Posições relativas entre retas

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1 Posições relativas entre retas Sejam duas retas r e s. Consideremos um sistema de coordenadas (O, e 1, e 2, e 3 ), r = (a, b, c) um vetor diretor da reta r s = (m, n, p) um vetor diretor da reta s A = (x 1, y 1, z 1 ) um ponto da reta r B = (x 2, y 2, z 2 ) um ponto da reta s.

2 Temos r e s são reversas se, e somente se, ( r, s, AB) é LI, isto é, a b c m n p x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1 0 r e s são paralelas se, e somente se, ( r, s) é LD, isto é, se, e somente se, existe λ R tal que r = λ s.

3 r e s são concorrentes se, e somente se, são coplanares e não são paralelas, isto é, se, e somente se, a b c m n p = 0 e ( r, s) é LI. x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1

4 Posições relativas entre Reta e Plano Sejam π um plano e r um reta. Temos: r π r π contém infinitos pontos. r//π r π. r é transversal a π r π contém um único ponto.

5 Considerando um sistema de coordenadas (O, e 1, e 2, e 3 ), sejam r : X = (x 0, y 0, z 0 ) + λ(m, n, p) π : ax + by + cz + d = 0. Vamos discutir o sistema nas variáveis x, y, z e λ: x = x 0 + mλ y = y 0 + nλ, z = z 0 + pλ ax + by + cz + d = 0 ou 1x + 0y + 0z mλ x 0 = 0 0x + 1y + 0z nλ y 0 = 0 0x + 0y + 1z pλ z 0 = 0 ax + by + cz + 0λ + d = 0

6 Tal sistema possui solução única se, e somente se, m n p 0. a b c 0 Calculando tal determinante, temos: ma + nb + pc 0. Assim, r é transversal a π ma + nb + pc 0. ma + nb + pc = 0 r π ou r//π.

7 Observações: 1 Se r é transversal a π, para encontrar o ponto comum a eles basta resolver o sistema de suas equações. 2 Se am + bn + cp = 0, podemos ter r π ou r//π. Escolhemos então um ponto de r e verificamos se pertence a π. Se tal ponto pertencer a π, temos que r π. Se não, temos r//π.

8 1 Se o sistema (O, e 1, e 2, e 3 ) for ortogonal, segue que o vetor n = (a, b, c) é normal ao plano π. Assim, am + bn + cp é o número v n. Geometricamente, r é tranversal a π v não é perpendicular a n; r π ou r//π v n. 2 Sejam u = (d, e, f ) e w = (g, h, i) dois vetores LI paralelos a π e seja v = (m, n, p) um vetor diretor da reta r. Assim r é transversal a π se, e somente se, ( u, v, w) é LI, isto é, d e f m n p g h i 0

9 Posições relativas entre Reta e Plano Fixado um sistema de coordenadas (O, e 1, e 2, e 3 ), sejam π 1 : a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 e π 2 : a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0. 1 Se a 1, b 1, c 1 e d 1 forem proporcionais a a 2, b 2, c 2 e d 2, teremos π 1 = π 2. 2 Se a 1, b 1, c 1 forem proporcionais a a 2, b 2, c 2, mas d 1 e d 2 não seguirem tal proporção, então teremos π 1 e π 2 paralelos distintos. 3 Se a 1, b 1, c 1 não forem proporcionais a a 2, b 2, c 2, então π 1 será transversal a π 2.

10 Consideremos agora (O, e 1, e 2, e 3 ) ortogonal. Os vetores n 1 = (a 1, b 1, c 1 ) e n 2 = (a 2, b 2, c 2 ) são normais aos planos π 1 e π 2, respectivamente. 1 Se ( n 1, n 2 ) for LI, então os planos π 1 e π 2 são transversais. 2 Se ( n 1, n 2 ) for LD, então π 1 //π 2. Para verificar se tais planos são distintos ou coincidentes basta tomar um ponto de um dos planos e verificar se pertece ao outro.

11 Reta e Reta Reta e Reta Reta e Plano Plano e Plano Consideremos um sistema de coordenadas ortogonal. Sejam r e s duas retas e tomemos vetores paralelos a cada uma delas. Se os vetores forem ortogonais, então as retas são ortogonais. Observação: Retas otogonais podem ser concorrentes ou reversas.

12 Reta e Plano Reta e Reta Reta e Plano Plano e Plano Sejam r uma reta e π um plano. Tomemos w 0 paralelo a r e u e v vetores LI, paralelos a π. Temos r π u v é paralelo a w. Observação: Se o plano for dado pela equação geral π : ax + by + cz + d = 0, basta verificarmos se (a, b, c) é paralelo a w.

13 Plano e Plano Reta e Reta Reta e Plano Plano e Plano Se n 1 é normal ao plano π 1 e o vetor n 2 é normal ao plano π 2, então π 1 π 2 n 1 n 2 = 0.

14 Ângulo entre Retas Consideremos um sistema de coordenadas ortogonal. Sejam r e s duas retas não ortogonais e u e v não nulos, paralelos a r e s, respectivamente. Seja θ a medida do ângulo agudo entre u e v. Temos: cos θ = u v u v, 0 θ < π 2

15 Ângulo entre Reta e Plano. Consideremos uma reta r e um plano π. Seja θ o ângulo entre r e π. Para encontrar o valor de θ basta encontrarmos o valor do ângulo α entre r e uma reta normal a π, pois α + θ = π 2. Consideremos então u vetor diretor de r e n vetor normal a π. Temos: n u cos α = n u. Assim, sin θ = n u n u, 0 θ π 2.

16 Ângulo entre Planos Sejam π 1 e π 2 planos e θ o ângulo entre eles. Assim, θ é o ângulo entre retas r 1 e r 2 perpendiculares aos planos π 1 e π 2, respectivamente.