ÍNDICE MATRIZES SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES ESPAÇO VETORIAL REAL DE DIMENSÃO FINITA

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2 ÍNDICE MATRIZES Definição 1 Igualdade 2 Matrizes Especiais 2 Operações com Matrizes 3 Classificação de Matrizes Quadradas 9 Operações Elementares 11 Matriz Equivalente por Linha 11 Matriz na Forma Escalonada 11 Aplicações de Operações Elementares 12 Exercícios 15 Respostas 18 Apêndice A Determinante 19 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Definição 24 Matrizes Associadas a um Sistema Linear 24 Classificação de Sistemas 25 Resolução de Sistemas utilizando o Método de Eliminação Gaussiana 25 Resolvendo e Interpretando Geometricamente Sistemas Lineares no R 2 26 Resolvendo e Interpretando Geometricamente Sistemas Lineares no R 3 28 Sistema Homogêneo 37 Resolução de Sistemas utilizando Inversão de Matrizes 38 Exercícios 39 Respostas 40 ESPAÇO VETORIAL REAL DE DIMENSÃO FINITA Definição 41 Subespaço Vetorial 42 Combinação Linear 43 Subespaço Vetorial Gerado e Conjunto Gerador 44 Vetores Linearmente Independentes e Dependentes 45 Base e Dimensão de um Espaço Vetorial 46 Operações com Subespaços Vetoriais 47 Coordenadas de um Vetor em relação a uma Base Ordenada 49 Matriz de Transição de uma Base para uma outra Base 50 Exercícios 51 Respostas 54 Apêndice B Teoremas 55 i

3 TRANSFORMAÇÕES LINEARES Transformação Linear 62 Operadores Lineares no Espaço Vetorial R 2 63 Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear 66 Transformação Linear Injetora 68 Transformação Linear Sobrejetora 68 Transformação Linear Bijetora Isomorfismo 69 Matriz Associada a uma Transformação Linear 70 Operações com Transformações Lineares 72 Exercícios 73 Respostas 77 Apêndice C Teoremas 78 BIBLIOGRAFIA 82 ii

4 MATRIZES Definição Conjunto de números reais (ou complexos) dispostos em forma de tabela, isto é, distribuídos em m linhas e n colunas, sendo m e n números naturais não nulos. Notação: i j com - elemento genérico da matriz A - índice que representa a linha do elemento - índice que representa a coluna do elemento - ordem da matriz. Lê-se m por n. Representações: Exemplos: 1) A representação de um tabuleiro de xadrez pode ser feita por meio de uma matriz. 2) A matriz onde é. 3) A matriz abaixo fornece (em milhas) as distâncias aéreas entre as cidades indicadas: cidade A cidade B cidade C cidade D Esta é uma matriz (quatro por quatro). 4) A matriz abaixo representa a produção (em unidades) de uma confecção de roupa feminina distribuída nas três lojas encarregadas da venda. shorts blusas saias jeans Esta é uma matriz (três por quatro) pois seus elementos estão dispostos em 3 linhas e 4 colunas. 1

5 Igualdade Duas matrizes de mesma ordem e são iguais quando para todo e para todo. Matrizes Especiais 1. Matriz Linha Uma matriz A é denominada matriz linha quando possuir uma única linha. Notação: Exemplo: 2. Matriz Coluna Uma matriz A é denominada matriz coluna quando possuir uma só coluna. Notação: Exemplo: 3. Matriz Nula Uma matriz A é denominada matriz nula quando todos os seus elementos forem nulos, isto é, para todo e para todo. Notação: Exemplo: 4. Matriz Quadrada Uma matriz A é uma matriz quadrada quando possuir o mesmo número de linhas e de colunas, isto é,. Notação: Diagonal Principal: são os elementos da matriz A onde para todo. Diagonal Secundária: são os elementos da matriz A onde para todo. Traço: é o somatório dos elementos da diagonal principal da matriz A, denotado por tra. Exemplo: Elementos da diagonal principal: 2, 7 e 9. Elementos da diagonal secundária: 4, 7 e 10. 2

6 5. Matriz Diagonal Uma matriz quadrada A é chamada de matriz diagonal quando todos os elementos que não pertencem à diagonal principal são nulos, isto é, quando para todo. Exemplo: 6. Matriz Identidade Uma matriz diagonal A é chamada de matriz identidade quando os elementos da diagonal principal forem todos iguais a um. Notação: Exemplo: 7. Matriz Triangular Superior Uma matriz quadrada A é uma matriz triangular superior quando os elementos abaixo da diagonal principal são nulos, isto é, quando para todo. Exemplo: 8. Matriz Triangular Inferior Uma matriz quadrada A é chamada de matriz triangular inferior quando os elementos acima da diagonal principal são nulos, isto é, quando para todo. Exemplo: Operações com Matrizes 1. Adição Sejam e matrizes de mesma ordem, define-se a matriz soma tal que e para todo e para todo. Exemplos: 1) Sejam e. Então. 3

7 2) Um laboratório farmacêutico produz um certo medicamento. Os custos relativos à compra e transporte de quantidades específicas da substância necessárias para a sua elaboração, adquiridas em dois fornecedores distintos são dados (em reais) respectivamente pelas seguintes matrizes. preço custo compra transporte preço custo compra transporte Fornecedor 1 Fornecedor 2 A matriz que representa os custos totais de compra e de transporte de cada uma das substâncias A, B e C é dada por: Propriedades da Operação de Adição A1. Associativa: para quaisquer matrizes A, B e C de mesma ordem,. A2. Comutativa: para quaisquer matrizes A e B de mesma ordem,. Dem.: Considere matrizes de ordem, e. para todo e para todo. Assim,. Logo, a operação de adição é comutativa. A3. Elemento Neutro: para toda matriz A,. A4. Elemento Simétrico:para toda matriz A de ordem existe uma matriz S de mesma ordem tal que. Sendo tem-se. Notação: Assim,. Além disso,. A5. Para quaisquer matrizes quadradas A e B de mesma ordem,. Dem: Considere as matrizes de ordem n. 4

8 2. Multiplicação por Escalar Sejam uma matriz e um escalar, define-se a matriz produto por escalar tal que e para todo e para todo. Exemplos: 1) Sejam. Então 2) O quadro abaixo mostra a produção de trigo, cevada, milho e arroz em três regiões, em uma determinada época do ano. TRIGO CEVADA MILHO ARROZ REGIÃO I REGIÃO II REGIÃO III Com os incentivos oferecidos, estima-se que a safra no mesmo período do próximo ano seja duplicada. A matriz que representa a estimativa de produção para o próximo ano é: Propriedades da Operação de Multiplicação por Escalar E1. Para toda matriz A e para quaisquer escalares,. E2. Para toda matriz A e para quaisquer escalares,. E3. Para quaisquer matrizes A e B de mesma ordem e para qualquer escalar,. Dem.: Considere matrizes de ordem, e., para todo e para todo. Assim,. Logo, vale a propriedade. E4. Para toda matriz A de ordem,. E5. Para toda matriz A de ordem,. E6. Para toda matriz quadrada A e para todo. 5

9 3. Multiplicação Sejam as matrizes e, define-se a matriz produto tal que para todo. Exemplos: e, isto é, para todo e 1) Sejam e. Então Observe que. 2) A matriz abaixo nos fornece as quantidades de vitaminas A, B e C obtidas em cada unidade dos alimentos I e II. A B C Ao serem ingeridas 5 unidades do alimento I e 2 unidades do alimento II a quantidade consumida de cada tipo de vitamina é dada por: Serão consumidas 30 unidades de vitamina A, 15 unidades de vitamina B e 2 unidades de vitamina C. Propriedades da Operação de Multiplicação M1. Associativa: para quaisquer matrizes A, B e C de ordens, respectivamente,. Dem.: Considere e. para todo e para todo. Assim,. Logo, vale a propriedade associativa para multiplicação de matrizes. 6

10 M2. Distributiva da Multiplicação em relação à Adição: para quaisquer matrizes A e B de ordem, para toda matriz C de ordem e para toda matriz D de ordem, e. M3. Elemento Neutro: para toda matriz quadrada A de ordem n, M4. Para quaisquer matrizes quadradas A e B de mesma ordem,. M5. Para quaisquer matrizes quadradas A e B de mesma ordem e para todo, M6. Para toda matriz quadrada A de ordem n, Em geral, não vale a propriedade comutativa para a operação de multiplicação. Assim,. Quando, diz-se que A e B são matrizes comutáveis, ou ainda que A e B são matrizes que comutam entre si. Por M6, qualquer matriz quadrada comuta com a matriz quadrada nula de mesma ordem. Exemplos: 1) Sejam as matrizes e. 2) Sejam as matrizes e. e a matriz produto. não é definida. 3) Sejam e. 4) Sejam e. Assim,. Logo, as matrizes A e B comutam entre si. Potência de uma Matriz Quadrada de Ordem n.... Toda matriz quadrada A comuta com qualquer potência natural de A. 7

11 Exemplos: 1) Seja. Então. 2) Sejam o polinômio e a matriz. Determinando o valor : A matriz A é uma raiz do polinômio, já que. Matriz Idempotente Uma matriz quadrada A é idempotente quando. Exemplo: A matriz é idempotente. (Verifique!) 4. Transposição Seja a matriz, define-se a matriz transposta B tal que e, isto é, é a matriz obtida a partir da matriz A pela troca de suas linhas pelas colunas correspondentes. Notação: Propriedades da Operação de Transposição T1. Involução: para toda matriz A,. T2. Para quaisquer matrizes A e B de mesma ordem,. Dem.: Considere matrizes de ordem, e. para todo e para todo. Assim,. T3. Para toda matriz A e para todo escalar,. T4. Para toda matriz A de ordem e para toda matriz B de ordem,. T5. Para toda matriz quadrada A,. 8

12 Classificação de Matrizes Quadradas 1. Matriz Simétrica Uma matriz quadrada A é denominada simétrica quando. Exemplo: Os elementos da matriz dispostos simetricamente em relação à diagonal principal são iguais. 2. Matriz Anti-simétrica Uma matriz quadrada A é denominada anti-simétrica quando. Exemplo: Todos os elementos da diagonal principal são iguais a zero e os elementos simetricamente dispostos em relação à diagonal principal têm sinais contrários. 3. Matriz Invertível ou Não-singular Uma matriz quadrada A de ordem n é dita invertível se existir uma matriz quadrada B de mesma ordem tal que. A matriz B é dita matriz inversa da matriz A. Notação: Exemplos: 1) A matriz é invertível e sua inversa é pois: 2) Obtendo a matriz inversa da matriz Considere Se então Assim, Desta forma, 9

13 Verifica-se também que. Então a matriz inversa da matriz A é. 3) A matriz não possui inversa. Propriedades das Matrizes Invertíveis I1. Involução:. I2.. dem.:. Analogamente,. Logo, o produto é invertível. I3.. Semelhança de Matrizes Duas matrizes tal que. são semelhantes quando existe uma matriz invertível Exemplo: As matrizes e são semelhantes. Considere e. Assim,. 4. Matriz Ortogonal Uma matriz quadrada A de ordem n invertível é denominada ortogonal quando. Exemplo: 5. Matriz Normal Uma matriz quadrada A de ordem n é dita normal quando comuta com sua matriz transposta, isto é,. Exemplo: 10

14 Operações Elementares São operações realizadas nas linhas de uma matriz. São consideradas operações elementares: OE1. A troca da linha i pela linha j. OE2. A multiplicação da linha i por um escalar não nulo. OE3. A substituição da linha i por ela mesma mais k vezes a linha j, com não nulo. Exemplo: L 1 L 3 L 2 L 2 L 2 L 2 +(-1)L 1 Matriz Equivalente por Linha Sejam A e B matrizes de mesma ordem. A matriz B é denominada equivalente por linha a matriz A, quando for possível transformar a matriz A na matriz B através de um número finito de operações elementares sobre as linhas da matriz A. Exemplo: A matriz é equivalente a matriz, pois usando somente operações elementares nas linhas da primeira matriz foi possível transformá-la na segunda. Matriz na Forma Escalonada Uma matriz está na forma escalonada quando o número de zeros, que precede o primeiro elemento não nulo de uma linha, aumenta linha a linha. As linhas nulas, se existirem, aparecem abaixo das não nulas. Exemplos: 11

15 Escalonamento por Linha de uma Matriz Dada uma matriz qualquer, é possível obter uma matriz equivalente por linhas a esta matriz na forma escalonada: Exemplos: 1) 2) A escolha de operações em um escalonamento não é única. O importante é observar que o objetivo é aumentar o número de zeros, que precede o primeiro elemento não nulo de cada linha, linha a linha. Posto de uma Matriz O posto de uma matriz A pode ser obtido escalonando-se a matriz A. O número de linhas não nulas após o escalonamento é o posto da matriz A. Notação: Exemplo: Nos dois exemplos anteriores o posto das matrizes é igual a dois. Aplicações de Operações Elementares 1. Cálculo da Inversa de uma Matriz Quadrada A de ordem n. Passo 1: Construir a matriz de ordem. Passo 2: Utilizar operações elementares nas linhas da matriz bloco A na matriz identidade. Caso seja possível, o bloco terá sido transformado na matriz. Se não for possível transformar A em de forma a transformar o é porque a matriz A não é invertível. Exemplo: Seja. A matriz inversa é. 12

16 Justificativa do Método para o Cálculo da Matriz Inversa Teorema: Uma matriz quadrada A de ordem n é invertível se e somente se a matriz A é equivalente por linha a matriz. Desta forma, a seqüência de operações elementares que reduz a matriz A na matriz matriz na matriz., transforma a Exemplo: Considere a matriz. A redução da matriz A à matriz identidade é: Aplicando em a mesma seqüência de operações: Assim, a matriz é a inversa da matriz A. 13

17 2. Cálculo do Determinante A qualquer matriz quadrada A podemos associar um certo número real denominado determinante da matriz. Notação: É importante observar que: a) Quando trocamos duas linhas de uma matriz A, seu determinante troca de sinal. b) O determinante da matriz fica multiplicado pelo escalar não nulo k quando todos os elementos de uma certa linha forem multiplicados por k. c) O determinante não se altera quando utilizamos a operação elementar do tipo. (Teorema de Jacobi). d) O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. O cálculo do determinante de uma matriz quadrada, utilizando-se operações elementares nas linhas da matriz, consiste em encontrar uma matriz triangular equivalente por linha à matriz dada, respeitando-se as propriedades de determinantes acima. Exemplos: 1) 2) Outras informações sobre este tópico encontram-se no Apêndice A. 3. Resolução de Sistemas Outra aplicação de operações elementares é na resolução de sistemas, que será visto com detalhes no próximo capítulo. 14

18 Exercícios 1) Resolva a equação matricial indicando os valores para a, b, c e d. 2) Considere,, e. Verifique se: a) b) c) d) 3) Seja. Indique uma matriz quadrada B de ordem 2 não nula tal que. 4) Seja. Resolva a equação matricial, onde. 5) Mostre que, em geral,, sendo A e B matrizes quadradas de mesma ordem. 6) Seja. Encontre. 7) Verifique que a matriz é uma raiz do polinômio. 8) Considere. a) Indique a matriz b) A matriz A é invertível? Em caso afirmativo, indique. 9) Mostre que as únicas matrizes quadradas de ordem 2 que comutam tanto com a matriz quanto com a matriz são múltiplas de. 10) Determine todas as matrizes de ordem 2 que comutam com a matriz. 11) Sejam e. Verifique a igualdade. 15

19 12) Mostre que se a matriz quadrada A for invertível e então. (Lei do Corte) 13) Sejam e. É possível calcular X, na equação? 14) Sejam A, B, C e X matrizes quadradas de mesma ordem e invertíveis. Resolva as equações, considerando X a variável. a) b) c) d) e) 15) Seja A uma matriz de ordem n tal que a matriz é invertível. A matriz é simétrica? E idempotente? 16) Mostre que a matriz é uma matriz ortogonal. 17) Determine a, b e c de modo que a matriz seja ortogonal. 18) Mostre que a soma de duas matrizes simétricas é também uma matriz simétrica. 19) Mostre que o mesmo vale para matrizes anti-simétricas. 20) Se A e B são matrizes simétricas que comutam entre si então a matriz também é simétrica? Justifique. 21) Toda matriz ortogonal é também uma matriz normal? Justifique. 22) O produto de duas matrizes ortogonais é uma matriz ortogonal? Justifique. 23) Em uma pesquisa onde foram consideradas 3 marcas de refrigerante, Gelato, Delícia e Suave, o elemento da matriz abaixo indica a possibilidade de uma pessoa que consuma o refrigerante i passar a consumir o refrigerante j. O elemento da diagonal principal representa a possibilidade de uma pessoa que consuma um determinado refrigerante permaneça consumindo o mesmo refrigerante. 16

20 Gelato Delícia Suave a) Qual a possibilidade de uma pessoa que consumia o refrigerante Gelato passar a consumir o refrigerante Suave? E a de quem consumia Suave passar a consumir Gelato? b) Escreva a matriz que indica a possibilidade de se mudar de marca após duas pesquisas. 24) Verifique se a matriz é invertível. Em caso afirmativo, indique a matriz inversa. 25) Para que valores de a a matriz admite inversa? 26) Dada a matriz. Indique a matriz e determine. 27) Dada a matriz. Indique a matriz A. 28) Determinar o valor de a a fim de que a matriz seja invertível. 29) Calcule o determinante das matrizes e. 30) Sabendo que A é uma matriz quadrada de ordem n e que, determine: a) b) c) d) 31) Encontre todos os valores de a para os quais. 17

21 Respostas 1) 23) a) 0,1 e 0,6 b) 3) 24) 4) 25) 6) 26) 8) a) b) 27) 10) 28) 13) Sim, 29) 0 e 24, respectivamente. 14) a) b) c) d) e) 15) Sim. Sim. 31) 17) ou 30) a) b) 5 c) d) 25 18

22 Apêndice A - Determinante Permutações Seja um conjunto finito A qualquer, uma permutação em A é qualquer função bijetora. Sendo n a cardinalidade do conjunto, existem permutações possíveis. Exemplos: 1) Seja e as bijeções abaixo: A notação usual é: a a a a b b b b Nesta notação matricial, a primeira linha indica os elementos originais e a segunda os elementos reorganizados. 2) Seja., e são três das seis permutações possíveis em A. 3) Seja. é uma das 24 permutações possíveis. Se A for um conjunto munido de uma relação de ordem, as permutações podem ser classificadas como permutações pares e permutações ímpares. Uma permutação é par quando o número de elementos - dentre os elementos reorganizados - fora de ordem for par e é ímpar quando este número for ímpar. Exemplos: 1) Seja com a ordem numérica usual, isto é,. e são permutações ímpares e é par. 2) Seja com a ordem lexicográfica (alfabética) usual. é uma permutação ímpar. Além disto, às permutações pares é associado o sinal positivo e às ímpares o sinal negativo. 19

23 O Determinante Dada uma matriz quadrada A de ordem n é possível fazer corresponder um certo número denominado determinante da matriz A. Notação: Considere, por exemplo, uma matriz quadrada de ordem 3,, e as permutações possíveis no conjunto de índices {1, 2, 3}. A partir da permutação ímpar associa-se o produto, tal que os índices linha correspondem a primeira linha da representação da permutação, os índices coluna são obtidos da segunda linha e o sinal negativo da classificação da permutação. O determinante de uma matriz de ordem 3 é obtido a partir de todas as seis permutações possíveis no conjunto de índices {1, 2, 3} classificadas e sinalizadas. Assim, o determinante é dado por: Genericamente, para uma matriz de ordem n, o determinante é o número obtido do somatório dos produtos sinalizados de elementos da matriz, combinados de acordo com as permutações do conjunto de índices {1, 2,..., n}. Exemplos: 1) 2) 3) 20

24 Desenvolvimento de Laplace Seja uma matriz quadrada de ordem n, Considere um elemento qualquer, com e a submatriz de ordem obtida a partir da matriz A retirando-se a i-ésima linha e a j-ésima coluna. O determinante da submatriz sinalizado por é denominado o cofator do elemento. Exemplo: Seja a matriz. O cofator do elemento, isto é, de 4 é : O cofator do elemento a 31 é: Considere uma certa linha i fixada. O determinante da matriz A fica definido por: A expressão é uma fórmula de recorrência (faz uso de determinantes de matrizes de ordem menores) conhecida como desenvolvimento de Laplace. Este desenvolvimento pode ser feito fixando-se uma certa coluna j e a expressão passa a ser: Exemplos: 1) fixada a linha 2. 2) fixada a linha 1. 21

25 Fixando ainda a linha 1 para as submatrizes: Propriedades Considere A e B matrizes quadradas de ordem n e não nulo. D1. Se A é uma matriz triangular superior (inferior) então. dem: Considere a matriz. Fixando a coluna 1 para o cálculo dos determinantes, Corolários: i) ii) iii) Se A é uma matriz diagonal então. D2., quando A possuir uma linha (ou coluna) nula. D3., quando A possuir duas linhas (ou colunas) iguais. D4. D5. D6. 22

26 D7.Considere a matriz A e B a matriz obtida a partir de A por aplicação de operações elementares: a) L i L j : b) L i k.l i : dem: Considere a matriz. Fixando a linha i para o cálculo dos determinantes, Seja a matriz obtida pela operação elementar L i k.l i. c) L i L i + k.l j : D8. A é uma matriz invertível se e somente se. D9. Se A é uma matriz invertível então. D10. Se A e B são matrizes semelhantes então. D11. Se A é uma matriz ortogonal então. Exercícios 1) Calcule o determinante usando permutações. a) b) 2) Calcule o determinante usando desenvolvimento de Laplace. a) b) 3) Indique o valor de x para que as matrizes sejam invertíveis. a) b) 23

27 SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES Definição Dados os números reais, com, a equação onde são variáveis ou incógnitas, é denominada equação linear nas variáveis. Os números reais são denominados coeficientes das variáveis, respectivamente, e b é denominado de termo independente. Um Sistema Linear sobre R com m equações e n incógnitas é um conjunto de lineares com variáveis, e é representado por: equações Com,. Matrizes Associadas a um Sistema Linear Sistemas podem ser representados na forma matricial: C X B Denominadas, matriz C de Coeficientes, matriz X de Variáveis e matriz B de Termos Independentes. Assim, um sistema linear com m equações e n incógnitas fica representado pela equação matricial. Outra matriz que se pode associar a um sistema linear é a Matriz Ampliada ou Completa do sistema. 24

28 Classificação de Sistemas Classifica-se um sistema linear de acordo com o tipo de solução. Uma solução para um sistema de equações lineares é uma n-upla de números reais satisfaz todas as equações, simultaneamente, isto é, substituindo-se a variável pelo valor, por,... e por em cada uma das equações, todas as igualdades são verdadeiras. O conjunto solução S do sistema é o conjunto de todas as soluções. que Exemplo: Dado o sistema, o par ordenado é solução deste sistema. Assim, o conjunto solução. De forma geral, temos que um dado sistema de equações lineares sobre R pode ser classificado como: Sistema Possível (ou Compatível ou Consistente) Determinado (SPD): há uma única solução Indeterminado (SPI): há infinitas soluções Sistema Impossível (ou Incompatível ou Inconsistente) (SI): não há solução. Resolução de Sistemas utilizando o Método de Eliminação Gaussiana Dado um sistema de equações lineares, espera-se encontrar sua solução, isto é resolvê-lo. O método de resolução utilizado será o Método de Eliminação Gaussiana. A idéia do método é obter um sistema mais simples equivalente ao sistema dado. Dois sistemas de equações lineares são denominados sistemas equivalentes quando possuem a mesma solução. Exemplo: Os sistemas e são equivalentes pois ambos possuem o mesmo conjunto solução. O Método de Eliminação Gaussiana Dado um sistema linear com m equações e n variáveis: 1. Obter a matriz ampliada. 2. Escalonar a matriz ampliada utilizando operações elementares. 3. Fazer a análise, de acordo com o teorema abaixo: Teorema: Um sistema linear de m equações e n variáveis admite solução se e somente se o posto da matriz ampliada escalonada for igual ao posto da matriz de coeficientes. Assim: a) Se, o sistema é Possível Determinado (SPD). b) Se, o sistema é Possível Indeterminado (SPI). c) Se, o sistema é Impossível (SI). 4. Reescrever o sistema, associado a matriz escalonada, equivalente ao sistema dado, e: a) Se o sistema for SPD, encontrar o valor de uma variável e, por substituição, determinar as demais variáveis. Indicar o conjunto solução S, que neste caso, conterá apenas uma n-upla. 25

29 b) Se o sistema for SPI, escolher variáveis livres ou independentes. O número, também é denominado o grau de liberdade ou grau de indeterminação do sistema. As variáveis que dependem das variáveis livres são denominadas variáveis amarradas ou ligadas. Indicar o conjunto solução S, apresentando todas as ordenadas da n-upla em função das variáveis livres. c) Se o sistema for SI, indicar. Exemplo: Seja o sistema com 3 equações e 3 incógnitas. A matriz ampliada é. Após o escalonamento, a matriz escalonada é. E a matriz de coeficientes é:. Análise:. Logo, o sistema é possível determinado (SPD). O sistema equivalente é Após as substituições, e. A solução do sistema é. Resolvendo e Interpretando Geometricamente Sistemas Lineares no R 2 O conjunto de pares ordenados de números reais é designado por. Geometricamente tem-se o plano R 2, descrito por dois eixos - eixo X e eixo Y - perpendiculares entre si, interceptando-se no ponto, denominado origem. Exemplos: 1) Seja o sistema com 2 equações e 2 variáveis: Aplicando o Método de Eliminação Gaussiana: Matriz ampliada. Matriz escalonada:. 26

30 Matriz de coeficientes. Análise, : Sistema Possível Determinado (SPD). Sistema equivalente Substituindo o valor de y na primeira equação, tem-se. Logo a solução do sistema é descrita por. Interpretando geometricamente: cada equação do sistema representa uma reta, estas retas se interceptam em um único ponto. 2) Dado o sistema: Matriz ampliada:. Matriz escalonada: Matriz de coeficientes:. Análise, : Sistema Possível Indeterminado (SPI). Sistema equivalente A variável y está livre, podendo assumir qualquer valor real, e a variável x amarrada em função de y, isto é,. A solução do sistema é. Geometricamente, tem-se duas retas coincidentes, a equação. Assim, as retas se interceptam em infinitos pontos. é múltipla da equação 27

31 3) Dado o sistema Matriz ampliada. Matriz escalonada:. Matriz de coeficientes. Análise, : Sistema Impossível. Sistema equivalente, isto é, A solução é. Assim, se um sistema possui equações que representam retas paralelas, como no exemplo, uma solução é impossível, pois não há ponto de interseção entre retas paralelas. Resumindo, para sistemas de equações de duas incógnitas com duas ou mais equações, tem-se o seguinte quadro: Retas Concorrentes Coincidentes Paralelas Classificação do Sistema Possível e Determinado Possível e Indeterminado Impossível Resolvendo e Interpretando Geometricamente Sistemas Lineares no R 3 O conjunto de todos as triplas de números reais é designado por. Geometricamente tem-se o espaço R 3, descrito por três eixos, eixo X, eixo Y e eixo Z, que são perpendiculares entre si, interceptando-se no ponto, denominado origem. 28

32 Exemplos: 1) Considere o sistema Matriz ampliada, matriz escalonada e matriz de coeficientes. Análise, : Sistema Possível Determinado (SPD). Sistema equivalente Sendo, fazendo-se as substituições: e. A solução do sistema é. Geometricamente, o sistema representa três planos distintos que se interceptam no ponto. 29

33 2) Dado o sistema Matriz ampliada, matriz escalonada e matriz de coeficientes. Análise, : Sistema Possível Indeterminado (SPI). Sistema equivalente Pela terceira equação, a variável z está livre, assim a variável y fica em função de z, isto é,. A variável x também fica amarrada a variável z, após as substituições, tem-se que. Esta sistema possui grau de liberdade 1. A solução do sistema é. Geometricamente, o sistema representa três planos distintos que se interceptam em uma reta. 30

34 3) Seja o sistema Matriz ampliada, matriz escalonada e matriz de coeficientes. Análise, : Sistema Possível Indeterminado (SPI). Sistema equivalente As variáveis y e z estão livres, o grau de liberdade do sistema é igual a 2, e a variável x está amarrada pela relação. A solução do sistema é. Geometricamente, os três planos são coincidentes e, consequentemente, qualquer ponto deste plano é solução para o sistema. 31

35 4) Seja o sistema Matriz ampliada, matriz escalonada e matriz de coeficientes. Análise, : Sistema Possível Indeterminado (SPI). Sistema equivalente A variável z está livre, o grau de liberdade é 1. As variáveis x e y estão ligadas à variável z, e irão assumir valores de acordo as relações e. A solução é. Geometricamente, o sistema representa dois planos coincidentes que interceptam um terceiro. A interseção é uma reta. 32

36 5) Seja o sistema Matriz ampliada, matriz escalonada e matriz de coeficientes. Análise, : Sistema Impossível (SI). Sistema equivalente A terceira equação é equivalente a, o que é impossível. A solução é. Geometricamente, o sistema representa três planos distintos que se interceptam dois a dois, isto é, sem solução comum. 33

37 6) Dado o sistema Matriz ampliada, matriz escalonada e matriz de coeficientes. Análise, : Sistema Impossível (SI). Sistema equivalente As duas últimas equações são impossíveis. A solução é. Geometricamente, o sistema representa três planos paralelos. 34

38 7) Dado o sistema: Matriz ampliada, matriz escalonada e matriz de coeficientes. Análise, : Sistema Impossível (SI). Sistema equivalente A última equação não possui solução. Assim, a solução do sistema é. Geometricamente, o sistema representa dois planos paralelos interceptados por um terceiro. 35

39 8) Seja o sistema Matriz ampliada, matriz escalonada e matriz de coeficientes. Análise, : Sistema Impossível (SI). Sistema equivalente A segunda equação não possui solução. A solução é. Geometricamente, o sistema representa dois planos coincidentes paralelos a um terceiro. 36

40 Sistema Homogêneo É um sistema de equações lineares onde todos os termos independentes são iguais a zero. A matriz de Termos Independentes B é a matriz nula, assim um sistema homogêneo é sempre possível, já que admite a solução trivial, isto é,. No entanto, um sistema possível pode ainda ser classificado como determinado ou indeterminado. Se o sistema é possível e determinado, a única solução é a trivial. Se o sistema é possível e indeterminado, outras soluções, além da trivial, existem. Exemplos: 1) Seja o sistema Matriz ampliada, matriz escalonada e matriz de coeficientes. Análise, : Sistema Possível Determinado (SPD). Sistema equivalente Este sistema só admite solução trivial. Assim,. 2) Seja o sistema Matriz ampliada, matriz escalonada e matriz de coeficientes. Análise, : Sistema Possível Indeterminado (SPI). 37

41 Sistema equivalente A variável z está livre e as variáveis x e y estão amarradas. A solução do sistema é. Resolução de Sistemas utilizando Inversão de Matrizes O sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas, com, pode ser representado pela equação matricial, sendo C uma matriz quadrada de ordem n. Se a matriz C for invertível, isto é, existir a matriz inversa, significa que o sistema é possível e determinado. Como X é uma matriz de ordem, Exemplo: Seja o sistema A equação matricial é:. =. A matriz inversa da matriz C é. Assim,. A solução do sistema é. 38

42 Exercícios Utilizando o Método de Eliminação Gaussiana: 1) Resolva o sistema. 2) Indique a solução do sistema, o posto da matriz ampliada e o posto da matriz de coeficientes. 3) Um fabricante de objetos de cerâmica produz jarras e pratos decorativos. Cada jarra exige 16 minutos de modelagem, 8 minutos de polimento e 30 minutos de pintura. Cada prato decorativo necessita de 12 minutos de modelagem, 6 de polimento e 15 de pintura. Sabendo-se que são reservadas por semana 8 horas para modelagem, 4 horas para polimento e 13 horas para pintura, encontre a quantidade de cada tipo de objeto que deverá ser fabricada por semana, considerando-se a melhor utilização do tempo disponível para cada etapa. Jarras Pratos Decorativos Minutos Por Semana Modelagem Polimento Pintura Considerando-se x como sendo a quantidade de jarras a serem produzidas por semana e y a quantidade de pratos decorativos, escreva o sistema de equações lineares que representa o problema e resolva-o. 4) Determine os valores de a de modo que o sistema seja: a) SPD b) SPI c) SI 6) Calcule os valores para a e b de modo que o sistema seja SPI e resolva-o para estes valores. 7) Estabeleça a condição que deve ser satisfeita pelos termos independentes para que o sistema seja possível. 39

43 7) Escreva a condição para que o sistema tenha solução. 8) Indique o conjunto solução do sistema homogêneo. 9) Determine o conjunto solução S do sistema 10) Escreva um sistema homogêneo com quatro incógnitas, x, y, z e t, quatro equações e grau de liberdade igual a dois. Resolva-o. 11) Considere o sistema. Escreva na forma matricial e calcule a matriz X utilizando a inversão de matrizes. Respostas 1) Sistema Impossível 6) 2) 7) 3) 8) 4) a) b) c) 9) ou 5) 11) e 40

44 ESPAÇO VETORIAL REAL DE DIMENSÃO FINITA Definição Sejam um conjunto não vazio V, o conjunto dos números reais R e duas operações binárias, adição e multiplicação por escalar. V é um Espaço Vetorial sobre R, ou Espaço Vetorial Real ou um R-espaço vetorial, com estas operações se as propriedades abaixo, chamadas axiomas do espaço vetorial, forem satisfeitas: EV1. (Associativa) Para quaisquer,. EV2. (Comutativa) Para todo,. EV3. (Elemento Neutro) Existe tal que para todo,. Notação: EV4. (Elemento Simétrico) Para todo, existe tal que. Notação: Assim, EV5. Para quaisquer e para todo,. EV6. Para quaisquer e para todo,. EV7. Para todo e para quaisquer,. EV8. Para todo,. Os elementos de um espaço vetorial são denominados vetores e os números reais de escalares. Exemplos : 1) R 2 com as operações: É um espaço vetorial pois os oito axiomas acima são verificados, cabe lembrar que o elemento neutro da adição é o par ordenado. 2) R n com as operações: 3) O conjunto das matrizes reais de ordem, com as operações usuais é um espaço vetorial, tal que o elemento neutro da adição é a matriz nula. 4) O conjunto dos polinômios, com coeficientes reais, de grau menor ou igual a n, com as operações abaixo: onde e. É um espaço vetorial, onde o elemento neutro da adição é o polinômio. 41

45 5) R 2 com as operações abaixo não é um espaço vetorial. Não possui elemento neutro, pois: Seja tal que. Mas,. Assim,. Portanto, para todo. Logo, não existe elemento neutro. Subespaço Vetorial Um subespaço vetorial de V é um subconjunto não vazio com as seguintes propriedades: Notação:. Sub1.. Sub2. Fechamento de S em relação à operação de Adição. Se então. Sub3. Fechamento de S em relação à operação de Multiplicação por Escalar Se então. Exemplos: 1) é um subespaço vetorial do R 3 com as operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Um vetor u pertence ao subespaço S quando possui a 2 ª e 3 ª coordenadas iguais a zero. Verificando as propriedades de subespaço. 1.? Sim,. 2. Se então? Sejam. Então. Logo, S é fechado sob a operação de adição de vetores. 3. Se então? Seja. Então. Logo, S é fechado sob a operação de multiplicação por escalar. O subespaço S poderia ser descrito ainda por. 2) O conjunto não é um subespaço vetorial do R 3 com as operações usuais. 1.? Sim, satisfaz as condições. 2. Se então? Sejam, com. 42

46 Então. 3. Se então? Não. (Contra-exemplo) Sejam., pois. 3) não é um subespaço do R 3, pois. O fato do vetor pertencer ao conjunto S não implica que este seja um subespaço. Todo espaço vetorial V admite pelo menos dois subespaços: o próprio espaço V e o conjunto, chamado subespaço nulo. Estes dois subespaços são denominados subespaços triviais de V e os demais subespaços próprios de V. Combinação Linear Sejam os vetores. Um vetor está escrito como combinação linear dos vetores quando existem tais que. Exemplos: 1) O vetor é uma combinação linear dos vetores e, pois: 2) O vetor não pode ser escrito como combinação linear dos vetores, pois: Assim, O sistema é impossível. Logo não existem valores reais para que satisfaçam a igualdade (*). 3) Determinando a lei que define (todos) os vetores que podem ser escritos como combinação linear de. Assim, O sistema é possível quando e para quaisquer. Assim, é o conjunto de todos os vetores escritos como combinação linear de. Geometricamente, trata-se do plano XZ. 43

47 Subespaço Vetorial Gerado e Conjunto Gerador Sejam os vetores e o conjunto de todas as combinações lineares destes vetores. O conjunto gerado pelos vetores. é um subespaço vetorial de V, denominado subespaço vetorial O conjunto é o conjunto gerador do subespaço. Exemplos: 1) O vetor gera o conjunto. Assim, O conjunto de todas as combinações lineares do vetor é o conjunto de todos os seus múltiplos escalares. Geometricamente, é uma reta definida pela equação. 2). Assim, Matriz ampliada e matriz escalonada. Para se determinar os vetores que são combinações lineares de é necessário que o sistema seja possível, isto é,. Logo,. Geometricamente, é um plano no com equação. 3). Assim, Matriz ampliada e matriz escalonada. Como o sistema é possível e determinado, nenhuma condição deve ser satisfeita. Logo,. 44

48 4) Encontre a equação do espaço gerado pelos vetores. O espaço gerado é o conjunto de vetores que possam ser escritos como combinação linear dos vetores dados, isto é,. Assim, Matriz ampliada e matriz escalonada. Para que o sistema seja possível é necessário que. Assim, com esta condição satisfeita, obtém-se vetores que são combinação linear dos vetores dados. Portanto, o espaço gerado é, que geometricamente representa um plano em R 3. Vetores Linearmente Independentes e Linearmente Dependentes Um conjunto de vetores é linearmente independente (LI) quando se e somente se. Se existir pelo menos um, com, então o conjunto é linearmente dependente (LD). Exemplos: 1) é LI, pois: Assim, Matriz ampliada e matriz escalonada. O sistema é possível e determinado com. Assim, o conjunto é LI. Um dos vetores não é múltiplo escalar do outro. Foi visto que o espaço gerado por {(1,3), (4,2)} é R 2, ou seja [(1,3), (4,2)] = R 2. 2) é LD, pois: Assim, Matriz ampliada e matriz escalonada. 45

49 O sistema é possível e indeterminado, com. Então, o conjunto é LD, pois Os vetores (1,3) e (2,6) pertencem a uma mesma reta. O espaço gerado pelo conjunto {(1,3), (2,6)} é isto é, 3) {(2,0,5),(1,2,3),(3,2,8)} é LD, pois: Assim, Matriz ampliada e matriz escalonada. Como o sistema é possível e indeterminado, o conjunto é LD. Base e Dimensão de um Espaço Vetorial Seja um conjunto finito Diz-se que B é uma base do espaço vetorial V quando B é um conjunto linearmente independente e gera V, isto é, O número de elementos (cardinalidade) de uma base B do espaço vetorial V é denominado dimensão do espaço vetorial V. Se a dimensão de V é igual a n, diz-se que V é um espaço vetorial finito n-dimensional. Em particular, a dimensão do espaço nulo {0 V } é zero. Não há base para o espaço nulo. Notação: Exemplos: 1) Os conjuntos {(1,0), (0,1)} e {(1,3), (4,2)} são bases do R 2. O conjunto {(1,2), (3,5), (2,1)} não é base do R 2, pois apesar de gerar R 2, não é LI. O conjunto {(1,2)} é LI mas não gera o R 2, portanto também não é uma base do R 2. Toda base de R 2 tem dois vetores de R 2 que geram R 2 e que são LI. Logo,. 2) {(-1,0,1),(2,3,0),(1,2,3)} é uma base do R 3. O conjunto {(-1,0,1),(2,3,0)} é LI, mas não gera o R 3. Logo, não é base do R 3. O conjunto {(-1,0,1),(2,3,0),(1,2,3),(0,2,4)} gera o R 3, mas não é LI. Também não é uma base do R 3. Toda base de R 3 é formada por três vetores LI de R 3. Logo,. Um vetor qualquer pode ser escrito como Assim, {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} gera o R 3, isto é, Além disso, este conjunto é LI. Logo, {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} é uma base do R 3, denominada a base canônica do R 3. 46

50 Espaço Vetorial Base Canônica Dimensão R {1} 1 R 2 {(1,0),(0,1)} 2 R 4 {(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)} 4 4 Polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a 2 3 Operações com Subespaços Vetoriais 1. Interseção Sejam subespaços do espaço vetorial real V. O conjunto interseção de vetorial de V., é também um subespaço (Sub1)?.. Assim,. (Sub2) Se então? Então,. Logo,. (Sub3) Se então? Então,. Logo,. Exemplos: 1) Sejam e.. Assim, Logo,. Geometricamente, tem-se uma reta e um plano no R 3 que se interceptam na origem. 2) Sejam e. Assim,. 47

51 Logo,, ou seja,. Geometricamente, a interseção é representada por uma reta que passa pelos pontos (0,0,0) e (3,9,1). 2. Soma Sejam subespaços do espaço vetorial real V. O conjunto soma de subespaço vetorial de V., é também um Exemplos: 1) Sejam e.. Tem-se que,, para quaisquer. Mas,, para quaisquer. Assim, {(1,0,0)} é base do subespaço e {(1,1,0),(0,1,1)} é uma base do subespaço. Então,. Assim, Sistema possível, logo. 2) Sejam.. Tem-se que,, para quaisquer. Mas,, para quaisquer. Assim, Para que o sistema seja possível é necessário que. Então,. Seja V um espaço vetorial n-dimensional. Se são subespaços de V então:. Este resultado é conhecido como Teorema da Dimensão. 48

52 3. Soma Direta Sejam subespaços do espaço vetorial real V. A soma de é denominada soma direta quando. Notação: Coordenadas de um Vetor em relação a uma Base Ordenada Seja V é um espaço vetorial n-dimensional, qualquer conjunto LI com n vetores é uma base de V. Ao se escolher uma base para o espaço vetorial V, está-se adotando um sistema referencial no qual pode-se expressar qualquer vetor de V. Considere uma base, qualquer vetor pode ser expresso de maneira única como combinação linear dos vetores da base A, onde são as coordenadas do vetor v em relação a base ordenada A. Notação: e na forma matricial. Toda vez que a expressão coordenadas em relação a uma base é utilizada, uma base ordenada está sendo considerada. Exemplos: O vetor pode ser escrito: 1) Considerando a base canônica do R 2. ou seja. 2) Considerando a base. Assim, Logo,. Portanto,. 49

53 Matriz de Transição de uma Base para uma outra Base Que relação existe entre as coordenadas de um vetor no antigo referencial e em um novo referencial? Uma matriz permitirá a relação entre estes referenciais, as bases do espaço vetorial. Esta matriz é denominada matriz de transição ou matriz mudança de base. O desenvolvimento a seguir considera duas bases do R 2, no entanto o mesmo raciocínio pode ser utilizado para qualquer espaço vetorial V n-dimensional. Sejam bases do R 2. Para qualquer isto é,., tem-se: Como são vetores do R 2, podem ser escritos como combinação linear dos vetores da base B. Substituindo (2) em (1): (1) (2) Portanto, são as coordenadas de v em relação à base B. Assim,. Podendo ser rescrito como, A matriz acima é denotada por sendo denominada a matriz de transição da base A para a base B. As colunas da matriz são as coordenadas dos vetores da base A em relação à base B. Obtém-se a equação matricial, Analogamente, para mudança da base B para a base A. Observe que, Como,. Tem-se que, Como, Então, Logo, 50

54 Exercícios 1) Verifique se R 2 é um espaço vetorial, para as operações definidas abaixo. a) b) c) d) e) f) g) 2) Considere o conjunto de todas as funções. Definem-se duas operações binárias tal que e tal que. Estas operações definem um espaço vetorial? 3) Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços de R 3. a) b) c) d) e) f) 4) Verifique se o conjunto solução do sistema é um subespaço vetorial de R 3. 5) Escreva como combinação linear de. 6) O vetor pode ser escrito como combinação linear dos vetores (1,2,0) e (0,1,0)? 7) Escreva como combinação linear de. 51

55 8) O conjunto gera o R 2? 9) Determine a equação do plano gerado pelos vetores. 10) Verifique se os conjuntos abaixo são LI ou LD. a) b) c) d) e) 11) Mostre que se é LI então também é um conjunto LI. 12) Complete com V(erdadeiro) ou F(also). ( ) [(1,2,0),(2,4,0) ] é um plano no R 3 que passa pela origem. ( ) [(1,2,0),(2,3,0) ] é um plano no R 3 que passa pela origem. ( ) é LD quando pelo menos um destes vetores é combinação linear dos demais. ( ) gera o R 3. ( ) O conjunto {(1,2,3),(0,0,0),(2,3,5)} é LI. ( ) Se é LI então qualquer um dos seus subconjuntos também é LI. ( ) Se todo subconjunto próprio de é LI então é LI. ( ) [(1,2)] possui somente duas bases {(1,2)} e {(2,4)}. ( ) {(1,0,4),(7,8,0)} é base de [(1,0,4),(7,8,0)]. ( ) Todo conjunto LI de vetores é uma base de seu subespaço gerado. ( ) {(3,5),(0,0)} é base do R 2. ( ){(2,3),(4,5),(7,9)} gera o R 2 então {(2,3),(4,5)}, {(2,3),(7,9)} e {(4,5),(7,9)} são bases do R 2. ( ) Se então quaisquer três vetores deste conjunto formam uma base do R 3. ( ) Um conjunto com três vetores do R 3 é base do R 3. ( ) Um conjunto com mais do que três vetores do R 3 não será uma base do R 3. ( ) é base do R 2. ( ) Qualquer base de um espaço vetorial tem sempre o mesmo número de elementos. ( ) é base do R 2 quando. ( ) Sejam V um espaço vetorial n-dimensional e o conjunto LI. Então é base de V qualquer que seja o vetor. ( ) Se então qualquer conjunto LI com n vetores é uma base de V. ( ) {(0,1,2),(1,0,1)} gera R 2. ( ) Todo conjunto gerador de um espaço vetorial V é uma base para V. ( ) Se então 13) Para que valores de k os vetores geram um espaço tridimensional? 14) Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços de R 3. a) b) c) 52

56 15) Encontre uma base e a dimensão para o conjunto solução do sistema. 16) Mostre que a soma de subespaços é também um subespaço. 17) Determine o subespaço interseção e o subespaço soma para os casos abaixo, indicando quando a soma é direta. a) b) 19) Sejam e Determine e, indicando uma base e a dimensão em cada um dos casos. 20) Seja e a base. Indique. 21) Considere uma base para o R 3. Encontre as coordenadas de em relação a esta base. 22) Seja e. Determine v. 23) Sendo uma base para o R 2 e. Encontre: a) As coordenadas de v na base canônica. b) As coordenadas de v na base. 24) Encontre as coordenadas do vetor em relação à base. 25) Dadas as bases do R 3, a) Determine. b) Considere. Calcule. 26) Considere as bases a) Achar a matriz mudança de base de B para A. b) Dado, calcule. 27) Seja e Determine a base A. 53

57 28) Seja a matriz mudança de base de B para A. Determinar a base A, sabendo que 29) Sabendo que são bases do R 2 tais que:, e, determine. 30) Considere. Determine as matrizes mudança de base. Respostas 1) Nenhum é espaço vetorial. 3) a)b)d) Não c)e)f) Sim 4) Não 5) 6) Sim, 7) 9) 10) a)d)e) LI b)c) LD 12) F,V,V,F,F,V,F,F,V,V, F,V,F,F,V,F,V,V,F,V, F,F,F 20) 21) 22) 23) a) b) 24) 13) 14) a) base : b) base : c) base : 15) base : 25) a) b) 26) a) b) 18) a) b) Nenhum é soma direta. 19) base : 27) 28) 29) 30) e base : 54

58 Apêndice B Teoremas Teo1. O elemento neutro é único. Demonstração por Redução ao Absurdo (RAA) Supondo que o elemento neutro não é único, isto é, existem elementos neutros. por EV3, é elemento neutro à direita. por EV3, é elemento neutro à esquerda. Então,. Contradição. Logo, só existe um elemento neutro para a operação de adição em V. ambos Teo2. (Lei do Corte ou Lei do Cancelamento) Para quaisquer, se então. dem.: Por hipótese,. Pelo axioma EV4,. Por EV1,. Por EV4,. Por EV3,. Teo3. O elemento simétrico é único. Teo4. Para quaisquer, se então. dem.: Por hipótese,. Pelo axioma EV3,. Assim,. Pela Lei do Corte,. Teo5. Para quaisquer, se então. Teo6. Para todo,. dem.: Considere o vetor. por EV8. por EV6. 0 é o elemento neutro da adição em R. por EV8. por EV3. Assim,. Pela Lei do Corte,. Teo7. Para todo,. dem.: Considere o vetor. por EV6. por EV3. por EV3. 55

59 Assim,. Pela Lei do Corte,. Teo8. Para todo e para todo,. dem.: (RAA) Supondo que por EV8. por hipótese e pela existência de elemento inverso em R. por EV5. por hipótese. pela Teo5. Assim, Logo,.. Contradição. Corolário8. Para todo e para todo, se então. Teo9. Para todo,. dem.: Considere o vetor. por EV8. por EV6. 0 é o elemento neutro da adição em R. por EV8. Assim,. Então, Pela Lei do Corte,. Teo10. Para todo, (soma com n parcelas). Demonstração usando indução em n. Base: Para. Por EV8,. Passo: (Hipótese de Indução) Supor que vale a igualdade para, isto é,. Vale a igualdade para? por EV6. por EV8. por hipótese de indução. por EV1. 56

60 Assim,. Logo, vale a igualdade para todo Teo11. Todo subespaço vetorial é um espaço vetorial. Teo12. Se então é um subespaço vetorial de V. Teo13. Sejam e. Se v é uma combinação linear dos vetores então. dem.:? com. (1) Seja qualquer. Então com. (2) Substituindo (1) em (2), por EV7. por EV5 e EV1 por EV2 por EV6 pelo fechamento da multiplicação e da adição em R. com. Assim, com. Logo,. (exercício) Teo14. Sejam e. se e somente se cada um dos vetores do conjunto é uma combinação linear dos vetores e cada um dos vetores do conjunto é uma combinação linear dos vetores. Teo15. Seja, é linearmente independente. Teo16. Seja. Se, para algum então é linearmente dependente. dem.: Para qualquer. Logo, o conjunto é LD. Teo17. Seja. O conjunto é linearmente dependente se e somente se pelo menos um destes vetores é combinação linear dos demais. dem.: Considere linearmente dependente. Então existe um, com. Pelo EV4 e o Teo7, 57

61 Multiplicando ambos os lados da igualdade por, Por EV5, EV7 e propriedades em R, Por EV5, Por EV8 e propriedades em R, Assim, Logo,, com, é combinação linear dos demais vetores. Seja o vetor tal que. Então,. Logo, é linearmente dependente. Corolário17. Sejam e. Se é linearmente independente e é linearmente dependente então v é uma combinação linear dos vetores. dem.: é LD. Pelo Teo17, pelo menos um destes vetores é combinação linear dos demais. Mas, é LI. Logo, este vetor é o vetor v. Teo18. Seja tal que. Se S é linearmente dependente então é linearmente dependente. dem.: Seja qualquer. com para todo. S é LD. Pela Teo17, existe que é combinação linear dos demais vetores de S. Mas,. Então, Logo, que é combinação linear destes vetores. é LD.. 58

62 Teo19. Sejam um conjunto linearmente independente e. Se então, para todo. Corolário19. Seja. Se é uma base de V então todo vetor pode ser escrito de forma única como combinação linear dos vetores da base. Teo20. Seja. O conjunto é linearmente independente se e somente se nenhum destes vetores é combinação linear dos demais. Corolário20a. Seja. O conjunto é linearmente independente se e somente se um vetor não é múltiplo escalar do outro. Corolário20b. Seja um conjunto linearmente independente e. Se então é um conjunto linearmente independente. Teo21. Seja. Se é linearmente independente então qualquer um de seus subconjuntos é linearmente independente. Teo22. Seja. Se então existe uma base A de V tal que. dem.: Se é LI então é uma base de V. Se é LD, Então, pelo Teo17, existe, com, tal que:. Pelo Teo13,. Como, por hipótese,. Assim,. Se é LI então é uma base de V. Caso contrário este processo continua até a obtenção de um certo conjunto e tal que. Assim, A é uma base do espaço vetorial V. Corolário22a. Seja. Se gera o espaço vetorial V então qualquer conjunto de vetores de V com mais do que r elementos é linearmente dependente. Corolário22b. Seja. Se gera V então qualquer conjunto de vetores de V linearmente independente tem no máximo r elementos. Teo23. Seja. Se é linearmente independente então pode-se estender o conjunto a um conjunto B base de V. dem.: Se então é uma base de V. Se, Então, seja tal que. Pelo Corol20b, é LI. Se então é uma base de V. LI 59