1.3 Matrizes inversas ] [ 0 1] = [ ( 1) ( 1) ] = [1 0

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1 1.3 Matrizes inversas Definição: Seja A uma matriz de ordem k n, a matriz B de ordem n k é uma inversa à direita de A, se AB = I. A Matriz C de ordem n k é uma inversa à esquerda de A, se CA = I. Exemplo 1: Considere a matriz do tipo 2 3, A = [ ] e a matriz do tipo 3 2, B = [ 0 1]. Então AB = [ ] [ 0 1] = [ ( 1) ( 1) ] = [1 0 Portanto A é uma inversa à esquerda de B e B é uma inversa à direita de A. Definição: Seja uma matriz quadrada A de ordem n é dita invertível (não singular) se existir uma matriz quadrada B de ordem n tal que AB = BA = I onde I é a matriz identidade de ordem n. A matriz B é chamada de inversa de A e é denotada por B = A 1. Exemplo 2: Sejam as matrizes do tipo 2 2, A = [ ] e B = [3 ]. Então AB = [ ] [ ] = [ ] = [ ] = [1 0 BA = [ ] [ ( 1) 3 ( 5) ] = [3 ] = [ ( 1) 1 ( 5) ] = [1 0 Assim, A e B são invertíveis e cada uma é a inversa da outra. Definição: Uma matriz que não seja invertível, diz-se não invertível ou singular. Exemplo 3: A matriz do tipo 2 2, A = [ 1 0 ] é singular. De fato, seja qualquer matriz do tipo 2 2, B = [ b 11 b 12 ], então BA = [ b 11 b 12 ] [ 1 0 b 21 b 22 b 21 b 22 ] = [b 11 0 ]. Logo BA não pode ser igual a I 0 Teorema 1.3.1: Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Se uma matriz A é invertível, então essa inversa é única. Suponhamos que as matrizes B e C de ordem n, são duas inversas de uma matriz A. Então AB = BA = I e AC = CA = I. Assim temos C = CI = C(AB) = (CA)B = IB = B. Teorema 1.3.2: Sejam A, B e C matrizes quadradas de ordem n, Se B é inversa à direita de A e é inversa à esquerda de A, então A é invertível e B = C = A 1. Como AB = I e CA = I então B = IB = (CA)B = C(AB) = CI = C. Teorema 1.3.3: Sejam A e B matrizes de ordem n, e ambas invertíveis. São validas as seguintes propriedades: 1) Como A é invertível, então é A 1 também é invertível e (A 1 ) 1 = A. 2) Um produto de matrizes é invertível, ou seja, se ambos, A e B são invertíveis então AB, também é invertível (AB) 1 = B 1 A 1. 3) A matriz A T e invertível e (A T ) 1 = (A 1 ) T : d) Para qualquer escalar α R onde α 0, a matriz A e invertível e tem-se (αa) 1 = 1 α A 1 : Exemplo 4: Sejam as matrizes do tipo 2 2, A = [ ] e B = [ ] com as respectivas inversas b 21

2 A 1 = [ ] e B 1 = [ ]. Assim AB = [ ] [ ] = [ tem a seguite inversa 1 4 (AB) 1 = [ ] e também B 1 A 1 = [ ] [ ] = [ ] ou seja (AB) 1 = B 1 A 1. Método de Gauss-Jordan para inversão de matrizes: a 11 a 12 a 13 Consideremos a matriz invertível do tipo 3 3, A = [ a 21 a 22 a 23 ]. Para determinar a inversa a 31 a 32 a 33 b 11 b 12 b 13 de A, temos que procurando uma do tipo 3 3, matriz B = [ b 21 b 22 b 23 ] tal que AB = [ 0 1 0]. b 31 b 32 b 33 1 É fácil ver que este problema é equivalente a resolver os seguintes sistemas lineares (escritos na forma matricial): a 11 a 12 a 13 b 11 1 a 11 a 12 a 13 b 12 0 a 11 a 12 a 13 b 13 0 [ a 21 a 22 a 23 ] [ b 21 ] = [ 0], [ a 21 a 22 a 23 ] [ b 22 ] = [ 1] e [ a 21 a 22 a 23 ] [ b 23 ] = [ 0]. Para a 31 a 32 a 33 b 31 0 a 31 a 32 a 33 b 32 0 a 31 a 32 a 33 b 33 1 resolvermos estes sistemas, executamos sobre a matriz completa de cada um deles as operações elementares sobre linhas até transformar a matriz A em matriz identidade 3 3. Porém, podemos resolver os sistemas simultaneamente. Para tal, colocamos a matriz identidade ao lado de A e realizamos sobre I a mesma sequência de operações sobre linhas que aplicada à matriz A deverá produzir a identidade. A matriz resultante será a inversa da matriz A Exemplo 5: Encontre a inversa de A = [ 2 4 3] utilizando o método de Gauss-Jordan [ ] 2 2L [ L L ] L 2 3 [ ] L 1 L [ L 2 + 2L ] L 1 2L 2 [ ]. Logo A 1 = [ ] Matrizes Elementares Definição: As matrizes elementares é uma matriz quadrada de ordem n são aquelas obtidas a partir da matriz identidade I por uma das operações elementares. (1) Troca de posições das i-ésima e j-ésima linhas, dada por: E = [ ] (2) Multiplicação da i-ésima linha por um escalar não nulo, ou seja α K, onde α 0, então a matriz elementar é dada por: E = 0 α 0 [ 0 0 1] (3) Substituição da j-ésima linha pela soma da i-ésima linha com j-ésima linha, dada por:

3 1 0 E = [ ] Teorema 1.3.4: Toda matriz elementar é invertível e sua inversa também é uma matriz elementar. Para exemplificar esse fato matrizes elementares é uma matriz quadrada de ordem 3. Seja E 1 uma matriz elementar, obtidas a partir da troca de posições das respectivas primeira e segunda linhas da matriz identidade I de ordem 3: E 1 = [ ]. Podemos reverter essa operação trocando as mesmas linhas novamente. Logo E 1 1 = E 1 pois E 1 E 1 = [ ] [ ] = I. 1 Agora seja E 2 = [ 0 α 0] onde α 0, é obtida multiplicando a segunda linha por um escalar 1 α não nulo, então podemos reverter essa operação dividindo mesma essa linha por α. Logo E 1 2 = [ 0 1 0] pois E 1 α 2 E 2 = [ 0 1 0] [ 0 α 0] = I e E α 2 E 1 2 = [ 0 α 0] [ 0 1 0] = I. α Por outro lado seja E 3 = [ 0 1 0] é obtida substituído a terceira linha pela soma da segunda linha com terceira linha, então podemos reverter essa operação substituindo a terceira linha pela subtração da terceira linha com segunda linha, dada por: E 1 3 = [ 0 1 0] pois E 1 3 E 3 = [ 0 1 0] [ 0 1 0] = I e E 3 E 1 3 = [ 0 1 0] [ 0 1 0] = I Exemplo 6: Seja a matriz do tipo 2 2, A = [ 1 2 ] invertível. Encontre a sua inversa através das 1 3 matrizes elementares. E 1 A = [ ] [ ] = [1 2 e E 2E 1 A = [ 1 2 [1 2 = [1 0 ], portanto 0 1 E 2 E 1 = A 1. A 1 = [ 1 2 [ ] = [ ]. Definição: Sejam A e B matrizes de ordem m n. A matriz B é equivalente por linha a A se, e somente se, existem matrizes elementares E 1, E 2,, E r de ordem m tais que B = E r E r 1 E 1 A. Teorema 1.3.5: Sejam as matrizes não nulas A e B de ordem m n, X de ordem n 1, Y 1 de ordem m 1 e Y 2 de ordem m 1. E sejam os sistemas lineares AX = Y 1 e BX = Y 2 com solução. A matriz A é uma equivalente por linhas a matriz B então os sistemas lineares AX = Y 1 e BX = Y 2 são equivalentes. Teorema 1.4.6: Seja A uma matriz quadrada de ordem n sobre um corpo K. São equivalentes as afirmações, ou seja, todas elas são verdadeiras ou todas falsas: 1. A é uma matriz invertível;

4 2. O sistema homogêneo AX = O possui apenas a solução trivial X = O, onde O é matriz nula de ordem n 1; 3. A é uma matriz equivalente por linha a matriz identidade I. 4. O sistema AX = Y possui uma única solução para cada matriz coluna Y. Nós vamos provar a equivalência das três primeiras declarações ao estabelecer a cadeia de implicações (1) (2) (3) (1). (1) (2): Se A é invertível e AX = O, então A 1 A = I, logo seja S a matriz de ordem n 1 a solução desse sistema então S = IS = (A 1 A)S = A 1 (AS) = A 1 O = O (4) (2) Seja S a matriz de ordem n 1 a solução única do sistema AX = Y então AS = Y. Supomos por absurdo que o sistema homogêneo AX = O possui a solução S 1 não trivial, onde S 1 é matriz não nula de ordem n 1, logo A(S 1 + S) = AS 1 + AS = Y + O = Y Portanto (S 1 + S) é uma outra solução para o sistema AX = Y o que é absurdo, logo O sistema homogêneo AX = O possui apenas a solução trivial. x 1 + 2x 2 + x 3 = 1 Exemplo 7: Considere o sistema linear { 2x 1 + 4x 2 + 3x 3 = 3. Resolva o sistema utilizando a inversão 3x 1 + 7x 2 + x 3 = 5 da matriz desse sistema A matriz A = [ 2 4 3] é a matriz desse sistema. No exemplo 5 vimos que A 1 = [ ] x 1 1 x Assim como [ 2 4 3] [ x 2 ] = [ 3] então [ x 2 ] = [ ] [ 3] = [ 4 ]. Portanto a solução desse x 3 5 x sistema é x 1 = 8, x 2 = 4, e x 3 = 1. Teorema 1.3.7: Uma matriz quadrada de ordem n é invertível se, e somente se, ela tem posto n. Teorema 1.3.7: Seja A uma matriz quadrada de ordem n, as seguintes afirmações são verdadeiras: 1) Se A tem uma linha de zeros, então A é singular; 2) Se A tem duas linhas iguais, então A é singular; 3) Se uma linha de A é um múltiplo de outra linha, então A é singular; 4) Se A tem uma colunas de zeros, então A ou s A tem duas colunas iguais, ou se uma colunas de A é um múltiplo de outra colunas, então A é singular. Exercícios 1) Sejam as matrizes do tipo 2 2, A = [ ] e B = [4 ]. Mostre que A e B é a inversa da outra ) Calcule a matriz inversa de A = [ 1 2 3] utilizando o método de Gauss-Jordan ) Sejam A e B matrizes de ordem n, sobre o corpo K e ambas invertíveis. Prove as seguintes propriedades da Inversão de Matrizes: a) Como A é invertível, então é A 1 também é invertível e (A 1 ) 1 = A. (A 1 ) 1 = (A 1 ) 1 I = (A 1 ) 1 A 1 A = IA = A

5 b) Um produto de matrizes é invertível, ou seja, se ambos, A e B são invertíveis então AB, também é invertível (AB) 1 = B 1 A 1. (AB)(B 1 A 1 ) = A((BB 1 )A 1 ) = A(IA 1 ) = AA 1 = I (B 1 A 1 )(AB) = B((A 1 A)B 1 ) = B(IB 1 ) = BB 1 = I c) A matriz A T e invertível e (A T ) 1 = (A 1 ) T : d) Para qualquer escalar α K onde α 0, a matriz A e invertível e tem-se (αa) 1 = 1 α A 1 : ( 1 α A 1 ) (αa) = ( 1 α α) (A 1 A) = 1(A 1 A) = A 1 A = I e (αa) ( 1 α A 1 ) = (α 1 α ) (AA 1 ) = 1(AA 1 ) = AA 1 = I 5) Se a matriz elementar E é obtida realizando uma determinada operação elementar sobre I e se A uma matriz de quadrada ordem 2. Prove que, o produto EA é a matriz obtida desta mesma operação elementar sobre A. 6) Sejam A uma matriz de quadrada ordem n. Prove que se A é uma matriz simétrica e invertível, então A 1 é simétrica. Como A T = A então (A 1 ) T = (A T ) 1 = A 1 7) Sabendo que uma matriz triangular superior de ordem n é invertível se, e somente se, os elementos da diagonal principal são todos diferentes de zero, prove uma matriz triangular inferior de ordem n é invertível se, e somente se, os elementos da diagonal principal são todos diferentes de zero. 8) Mostre que matrizes quadradas de ordem 2, [ e [1 0 ] são singulares. 2x 1 + 3x 2 + x 3 = 1 9) Resolva o sistema linear { x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 2. utilizando a inversão da matriz desse sistema. 3x 1 + x 2 + 2x 3 = 3 10) Seja A e B matrizes quadradas de ordem n, sobre o corpo K. Justifique cada uma das afirmações seguintes: a) Se A é invertível e B é singular então AB é singular. Vamos supor por absurdo que se A é invertível e B é singular AB é invertível. Se AB é invertível então existe (AB) 1 tal que (AB) 1 AB = I. Como A é invertível então pelos exercícios anteriores I = (AB) 1 AB = (AB) 1 (A 1 ) 1 B = (A 1 AB) 1 B = B 1 B logo B é invertível o que é absurdo. Portanto AB é singular. b) Se A e B são singulares então AB é singular. Vamos supor por absurdo que se A e B são singulares então AB é invertível. Se AB é invertível então existe (AB) 1 tal que AB(AB) 1 = I. Vamos definir a matriz quadrada C de ordem n, onde C é invertível, ou seja existe C 1 tal que C 1 C = I. Logo CB é singular então I = (AB) 1 AB = (AB) 1 AIB = (AB) 1 AC 1 (CB) ou seja (AB) 1 AC 1 é inversa de CB o que é absurdo. Portanto AB é singular.