Sistemas de Equações lineares

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1 LEIC FEUP /4 Sistemas- Sistemas de Equações lineares SEL- Dado o sistema coeficientes , resolva-o invertendo a matriz dos SEL- SEL- Considere o seguinte sistema de equações lineares: a + a + + a b a) Discuta o sistema para os diferentes valores de a e b b) Para a e b, resolva o sistema pela regra de Cramer Considere o sistema: a) Para o sistema dado, calcule o valor da incógnita usando a regra de Cramer b) Diga se a equação é compatível com o sistema SEL-4 SEL-5 SEL-6 Resolva o sistema a seguir apresentado Verifique que o sistema a seguir representado é impossível Classifique o sistema seguinte no que se refere ao número de soluções

2 LEIC FEUP /4 Sistemas- SEL-7 SEL-8 SEL-9 Considere o seguinte sistema: + z + a a + + ( b az ) a+ c a) Discuta o sistema para os diferentes valores de a, b e c b) Fazendo a, b e c, escreva o sistema com notação matricial e resolva-o Discuta e resolva o sistema seguinte k Seja o seguinte sistema de equações lineares: a + b c b + c Determine a relação entre a, b e c por forma que o sistema só tenha uma variável livre SEL- Seja o sistema de equações lineares: + + a + 4 b c4 a) Discuta o sistema para os diferentes valores dos parâmetros a, b e c b) Tomando a e c, determine a solução geral do sistema homogéneo associado Determine ainda a dimensão e uma base para este conjunto de soluções SEL- Considere o sistema de equações lineares: + + z w a z + 4w b 4 + 8z + 8w c a) Estabeleça a relação entre a, b e c para que o sistema seja possível b) Calcule a solução geral do sistema, sabendo que particular [ ] ( ) t é uma solução

3 LEIC FEUP /4 Sistemas- SEL- Considere o sistema de equações lineares: Suponha que + z b z b b [ ] ( ) t é uma solução particular do sistema a) Determine a solução geral do sistema b) Indique dois conjuntos fundamentais de soluções do sistema homogéneo associado ao sistema dado SEL- Sabendo que o sistema de equações lineares A b tem duas soluções distintas e, prove que α+ ( α) também é solução qualquer que seja o número α Mostre também que se A b tem duas soluções distintas, então eiste uma infinidade de soluções para o sistema SEL-4 Considere o sistema de equações lineares: z bz a z a a) Discuta o sistema em função de a e b b) Considere a e b Calcule a solução geral do sistema homogéneo associado () SEL-5 Considere o sistema homogéneo A O e seja uma solução particular do sistema () () Seja B uma matriz tal que AB BA Mostre que B também é uma solução do sistema homogéneo SEL-6 Sendo A uma matriz quadrada regular de ordem n, isto é A tem matriz inversa, prove que os sistemas de n equações em n incógnitas AX B e A X C possuem a mesma solução se e só se B AC SEL-7 Classifique cada uma das afirmações seguintes como verdadeira ou falsa e escreva uma justificação sucinta da resposta Todo o sistema de equações lineares tem pelo menos solução Todo o sistema de equações lineares tem no máimo solução Todo o sistema de equações lineares homogéneo tem pelo menos solução 4 Todo o sistema de n equações lineares em n incógnitas tem pelo menos solução 5 Todo o sistema de n equações lineares em n incógnitas tem no máimo solução 6 Se o sistema homogéneo associado a um sistema de equações lineares tem solução, então o sistema tem solução 7 Se a matriz dos coeficientes de um sistema homogéneo de n equações lineares em n incógnitas é invertível, então o sistema não tem soluções não triviais

4 LEIC FEUP /4 Sistemas-4 Soluções SEL-,, 6 SEL- a) a, b - sistema impossível a, b - sistema indeterminado a, b - sistema indeterminado a, a, b - sistema possível e determinado b) SEL- a) b) A equação não é compatível SEL-4 O sistema é possível e determinado com solução 4 SEL-6 O sistema é possível e indeterminado com grau de indeterminação igual a SEL-7 a) a, b, c - sistema impossível a, b, c - sistema possível e indeterminado a, b, c - sistema possível e determinado a, b c - sistema possível e indeterminado a, b c - sistema impossível b) Sistema em notação matricial, solução z SEL-8 Se k, o sistema é impossível z z Se k, o sistema é possível e determinado com solução SEL-9 a, c, b R ou a, c, b R ou b, ac c a

5 LEIC FEUP /4 Sistemas-5 SEL- a) a, b, c - sistema impossível a, c, b - sistema possível e determinado a, c, b - sistema possível e indeterminado (de grau ) a, b, c - sistema possível e indeterminado (de grau ) a, b, c - sistema possível e indeterminado (de grau ) b) solução geral do sistema λ + λ 4 O espaço tem dimensão ; uma base possível é, 4 8 SEL- a) O Sistema é possível se a b+ c 4 b) A solução geral do sistema é + λ + λ z w SEL- a) A solução geral do sistema é + λ z 6 b) Conjuntos fundamentais de soluções : e 4 SEL-4 a) Para a o sistema é impossível Para a o sistema é possível e determinado b) A solução geral do sistema é k z