Geometria Analítica. Cleide Martins. Turmas E1 e E3. DMat - UFPE Cleide Martins (DMat - UFPE ) Retas e Planos Turmas E1 e E3 1 / 18

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1 Geometria Analítica Cleide Martins DMat - UFPE Turmas E1 e E3 Cleide Martins (DMat - UFPE ) Retas e Planos Turmas E1 e E3 1 / 18

2 Agora que já denimos um sistema de coordenadas, adotaremos um sistema de coordenadas ortogonal para equacionar lugares geométricos, começando com retas e planos. Cleide Martins (DMat - UFPE ) Retas e Planos Turmas E1 e E3 2 / 18

3 Retas Já vimos que um vetor LI gera uma reta no seguinte sentido Denição Dado um vetor não nulo v e um ponto A, a reta paralela a v que contem A é o lugar geométrico dos pontos X tais que O vetor v é um vetor diretor dessa reta. AX= λ v Portanto, ou X = A + λ v X A = λ v essa é a equação vetorial da reta Cleide Martins (DMat - UFPE ) Retas e Planos Turmas E1 e E3 3 / 18

4 Coordenadas de um ponto na reta gerada por v Conhecendo as coordenadas A = (x 0, y 0, z 0 ) v = (a, b, c) se X = (x, y, z) pertence à reta l paralela a v que contem A (x, y, z) = (x 0, y 0, z 0 ) + λ(a, b, c) ou x = x 0 + aλ l : y = y 0 + bλ z = z 0 + cλ essas são as equações paramétricas da reta l Cleide Martins (DMat - UFPE ) Retas e Planos Turmas E1 e E3 4 / 18

5 Equações simétricas da reta Se no vetor diretor da reta, cada coordenada é diferente de zero, a eliminação do parâmetro λ nas equações paramétricas fornece as equações simétricas da reta. Assumindo que a 0, b 0 e c 0 x = x 0 + aλ y = y 0 + bλ z = z 0 + cλ x x 0 a = y y 0 b = z z 0 c Cleide Martins (DMat - UFPE ) Retas e Planos Turmas E1 e E3 5 / 18

6 Exemplo: reta denida por dois pontos Dados os pontos A = (2, 1, 2) e B = ( 2, 3, 1), um vetor diretor para a reta denida por A e B é o vetor AB= B A = ( 4, 2, 3) e qualquer um de seus pontos pode ser usado na equação vetorial X = (2, 1, 2) + λ( 4, 2, 3) Ou nas equações paramétricas x = 2 4λ y = 1 + 2λ z = 2 + 3λ Qual a interpretação para o que se obtem quando elimina-se o parâmetro λ? Pense um pouco Cleide Martins (DMat - UFPE ) Retas e Planos Turmas E1 e E3 6 / 18

7 Planos Já vimos que dois vetores LI geram um plano no seguinte sentido Denição Dados os vetores LI u e v e um ponto A, o plano paralelo a u e a v que contem A é o lugar geométrico dos pontos X tais que AX= t u +λ v Os vetores u e v são vetores diretores desse plano. Portanto, X A = t u +λ v ou X = A + t u +λ v essa é a equação vetorial do plano Cleide Martins (DMat - UFPE ) Retas e Planos Turmas E1 e E3 7 / 18

8 Coordenadas de um ponto no plano gerado por u e v Conhecendo as coordenadas A = (x 0, y 0, z 0 ) u= (a1, b 1, c 1 ) e v = (a 2, b 2, c 2 ) se X = (x, y, z) pertence ao plano π paralelo a u e a v que contem A (x, y, z) = (x 0, y 0, z 0 ) + t(a 1, b 1, c 1 ) + λ(a 2, b 2, c 2 ) ou x = x 0 + a 1 t + a 2 λ π : y = y 0 + b 1 t + b 2 λ z = z 0 + c 1 t + c 2 λ essas são as equações paramétricas do plano π Cleide Martins (DMat - UFPE ) Retas e Planos Turmas E1 e E3 8 / 18

9 Outra maneira de denir um plano Dados os vetores LI u e v, existe uma única direção que é perpendicular simultaneamente a u e a v. O vetor u v é perpendicular a u e a v mas é também perpendicular a qualquer combinação linear de u e v. Portanto u v é perpendicular ao plano gerado por u e v. Então, Denição Dado um vetor não nulo n e um ponto A, o plano perpendicular a n que contem A é o lugar geométrico dos pontos X tais que O vetor n é um vetor normal a esse plano. AX. n= 0 Cleide Martins (DMat - UFPE ) Retas e Planos Turmas E1 e E3 9 / 18

10 Coordenadas de um ponto no plano perpendicular a n Conhecendo as coordenadas A = (x 0, y 0, z 0 ) n= (a, b, c) se ou X = (x, y, z) pertence ao plano π perpendicular a n que contem A (x x 0, y y 0, z z 0 ).(a, b, c) = 0 a(x x 0 ) + b(y y 0 ) + c(z z 0 ) = 0 ou ainda ax + by + cz = d onde d = ax 0 + by 0 + cz 0 Essa é a equação geral (ou cartesiana) do plano perpendicular a n= (a, b, c) Cleide Martins (DMat - UFPE ) Retas e Planos Turmas E1 e E3 10 / 18

11 Exemplo: plano denido por três pontos Dados os pontos A = (1, 1, 2), B = ( 2, 4, 1) e C = (3, 0, 2), o plano denido por A, B e C é paralelo aos vetores AB= ( 3, 3, 3), AC= (2, 1, 4) e BC= (5, 4, 1). Para escrever a equação vetorial desse plano, precisamos de um ponto e de dois vetores diretores LI. Podemos escolher qualquer um dos pontos, por exemplo C = (3, 0, 2) e quaisquer dois dos vetores, por exemplo u= (1, 1, 1) paralelo a AB e v = AC= (2, 1, 4). Então as coordenadas de um ponto qualquer do plano denidido por A, B e C são dadas por x = 3 + t + 2λ X = (3, 0, 2) + t(1, 1, 1) + λ(2, 1, 4) ou y = t λ z = 2 t + 4λ Veja outras Cleide Martins (DMat - UFPE ) Retas e Planos Turmas E1 e E3 11 / 18

12 Mesmo exemplo: usando o vetor normal Dados os pontos A = (1, 1, 2), B = ( 2, 4, 1) e C = (3, 0, 2), o plano denido por A, B e C é paralelo aos vetores AB= ( 3, 3, 3), AC= (2, 1, 4) e BC= (5, 4, 1). Para variar, vamos escolher os vetores AC= (2, 1, 4) e BC= (5, 4, 1) e escolher um vetor n paralelo ao produto vetorial AC BC AC BC= i j k = (15, 18, 3) Escolhendo n= (5, 6, 1) e o ponto A = (1, 1, 2), o plano que contém A e é perpendicular a n tem equação geral 5(x 1) + 6(y 1) (z + 2) = 0 ou 5x + 6y z = 13 Cleide Martins (DMat - UFPE ) Retas e Planos Turmas E1 e E3 12 / 18

13 Comparando as equações O plano denido pelos pontos A = (1, 1, 2), B = ( 2, 4, 1) e C = (3, 0, 2) tem equações paramétricas x = 3 + t + 2λ y = t λ z = 2 t + 4λ verique os valores dos parâmetros para obter cada ponto. E equação geral (reduzida) 5x + 6y z = 13 Cleide Martins (DMat - UFPE ) Retas e Planos Turmas E1 e E3 13 / 18

14 Eliminando os parâmetros das equações paramétricas x = 3 + t + 2λ y = t λ z = 2 t + 4λ Levando os valores de λ e t na segunda equação y = 2x z 4 3 x + y = 3 + λ λ = x + y 3 2x + z = 4 3t t = 2x z 4 3 (x + y 3) 3y + 2x z + 3x + 3y = x + 6y z = 13 Esta é exatamente a equação reduzida do plano. Cleide Martins (DMat - UFPE ) Retas e Planos Turmas E1 e E3 14 / 18

15 Como obter equações paramétricas a partir da equaçao geral do plano? Na equação geral do plano ax + by + cz = d (1) o vetor n= (a, b, c) é um vetor normal e, para escrever equações paramétricas, precisamos de um ponto e dois vetores diretores LI. Se u= (u 1, u 2, u 3 ) e v = (v 1, v 2, v 3 ) são vetores diretores desse plano então u. n= 0 e v. n= 0. Um ponto é qualquer solução da equação (1). Portanto, precisamos de uma solução qualquer da equação ax + by + cz = d e duas soluções LI da equação ax + by + cz = 0 Cleide Martins (DMat - UFPE ) Retas e Planos Turmas E1 e E3 15 / 18

16 O plano do exemplo A partir da equação geral do plano precisamos de um ponto (solução da equação) 5x + 6y z = 13 Cleide Martins (DMat - UFPE ) Retas e Planos Turmas E1 e E3 16 / 18

17 O plano do exemplo A partir da equação geral do plano 5x + 6y z = 13 precisamos de um ponto (solução da equação) P = (1, 1, 2) Cleide Martins (DMat - UFPE ) Retas e Planos Turmas E1 e E3 16 / 18

18 O plano do exemplo A partir da equação geral do plano 5x + 6y z = 13 precisamos de um ponto (solução da equação) P = (1, 1, 2) e dois vetores diretores LI que são soluções da equação 5x + 6y z = 0 Cleide Martins (DMat - UFPE ) Retas e Planos Turmas E1 e E3 16 / 18

19 O plano do exemplo A partir da equação geral do plano 5x + 6y z = 13 precisamos de um ponto (solução da equação) P = (1, 1, 2) e dois vetores diretores LI que são soluções da equação 5x + 6y z = 0 Por exemplo u= (1, 1, 1) e v = (1, 0, 5) são vetores diretores do plano dado e são LI. Com essas escolhas, temos as equações paramétricas x = 1 + t + λ y = 1 t z = 2 t + 5λ Compare Cleide Martins (DMat - UFPE ) Retas e Planos Turmas E1 e E3 16 / 18

20 O plano do exemplo: outra maneira A partir da equação geral do plano 5x + 6y z = 13 podemos escrever, por exemplo, z = x + 6y e considerar x e y como parâmetros x = t y = λ z = t + 6λ É o mesmo que escolher o ponto Q = (0, 0, 13) e os vetores diretores u= (1, 0, 5) e v = (0, 1, 6) Cleide Martins (DMat - UFPE ) Retas e Planos Turmas E1 e E3 17 / 18

21 Eliminando o parâmetro da reta Voltemos às equações paramétricas da reta x = 2 4λ y = 1 + 2λ z = 2 + 3λ Podemos eliminar o parâmetro λ e obter { x + 2y = 4 3y 2z = 7 O que isto representa? Cleide Martins (DMat - UFPE ) Retas e Planos Turmas E1 e E3 18 / 18