Notas para o Curso de Algebra Linear Il Dayse Haime Pastore 20 de fevereiro de 2009

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1 Notas para o Curso de Álgebra Linear Il Dayse Haime Pastore 20 de fevereiro de 2009

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3 Sumário 1 Matrizes e Sistemas Lineares 5 11 Matrizes 6 12 Sistemas Lineares Eliminação Gaussiana Resolução de Sistemas Lineares Utilizando Eliminação Exemplo do Método de Gauss-Jordan para encontrar A Exercícios 14 2 Espaços e Subespaços Vetoriais Espaços Vetoriais Subespaços Vetoriais Exercícios 25 3

4 4 SUMA RIO

5 Capítulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares Um problema central em álgebra linear é resolver um sistema de equações Essas equações são Lineares, ou seja, as variáveis são apenas multiplicadas por números, nunca se vê x y Vamos começar com um exemplo : x 2y = 1 3x + 2y = 11 As equações representam retas no plano xy como mostra a figura 11 A solução desses Figura 11: O ponto (3, 1) é a solução do sistema linear sistema linear e justamente o encontro dessas duas retas Podemos reescrever esse sistema na sua forma vetorial: [ ] [ ] [ ] x + y = E ainda na sua forma matricial: [ ] [ ] 1 2 x 3 2 y = [ ] 1 11 Dessa forma se pretendemos estudar sistemas lineares, faz-se necessário uma pequena revisão sobre matrizes 5

6 6 CAPÍTULO 1 MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 11 Matrizes Uma matriz é uma tabela de m n números reais, representada sob a forma a 11 a 12 a 1n A =, a m1 a m2 a mn onde a ij R para todo i = 1,, m e j = 1,, n As linhas horizontais da matriz são chamadas de linhas e as linhas verticais são chamadas de colunas Uma matriz com m linhas e n colunas é chamada de uma matriz m por n (escreve-se m n) e m e n são chamadas de suas dimensões, tipo ou ordem Um elemento de uma matriz A que está na i-ésima linha e na j-ésima coluna é chamado de elemento i, j ou (i, j)-ésimo elemento de A Ele é escrito como a ij Uma matriz onde uma de suas dimensões é igual a 1 é geralmente chamada de vetor Uma matriz 1 n (uma linha e n colunas) é chamada de vetor linha ou matriz linha, e uma matriz m 1 (uma coluna e m linhas) é chamada de vetor coluna ou matriz coluna Algumas Matrizes 1 Matriz Nula m n =, 0 0 ou seja, 0 ij = 0 para todo i = 1,, m e j = 1,, n 2 Matriz Quadrada a 11 a 1n A =, a n1 a nn ou seja, n = m, a matriz tem o mesmo número de linhas e de colunas A Diagonal Principal de uma matriz quadrada A são seus elementos que satisfazem i = j para todo i, j = 1,, n A Diagonal Secundaria de uma matriz quadrada A são seus elementos que satisfazem i + j = n + 1 O Traço de uma matriz quadrada A é a soma dos elementos da sua diagonal n principal, tra = a kk = a a nn k=1 3 Matriz Diagonal ou seja, a ij = 0, se i j a a 22 0 A =, 0 0 a nn

7 11 MATRIZES 7 4 Matriz Identidade 1 0 I n =, 0 1 ou seja, i kj = 0, se k j e i kk = 1, para todo k = 1,, n 5 Matriz Triangular Superior a 11 a 12 a 1n 0 a 22 a 2n A =, 0 0 a nn ou seja, a ij = 0 para todo i > j com i, j = 1,, n 6 Matriz Triangular Inferior a a 21 a 22 0 A =, a n1 a n2 a nn ou seja, a ij = 0 para todo i < j com i, j = 1,, n Operação com Matrizes (a) Adição: Sejam A = (a ij ) m n e B = (b ij ) m n matrizes m por n, C = A + B é a matriz C = (c ij ) m n tal que c ij = a ij + b ij para todo i =,, m e j = 1,, n Essa operação satisfaz: A = B = B + A (comutativa) (A + B) + C = A + (B + C) (associativa) A + 0 m n = 0 m n + A = A (existência de elemento neutro) A + S = S + A = 0 m n, (existência de elemento simétrico), onde S = (s ij ) m n = ( a ij ) m n tr(a + B) = tra + trb Prova: tr(a + B) = (a 11 + b 11 ) + + (a nn + b nn ) = (a a nn ) + (b b nn ) = tra + trb (b) Multiplicação por Escalar: Sejam A = (a ij ) m n e k R, B = k A é a matriz B = (b ij ) m n tal que b ij = k a ij para todo i = 1,, m e j = 1,, n, essa operação satisfaz: (k 1 + k 2 ) A = k 1 A + k 2 A (k 1 k 2 ) A = k 1 (k 2 A) k (A + B) = k A + k B 0 A = 0 m n 1 A = A tr(k A) = k tr(a)

8 8 CAPÍTULO 1 MATRIZES E SISTEMAS LINEARES (c) Multiplicação: Sejam as matrizes A = (a ij ) m p e B = (b ij ) p n, a matriz C = p A B é C = (c ij ) m n tal que c ij = a ik b kj para todo i =,, m e j = 1,, n Essa operação satisfaz: k=1 (A B) C = A (B C), onde A = (a ij ) m p, B = (b ij ) p l e C = (c ij ) l n (A + B) C = A C + B C D (A + B) = D A + D B, onde A = (a ij ) m p, B = (b ij ) m p, C = (c ij ) p n e D = (d ij ) l m Prova: Considere as matrizes E = (e ij ) m n = (A + B) C e F = (f ij ) m n = A C + B C, assim e ij = p (a il + b il )c lj = p a il c lj + b il c lj = p a il c lj + p b il c lj = f ij l=1 l=1 l=1 l=1 Análogo para D (A + B) = D A + D B k (A B) = (k A) B = A (k B), A I n = I n A = A (elemento neutro), tr(a B) = tr(a B) onde A = (a ij ) n n, B = (b ij ) n n e k R Prova: Considere as matrizes C = A B e D = B A, dessa forma c ii = n n a il b li e d ii = b il a li Agora l=1 l=1 tr(a B) = tr(c) = n c ii = i=1 n n a il b li = i=1 l=1 n (a i1 b 1i + + a in b ni ) i=1 = (a 11 b a 1n b n1 ) + + (a n1 b 1n + + a nn b nn ) = (b 11 a b n1 )a 1n + + (b 1n a n1 + + b nn )a nn = n (b 1i a i1 + + b ni a in ) = i=1 n n b li a il = i=1 l=1 n d ii = tr(d) = tr(b A) i=1 Observação : Lembre-se que A B pode ser diferente de B A Exemplo: [ ] [ ] A =, B =, [ ] [ ] A B = e B A = A multiplicação de matrizes não é comutativa

9 11 MATRIZES 9 7 Matriz Idepontente Uma matriz quadrada A é idempotente quando A 2 = A A = A Exemplo: 8 Matriz Transposta A = A matriz transposta de uma matriz A qualquer é a matriz B = (b ij ) n m tal que b ij = a ji para todo i = 1,, m e j = 1,, n notação B = A T Exemplo: Propriedades (A T ) T = A a 11 a 1n a 11 a m1 A =, A T = a m1 a mn a 1n a mn (A + B) T = A T + B T, onde B = (b ij ) m n (k A) T = k A T, onde k R (A B) T = B T A T, onde A = (a ij ) m p e B = (b ij ) p n Prova: Considere as matrizes C = A B e D = B T A T, dessa forma c ji = p a jl b li = l=1 p b li a jl = d ij, para todo i = 1,, n e j = 1,, m l=1 Assim, (A B) T = C T = D = B T A T tr(a T ) = A, onde A = (a ij ) n n 9 Matriz Simétrica Uma matriz A é dita simétrica se A T = A, ou seja a ij = a ji, para todo i, j = 1,, n Exemplo: 10 Matriz Anti-Simétrica A = Uma matriz A é dita anti-simétrica se A T = A, ou seja a ij = a ji, para todo i, j = 1,, n Exemplo: A = Observação : A diagonal principal de uma matriz anti-simétrica é sempre nula

10 10 CAPÍTULO 1 MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 11 Matriz Invertível Uma matriz A é invertível quando existir uma matriz B = (b ij ) n n, tal que A B = B A = I n Essa matriz B é dita a matriz inversa da matriz A Notação: B = A 1, A A 1 = A 1 A = I n Exemplos: [ ] a b Uma matriz A = é invertível se somente se c d Uma matriz diagonal ad bc 0 e A 1 = 1 ada bc d 1 0 B = 0 d n com d i 0, para todo i = 1,, n Tem inversa 1 d 1 0 B = 1 0 d n Propriedades (A 1 ) 1 = A, se A = (a ij ) n n é invertível [ d b c a (A B) 1 = B 1 A 1, se A = (a ij ) n n e B = (b ij ) n n são invertíveis Prova: Como (A B) (B 1 A 1 ) = A (B B 1 ) A 1 = A A 1 = I n (B 1 A 1 ) (A B) = B 1 (A 1 A) B = B 1 B = I n Assim, (A B) 1 = B 1 A 1 Temos (A T ) 1 = (A 1 ) T, se A = (a ij ) n n é invertível Prova: Como A 1 A = I n e A A 1 = I n (A 1 A) T = I n e (A A 1 ) T = I n Assim, A T tem inversa e (A T ) 1 = (A 1 ) T, ou seja (A 1 ) T é a inversa de A T 12 Matriz Ortogonal Uma matriz quadrada A de ordem n invertível, é ortogonal quando A 1 = A T 13 Matriz Normal Uma matriz quadrada A de ordem n é normal quando A A T = A T A ]

11 12 SISTEMAS LINEARES Sistemas Lineares Dados a 1,, a n e b R a equação a 1 x a n x n = b, onde x 1,, x n são variáveis ou incógnitas, é denominada equação linear nas variáveis x 1,, x n Os números a 1,, a n são denominados coeficientes da variáveis x 1,, x n respectivamente e b é denominado de termo independente Um sistema linear sobre R com m equações e n incógnitas é um conjunto de m 1 equações lineares com n 1 variáveis, é representado por: A = a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m com a ij, b R para todo i = 1,, m e j = 1,, n, ou ainda podemos representa-lo como produto de matrizes a 11 a 1n x 1 b 1 = a m1 } {{ a mn } x n b m A m n }{{} X n 1 }{{} B m 1 A matriz A é denominada matriz dos coeficientes A matriz X é denominada matriz dos variáveis A matriz B é denominada matriz dos termos independentes A matriz a 11 a 1n b 1 a m1 a mn b m é denominada a matriz ampliada do sistema Exemplo: x + 2y + 3z = 10 4x + 5y + 6z = 11 7x + 8y + 9z = 12 Forma matricial Matriz ampliada x y = z

12 12 CAPÍTULO 1 MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 121 Eliminação Gaussiana Diremos que uma matriz A = (a ij ) m n é escalonada quando o primeiro elemento não-nulo de cada uma de suas linhas está a esquerda do primeiro elemento não-nulo de cada uma das linhas subsequentes e, além disso, as linhas nulas (se houver) estão abaixo das demais Operações Elementares 1 Trocar a posição de duas linhas 2 Somar a uma linha um múltiplo de outra linha 3 Multiplicar uma linha por um número diferente de zero Discreveremos a seguir o processo de eliminação (ou escalonamento), o qual, mediante aplicações sucessivas das duas operações elementares às linhas de uma matriz, produz uma matriz escalonada Procedimento: (a) Se a 11 0, o processo começa deixando a primeira linha intacta e somando a primeira linha intacta e somando a cada linha L i, com i 2, a primeira linha multiplicada por a i1 a 11 Com isto se obtém uma matriz cuja primeira coluna é (a 11, 0,, 0) (b) Se a 11 = 0, uma troca de linhas fornece uma matriz com a 11 0, desde que a primeira coluna não seja nula Se, porém todos os elementos de primeira coluna são iguais a zero, passa-se para a segunda coluna ou, mais geralmente, para a coluna mais próxima, à direita da primeira, onde haja algum elemento não-nulo e opera-se como antes, de modo a obter uma matriz cuja primeira coluna não-nula começa comum elemento diferente de zero, mas todo os demais são iguais a zero A partir dai não se mexe mais na primeira linha Recomeça-se o processo, trabalhando com as linhas a partir da segunda, até obter uma matriz escalonada Exemplo L 2 L 2 5L 1 L 3 L 3 9L L 3 L 3 2L Resolução de Sistemas Lineares Utilizando Eliminação Considere o sistema 2u + v + w = 5 4u 6v = 2 2u + 7v + 2w = 9

13 12 SISTEMAS LINEARES 13 Vamos aplicar a eliminação na matriz ampliada do sistema: L L 2 ( 4 2 )L 1 L L 3 L L 3 ( 8 8 )L ( 2 2 )L Essa matriz está escalonada logo, Substituindo w = 2 na segunda equação 2u + v + w = 5 8v 2w = 12 w = 2 8v = 12 4 = 8 v = 1 Substituindo v = 1 e w = 2 na primeira equação 2u = = 2 u = 1 Logo a solução do sistema é u = v = 1 e w = 2 Os elementos da diagonal principal de uma matriz escalonada são chamados de pivôs Note que todos os pivôs da matriz acima são diferentes de zero e que esse sistema tem solução única Exemplo de sistema não-singular: u + v + w = a 2u + 2v + 5w = b 4u + 6v + 8w = c u + v + w = a 2v + 4w = c 4a 3w = b 2a u + v + w = a 3w = b 2a 2v + 4w = c 4a Os pivôs são todos diferentes de zero, logo esse sistema tem solução para qualquer valor de a, b e c Exemplo de sistema singular: u + v + w = a 2u + 2v + 5w = b 4u + 4v + 8w = c u + v + w = a 3w = b 2a 4w = c 4a Esse sistema tem um pivô igual a zero Não podemos concluir nada sobre esse sistema a principio, pois 3w = b 2a e 4w = c 4a w = b 2a e w = b 4a, ou seja, se 3 4 b 2a 3 b 4a 4 Porém se b 2a solução 3 o sistema não tem solução = b 4a, ou seja, 4b 3 + 4a = 0 implica que o sistema tem infinitas 4

14 14 CAPÍTULO 1 MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 123 Exemplo do Método de Gauss-Jordan para encontrar A 1 O método de eliminação que vimos é também chamado método de Gauss Existe ainda o método de Gauss-Jordan Ele continua a eliminação iniciada pelo método de Gauss, chegando no final a uma matriz escalonada, com a propriedade adicional de que, acima e abaixo do primeiro elemento não-nulo de cada linha, todos os elementos são iguais a zero Se a matriz for (quadrada e) invertível, o primeiro elemento não-nulo de cada linha da matriz escalonada está sobre a diagonal Portanto, neste caso, o método de Gauss-Jordan produz uma matriz cujos elementos não-nulos constituem a diagonal Exemplo: Vamos calcular a inversa da matriz A usando o método de eliminação de Gauss-Jordan A = Escreva [A I 3 ], L L L 1 L 3 L L L 3 L 3 +L = [U L 1 ] L 2 L 2 +2L L 1 L 1 L L 1 L L L L L 2 L = [I 3 A 1 ] Exercícios 1 Se A = (a ij ) 3 5, B = (b ij ) 5 3, C = (c ij ) 5 1 e D = (d ij ) 3 1, todas as entradas são 1 Qual das operações seguintes podem ser feitas? E qual o seu resultado BA AB ABD DBA A(B + C) Calcule A 2 e A 3 Adivinhe qual o valor de A 5 e A n : [ ] [ ] 1 b 2 2 A = e A =

15 13 EXERCÍCIOS 15 2 Mostre que (A + B) 2 é diferente de A 2 + 2AB + B 2, para [ ] [ ] A = e B = Escreva a regra correta para (A + B)(A + B) = A B 2 3 Escreva uma matriz 3 3 que as entradas satisfação, a) a ij = mínimo entre i e j b) a ij = ( 1) i+j c) a ij = i/j 4 Resolva os sistemas lineares abaixo usando eliminação a) 2u + v + w = 5 u 8v 2w = 12 3u + w = 2 b) { v + w = 1 u 8v = 2 c) x + y + z + w = 5 2x + y = 1 3x 2z + w = 2 x y + z + w = 1 5 Encontre o coeficiente b que faz com que o sistema abaixo seja singular Depois encontre o valor de g para que esse sistema tenha infinitas soluções Encontre duas soluções neste caso { 2x + by = 16 4x + 6y = g 6 Para que valores de a o sistema abaixo não é singular? { ax + 3y = 3 4x + 6y = 6 Encontre a solução do sistema para esses valores de a 7 Reduza esse sistema a um sistema triangular superior com duas operações de linhas: 2x + 3y + a = 8 4x + 7y + 5z = 20 2y + 2z = 0 Circule os pivôs Resolva o sistema usando substituição

16 16 CAPÍTULO 1 MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 8 Para que valores de d o sistema abaixo não é singular? 2x + 5y + z = 0 4x + dy + z = 2 y z = 3 Encontre a solução do sistema para esses valores de d Para que valores de d o sistema é singular 9 Construa um exemplo de sistema linear 3 3 que tenha 9 coeficientes diferentes do lado esquerdo, mas que as linhas 2 e 3 se tornam zero quando aplicada eliminação Quantas soluções esse sistema tem quando b = (1, 10, 100) e quando b = (0, 0, 0)? 10 Qual número q torna o sistema singular e qual número t faz com que ele tenha infinitas soluções? Encontre uma solução quando temos z = 1 x + 4y 2z = 1 x + 7y 6z = 6 3y + qz = t 11 É impossível para um sistema de equações lineares ter exatamente duas soluções Explique porque a) Se (x, y, z) e (X, Y, Z) são duas soluções, qual seria uma outra solução? b) Se 25 planos se encontram em dois pontos, onde mais se encontram? 12 Encontre os pivôs e a solução para essas 4 equações: 2x + y = 0 x + 2y + z = 0 y + 2z + t = 0 z + 2t = 5 13 Esse sistema tem os mesmos pivôs e lado direito que o sistema anterior As soluções desses sistemas são diferentes? 2x y = 0 x + 2y z = 0 y + 2z t = 0 z + 2t = 5 [ ] a 2 14 Para quais dois números a a eliminação falha em A =? a a 15 Se A tem linha1 + linha2 = linha3, mostre que A não é invertível 16 Se A tem coluna1 + coluna2 = coluna3, mostre que A não é invertível [ ] [ ] [ ] [ ] x 1 17 Mostre que não tem inversa, porém o sistema = tem solução y 0

17 13 EXERCÍCIOS Encontre as inversas de e a) Encontre duas matrizes invertíveis A e B tal que A + B não é invertível b) Encontre duas matrizes singulares A e B tal que A + B é invertível

18 18 CAPÍTULO 1 MATRIZES E SISTEMAS LINEARES

19 Capítulo 2 Espaços e Subespaços Vetoriais 21 Espaços Vetoriais Um espaço vetorial E é um conjunto, cujos elementos são chamados vetores, no qual estão definidas duas operações: Adição : a cada par de vetores u, v E faz corresponder um novo vetor u+v E, chamado a soma de u e v Multiplicação por um número real : a cada número α R e a cada vetor v R faz corresponder um novo vetor αu E, chamado o produto de α por v Essas operações devem satisfazer, para quaisquer α, β R e u, v, w R, as condições abaixo, chamadas os axiomas de espaço vetorial: Comutatividade : u + v = v + u; Associatividade : (u + v) + w = u + (v + w) e (αβ)v = α(βv); Vetor nulo : Existe um vetor 0 E, chamado vetor nulo, ou vetor zero, tal que v + 0 = 0 + v = v para todo v E; Inverso aditivo : Para cada vetor v E existe um vetor v E chamado inverso aditivo, ou o simétrico de v, tal que v + v = v + ( v) = 0 ; Distributividade : (α + β)v = αv + βv e α(u + v) = αu + βv; Multiplicação por 1 : 1 v = v Exemplo 2 Para todo número natural n, o símbolo R n representa o espaço vetorial euclidiano n-dimensional Os elementos de R n são as listas ordenadas u = (α 1,, α n ) e v = (β 1,, β n ) de números reais, as operações são u + v = (α 1 + β 1,, α n + β n ), α v = (αβ 1,, αβ n ), o zero é 0 = (0,, 0) e o inverso aditivo de u = (α 1,, α n ) é u = ( α 1,, α n ) 19

20 20 CAPÍTULO 2 ESPAÇOS E SUBESPAÇOS VETORIAIS Exemplo 3 Os elementos do espaço vetorial R são as sequências infinitas u = (α 1,, α n, ) e v = (β 1,, β n, ) de números reais O elemento zero de R é a sequência 0 = (0,, 0, ) formada por infinitos zeros E o inverso aditivo da sequência u = (α 1,, α n, ) é u = ( α 1,, α n, ) As operações: u + v = (α 1 + β 1,, α n + β n, ) (adição), α v = (αβ 1,, αβ n, ) (multiplicação por um número real) Exemplo 4 O conjunto M(m n) de todas as matrizes m n torna-se um espaço vetorial quando nele se define a soma das matrizes A = (a ij ) m n e B = (b ij ) m n como, A + B = (a ij + b ij ) m n e o produto da matriz pelo número real α como, αa = (αa ij ) m n A matriz nula 0 M(m n) é aquela formada por zeros e o inverso aditivo da matriz A = (a ij ) m n é A = ( a ij ) m n Exemplo 5 Seja X um conjunto não-vazio qualquer O símbolo F(X, R) representa o conjunto de todas as funções reais f, g : X R Ele se torna uma espaço vetorial quando se define a soma f + g de duas funções e o produto α f do número α pela função f da maneira natural: (f + g)(x) = f(x) + g(x) para cada x X (α f)(x) = α f(x) para cada x X Variando o conjunto X, obtêm-se diversos exemplos de espaços vetoriais da forma F(X, R) Por exemplo: X = {1,, n} F(X, R) = R n X = R F(X, R) = R X é o produto cartesiano dos conjuntos {1,, m} e {1,, n} F(X, R) = M(m n) Algumas Propriedades de espaço vetorial 1 w + u = w + v u = v Prova: u = 0 + u = ( w + w) + u (inverso aditivo) = w + (w + u) (associatividade) = w + (w + v) = ( w + w) + v = 0 + v = v

21 22 SUBESPAÇOS VETORIAIS 21 2 w + u = w u = 0 Prova: w + u = w w + u = w + 0 pela propriedade 1, u = 0 3 w + u = 0 w = u Prova: w + u = 0 w + u = w + ( w) pela propriedade 1, u = w 4 Dados 0 R e v E tem-se 0v = 0 E Prova: v + 0 v = 1 v + 0 v = (1 + 0) v = 1 v = v pela propriedade 1, 0 v = 0 5 Dados α R e 0 E tem-se α 0 = 0 E Prova: α 0 + α 0 = α (0 + 0 ) = α 0 pela propriedade 1, α 0 = 0 6 Se α 0 e v 0 então α v 0 Prova: α v = 0 v = 1 0 = (α 1 α)v = α 1 (αv) = α 1 0 = 0 v = 0 7 ( 1) v = v Prova: v + ( 1)v = 1v + ( 1)v = (1 + ( 1))v = 0v = 0 ( 1)v = v 22 Subespaços Vetoriais Seja E um espaço vetorial Um subespaço vetorial (ou simplismente subespaço) de E é um subconjunto F E com as seguintes propriedades: 1 0 F 2 Se u, v F então u + v F 3 Se v F então para todo α R e αv F Decorre diretamente da definição: Se u e v F E subespaço de E e α e β R então αu + βv F Mais geralmente, dados v 1,, v n F e α 1,, α n R tem-se v = α 1 v 1 + +α n v n F O conjunto {0 }, com o único elemento 0, e o subespaço inteiro E são exemplos triviais de subespaço de E Todo subespaço é, em si mesmo, um espaço vetorial Exemplo 6 Seja v E um vetor não-nulo O conjunto F = {αv; α R} de todos os múltiplos de v é um subespaço vetorial de E, chamado a reta que passa pela origem e contém v Exemplo 7 Seja E = R 2 e F = {(a, b) R 2 ; a 0 e b 0} F não é um subespaço de R 2, pois considere v = (1, 1) e α = 1, temos que α v = ( 1, 1) / F Considere F 1 = {(a, b); a 0 e b 0} Tome G = F F 1, note que G não é subespaço vetorial de R 2, pois se pegarmos v = (1, 2) e u = ( 2, 1), temos u + v = ( 1, 1) / G

22 22 CAPÍTULO 2 ESPAÇOS E SUBESPAÇOS VETORIAIS Exemplo 8 Seja E = M(3 3) o espaço das matrizes 3 3 e F = {A E; A é uma matriz triangular superior} G = {A E; A é uma matriz simétrica} Exercício 1 Prove que F e G são subespaços de M(3 3) Considere uma matriz A M(m n) e o vetor b R m O sistema Ax = b tem solução se e somente se o vetor b pode ser escrito como combinação linear dos vetores coluna da matriz A, isto é, se existe x 1,, x n R tal que b = x 1 a 11 a m1 + x 2 a 12 a m2 + + x n a 1n a mn = a 11 a 1n a m1 a mn Em particular, se os vetores colunas v 1,, v n geraram R m, o sistema possui solução seja qual for o vetor b R m Chamaremos de espaço coluna de uma matriz A, o espaço formado por todas as combinações lineares dos vetores coluna da matriz A E denotaremos por R(A) Dessa forma, o sistema Ax = b tem solução se e somente se b R(A) Afirmação 21 R(A) é um subespaço de R m Prova: i Em primeiro lugar vamos provar que o vetor nulo pertence a R(A), para isso, basta observar que A 0 n 1 = 0 m 1, logo 0 m 1 R(A) ii Agora tome b e b R(A), isso implica que Ax = b e Ax = b para algum x e x R n Dessa forma, A(x + x ) = b + b o que implica que b + b R(A), pois x + x é solução de Ay = b + b iii tome b R(A) e α R, isso nos dá que existe x R n tal que Ax = b, assim A(αx) = αax = αb o que implica que Ay = αb tem solução, e dessa forma αb R(A) x 1 x n O espaço nulo de uma matriz A é o espaço formado por todos os vetores x R n tal que Ax = 0 Denotamos este espaço por N (A) Exemplo Considere a matriz A = 5 4 vamos encontrar R(A) e N (A) Escalonando A: b b 5 4 b 2 L 2 L 2 5L b L 3 L 3 2L b 2 5b 1 1 L 3 L 3 L b 2 5b b b 3 2b b 3 b 2 + 3b 1

23 22 SUBESPAÇOS VETORIAIS 23 Assim, A = = LU [ ] 0 x Portanto, A = = 0 implica em x = y = 0, o que nos dá N (A) = {(0, 0)} Além y x b 1 disso, Ux = L 1 b, onde L 1 = o que nos dá 4y = b 2 5b 1, mas b 3 b 2 + 3b 1 isso implica que: Exemplo 10 b 3 b 2 + 3b 1 = 0 b 3 = b 2 3b 1 R(A) = {(b 1, b 2, b 2 3b 1 ); b 1 e b 2 R} Considere a matriz A = vamos encontrar R(A) e N (A) Note que 9 = Assim segue diretamente do exemplo anterior que N (A) = {(x, y, z) R 3 ; y = x e z = x} = {(c, c, c); c R} R(A) = {(b 1, b 2, b 3 ) R 3 ; b 3 = b 2 3b 1 } = {(b 1, b 2, b 2 3b 1 ); b 1 e b 2 R} A solução de m equações com n incógnitas Se a e b R uma solução de ax = b tem três alternativas: i Se a 0, então para qualquer b existe a solução x = b a ii Se a = 0 e b = 0, existe infinitas soluções, qualquer xr satisfaz 0 x = 0 iii Se a = 0 e b 0, não existe solução para 0 x = b Afirmação 22 Seja A M(n m) então existe P uma matriz de permutação, L uma matriz triangular inferior, com diagonal unitária e U uma matriz escalonada m n, tal que P A = LU Não iremos provar essa afirmação Exemplo 11 Seja A = = = LU

24 24 CAPÍTULO 2 ESPAÇOS E SUBESPAÇOS VETORIAIS Considere o sistema linear Ax = b Primeiro vamos resolver o caso homogêneo, b = 0, ou seja, Ax = 0, que reduz-se a resolver Ux = 0 u Ux = v 0 w = y 3w + y = 0 w = 1 y u + 3v + 3w + 2y = 0 u = 3v y 3 3v y 3 1 x = v 1y = v y y 0 1 Dessa forma, todas as soluções de Ax = 0 são combinações lineares dos vetores ( 3, 1, 0, 0) 3 1 e ( 1, 0, 1, 1) Além disso, N (A) = {w 3 R4 ; w = v 1 0 +y 0 1 para todo v e y R} note que v e y são as variáveis livres Observação: A dimensão do espaço nulo é a mesma que o número de varáveis livres Voltando ao caso geral Ax = b, temos que Ux = L 1 b, ou seja, u v b 1 w = b 2 2b b y 3 2b 2 + 5b 1 como a última linha da matriz U é formada por zeros, temos que para o sistema ter solução b 3 2b 2 + 5b 1 = 0 Em outras palavras, o espaço coluna da matriz A não tem dimensão 3 Tome b = (1, 5, 5), o sistema Ax = b tem solução para esse b específico e fazendo a eliminação temos que u Assim v 1 = w y 3w + y = 3 ou w = y O que nos leva a u + 3v + 3w + 2y = 1 ou u = 2 3v y u x = v w = v y y 0 0 1

25 23 EXERCÍCIOS 25 Esta é exatamente a solução para Ax = 0 mais um novo termo Este é ( 2, 0, 1, 0) que chamaremos solução particular para Ax = b Podemos sempre dizer que uma solução para Ax = b é a soma de uma solução particular e a solução para Ax = 0, x geral = x particular + x homogênea Note que Ax geral = Ax particular + Ax homogênea = Ax particular + 0 Definição 1 O elemento a jj 0 de uma matriz escalonada A, chama-se um pivô de A A eliminação resolve o número de pivôs e variáveis livres Se existem r pivôs, existem r variáveis básicas e n r variáveis livres Suponha que Ax = b seja reducido por eliminação para Ux = c Se r é o número de pivôs e as últimas m r linhas de U são nulas Então existe uma solução se e somente se as últimas m r componentes de c são zero Se r = m, existe sempre uma solução A solução geral é a soma da solução particular e a solução homogênea Se r = n, não existe variável livre e o espaço nulo contém somente x = 0 Definição 2 O número r é chamando o posto da matriz A 23 Exercícios 1 Mostre que as operações definidas no texto fazem realmente dos conjuntos R b, M(m n) e F(X ; R) espaços vetoriais 2 Ache o valor de t que torna a matriz abaixo igual à matriz nula: [ ] t 2 1 t 2 1 t 3 1 t 2 3t Em R 2, mantenhamos a definição de produto αv de um número por um vetor mas modifiquemos, de 3 maneiras diferentes, a definição da soma u+v dos vetores u = (x, y) e v = (x, y )Em cada tentativa, dizer quais axiomas de espaço vetorial continuam válidas e quais são violados: a) u + v = (x + y, x + y); b) u + v = (xx, yy ); c) u + v = (3x + 3x, 5x + 5x ) 4 a) Mostre que o conjunto das matrizes invertíveis não formam um subespaço vetorial b) Mostre que o conjunto das matrizes singulares não é um espaço vetorial

26 26 CAPÍTULO 2 ESPAÇOS E SUBESPAÇOS VETORIAIS 5 Falso ou verdadeiro, justifique: a) As matrizes simétricas (A T = A) formam um subespaço do espaço das matrizes b) As matrizes anti-simétricas (A T = A) formam um subespaço do espaço das matrizes c) As matrizes que não são simétricas (A T A) formam um subespaço do espaço das matrizes 6 Descreva o espaço coluna e o espaço nulo das matrizes: 1 2 a) A = b) B = c) C = Encontre condições em b 1, b 2, b 3 para que os sistemas seguintes tenham solução x 1 b 1 a) x 2 = b x 3 b [ ] b 1 b) x1 = x 2 8 Falso ou verdadeira (dê um contra-exemplo se falso): b 2 b 3 a) O vetor b que não estão no espaço coluna R(A) forma um subespaço b) Se R(A) contem somente o vetor nulo então A é a matriz nula c) O espaço coluna de 2A é igual ao espaço coluna de A d) O espaço coluna de A I é igual ao espaço coluna de A 9 Sejam u = (a, b) e v = (c, d) vetores não-nulos em R 2 Prove que: v é multiplo de u, se e somente se ad bc = 0, isto é, v = αu para algum α R 10 Quais dos seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais? a) O conjunto X R 3 formado pelos vetores v = (x, y, z) tais que z = 3x e x = 2y b) O conjunto Y R 3 formado pelos vetores v = (x, y, z) tais que xy = 0 c) O conjunto das matrizes 2 3 nas quais alguma coluna é formada por elementos iguais d) O conjunto F F(R; R) formado pelas funções f : R R tais que f(x + 1) = f(x) para todo x R

27 23 EXERCÍCIOS 27 e) O conjunto L R n dos vetores v = (x, 2x,, nx) onde x R é arbitrário f) O conjunto dos vetores v R 5 que têm duas ou mais coordenadas nulas g) O conjunto dos vetores de R 3 que têm pelo menos uma coordenada

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