Lista de Exercícios 3 (Matrizes e Sistemas Lineares) b) B 4 2, tal que b ij =

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1 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ Departamento Acadêmico de Matemática - DAMAT Geometria Analítica e Álgebra Linear (MA71B) Profa. Dra. Nara Bobko Lista de Exercícios 3 (Matrizes e Sistemas Lineares) 1. Considere a matriz A m n. Faça a correspondência entre as colunas. a) Matriz quadrada b) Matriz nula c) Matriz coluna d) Matriz linha e) Matriz diagonal f) Matriz identidade g) Matriz triangular superior h) Matriz triangular inferior i) Matriz simétrica 2. Construa as matrizes: a) A 1 3, tal que a ij = 2i j ( ) a ij = 0 i < j ( ) a ij = 0 i e j ( ) m = n ( ) n = 1 ( ) m = 1 ( ) m = n e a ij = a ji i e j ( ) m = n, a ij = 0 i j e a ii = 1 i ( ) m = n e a ij = 0 i j ( ) a ij = 0 i > j b) B 4 2, tal que b ij = { i + j, se i j i j, se i > j 3. Sejam A, B e C matrizes n n. a) (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2? Justifique. b) (AB)C = C(AB)? Justifique. 4. [ ] 2 1 Considere as matrizes A =, 3 1 B = de modo que 3(X A) = 2(B + X) + 6C. [ ] e C = [ ] 4 1. Calcule a matriz X 2 1. Verifique se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações abaixo. Se for verdadeira, justifique porque, se for falsa, dê um exemplo em que a afirmação não é válida. a) Se A e B são duas matrizes tais que AB = 0, então A = 0 ou B = 0. b) Se AB = 0 então BA = 0. c) Se A é uma matriz tal que A 2 = 0, então A = Considere a matriz A tal que a ij = i + j, se i j e a ij = (i j)x, se i > j. Monte a matriz A e calcule os valores de x e y, sabendo-se que 2 2y 3 A = y

2 3 8 x 7. Determine os valores de a e b para que a matriz M = a 1 b 2 seja simétrica. x [ ] [ ] 1 3 x y Calcule os valores de x e y para que as matrizes A = e B = comutem na multiplicação. 9. Chama-se traço de uma matriz quadrada a soma dos elementos de sua diagonal principal, denotamos o traço de uma matriz A por tr(a). Determine x e y na matriz A = 0 x 4 para 0 0 y que tr(a) = 9 e x seja o triplo de y. 10. Usando o método de Gauss-Jordan, encontre todas as possíveis soluções para os seguintes sistemas lineares: x 1 + x 2 + 2x 3 = 8 2x 2 + 3x 3 = 1 a) x 1 2x 2 + 3x 3 = 1 c) 3x 1 + 6x 2 3x 3 = 2 3x 1 7x 2 + 4x 3 = 10 6x 1 + 6x 2 + 3x 3 = x 1 + 2x 2 3x 4 + x = 2 2x 1 + 2x 2 + 2x 3 = 0 x 1 + 2x 2 + x 3 3x 4 + x + 2x 6 = 3 d) b) 2x 1 + x 2 + 2x 3 = 1 x 1 + 2x 2 3x 4 + 2x + x 6 = 4 8x 1 + x 2 + 4x 3 = 1 3x 1 + 6x 2 + x 3 9x 4 + 4x + 3x 6 = Considere os planos dados por π 1 : x+2y 3z = 4, π 2 : 3x y+z = 2 e π 3 : 4x+y+(a 2 14)z = a + 2 onde a é um escalar. Determine os valores de a tais que a) π 1 π 2 π 3 = ø. b) π 1 π 2 π 3 contém um único ponto. c) π 1 π 2 π 3 contém ao menos dois pontos distintos. Interprete geometricamente o resultado. 12. Considere os planos π 1 : x + y + z 6 = 0 e π 2 : 3x + 2y + z 10 = 0, e a reta r dada por y = 2x + 4 e z = x + 2. Calcule π 1 π 2 r e interprete geometricamente o resultado. 13. Prove que: a) Se X 1 e X 2 são soluções do sistema linear homogêneo AX = 0, então αx 1 + βx 2 também é solução, para quaisquer escalares α e β. b) Se X 1 e X 2 são soluções do sistema linear AX = B e se αx 1 + βx 2 também é solução deste sistema para quaisquer escalares α e β, então B = x Sejam A = 1 1 1, I = 0 1 0, X = y e 0 = z 0 (a) Encontre a solução geral do sistema de equações lineares (A + 4I)X = 0. (b) Encontre a solução geral do sistema de equações lineares (A 2I)X = Um fabricante de móveis produz cadeiras, mesinhas de centro e mesas de jantar. Cada cadeira leva 10 minutos para ser lixada, 6 minutos para ser tingida e 12 minutos para ser envernizada. Cada mesinha de centro leva 12 minutos para ser lixada, 8 minutos para ser tingida e 12 minutos 2

3 para ser envernizada. Cada mesa de jantar leva 14 minutos para ser lixada, 12 minutos para ser tingida e 18 minutos para ser envernizada. A bancada para lixar fica disponível 16 horas por semana, a bancada para tingir 11 horas por semana e a bancada para envernizar 19 horas por semana. Quantos móveis devem ser fabricados (por semana) de cada tipo para que as bancadas sejam plenamente utilizadas? 16. Um negociante trabalha com as mercadorias A, B e C. Se vender cada unidade de A por R$ 2, 00, cada unidade de B por R$ 3, 00 e cada unidade de C por R$ 4, 00, obtém uma receita de R$ 0, 00. Mas, se vender cada unidade respectivamente por R$ 2, 00, R$ 6, 00 e R$ 3, 00 a receita será de R$ 60, 00. Monte o sistema de equações lineares que modela o problema do negociante, resolva-o e diga quantas unidades de cada uma das mercadorias ele possui. 17. Uma empresa, que possui duas confeitarias, chamadas A e B, fabrica três tipos de bolo: 1, 2 e 3, os quais são feitos de farinha, açúcar, leite, manteiga e ovos. Em cada semana, as vendas dessas duas confeitarias são estimados conforme a matriz M de venda semanal abaixo: Confeitaria Bolo tipo 1 Bolo tipo 2 Bolo tipo 3 A 0 unidades 30 unidades 2 unidades B 20 unidades 20 unidades 40 unidades Para a fabricação desses bolos, o material é usado de acordo com a matriz N seguinte: Bolo farinha açúcar leite manteiga ovos tipo 1 00 g 200 g 00 ml 10 g 4 tipo g 100 g 300 ml 20 g tipo 3 40 g 10 g 600 ml 0 6 A direção da empresa, a fim de atender à demanda semanal, quer saber a quantidade de cada uma das cinco matérias primas que deve alocar às suas duas confeitarias. Calcule também o total de cada ingrediente utilizado pela empresa semanalmente. 18. Calcule o determinante das matrizes abaixo. [ ] a) 4 1 d) b) [ ] e) c) Seja A uma matriz tal que det(a) = 3. Calcule f) π a) det(a 3 ) b) det(a 2 ) c) det(a 1 ) d) det(a ) 20. Mostre que a) Se det(ab) = 0, então ou A é singular ou B é singular. b) Se A = A 1, então det(a) = ±1. c) Se α é um escalar e A é uma matriz n n, então det(αa) = α n det(a). d) A n n é invertível se, e somente se, A A é invertível. 3

4 e) Se A n n é invertível, então det(a 1 ) = 1/det(A). 21. Se A e B são matrizes n n tais que det(a) = 2 e det(b) = 3, calcule det(a B 1 ) Mostre que a matriz B = é a inversa de A = Seja A n n uma matriz diagonal tal que a ii 0 para i = 1,..., n. Prove que A é invertível e que A 1 também é uma matriz diagonal cujos elementos são dados por d ii = a 1 ii. 24. Se possível, encontre a inversa das seguintes matrizes: [ ] 1 2 a) A = b) B = Dadas as matrizes A = [ ] 9 e B = 7 4 [ ] [ ] 4 n, calcule os valores de m e n para que B seja a m 9 matriz inversa de A Encontre todos os valores de a para os quais a matriz A = possui inversa. 1 2 a 27. Para cada uma das matrizes abaixo calcule, se possível, suas inversas (a) (c) (e) (b) (d) (f) Respostas 1. h, b, a, c, d, i, f, e, g. 2. a) A = [ ] b) B = a) Não. [ Só será ] verdade se AB = BA. b) Não. Só será verdade se AC = CA e BC = CB X = a) Falsa b) Falsa c) Falsa 6. x = 1 e y = a = 2 e b = ± x = 2 e y = x = 6 e y = a)x = [3 1 2] b){[ 1/7 (3/7)a 1/7 (4/7)a a] ; a R} c) não tem solução 4

5 11 a)a = 4 b) a = 4 c) a ±4 12. π 1 π 2 r = r. z 14. a) X = 0 para qualquer z R. b)x = λ 6 para qualquer λ R. z cadeira, 1 mesas de centro e 20 mesas de jantar. 18. a) 7 b) 7 c) 30 d) 4 e) 12 f) a) 27 b)9 c) 1/3 d) /3 22. Dica: basta mostrar que A.B = I. 24. a) A não é invertível pois det(a) = 0 b) B 1 = [ ] m = 7 e n = 26. a Dica: Para conferir suas respostas, multiplique a matriz obtida pela dada e verifique se obtém a identidade.