Prof. Fernando Carneiro Rio de Janeiro, Outubro de 2015

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1 Ga - retas e planos na solução de problemas 1 GA - Retas e planos na solução de problemas Prof. Fernando Carneiro Rio de Janeiro, Outubro de Reta concorrente a duas retas dadas Este tipo de problema se inspira nos problemas do livro de Boulos e Camargo, capítulo Miscelânea. Sejam duas retas r 1 e r 2 que não são paralelas. Devemos determinar r 3 concorrente a r 1 e a r 2. Para determinar uma reta precisamos conhecer um vetor diretor e um ponto da reta. Existem infinitas retas concorrentes a r 1 e a r 2, portanto, devemos determinar pelo menos mais uma das informações que definem uma reta: ou determinamos um ponto por onde ela passa, ou seu vetor diretor. Exemplo 1.1. Sejam as retas r 1 : y = x + 1, y = x + 1, z = 0 e r 2 : z = 1. Essas retas são reversas, pois obviamente não possuem interseção - os pontos de uma têm terceira coordenada zero e os da outra têm terceira coordenada um - e os respectivos vetores diretores são v 1 = (1, 1, 0) e v 2 = (1, 1, 0) - não são paralelos, portanto, as retas não são paralelas. Se queremos a reta r 3 concorrente a r 1 e r 2 que passa por A(0, 1, 2), temos que considerar que r 3 deve ser coplanar a r 1 e coplanar a r 2. Portanto, onde o plano π que contém r 1 e r 3 cruza r 2 teremos a interseção de r 2 e r 3, e assim teremos mais um ponto de r 3 : r1 π, r 3 π Portanto a equação geral de π é r1 π, B(0, 1, 0) + t(1, 1, 0) π, A π A(0, 1, 2) π n = AB v 1 = (0, 0, 1) (1, 1, 0) = ( 1, +1, 0). x + y = = 1. O ponto de interseção entre π e r 2 satisfaz x + y = 1, y = x + 1, π r 2 = (0, 1, 1) (0, 1, 1) r 3. z = 1

2 Ga - retas e planos na solução de problemas É dado um ponto de r 3 Sejam r 1 e r 2 retas não paralelas: r 1 : B + t u 1, r 2 : C + s u 2. Procuramos r 3 concorrente a r 1 e a r 2 que passe pelo ponto A. Pelo método de encontrar o plano que contém r 1 e r 3 temos r1 π, r 3 π r1 π, B + A π t u1 π, A π n = AB u 1 Exemplo 1.2. Sejam r 1 : y = x 1, z = 2x + 1, e r 2 : x = 2z 1, y = z + 1, duas retas. Encontre r 3 concorrente a r 1 e r 2 que passa por A(0, 0, 0). Vamos achar o plano que contém r 1 e r 3 : r1 π, (0, 1, 1) + x(1, 1, 2) π, r 3 π n = (0, 1, 1) (1, 1, 2) = ( 3, 1, 1) A(0, 0, 0) π Logo 3x + y + z = 0. 3x + y + z = 0, r 2 r 3 = r 2 3(2z 1) + (z + 1) + z = 0 x = 2z 1, y = z + 1, r 3 r 1 : 4z + 4 = 0 z = 1, y = 2, x = 1 (1, 2, 1) r 3. r 3 : (0, 0, 0) + t(1, 2, 1). (x, y, z) = (0, 0, 0) + t(1, 2, 1), 2t = t 1, y = x 1, z = 2x + 1, t = 2t + 1, t = 1 r 1 r 3 é ( 1, 2, 1). 1.2 É dado o vetor diretor de r 3 Sejam r 1 e r 2 retas não paralelas: r 1 : B + t u 1, r 2 : C + s u 2. Procuramos r 3 concorrente a r 1 e a r 2 que tem vetor diretor v. Pelo método de encontrar o plano que contém r 1 e r 3 temos r1 π, r 3 π r1 π, B + v π t u1 π, v π n = v u 1

3 Ga - retas e planos na solução de problemas 3 Exemplo 1.3. Sejam r 1 : y = x 1, z = 2x + 1, e r 2 : x = 2z 1, y = z + 1, duas retas. Encontre r 3 concorrente a r 1 e r 2 que tem vetor diretor v = (1, 1, 1). r1 π, r 3 π r 1 π, (0, 1, 1) + x(1, 1, 2) π, (1, 1, 1) π (1, 1, 1) π n = (1, 1, 1) (1, 1, 2) = (1, 1, 0), x y = 0 ( 1) = 1. x y = 1, y = x 1, r 3 r 2 = π r 2 : x = 2z 1, x = 2z 1, z+2 = 2z 1 z = 3, x = 5, y = 4. y = z + 1, x 1 = z + 1, r 3 : (5, 4, 3) + t(1, 1, 1). A interseção entre r 1 e r 3 é y = x 1, z = 2x + 1, r 3 r 1 : (x, y, z) = (5, 4, 3) + t(1, 1, 1), 3+t = 11+2t t = 8 r 3 r 1 é ( 3, 4, 5). 2 Projeções 2.1 Projeção ortogonal de um ponto em uma reta Seja A um ponto do espaço tridimensional e r : P = B + t u uma reta. A projeção do ponto A na reta r é o ponto B r tal que o segmento AB é ortogonal a r - ou a qualquer vetor diretor de r. Portanto, AB u = 0. Isto quer dizer que qualquer ponto do plano ortogonal a r que passa por A é projetado no ponto B. Definimos, portanto A πa, π A : u π A. Pelo que foi dito acima, a projeção de A em r é a interseção entre π A e r: P roj r A = r π A. Exemplo 2.1. Sejam A(1, 3, 2) e r : (0, 1, 1) + t(1, 1, 1). A projeção de A em r é x = t, r : (0, 1, 1) + t(1, 1, 1), y = 1 + t, r π A : π A : x + y + z = d, t+(1+t)+( 1+t) = 6 t = 2. z = 1 + t, A π A : x + y + z = 6 x + y + z = 2, P roj r A = (2, 3, 1).

4 Ga - retas e planos na solução de problemas Projeção ortogonal de um ponto em um plano Seja A um ponto do espaço tridimensional e OP n = OB n um plano. A projeção do ponto A no plano π é o ponto B π tal que o segmento AB é ortogonal a π. Portanto, AB n. Isto quer dizer que qualquer ponto do plano ortogonal a r que passa por B é projetado no ponto B. Definimos, portanto A ra, r A : u π A. Pelo que foi dito acima, a projeção de A em π é a interseção entre π e r A : P roj π A = r A π. Exemplo 2.2. Sejam A(1, 0, 1) e x + y + z = 5. A projeção de A em π é x = 1 + t, ra : A(1, 0, 1) + t(1, 1, 1), r A x + y + z = 5 y = t, (1+t)+t+(1+t) = 5 t = 1. z = 1 + t, x + y + z = 5, P roj π A = (2, 1, 2). 2.3 Projeção ortogonal de uma reta em um plano Sejam r uma reta do espaço cujo vetor diretor é u e π um plano de vetor normal n. Sejam A e B pontos da reta r. A projeção ortogonal da reta r no plano π é a reta que passa por A e B, sendo A = P roj π A; B = P roj π B. Outra maneira de encontrar a reta projeção é verificar que ela é a reta de interseção entre dois planos, π e o plano π r que contém r e tem vetor diretor n: r πr, r π r : n π r. π πr, r : vetor normal é n u. n π r. Exemplo 2.3. Sejam r : (1, 2, 3) + t(1, 1, 1) e x + y + z = 3. A projeção ortogonal de r em π: (1, 2, 3) + t(1, 1, 1) π r, (1, 2, 3) π r, π r (1, 1, 1) π r, (1, 1, 1) (1, 1, 1) = ( 2, 0, 2) π r, x + y + z = 3. x + y + z = 3.

5 Ga - retas e planos na solução de problemas 5 π r : 2x + 2z = d, (1, 2, 3) π r, x + y + z = 3. πr : 2x + 2z = 4, y = 1 2x, x + y + z = 3. P roj πr : z = 2 + x, Observe que ( 2, 5, 0) é ponto de π, é ponto da reta r dado pelo parâmetro t = 3 e é ponto de P roj π r. Lembre-se que se a reta fosse paralela ao plano e estivesse fora do plano ainda assim haveria projeção, mas no caso em que a reta e o plano têm um ponto em comum, este ponto pertence também à reta projeção. 2.4 Projeção de uma reta em um plano a partir de um ponto Sejam r uma reta do espaço cujo vetor diretor é u, π um plano de vetor normal n e A um ponto do espaço. A projeção da reta r no plano π a partir do ponto A é como a sombra da reta no plano se houvesse uma fonte de luz no ponto A; ou seja, se B e C pertencem à reta r, é a reta que passa por B e C, sendo B a interseção da reta r B que passa por A e B com o plano π e C a interseção da reta r C que passa por A e C com o plano π: r B : A rb, B r B, e r C : A rc, C r C. Outra maneira de encontrar a reta projeção é verificar que ela é a reta de interseção entre dois planos, π e o plano π r que contém r e o ponto A: r πr, π r : vetor normal é AB A π r. u. Exemplo 2.4. Sejam A(0, 0, 0), r : (x, y, z) = (1, 1, 1) + t(1, 2, 1), x + y + z = 6. Qual é a projeção de r em π a partir de A? π r : vetor normal é (1, 1, 1) + t(1, 2, 1) πr, A(0, 0, 0) π r. π r : (1, 1, 1) π r, (1, 2, 1) π r, A(0, 0, 0) π r. AB u = (1, 1, 1) (1, 2, 1) = (3, 0, 3) = 3(1, 0, 1) π r : x z = 0 0 = 0. Logo, a interseção entre π e π r são os pontos que satisfazem: x + y + z = 6, y = 6 2x, π π r : x z = 0, π π r : z = x,

6 Ga - retas e planos na solução de problemas 6 3 Exercícios 1) Determine a sombra do eixo Oz sobre o plano xoy quando temos uma fonte de luz no ponto A(1, 1, 1). R: A sombra é a interseção entre o plano xoy e o plano que contém o eixo Oz e o ponto A(1, 1, 1). Este segundo plano tem vetores diretores o vetor diretor do eixo, (0, 0, 1), e OA = (1, 1, 1). O vetor normal, portanto, é n = (1, 1, 0). Logo, o segundo plano é e a reta é x y = 1 1 = 0 r : y = x, z = 0. 2) Determine o ponto que pertence ao plano xoy e é o mais próximo de A(1, 1, 1). Determine também a distância entre A e o plano xoy. R: Vamos chamar de B o ponto mais próximo e que está no plano xoy. Ele pertence à reta ortogonal ao plano xoy e que passa por A. A reta contém os pontos A + t(0, 0, 1) pois (0, 0, 1) é ortogonal ao plano xoy. B é a interseção entre a reta e o plano: B = (1, 1, 1) + t(0, 0, 1), B xoy 1 + t = 0 t = 1 B(1, 1, 0). A distância entre A e o plano é a distância entre A e B: AB = (0, 0, 1) = = 1. 3) Determine o ponto do eixo Oz que é o mais próximo de A(1, 1, 1). Determine a distância entre A e o eixo Oz. R: Vamos chamar de B o ponto mais próximo e que está no eixo Oz. Ele está no plano ortogonal ao eixo Oz e que passa por A, logo esse plano tem vetor normal n = (0, 0, 1): z = d, A π d = 1. Logo, B está na interseção entre π e o eixo Oz: B(0, 0, t) π t = 1 B(0, 0, 1). A distância entre A e o eixo Oz é a distância entre A e B: AB = (1, 1, 0) = = 2. 4) Determine a projeção ortogonal do eixo Oz sobre o plano x + y + z = 0. R: A interseção entre o eixo e o plano é a origem, portanto precisamos achar a projeção de um segundo ponto do eixo sobre o plano π já que a projeção ortogonal da reta é a reta

7 Ga - retas e planos na solução de problemas 7 que passa pelas projeções dos pontos. Seja B(0, 0, 1), que pertence ao eixo; a projeção de B sobre π é a interseção entre r : B + t(1, 1, 1) e x + y + z = t = 0 t = 1. Logo, essa interseção é o ponto C = proj π B = (1, 1, 0). Logo o vetor diretor da projeção é OC = (1, 1, 0), e a equação parámetrica é x = t, proj : y = t, z = 0. 5) Sejam os pontos A(1, 2, 3), B(3, 2, 1), C(2, 3, 3) e D(3, 2, 4). Determine a projeção ortogonal da reta que passa por A e D sobre o plano π que contém A, B e C. R: O plano que cont em A, B e C é o plano: (x 1) (y 2) (z 3) 0 = = 2(x 1) 2(y 2) + 2(z 3) x y + z = Logo, o vetor normal de π é n = (1, 1, 1). A projeção ortogonal de r : A + tad = (1, 2, 3) + t(2, 0, 1) em π é passa por A e pela projeção de D em π: x y + z = 2, proj π D : (3+s) (2 s)+(4+s) = 2 s = 1 (2, 3, 3). (x, y, z) = (3, 2, 4) + s(1, 1, 1) Logo, a projeção passa por A(1, 2, 3) e por (2, 3, 3): proj π r : (1, 2, 3) + t (1, 1, 0). 6) Sejam os pontos A(1, 2, 1) e B( 1, 1, 2) e o plano x + y + z = 0. Determine a projeção do segmento AB sobre o plano π. R: A projeção do segmento é o segmento dado pelas projeções de A e B em π, i.e., se A = proj π A e B = proj π B, então a projeção de AB é o segmento A B. proj π A : (x, y, z) = (1, 2, 1) + t(1, 1, 1), x + y + z = 0, (1 + t) + (2 + t) + (1 + t) = 0 t = 4 3

8 Ga - retas e planos na solução de problemas 8 A = proj π A = ( 1 3, 2 3, 1 3 ). proj π B : (x, y, z) = ( 1, 1, 2) + s(1, 1, 1), x + y + z = 0, ( 1 + s) + (1 + s) + (2 + s) = 0 s = 2 3 B = proj π B = ( 5 3, 1 3, 4 3 ). Logo, a projeção é o segmento que tem extremos A ( 1, 2, 1) e B ( 5, 1, 4) ) Sejam as retas r 1 : eixo Oz e r 2 : (1, 0, 1) + t(1, 1, 1). Determine o plano π que contém r 2 e é paralelo a r 1. Determine a projeção ortogonal de r 1 em π. Determine a distância entre r 1 e r 2. R: Os vetores diretores de r 1 e r 2 são vetores diretores de π, logo o vetor normal de π pode ser calculado fazendo o produto vetorial entre os dois vetores diretores: n = i j k = i j = ( 1, 1, 0) = 1(1, 1, 0) Logo, o plano é A reta r 2 está contida em π: x + y = d. x + y = = 1, pois (1, 0, 1) π. A projeção ortogonal de r 1 em π é a interseção entre o plano π 1 e π, sendo o vetor normal de π 1 o produto vetorial entre o vetor diretor de r 1, u = (0, 0, 1) e o vetor normal de π, n = (1, 1, 0): n 1 = i j k = i j = (1, 1, 0) Logo, a equação de π 1 é π 1 : x y = 0, pois a origem pertence a π 1, já que r 1 está contida em π 1 e a origem pertence a r 1. x y = 0, y = x, x = 1 proj π r 1 : x + y = 1, r 1 : 2x = 1, r 1 : 2, y = 1 2. Ou seja, a projeção de r 1 em π é a reta dos pontos cujas duas primeiras coordenadas são iguais a 1 2.

9 Ga - retas e planos na solução de problemas 9 A interseção entre a projeção de r 1 em π e a reta r 2 é o ponto de r 2 cujas duas primeiras coordenadas são iguais a 1 2, ou seja, t = 1 2 e o ponto é C( 1 2, 1 2, 1 2 ). A distância entre r 1 e r 2 é a distância entre C e r 1, que é a distância entre C e sua projeção em r 1, proj r1 C: proj r1 C : r 1 π C : (0, 0, z) z = 1 2 : C (0, 0, 1 2 ). d(c, C ) = CC = ( 1 2, 1 2, 0) = = ) Sejam as retas r 1 : ( 1, 1, 3) + s(2, 1, 1) e r 2 : (1, 0, 1) + t(1, 1, 1). Determine r 3 concorrente a r 1 e r 2 que passa pelo ponto A(1, 0, 3). R: O plano π que contém r 1 e r 3 é: r1 π, ( 1, 1, 3) + s(2, 1, 1) π, r 3 π A(1, 0, 3) π n = i j k = ( 1, 2, 0) x + 2y = = 1. O outro ponto de r 3, além de A(1, 0, 3), é a interseção entre π e r 2 : x + 2y = 1, π r 2 : (x, y, z) = (1, 0, 1) + t(1, 1, 1), (1+t)+2( t) = 1 t = 0 (1, 0, 1) r 3. Portanto, os pontos de r 3 são dados pela equação r 3 : (1, 0, 3) + t (0, 0, 1). 9) Sejam as retas r 1 : ( 1, 1, 3) + s(2, 1, 1) e r 2 : (1, 0, 1) + t(1, 1, 1). Determine r 3 concorrente a r 1 e r 2 que tem vetor diretor h = (1, 1, 0). R: O plano π que contém r 1 e r 3 é: r1 π, ( 1, 1, 3) + s(2, 1, 1) π, r 3 π (1, 1, 0) π n = i j k = ( 1, 1, 1) x + y z = ( 1) + ( 1) 3 = 3. Um outro ponto de r 3 é a interseção entre π e r 2 : x + y z = 3, π r 2 : (x, y, z) = (1, 0, 1) + t(1, 1, 1), (1+t)+( t) (1+t) = 3 3t = 1 (4 3, 1 3, 4 3 ) r 3.

10 Ga - retas e planos na solução de problemas 10 Portanto, os pontos de r 3 são dados pela equação r 3 : ( 4 3, 1 3, 4 3 ) + t (1, 1, 0).

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