação paramétrica da reta r paralela ao vetor AB AC que passa pelo ponto Q. Seja L o centro da esfera S. Como {L} = r π 3, temos que L = t, 4 t, 1/) e t 4 t) + 1 ) = 1 t + t 4 1 = 1 3t = = 9 t = 3. 3 Assim, L =, ), 1 =, 5 ), 1 é o centro, 3 ) 5 ) R = dl, A) = ) 1 = = é o raio e x 3 ) + y 5 ) + z + 1 ) 7 = 4 é a equação da única esfera que passa pelos pontos A, B, C e D. Uma equação de grau dois nas variáveis x, y e z: representa uma esfera se, e só se, De fato, completando o quadrado: x + y + z + Gx + Hy + Iz + J = 0 G + H + I ) 4J > 0 7 x + Gx) + y + Hy) + z + Iz) = J x + G ) + y + H ) + z + I ) G + H + I = J, 4 obtemos que esta equação representa uma esfera se, e só se, G + H + I ) 4J > 0. Neste caso, A = G, H, I ) G + H + I ) 4J é o centro e R = é o raio da esfera. K. Frensel - J. Delgado IM-UFF

13 Geometria Analítica II - Aula 5 94 Proposição 3 Considere duas esferas S 1 : x + y + z + G 1 x + H 1 y + I 1 z + J 1 = 0 e S : x + y + z + G x + H y + I z + J = 0 cuja interseção é um círculo C = S 1 S. Então S é uma esfera que contém o círculo C se, e só se, sua equação é da forma x + y + z + 1 k)g 1 + kg )x + 1 k)h 1 + kh )y + 1 k)i 1 + ki )z + 1 k)j 1 + kj = 0, para algum k R. Prova. Se x, y, z) é um ponto pertencente ao círculo C = S 1 S, então: x + y + z + G 1 x + H 1 y + I 1 z + J 1 = 0 e x + y + z + G x + H y + I z + J = 0. Subtraindo as equações acima, obtemos que: G 1 G )x + H 1 H )y + I 1 I )z + J 1 J = 0. 3) Logo o círculo C está contido no plano π : G 1 G )x + H 1 H )y + I 1 I )z + J 1 J = 0, cujo vetor normal é v = G 1 G, H 1 H, I 1 I ) 0, 0, 0). Além disso, como C = S 1 π = S π, já sabemos que o centro C de C pertence à reta r normal ao plano π que passa pelos centros C 1 = 1 G 1, H 1, I 1 ) e C = 1 G, H, I ) das esferas S 1 e S, respectivamente: r : x = 1 G 1 + tg 1 G ) y = 1 H 1 + th 1 H ) z = 1 I 1 + ti 1 I ) ; t R. Seja S : x + y + z + Gx + Hy + Iz + J = 0 uma esfera que contém o círculo C. Se S S 1, temos, pelo mesmo raciocínio feito anteriormente, que o círculo C está contido no plano: π : G 1 G)x + H 1 H)y + I 1 I)z + J 1 J = 0. Como π = π, já que apenas um plano contém todos os pontos de um círculo, existe k R {0} lembre que S S 1 ) tal que: G 1 G = kg 1 G ) G = 1 k)g 1 + kg H 1 H = kh 1 H ) H = 1 k)h 1 + kh I 1 I = ki 1 I ) I = 1 k)i 1 + ki J 1 J = kj 1 J ) J = 1 k)j 1 + kj. IM-UFF K. Frensel - J. Delgado

14 95 Geometria Analítica II - Aula 5 Logo, S : x + y + z + 1 k)g 1 + kg )x + 1 k)h 1 + kh )y +1 k)i 1 + ki )z + 1 k)j 1 + kj ) = 0. Fig. 11: Esfera de centro C k e raio R k Reciprocamente, para todo k R, seja S uma esfera Figura 11) de centro C k = 1 1 k)g 1 + kg, 1 k)h 1 + kh, 1 k)i 1 + ki ) = 1 G 1, H 1, I 1 ) + k G 1 G, H 1 H, I 1 I ). Para que esta esfera contenha o círculo C de centro C e raio r é necessário e suficiente que seu raio R k seja igual a r + dc, C k ), já que C e C k pertencem à reta r perpendicular a π que passa por C 1. Logo, pelo visto acima, a equação desta esfera S é: x + y + z + 1 k)g 1 + kg )x + 1 k)h 1 + kh )y + 1 k)i 1 + ki )z + 1 k)j 1 + kj ) = 0. Observe que: R k = 1 k)j 1 + kj ) k)g1 + kg ) + 1 k)h 1 + kh ) + 1 k)i 1 + ki ) ). 4 Provamos, então, que a equação x + y + z + 1 k)g 1 + kg )x + 1 k)h 1 + kh )y + 1 k)i 1 + ki )z + 1 k)j 1 + kj = 0 representa uma esfera que contém o círculo C = S 1 S, para todo k R. Exemplo 5 Determine a equação da esfera que contém o ponto P 0 =, 4, 0) e o círculo C = S 1 S, onde S 1 e S são as esferas: S 1 : x + y + z x + y 4z + = 0 S : x + y + z 4x y 6z + 10 = 0. Verifique antes que as esferas S 1 e S realmente se intersectam ao longo de um círculo. K. Frensel - J. Delgado IM-UFF

15 Geometria Analítica II - Aula 5 96 Solução. Completando os quadrados: x x) + y + y) + z 4z) = x 1) + y + 1) + z ) = = 4. x 4x)+y y)+z 6z) = 10 x ) +y 1) +z 3) = = 4, obtemos que C 1 = 1, 1, ), R 1 = e C =, 1, 3), R = são os centros e os raios das esferas S 1 e S, respectivamente. Então L = dc 1, C ) = 1,, 1) = 6. Como L = 6 < + = R 1 +R, R = < + 6 = R 1 +L e R 1 = < + 6 = R + L, temos, pela proposição 1, que S 1 S é, de fato, um círculo. Pela proposição 3, existe k R tal que: ou seja, S : x + y + z + 1 k) ) + k 4))x + 1 k)) + k ))y +1 k) 4) + k 6))z + 1 k)) + k10) = 0, S : x + y + z k + 1)x + 1 k)y + k)z + + 8k = 0. Além disso, como P 0 =, 4, 0) S, temos: k + 1) ) + 1 k)4 + k) k = 0 4k 16k + 8k = 0 4k = 34 k = 17. Logo, a equação da esfera é dada por: x + y + z ) x + ) z = 0, 4 17 x + y + z 19x 3y 1z + 70 = 0, = x 19 ) + y 16) z 1 = 1053 ) y ) = Assim, a esfera que passa pelo ponto P 0 e contém o círculo C é a esfera de raio no ponto 19 ) 1, 16, centrada Exemplo 6 Considere a esfera S : x + y + z x + 3y 6z 5 = 0 e o plano π : 5x + y z = 3. a) Mostre que S π é um círculo C e determine seu centro e seu raio. IM-UFF K. Frensel - J. Delgado

16 97 Geometria Analítica II - Aula 5 Solução. Completando os quadrados: x + y + z x + 3y 6z 5 = 0 x x) + y + 3y) + z 6z) = 5 x 1) + y + 3 ) + z 3) = = 69 4, obtemos que S é a esfera de centro C = 1, 3 ), 3 69 e raio R = 4. Sendo temos que S π é um círculo C de raio dc, π) = = 4 30 < r = R dc, π) = = 69 = R, = Seja l a reta perpendicular ao plano π, ou seja, paralela ao vetor 5,, 1), que passa pelo centro C = 1, 3 ), 3 de S: x = 1 + 5t l : y = 3 + t ; t R. z = 3 t Como o centro C do círculo C é o ponto onde a reta r intersecta o plano π, temos que C = 1 + 5t, 3 ) + t, 3 t e t) + 3 ) + t 3 t) = 3 30t = 4 t = 15. Assim, C = , , 3 ) 5 = 15 15, 37 30, 43 ) 15 é o centro do círculo C = π S. b) Determine a equação da esfera S que contém o círculo C = π S e o ponto A =, 1, 1). Solução. Seja S : x + y + z + Gx + Hy + Iz + J = 0 a equação da esfera que contém o círculo C e o ponto A. Como C está contido em S e S, ou seja, C = S S, temos que x, y, z) C se, e só se, x + y + z + Gx + Hy + Iz + J = 0 x + y + z x + 3y 6z 5 = 0. K. Frensel - J. Delgado IM-UFF

17 Geometria Analítica II - Aula 5 98 Subtraindo as equações acima, vemos que se x, y, z) C, então x, y, z) pertence ao plano π : G + )x + H 3)y + I + 6)z + J + 5 = 0. Como C π : 5x + y z = 3, temos que π = π. Portanto, existe λ R, tal que: ou seja, G + = 5λ, H 3 = λ, I + 6 = λ, J + 5 = 3λ, S : x + y + z + 5λ )x + λ + 3)y + λ 6)z 3λ 5 = 0. Além disso, como o ponto A =, 1, 1) S, temos: Assim, Completando os quadrados: x λ ) λ + 3) λ + 6) 3λ 5 = λ 4 λ 3 λ 6 3λ 5 = 0 4λ 1 = 0 λ = 3. S : x + y + z + 13x + 9y 9z 14 = 0. ) + y + 9 obtemos que S é a esfera de centro C = ) + z 9 ) = = = ), 9, 9 e raio R = Distância entre subconjuntos do espaço Já vimos anteriormente como se determina a distância de um ponto a um plano, entre dois planos, de uma reta a um plano, de um ponto a uma reta e entre duas retas. Como nestes casos, definimos a distância, dx, Y), entre os subconjuntos X e Y do espaço, como sendo a menor distância entre um ponto de X e um ponto de Y, isto é, dx, Y) = min { dp, Q) P X e Q Y } Vamos agora estudar o caso em que um dos conjuntos, X, é um ponto, um plano ou uma esfera e o outro conjunto, Y, é uma esfera. Proposição 4 Sejam P um ponto e S uma esfera de centro A e raio R > 0. Então dp, S) = R dp, A) e o ponto Q 0 S que realiza esta distância é o ponto de interseção de S com a semi-reta de origem A que contém o ponto P. IM-UFF K. Frensel - J. Delgado

18 99 Geometria Analítica II - Aula 5 Prova. Seja OXYZ um sistema de eixos ortogonais com origem no ponto A, tal que o ponto P pertence ao semi-eixo positivo OZ, isto é, P = 0, 0, c), para algum c 0. Neste sistema de coordenadas, a esfera S é dada por: S = {x, y, z) R 3 x + y + z = R }. Seja Q = x, y, z) um ponto de S. Então: dq, P) = x + y + z c) = R + c zc. Como c 0 e z R, pois Q S, temos que: R + c zc R + c Rc = R c. Fig. 1: dp, S) = da, P) R Fig. 13: dp, S) = R da, P) Além disso, Q 0 = 0, 0, R) S e dq 0, P) = R c) = R c = R da, P). Portanto, dq, P) dq 0, P), para qualquer ponto Q S. Com isto provamos que dp, S) = dp, Q 0 ) = R dp, A), e que o ponto Q 0 S, que realiza a distância, é o ponto de S que pertence à semi-reta de origem A que contém o ponto P. Exemplo 7 Calcule a distância entre o ponto A = 1, 1, 3) e a esfera S : x + y + z 6x + 4y 10z = 6, e determine o ponto C pertencente a S que realiza esta distância. Solução. Completando os quadrados na equação da esfera, obtemos que S é dada por: S : x 3) + y + ) + z 5) = = 100 = 10, ou seja, S é a esfera de centro B = 3,, 5) e raio 10. Logo, pela proposição 4, da, S) = 10 da, B) = = 7. K. Frensel - J. Delgado IM-UFF

19 Geometria Analítica II - Aula Como da, B) = 3 < 10 = R, o ponto A pertence ao interior da esfera. Vamos agora achar o ponto C S que realiza a distância. Para isto, seja r a semi-reta de origem B que contém o ponto A. Temos que: P r P = B + t BA ; t 0 P = 3,, 5) + t, 1, ); t 0. Já que {C} = S r, existe um único t 0 R, t 0 0, tal que: e C = 3 t 0, + t 0, 5 t 0 ), dc, B) = 3 t 0 3) + + t 0 + ) + 5 t 0 5) = 100. Resolvendo a equação acima, obtemos que t 0 = 10 e, portanto, 3 C = , + 3 3, 5 0 ) = , 4 ) 3, 5. 3 Exemplo 8 Calcule a distância da esfera S : x ) + y 1) + z 3) = 1 à reta x = t + 3 r : y = t + 4 ; t R. z = t + 5 Determine também os pontos P 0 r e Q 0 S tais que Solução. dr, S) = min {dp, Q) P r e Q S} = dp 0, Q 0 ). Vamos primeiro calcular a distância do centro A =, 1, 3) da esfera à reta r. Sabemos que um ponto P 0 = t + 3, t + 4, t + 5) r realiza esta distância se, e só se, AP 0, 1, 1, 1) = 0, onde 1, 1, 1) é um vetor paralelo à reta r. Como AP 0, 1, 1, 1) = 0 t + 1, t + 3, t + ), 1, 1, 1) = 0 t t t + = 0 3t = 6 t =, Fig. 14: da, r) = da, P 0 ) obtemos que P 0 = 1,, 3) e da, r) = da, P 0 ) = AP 0 = 1, 1, 0) =. Observe que, sendo da, P) da, P 0 ) = > 1 = R, para todo ponto P r, onde R = 1 é o raio da esfera, então a reta r não intersecta a esfera S, isto é, todos os pontos da reta são exteriores à esfera. IM-UFF K. Frensel - J. Delgado

20 101 Geometria Analítica II - Aula 5 Fig. 15: da, P) da, P 0 ) Pela proposição 4, para todo P r. Logo, dp, S) = dp, A) R = dp, A) 1, dp, Q) dp, S) = dp, A) R dp 0, A) R = dp 0, S) = dp 0, Q 0 ), 4) para todo P r e todo Q S, onde Q 0 é o ponto onde a semi-reta { A + t } AP 0 t 0 = {, 1, 3) + t 1, 1, 0) t 0} = { t, 1 + t, 3) t 0} intersecta a esfera S. Então Q 0 = t, 1 + t, 3), t 0, e Fig. 16: dr, S) = dp 0, S) = dp 0, Q 0 ) t ) t 1) + 3 3) = 1 t = 1, t 0 t = 1 = Ou seja, Q 0 = ), 1 +, 3.. K. Frensel - J. Delgado IM-UFF

21 Geometria Analítica II - Aula 5 10 Assim, por 4), onde P 0 = 1,, 3) e Q 0 = dr, S) = dp 0, Q 0 ) = 1, ), 1 +, 3. Proposição 5 Sejam π um plano e S uma esfera de centro A e raio R > 0. Então: a) dπ, S) = 0 se da, π) R. b) dπ, S) = da, π) R se da, π) > R. Neste caso, π S = e os pontos Q 0 S e P 0 π que realizam a distância, isto é, dq 0, P 0 ) = ds, π), são os pontos de interseção de S e π respectivamente, com a semi-reta de origem A que intersecta π perpendicularmente. Prova. Sabemos que π S se, e só se, da, π) R. Logo dπ, S) = 0 se da, π) R, pois neste caso π e S possuem pelo menos um ponto em comum. Vamos calcular agora dπ, S) quando π S =. Para isto, escolhemos um sistema de eixos ortogonais OXYZ no qual π xy = π e o centro A da esfera está sobre o semi-eixo positivo OZ, isto é, A = 0, 0, c), c > 0. Neste sistema de coordenadas, a equação da esfera é: S : x + y + z c) = R. 5) Como da, π) = c > R, pois π S =, temos que: zc = x + y + z + c R > 0, Logo z > 0 para qualquer ponto x, y, z) S. Sejam Q = x, y, z) um ponto de S e P = x, y, 0) um ponto de π. Então dp, Q) dq, π), pois dq, π) = min{dq, P ) P π}. Observe que, neste sistema de coordenadas, dq, π) = z, já que z > 0 e π : z = 0. Então, dp, Q) z, 6) para todo P π e todo Q = x, y, z) S. Além disso, se x, y, z) S temos, por 5), que: z c) R, ou seja, c R z c + R. 7) Logo, por 6) e 7), dp, Q) c R para todo P π e todo Q S. Como Q 0 = 0, 0, c R) S, dq 0, π) = c R e existe P 0 π tal que dq 0, π) = dp 0, Q 0 ), concluímos que IM-UFF K. Frensel - J. Delgado

22 103 Geometria Analítica II - Aula 5 para todo P π e todo Q S. Portanto, dp, Q) dp 0, Q 0 ), dπ, S) = dp 0, Q 0 ) = c R = da, π) R. O ponto P 0 π tal que dp 0, Q 0 ) = dq 0, π) é o ponto onde a reta r normal a π que passa por Q 0 corta o plano π. Como o ponto A pertence ao eixo OZ e a reta r, nesse sistema de coordenadas, é o eixo OZ, vemos que r é a reta perpendicular a π que passa pelo centro A da esfera e P 0, Q 0 são os pontos de interseção de S e π, respectivamente, com a semireta de origem A que intersecta π perpendicularmente. Fig. 17: dπ, S) = dp 0, Q 0 ) Observação 1 Podemos provar também que: dπ, S) = dp 0, Q 0 ) = dq 0, π) = min{dq, π) Q S}. De fato, para todo Q S existe P π tal que dq, π) = dq, P). Como dp, Q) dp 0, Q 0 ), temos que dq, π) dq 0, π), para todo Q S. Logo, dq 0, π) = min{dq, π) Q S}. Exemplo 9 Ache sobre a esfera S : x 1) + y + ) + z 3) = 1, o ponto Q 0 mais próximo do plano π : 3x 4z + 19 = 0, e calcule a distância deste ponto ao plano. Determine também o ponto P 0 π tal que dπ, S) = dp 0, Q 0 ). Solução. Pela equação acima, S tem raio R = 1 e centro no ponto A = 1,, 3). Logo, da, π) = = 10 5 =. Já que da, π) > R, temos, pela proposição 5, que: dπ, S) = da, π) R = 1. K. Frensel - J. Delgado IM-UFF

23 Geometria Analítica II - Aula Além disto, sabemos que o ponto Q 0 S e o ponto P 0 π tais que dπ, S) = dp 0, Q 0 ) são os pontos de interseção de S e π, respectivamente, com a semi-reta r normal a π de origem no ponto A que corta o plano π. Como o vetor v = 3, 0, 4) é perpendicular a π, a semi-reta r é o conjunto de todos os pontos da forma A + tv, com t 0, pois o ponto P 0 = A 5 v = 1 ) 3,, pertence ao plano π faça 5 5 as contas!). Assim, se o ponto Q 0 tem coordenadas x, y e z, existe t 0 0 tal que x = 1 + 3t 0, y =, z = 3 4t 0 e 1 + 3t 0 1) + + ) + 3 4t 0 3) = 1. Resolvendo esta equação, obtemos que t 0 = 1 ) 5 e Q 19 0 =,,. 5 5 Logo P 0 e Q 0 são os pontos de π e S, respectivamente, que realizam a distância entre π e S, isto é, dπ, S) = dp 0, Q 0 ). Além disso, pela observação acima, 9 min{dq, π) Q S} = dq 0, π) = dp 0, Q 0 ) = = 1. Proposição 6 Sejam S 1 uma esfera de centro no ponto A 1 e raio R 1 > 0, e S uma esfera de centro no ponto A e raio R > 0. Se L = da 1, A ), então: a) ds 1, S ) = 0 se L R 1 + R, R R 1 + L e R 1 R + L. Neste caso, S 1 S. b) ds 1, S ) = L R 1 + R ) se L > R 1 + R. Neste caso, os pontos P 1 S 1 e P S que realizam a distância são os pontos de interseção do segmento A 1 A com as esferas S 1 e S, respectivamente. c) ds 1, S ) = R R 1 + L) se R > R 1 + L. Neste caso, os pontos P 1 S 1, P S tais que ds 1, S ) = dp 1, P ) são os pontos onde a semi-reta {A 1 + ta 1 A t 0} de origem A 1 paralela ao vetor A 1 A que não contém A corta as esferas S 1 e S, respectivamente. d) ds 1, S ) = R 1 R + L) se R 1 > R + L. Neste caso, os pontos P 1 S 1, P S que realizam a distância são os pontos onde a semi-reta {A + ta A 1 t 0} de origem A paralela ao vetor A A 1 que não contém A 1 corta as esferas S 1 e S, respectivamente. Prova. a) Pela proposição 1, temos que S 1 S se, e só se, L R 1 + R, R R 1 + L e R 1 R + L. Logo, neste caso, ds 1, S ) = 0. b), c) e d) Seja OXYZ um sistema de eixos ortogonais com origem no centro A 1 da esfera S 1 IM-UFF K. Frensel - J. Delgado

24 105 Geometria Analítica II - Aula 5 tal que A pertence ao semi-eixo positivo OZ, isto é, A = 0, 0, L), L 0. Neste sistema de coordenadas, as equações das esferas S 1 e S são dadas por: S 1 : x + y + z = R 1 e S : x + y + z L) = R. Sejam P = x, y, z) S 1 e Q = x, y, z ) S. Logo: dp, Q) = x x ) + y y ) + z z ) = R 1 + x + y + z ) xx + yy + zz ), pois x + y + z = R 1. Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz lembre-se da definição de produto interno): obtemos que: xx + yy + zz x + y + z x + y + z = R 1 x + y + z, dp, Q) R 1 + x + y + z ) R 1 x + y + z, ou seja, dp, Q) x + y + z R 1. 8) Como L R z L + R e x + y + z = z L L + R, já que x + y + z L) = R, temos que: x + y + z = z L L + R L R )L L + R = L R. Se L > R 1 + R, dp, Q) x + y + z R 1 > L R R 1, pois x + y + z L R > R 1. Além disso, os pontos P 1 = 0, 0, R 1 ) S 1 e P = 0, 0, L R ) S são tais que dp 1, P ) = L R R 1. Logo ds 1, S ) = L R 1 R = dp 1, P ), onde P 1 e P são os pontos de interseção de S 1 e S com o segmento A 1 A, respectivamente. Se R > L + R 1, dp, Q) x + y + z R 1 R L R 1, Fig. 18: Caso L > R 1 + R pois x + y + z R L > R 1. Além disto, como os pontos P 1 = 0, 0, R 1 ) S 1 e P = 0, 0, L R ) S são tais que dp 1, P ) = R L R 1, temos que ds 1, S ) = R L R 1 = dp 1, P ), onde P 1 e P são os pontos de interseção da semi-reta de origem A 1 paralela ao vetor A 1 A, que não contém A, com as esferas S 1 e S, respectivamente. K. Frensel - J. Delgado IM-UFF

25 Geometria Analítica II - Aula Se R 1 > L + R, então, por 8), Fig. 19: Caso R > L + R 1 dp, Q) R 1 x + y + z R 1 L R, já que z L + R, e portanto, x + y + z = z L L + R L + R )L L + R = L + R < R 1. Como os pontos P 1 = 0, 0, R 1 ) S 1 e P = 0, 0, L + R ) S são tais que dp 1, P ) = R 1 L R, temos que ds 1, S ) = R 1 L R = dp 1, P ), onde P 1, P são os pontos onde a semi-reta de origem A paralela ao vetor A A 1, que não contém A 1, corta as esferas S 1 e S, respectivamente. Fig. 0: Caso R 1 > L + R Exemplo 10 Determine a distância entre as esferas S 1 e S abaixo e os pontos de S 1 e S que realizam esta distância, onde S 1 : x ) + y 1) + z 1) = 1, e S : x 1) + y + z 1) = 9. IM-UFF K. Frensel - J. Delgado

26 107 Geometria Analítica II - Aula 5 Solução. Pelas equações acima, S 1 é uma esfera de raio R 1 = 1 centrada no ponto A 1 =, 1, 1), e S é a esfera de raio R = 3 centrada no ponto A = 1, 0, 1). Como da 1, A ) = L = =, temos que R > R 1 + L. Logo S 1 está contida no interior de S e, pela proposição acima, ds 1, S ) = 3 1 =. Seja r a semi-reta de origem A 1 paralela ao vetor A 1 A que não contém A. Então P r se, e só se, P = A 1 + ta 1 A, t 0, ou seja, P = t, 1 t, 1), t 0. Pela proposição anterior sabemos que ds 1, S ) = dp 1, P ), onde S 1 r = {P 1 } e S r = {P }. Mas P 1 S 1 r se, e só se, existe t 1 0 tal que P 1 = t 1, 1 t 1, 1) e t 1 ) + 1 t 1 1) + 1 1) = 1. Resolvendo a equação, obtemos t 1 = 1 e, portanto, P 1 = Seja {P } = S r. Então existe t 0 tal que P = t, 1 t, 1) e t 1) + 1 t ) + 1 1) = 9. Logo t 1) = 9 e t 0, isto é, t = 1 3. Assim, P = + 1, 1 + 1, , ) 3, 1. ). K. Frensel - J. Delgado IM-UFF

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