Lista 4 com respostas

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1 Lista 4 com respostas Professora Nataliia Goloshchapova MAT0 - semestre de 05 Exercício. Estude a posição relativa das retas r e s. (a) r : X = (,, ) + λ(,, ), s : (b) r : x y z = x y = 5 x + y z = 0, s : x + y z = 0 y + z = x + y z = 6 (c) r : x+ = y = z+, s : X = (0, 0, 0) + λ(,, 0) (d) r : x+ = y x y + 7 = 0 4 = z, s : x + y 6z = (e) r : X = (8,, 9) + λ(,, ), s : X = (, 4, 4) + λ(,, ) Solução. Dica: comece com posição dos vetores diretores. (a) Paralelas distintas (b) Concorrentes em P = (,, 0) (c) Reversas (d) Coincidentes (r = s) (e) Concorrentes em P = (, 6, 6) Exercício. Dadas as retas r : X = (0,, 0) + λ(, 0, 0) e s : X = (,, 7) + λ(,, ), obtenha uma equação vetorial da reta t, concorrente com r e s, e paralela a u = (, 5, ). Solução. Sejam P e Q os ponos de interseção da reta t com as retas r e s. Note que P Q u.

2 Exercício. Estude a posição relativa de r e π e, quando forem transversais, obtenha o ponto de interseção P. (a) r : X = (,, 0) + λ(0,, ), π : x y z = (b) r : x = y = z, π : X = (, 0, ) + λ(, 0, ) + µ(,, 0) x y + z = 0 (c) r :, π : X = (0, /, 0) + λ(, /, 0) + µ(0,, ) x + y z = 0 x y = (d) r : x y = 0, π : x + y = (e) r : X = (0, 0, 0) + λ(, 4, ), π : X = (,, ) + λ(0,, ) + µ(,, 0) (f) r : x+ = y = z+, π : x 6y z = 0 Solução. Dica: comece com posição do vetor diretor e vetor normal. (a) São transversais, P = (, 0, ) (b) São paralelos (c) r está condita em π (d) São paralelos (e) São transversais, P = ( /9, 4/9, /9) (f) São paralelos. Exercício 4. Verifique se a reta (x 7) = (y + ) = z 4 intersecciona os planos π : 6x + 4y 5z = 4 e π : x 5y + z = no mesmo ponto. Verifique se essa reta é coplanar com a reta determinada pela interseção desses planos. Solução 4. Ache os pontos da interseção da reta com os planos usando equações parametricas da reta. Para segunda parte verifique se as retas são coplanares usando criterio da coplanaridade.

3 Exercício 5. Estude a posição relativa dos planos π e π. (a) π : X = (,, ) + λ(0,, ) + µ(,, ), π : X = (, 0, 0) + λ(,, 0) + µ(,, ) (b) π : X = (4,, 4) + λ(,, ) + µ(,, ), π : X = (, 0, 0) + λ(,, 0) + µ(0,, 4) (c) π : x y + z = 0, π : 4x y + 4z = 0 (d) π : x y + z = 0, π : X = (0, 0, ) + λ(, 0, ) + µ(,, ) Solução 5. Dica: ache equação geral de cado plano e use as regras que comparam os coeficientes das equações gerais do plano. (a) São iguais. (b) São transversais. (c) São paralelos distintos. (d) São transversais. Exercício 6. Considere os planos α : x y + z = 0 e β : m x (m + )y + z = 0. (a) Determine m, em cada caso, para que os planos α e β sejam: paralelos, concorrentes e concorrentes ortogonais. (b) Para m = encontre a equação da reta de intersecção entre α e β. Solução 6. (a) Aqui basta utilizar aquelas regras que comparam os coeficientes das equações gerais do plano. Exercício 7. Obtenha equações da reta r que contém o ponto P = (,, ) e é concorrente com s : x = y = z, sabendo que o cosseno da medida angular entre r e s é igual a /. Solução 7. Seja Q o ponto de interseção das retas r e s. O vetor P Q é o vetor diretor da r. Use a formula para cosseno da medida angular entre r e s e o fato que Q r (para parametrizar Q).

4 Exercício 8. Determine o ponto P na reta r : X = (0,, 0) + λ(0,, 0) e o ponto Q na reta s : X = (,, 0) + λ(0, 0, ), tais que a reta P Q forme ângulos de 45 com r e de 60 com s. Solução 8. Note que P Q é o vetor diretor da reta P Q. Parametrize P e Q usando o fato que P r e Q s, depois use a formula para cosseno da medida angular entre duas retas. Exercício 9. Obtenha uma equação geral do planos que contém r e forma ângulo de θ radianos com π. (a) r : x = z + = y +, π : x + y z + = 0, θ = π/ (b) r : X = (8, 0, 0) + λ( 8, 0, 8), π : x + z + = 0, cos θ = / Solução 9. Note que o vetor diretor da reta r é perpendicular ao vetor normal do plano π. Usando este fato aplique a formula para cosseno do ângulo entre π e r. Exercício 0. Ache a distância entre duas retas paralelas: x + y = 6 e 6x + 4y = 9. (Porque essas retas são paralelas?) Solução 0. Use o fato que a distância entre duas retas paralelas é a distância entre um ponto (qualquer) de uma reta e outra reta. Aplique a formula para a distância entre um ponto e a reta no plano. Exercício. Obtenha os pontos da reta r que equidistam das retas s e t. (a) r : x = y = z, s : x = y = 0, t : x = z = 0 (b) r : x = y = z, s : X = (, 0, 0) + λ(,, 0), t : X = (0, 0, ) + λ(, 0, ) Solução. Seja P um ponto na reta r que equidista das retas s e t. Parametrize o ponto P e use a formula da distância entre um ponto e uma reta no espaço. Exercício. Ache as equações dos planos paralelos ao plano x y +6z +8 = 0 e que distam desse plano. 4

5 Solução. Lembre que o vetor N que é ortogonal ao plano dado é (,, 6). Então o que você procura é um plano que possui o mesmo vetor ortogonal mas que dista. A equação do segundo plano será: π : x y + 6z + d = 0 com d a determinar. A distância entre os planos é dada tomando um ponto do primeiro plano, por exemplo, P = (0,, ) e agora usando a fórmula da distância de um ponto a um plano obteremos que = dist(p, π ) = ()(0)+( )()+(6)( )+d e basta + +6 resolver esta equação. Exercício. Determine a reta r que contém o ponto A, é paralela ao plano π, e que dista d da reta s. (a) A = (,, ), π : x + z =, s : x z = y + = z x + 4, d =. (b) A = (,, 0), π : x + y + z =, s : X = (0,, ) + λ(,, 0), d =. Solução. Use o fato que o vetor diretor da reta r é perpendicular ao vetor normal do plano π. Aplique a formula para a distância entre duas retas no espaso para obter o vetor diretor da r. Exercício 4. Calcule m em cada caso, usando a informação dada sobre as retas: x my + = 0 r :, s : x = y x + y z = 0 y z = 0 m = z e t : y + z + = 0 (a) r e s são paralelas (b) r, s e t são paralelas a um mesmo plano (c) r e t são concorrentes (d) s e t são coplanares (e) r e s são reversas Solução 4. Dica: calcule o vetor diretor para cada reta. (a) m = (b) m = ou m = 0 (os vietores diretores das reas são coplanares neste caso) (c) m qualquer (d) m = 0 (use o criterio da coplanaridade) (e) m é qualquer número real diferente de 0 e (use o criterio da reversidade). 5

6 Exercício 5. Estude, segundo os valores de m e n, a posição relativa das retas r e s. Obtenha, quando for o caso, uma equação geral do plano determinado por elas. x = z r : X = (, m, 0) + λ(,, ) e s : y = nz Solução 5. Dica: ache os vetores diretores para cada reta. Se n = as retas são paralelas distintas para todo m. Se n as retas são reversas para todo m. Exercício 6. Sejam r : X = (n,, 0) + λ(, m, n) e π : nx y + z =. Usando, em cada caso, a informação dada, obtenha condições sobre m e n: (a) r e π são paralelos (b) r e π são transversais (c) r está contida em π Solução 6. Dica: estude a posição relativa do vetor diretor da r e vetor normal do plano π. (a) m = n ± 7 (b) m n (c) m = n = ± 7 Exercício 7. Mostre que os planos bx ay = n, cy bz = e az cx = m se interceptam numa reta se e somente se al + bm + cn = 0. Solução 7. Pegue a reta r de encontro de dois planos e ache o criterio para r pertencer o terceiro plano (lembre que a reta pertence ao plano se e somente se dois pontos dessa reta pertencem ao plano). Exercício 8. Para que valores de m existe uma única reta paralela ao vetor u = (,, 0) que seja concorrente com r : X = (,, ) + λ(, m, ) e s : X = (,, ) + λ(,, m)? Solução 8. Use dica de Ex. 6

7 Exercício 9. Seja α um dos ângulos formados pelas retas ax + by = c e y = px + q. Dê uma expressão para cos α. Solução 9. Obtenha os vetores diretores dessas retas (b, a) e (, p). Assim, cos α = (b, a)(, p) b + a + p Exercício 0. Obtenha uma equação vetorial da reta r, concorrente com s : x y + z + 6 = 0 = x z e contida em π : x y z + 7 = 0, sabendo que a medida angular entre r e π : x + y = é arccos(/). Solução 0. Para obter o vetor diretor da reta r use o fato que a reta esta contida em π e o fato sobre medida angular. Para obter o ponto inicial da reta r ache o ponto de encontro dos planos x y + z + 6 = 0, x z = 0 e π : x y z + 7 = 0. Exercício. São dados o ponto P = (0,, 0), o plano π : x + y + z 4 = 0 e a reta s : X = (,, ) + λ(,, ). Obtenha equações da reta que contém P e é concorrente com s, de tal modo que a medida angular entre ela e π seja arccos( 5/6). Solução. Seja Q o ponto de encontro da reta desejada com a reta s. Parametrize o vetor P Q e use a formula da medida angular entre ela e π. Exercício. Se a distância da origem a um plano é d, e esse plano intercepta os eixos em (a, 0, 0), (0, b, 0) e (0, 0, c) prove que Solução. d = d(p, π) = P roj n AP = d = (cb) +(ac) +(ab) (abc) d = a + b + c. AP n n = (0,0,c)(cb,ac,ab) (cb) +(ac) +(ab) d = (abc) (cb) +(ac) +(ab) 7