x 1 3x 2 2x 3 = 0 2 x 1 + x 2 x 3 6x 4 = 2 6 x x 2 3x 4 + x 5 = 1 ( f ) x 1 + 2x 2 3x 3 = 6 2x 1 x 2 + 4x 3 = 2 4x 1 + 3x 2 2x 3 = 4

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1 INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO MAT-47 Álgebra Linear para Engenharia I Primeira Lista de Exercícios - Professor: Equipe da Disciplina EXERCÍCIOS. Resolva os seguintes sistemas: x + x x = 9 (a) x x + x = 0 4x x + x = 4 (c) (e) (g) (i) x + x = 4x + x = x + x = { x + x + x = x x + x = x + x x + x 4 = x + x x + x 4 = 4 x + x + x x 4 = x + x + x = x + x + x + x 6 = x 4 + x = (b) (d) ( f ) (h) (j) x x x = 0 x + x + x = 0 x + 4x + 6x = 0 x + x x 6x 4 = 6 x + x x 4 + x = x x 4x = 8 x + x + x 4 x = x x + x 4x 4 + x = 6 x + x x + x 4 + x = x x + x = x + x x = 4 x + x + x = x + x 4x = x + 6x + x = x + x x = 6 x x + 4x = 4x + x x = 4. Encontre condições que as constantes b devem satisfazer para que o sistema abaixo seja compatível: (a) (c) x x + x = b 4x x + 8x = b (b) x + x x = b x + x = x + x + x = b x + x = (d) x x + x + x 4 = b x + x + x + x 4 = b x + x + x x 4 = b 4x x + x + x 4 = b 4 x + x = x + bx + x = x + x =. Encontre uma matriz X tal que: (a) 0 X = ; (b) 4 X = Determine os valores de a e b que tornam o sistema x 7y = a x + y = b x + y = a + b x + y = a + b compatível e determinado. Em seguida, resolva o sistema.

2 . Considere o sistema linear nas variáveis x, y, z. Ache os valores de a e b para que o conjunto solução do sistema ax + bz = ax + ay + 4z = 4 ay + z = b seja: (a) unitário; (b) vazio; (c) infinito. { AX + BY = C 6. Resolva o sistema de equações matriciais, encontrando X e Y, onde BX + CY = A A = , B = 0 e C = Seja A M m,n (R). Considere o sistema não-homogêneo AX = B e o sistema homogêneo associado AX = 0. Prove ou dê contra-exemplo. (a) Se AX = B tem infinitas soluções então AX = 0 tem infinitas soluções. (b) Se AX = 0 tem infinitas soluções então AX = B tem infinitas soluções. (c) Se AX = B não tem solução então AX = 0 só tem a solução trivial. (d) Se AX = 0 só tem a solução trivial então AX = B tem solução única. 8. Sejam A, B M m,n (R). Considere a equação matricial AX = B, onde a incógnita é uma matriz de ordem n. Mostre que se essa equação possuir mais do que uma solução então ela terá infinitas soluções. 9. Mostre que a matriz 0 0 a 0 b c é invertível e que a sua inversa é 0. Mostre que as seguintes matrizes são invertíveis e calcule as suas inversas: [ ] A =, B = e C = a 0 ac b c. Determine se as seguintes matrizes são invertíveis e, caso sejam, calcule suas inversas: [ ] 6 4 E =, F = 4 4 0, G = 4, H = e J = (a) Sejam A M n (R) e B, C M n,p (R) com A invertível. Mostre que se AB = AC então B = C. (b) Existe alguma matriz invertível tal que A = 0? (c) Dê um exemplo de uma matriz A M n (R), não nula, tal que A = 0.. Ache uma solução não-trivial para o sistema: x + x + x + 4x 4 = 0 x + x + x x 4 = 0 x x + x x 4 = 0 e, a partir daí, obtenha uma combinação linear nula dos vetores v = (,, ), v = (,, ), v = (,, ) e v 4 = (4,, ) na qual os coeficientes não são todos iguais a zero. 4. Para que valores de a R o conjunto B = {(a,, 0), (, a, ), (0,, a)} é base de R?.

3 . Determine x em função de u e v na equação x u = 0( x + v). 6. Resolva o sistema abaixo para as incógnitas x e y: { x + y = u, x y = u + v. 7. Dados quatro pontos A, B, C e X tais que AX = m XB, A = B e m =, exprima CX em função de CA, CB e m. C A X B FIGURA. Figura para questão 7 Sugestão: na relação AX = m XB faça aparecer C em ambos os membros. 8. São dados um triângulo ABC e pontos X, Y, Z tais que AX = m XB, BY = nyc e CZ = p ZA. Exprima CX, AY e BZ em função de CA, CB, m, n e p. 9. Num triângulo ABC é dado X sobre AB tal que AX = XB e é dado Y sobre BC tal que BY = YC. Mostre que as retas CX e AY são concorrentes. Sugestão: suponha que CX = λ AY e deduza uma contradição. 0. Sejam A, B e C pontos de E e sejam c = BA e a = BC. Mostre que o vetor u = c c + a a é paralelo à bissetriz do ângulo A BC. Interprete geometricamente esse resultado, relacionando-o com uma conhecida propriedade dos losangos. Sugestão: calcule os cossenos dos ângulos entre u e c e entre u e a, e compare-os. Nos exercícios de a 7 assumimos que as coordenadas dos vetores estão expressas em relação a uma base ortonormal.. Determine u tal que u = e u é ortogonal a v = (,, ) e a w = (, 4, 6). Dos u s encontrados, qual é o que forma um ângulo agudo com o vetor (, 0, 0)?. Determine u tal que u =, a medida em graus do ângulo entre u e (,, 0) seja 4 e u (,, 0).. A medida em radianos do ângulo entre u e v é π 4. Sabendo que u = e v =, determine a medida em radianos do ângulo entre u + v e u v. 4. Calcule AB DA sabendo que o tetraedro ABCD é regular e de aresta unitária.. Determine a projeção do vetor w na direção do vetor v nos casos: (a) w = (,, ), v = (,, ); (b) w = (,, ), v = (,, ). 6. Decomponha w = (,, ) como soma de dois vetores w e w, sendo w paralelo ao vetor (0,, ) e w ortogonal a este último. 7. Decomponha w = (, 0, ) como soma de dois vetores w e w, sendo w, (,, ), (,, ) linearmente dependentes e w ortogonal a estes dois últimos.

4 8. [Processo de Ortonormalização de Gram Schmidt] Dada uma base { f, f, f }, descreva um procedimento para encontrar uma base ortonormal { e, e, e } tal que e // f e e seja combinação linear de f e f. Aplique esse procedimento para f = (,, ), f = (, 0, ) e f = (,, ). 9. Mostre (usando vetores) que as diagonais de uma paralelogramo têm a mesma medida se e somente se o paralelogramo é um retângulo. u + v u v v u FIGURA. Figura para questão 9 Sugestão: traduza o problema para u + v = u v u v. 0. Mostre (usando vetores) que: (a) as diagonais de um losango são perpendiculares e, reciprocamente, se um paralelogramo tem as diagonais perpendiculares então ele é um losango; (b) as diagonais de um losango bissectam os ângulos internos.. Dê a matriz de mudança da base E para a base F, onde E = { e, e, e }, F = { f, f, f }, nos casos: f = e + e + e, f = e e, (a) f = e e + e, ; (b) f = e,. f = e + e, f = 4 e e.. Sendo v = 4 f + f f, determine v em função de e, e e e nos casos do Exercício.. Sendo E = { e, e, e }, F = { f, f, f } bases com: f = e e, f = e + e, f = 7 e, e w = e + e + e, determine as coordenadas de w na base F. 4. Sejam E = { e, e, e }, F = { f, f, f }, G = { g, g, g } bases tais que: e = f f, g = e + e + e, e = f + e g = e + e, f, g = e. e = f, Determine todas as possíveis matrizes de mudança de base envolvendo E, F e G.

5 . Na figura, temos um cubo de aresta unitária. Considere os vetores e = DH, e = DC, e = DA, u = CD + CB, v = DC + CB e w = GC. A B D C E F H G FIGURA. Figura para questão (a) Explique por que E = ( e, e, e ) é uma base ortonormal. (b) Calcule as coordenadas de u, v e w em relação à base E. Calcule u e v. (c) Mostre que F = { f, f, f } é uma base ortonormal, sendo f = u u, f = v v e f = w. (d) Determine as matrizes de mudança da base E para a base F e da base F para a base E. (e) Calcule as coordenadas do vetor HB em relação à base E e em relação à base F. 6. Seja E = { ı, j, k} uma base ortonormal. Sendo u = ( ı + j k), v = ( j + k) e w = 6 ( ı j + k), prove que F = { u, v, w} é uma base ortonormal e calcule as coordenadas do vetor a = ı j k em relação à base F. 7. Sabe-se que x é ortogonal a (,, 0) e a (, 0, ), tem norma e, sendo θ a medida do ângulo entre x e (0,, 0), tem-se cos θ > 0. Determine x. 8. Dados a = (0,, ), b = (0,, 0), c = (,, 0), determine o vetor unitário u tal que u é ortogonal a c, proj a u = (0,, ) e u b > 0. Determine os vetores v de norma 8, sabendo que o ângulo entre v e a é π radianos e que os vetores a, c, v são linearmente dependentes.

6 Questões de escolha múltipla 9. Sejam α, β, γ R e considere o sistema linear: x + w = 0 αx + y + z + w = β x y z = γ com incógnitas x, y, z e w. Assinale a alternativa contendo uma afirmação FALSA: a) se α = então o sistema possui uma única solução; b) se α = e β + γ = 0 então o sistema possui infinitas soluções; c) se α = e β + γ = então o sistema possui infinitas soluções; d) para quaisquer α, β, γ R o sistema possui infinitas soluções ou não possui solução; e) se α = e γ = então o sistema possui infinitas soluções. 40. Considere o sistema linear: x + y + z = x + y + z + v + w = x + y + z + v = 4 x + y + z v w = Assinale a alternativa correta: a) existem A, B, C R tais que A = (0, 0, 0, 0, 0), B e C não são proporcionais e tais que {A + λb + µc : λ, µ R} é o conjunto solução do sistema; b) existem A, B R tais que {A + λb : λ R} é o conjunto solução do sistema; c) o sistema possui uma única solução; d) o sistema não possui solução; e) existem B, C R tais que {λb + µc : λ, µ R} é o conjunto solução do sistema. 4. Considere as seguintes afirmações: (I) seja A uma matriz n n. Se para quaisquer b,..., b n R, o sistema linear: x x A. = b. x n possui uma única solução, então é possível obter a matriz identidade fazendo operações elementares de escalonamento sobre as linhas da matriz A; (II) se P e Q são soluções de um sistema linear então P + Q necessariamente é solução desse sistema; (III) se P e P são soluções de um sistema linear então λp necessariamente é solução desse sistema, para todo λ R. Assinale a alternativa correta: a) apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras; b) apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras; c) todas as afirmações são verdadeiras; d) apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras; e) apenas a afirmação (I) é verdadeira. b b n,.

7 4. Sejam m, n, p R e considere o sistema linear x + y + z = m x + z = n x + y z = p x + y z = Pode-se, então, afirmar que este sistema tem uma única solução se, e somente se, m n + p é igual a a) /; b) ; c) 6; d) /; e) Sejam a, b R e considere o sistema linear: x + x + x =, x + ax x = a, x + x + bx = 0, com incógnitas x, x e x. Qual das alternativas contém as condições sobre a e b que tornam esse sistema impossível? a) (a )(b + ) + = 0 e a = ; b) ( a)( b) = 0 e a = 4; c) ab a b + 7 = 0; d) (a )(b + ) = 0 e ab a = 0; e) a = e b = a. 44. Sejam u, v, w V vetores distintos e seja L = { u, v, w}. Considere as seguintes afirmações: (I) se w = u + v então L é linearmente dependente; (II) se v não é combinação linear de u e w então L é linearmente independente; (III) se u + v é paralelo a w então L é linearmente dependente. Assinale a alternativa correta: a) apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras; b) todas afirmações são verdadeiras; c) apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras; d) apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras; e) apenas a afirmação (II) é verdadeira. 4. Assinale o vetor que é uma combinação linear de u = (0,, ) e v = (,, 0) a) (,, 0); b) (0, 4, ); c) (, 6, ); d) (,, ); e) (,, ). 46. Para que valores de a R o conjunto {(a,, 0), (a, 0, a), (, 0, a)} R é base de V? a) para a = 0; b) para a < 0; c) para a > 0; d) para a = 0; e) para todo a R..

8 47. A medida em radianos do ângulo entre u e v é π. Sabendo que u = e v = e que θ é a medida em radianos do ângulo entre u + v e u v, temos que cos θ vale: a) ; 4 b) ; c) ; d) 7 ; e) Sejam u, v V vetores não nulos. Se u e v são paralelos e têm sentidos contrários, u = a e v = b, com a = b, então pode-se afirmar que a projeção ortogonal de u v sobre u + v é igual a: a) a b a+b ( u + v); b) a b ( u + v); ( u v); ( u + v); e) b a ( u + v). c) a+b a b d) a+b a b 49. Seja E uma base ortonormal de V e seja F = { u, v, w} a base de V tal que u = (, 0, 0) E, v = (,, 0) E e w = (,, ) E. Dados α, β, γ R, sabendo-se que os vetores (α, β, γ) F e (,, ) F são ortogonais, pode-se afirmar que: a) β + γ = 0; b) β + γ = 0; c) β γ = 0; d) β γ = 0; e) α β γ = Sejam E = { e, e, e } e F = { f, f, f } bases de V tais que f = e e, f = e, f = 4 e e. As coordenadas de v = (,, ) F na base E são: a) (,, ) E ; b) (,, ) E ; c) (,, ) E ; d) (,, ) E ; e) (,, ) E.

9 Questões de aplicações. Neste exercício usamos como referência o modelo de economia aberta de Leontief, que pode ser visto em Considere uma economia aberta, durante um certo período, com os seguintes setores/atividades: alimentos, eletricidade, indústria básica, tecnologia, serviços. Considere que: para produzir $ em alimentos são necessários necessários $ 0,0 em alimentos, $ 0,0 de eletricidade e $ 0, em serviços. para produzir $ em eletricidade são necessários $ 0, em eletricidade, $ 0, em indústria básica, $ 0, em tecnologia e $ 0, em serviços. para produzir $ em indústria básica são necessários $ 0, em alimentos, $ 0, em eletricidade, $ 0,0 em tecnologia e $ 0, em serviços. para produzir $ em tecnologia são necessários $ 0, em eletricidade, $ 0, em indústria básica, $ 0, em tecnologia e $ 0, em serviços. para produzir $ em serviços são necessários $ 0, em alimentos, $ 0, em eletricidade, $ 0,0 em tecnologia e $ 0, em serviços. Ainda, admita que devido aos mercados externos, há as seguintes demandas externas: alimentos: $ eletricidade: $.000 indústria básica: $.000 tecnologia: $ serviços: $ Encontre os níveis de produção de cada um dos setores/atividades com base nas informações dadas durante este período, que satisfaça exatamente as demandas internas e externas.. Neste exercício usamos como referência o texto sobre redes acessível em uottawa.ca/~jkhoury/networks.htm. É interessante notar que o argumento do mesmo funciona em qualquer rede que atenda a leis similares às leis de Kirchhoff, havendo preservação do fluxo em cada um dos nós da rede. Desta forma, o mesmo raciocínio serve, como exposto em detalhes na referência citada, em contextos como circuitos elétricos. Considere o seguinte diagrama do tráfego em uma região da cidade, onde os números indicam a média de veículos na hora de pico em pontos de monitoração do sistema A r x w D v E F Determine as demais médias indicadas. G B s FIGURA 4. Figura para questão p u y q t H C

10 RESPOSTAS. (a) (,, ). (b) t(,, ). (c) Incompatível. (d) (4, 0, 0, 0, 0) + r(6,,, 0, 0) + s(0, 6, 0,, 0) + t(, 6, 0, 0, ) com r, s, t R. (e) ( 7,, 0) + t( 7,, ), com t R. (f) ( 4,, 4, 4, 0) + t(, 0,,, 4), com t R. (g) Incompatível. (h) (,, ). (i) (,, 0,, 0, 0) + r(,,, 0, 0, 0) + s(,, 0,,, 0) + t(0,, 0, 0, 0, ), com r, s, t R. (j) (, 0, ) + t(,, ), com t R.. (a) b = b + b. (b) b = b + b 4 e b = b + b 4. (c) b R. (d) b = a. X = λ + µ + γ b. X = λ µ γ. λ µ γ 4. a = e b = 4, x = e y =.. Tem infinitas soluções se a = 0 e b = ( { (x, y, ) : x, y R } ), ou se a = 0 e b = ( { (x, x, a x) : x R } ). Tem uma única solução se a = 0 e b =. Não tem solução se a = 0 e b =. 6. X = C B ( (C B ) (A BC) ), Y = (C B ) (A BC). 7. (a) verdadeiro. (b) falso. (c) falso. (d) falso [ ] 0. A =, B = e 7 C = E e G não são inversíveis. F = 0 6, H = e J = Uma solução não trivial é: (,,, 8), logo v + v v + 8v 4 = a = 0, a = e a =.. x = 8 u 4 v. 6. x = 7 u + 7 v e y = 7 u 7 v. 7. CX = m +m CB + +m CA. 8. Para CX ver a resposta do Exercício 7. AY = BZ = n+ p +p CB CA CA CB.. u = (,, ) ou u = (,, ); ângulo agudo; (,, ).. u = (,, ) ou u = (,, ).. arccos (a) 6 (,, ). (b) 9 (,, ). 6. w = ( 0, 0, 0) 9 e w = (, 0, 0). 7. w = (,, ) e w = (,, ). 8. e = (,, ), e = (,, ) e e = (,, ).. (a) M EF = 0 (b) M EF = (a) (, 8, ). (b) (,, 4). (,, ) M FE = M EG = (b) u = (0,, ) E, v = (0,, ) E, w = (, 0, 0) E, u = = v 0 0 (d) M EF = 0 M FE = (e) HB = (,, ) E = (0,, ) F

11 6. a = (, ) 7, 6 F 7. x = (,, ) 8. u = (,, ), v = (, 0, ) ou v = (,, 0) Múltipla Escolha: Ex.9 a) Ex.40 a) Ex.4 a) Ex.4 b) Ex.4 b) Ex.44 a) Ex.4 e) Ex.46 c) Ex.47 c) Ex.48 d) Ex.49 b) Ex.0 c). $ alim. $ eletr. $ ind. básica $ tec. $ srvs. =.69, 6.4, 48.78, , , 8. Dados r, t, u, as demais médias são p u q u s 00 + r + t v = r w 800 t x r y 00 t + u