Notas de Aulas de Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares

Transcrição

1 FATEC Notas de Aulas de Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares Prof Dr Ânderson Da Silva Vieira 2017

2 Sumário Introdução 2 1 Matrizes 3 11 Introdução 3 12 Tipos especiais de Matrizes 3 13 Operações com Matrizes Adição Multiplicação por escalar Transposição Multiplicaçao de Matrizes 5 14 Exercícios 6 2 Determinantes 8 21 Desenvolvimento de Laplace 9 22 Exercícios 12 3 Sistema Lineares Definições Sistemas Equivalentes Sistemas Escalonados Exercícios 17 Respostas 19 Referências 23

3 Tais notas tem como referências os seguinte livros: [3] [1], [4] e [2] Introdução

4 Capítulo 1 Matrizes 11 Introdução Representaremos uma matriz de m linhas e n colunas por: a 11 a 12 a 1n a A m n = 21 a 22 a 2n = [a ij ] m n a m1 a m2 a mn Usaremos sempre letras maiúsculas para denotar matrizes, e quando quisermos especificar a ordem de uma matriz A, ou seja, o número de linhas e colunas, escreveremos A m n Definição 111 Duas matrizes A m n = [a ij ] m n e B r s = [b ij ] r s são iguais, A = B, se elas têm o mesmo número de linhas(m = r) e colunas (n = s) e todos os elementos são iguais (a ij = b ij ) 12 Tipos especiais de Matrizes Consideremos uma matriz com m linhas e n colunas que denotamos por A m n Matriz Quadrada é aquela que tem o mesmo número de linhas e colunas (m = n) Matriz Nula é aquela que tem a ij = 0, para todo i e j Denotaremos por 0

5 13 Operações com Matrizes 4 Matriz-Coluna é aquela que tem apenas uma coluna (n = 1) Matriz-Linha é aquela que tem apenas uma linha (m = 1) Matriz Diagonal é uma matriz quadrada (m = n) onde a ij = 0, para todo i j, isto é, os elementos que não estão na diagonal são nulos Matriz Identidade Quadrada é aquela que a ii = 1 e a ij = 0, i j Denotaremos por I Matriz Triangular Superior é aquela onde todos os elementos abaixo da diagonal são nulos, isto é, m = n e a ij = 0, para i > j Matriz Triangular Inferior é aquela onde todos os elementos acima da diagonal são nulos, isto é, m = n e a ij = 0, para i < j Matriz Simétrica é aquela onde m = n e a ij = a ji 13 Operações com Matrizes 131 Adição Asomadeduasmatrizesdemesmaordem, A m n = [a ij ]eb m n = [b ij ], éumamatriz m n, que denotaremos A + B, cujos elementos são somas dos elementos correspondentes de A e B, ou seja, A + B = [a ij + b ij ] m n Propriedades: Dadas as matrizes A, B e C de mesma ordem m n, temos i) A + B = B + A (comutatividade) ii) A + (B + C) = (A + B) + C (associatividade) iii) A + 0 = A, onde 0 denota a matriz nula m n

6 13 Operações com Matrizes Multiplicação por escalar Seja A m n = [a ij ] e k R, então definimos k A m n = [ka ij ] m n temos Propriedades: Dadas as matrizes A e B de mesma ordem m n e k, k 1, k 2 R, i) k(a + B) = ka + kb, ii) (k 1 + k 2 )A = k 1 A + k 2 A, iii) 0 A = 0, iv) k 1 (k 2 A) = (k 1 k 2 )A 133 Transposição Dada uma matriz A = [a ij ] m n, podemos obter uma outra matriz A t = [b ij ] n m, cujas linhas são as colunas de A, ou seja, b ij = a ji A t é denotada a transposta de A 134 Multiplicaçao de Matrizes Sejam A = [a ij ] m n e B = [b ij ] n p Definimos AB = [c uv ] m p, onde n c uv = a uk b kv = a u1 b 1v + + a un b nv k=1 Propriedades: i) Em geral, AB BA, ii) AI = IA = A, iii) A(B + C) = AB + AC, (distributiva à esquerda da multiplicaçao, em relação à soma)

7 14 Exercícios 6 iv) (A + B)C = AC + BC, (distributiva à direita da multiplicaçao, em relação à soma) v) (AB)C = A(BC), (assiciatividade) vi) (AB) t = B t A t, vii) 0 A = A 0 = 0 14 Exercícios 1 Sejam A = ; B = ; C = e D = [ ] 2 1 Encontre: (a) A + B (b) A C (c) B C (d) C D (e) D A (f) D B (g) A (h) D 2 x 2 2 Seja A = Se A = A, então determine o valor de x 2x Se A é uma matriz simétrica, então A A t = 4 Se A é uma matriz diagonal, então A t =

8 14 Exercícios 7 5 Verdadeiro ou falso? (a) ( A t ) = (A t ) (b) (A + B) t = B t + A t (c) Se AB = 0, então A = 0 ou B = 0 (d) (k 1 A)(k 2 B) = (k 1 k 2 )AB (e) ( A)( B) = (AB) (f) Se A e B são matrizes simétricas, então AB = BA (g) Se A B = 0, então B A = 0 (h) Se podemos efetuar o produto A A, então A é uma matriz quadrada 6 Se A 2 = A A, então A = = 7 Se A é uma matriz triangular superior, então A 2 é 8 Determine os valores de x, y, z e w tal que x z y 2 3 = 1 0 w

9 Capítulo 2 Determinantes Quando nos referirmos ao determinante, isto é, ao número associado a uma matriz quadrada A = [a ij ], escreveremos det A ou A ou det[a ij ] Então det[a] = a det a 11 a 12 = a 11 a 22 a 12 a 21 a 21 a 22 a 11 a 12 a 13 det a 21 a 22 a 23 = a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 32 a 21 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32 a 31 a 32 a 33 Propriedades i) Se todos os elementos de uma linha(coluna) de uma matriz são nulos, det A = 0 ii) det A = det A t iii) Se multiplicarmos uma linha da matriz por uma constante, o determinante fica multiplicado por esta constante iv) Uma vez trocada a posição de duas linhas, o determinante troca de sinal

10 21 Desenvolvimento de Laplace 9 v) O determinante de uma matriz que tem duas linhas(colunas) iguais é zero a 11 a 1n a 11 a 1n a 11 a 1n vi) b i1 + c i1 b in + c in = b i1 b in + c i1 c in a n1 a nn a n1 a nn a n1 a nn vii) O determinante não se altera se somarmos a uma linha outra linha multiplicada por uma constante viii) det(a B) = det A det B 21 Desenvolvimento de Laplace Já vimos a 11 a 12 a 13 A = det a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 32 a 21 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32 = a 11 (a 22 a 33 a 23 a 32 ) a 12 (a 21 a 33 a 23 a 31 ) +a 13 (a 32 a 21 a 22 a 31 ) = a 11 det a 22 a 23 a 12 det a 21 a 23 + a 13 det a 21 a 22 a 32 a 33 a 31 a 33 a 31 a 32 = a 11 D 11 a 12 D 12 + a 13 D 13, onde D ij é o determinante da submatriz da inicial, de onde a i-ésima e a j-ésima coluna foram retiradas D ij é chamada menor complementar do elemento a ij Se chamamos complemento algébrico do elemento a ij por C ij = ( 1) i+j D ij teremos det A = a 11 C 11 + a 12 C 12 + a 13 C 13,

11 21 Desenvolvimento de Laplace 10 assim para uma matriz de ordem n det A n n = Ao número C ij chamamos cofator n a ij C ij j=1 Com os cofatores podemos formar uma nova matriz A que será chamada matriz dos cofatores de A A = [C ij ] Dada uma matriz quadrada A, chamaremos de matriz adjunta de A à transposta a matriz dos cofatores de A A = (A ) t Exemplo 211 Seja B = Vamos calcular a adjunta de B B 11 = ( 1) = 6, B 12 = ( 1) = 0, B 13 = ( 1) = 0, B 21 = ( 1) = 4, B 22 = ( 1) = 2, B 23 = ( 1) = 0, B 31 = ( 1) = 5, B 32 = ( 1) = 2, B 33 = ( 1) = 3, então, a adjunta de B é B = (B ) t = Definição 211 Dada uma matriz quadrada A de ordem n, chamamos de inversa de A a uma matriz B tal que A B = B A = I n, onde I n é a matriz identidade de ordem n Escreveremos A 1 para a inversa de A

12 21 Desenvolvimento de Laplace 11 Teorema 211 A (A ) t = A A = (det A)I n Corolário 2111 Seja A n n Se det(a) 0, então A 1 = 1 det(a) A Exemplo 212 Seja B = Vamos calcular a inversa B No Exemplo 211, já calculamos sua adjunta, logo B 1 = det(b) B = = Suponhamos que A n n tenha inversa: A A 1 = I n, então Logo, concluímos que se A tem inversa det A 1 = 1 det A i) det A 0; ii) det A 1 = 1 det A Teorema 212 Uma matriz quadrada A admite uma inversa se, e somente se, det A 0 Para encontrar a matriz inversa podemos usar o seguinte procedimento: Operamos simultaneamente com as matrizes A e I, através de operações elementares: (I) Permutar duas linhas de A;

13 22 Exercícios 12 (II) Multiplicar uma das linhas de A por um número real λ 0; (III) Somar a uma das linhas da matriz A uma outra linha dessa matriz multiplicada por um número real; até chegamos à matriz I na posição correspondente à matriz A : (A : I) (I : A 1 ) 22 Exercícios Calcule det (a) pela definição; (b) em relação à segunda coluna, usando o desenvolvimento de Laplace 2 Dadas as matrizes A = 1 2 e B = 3 1, calcule (a) det A + det B (b) det(a + B) Dada A =, calcule (a) D 23 (b) C 23 (c) det A 4 Calcule det A, onde

14 22 Exercícios (a) A = (b) A = 6 π Encontre A 1, onde (a) A = x (b) A = 1 1 x x 2

15 Capítulo 3 Sistema Lineares 31 Definições Definição 311 Dados os números reais α 1,, α n, β, (n 1), à equação α 1 x α n x n = β, onde os x i são variáveis em R, damos o nome de equação linear sobre R nas incógnitas x 1,, x n Umasoluçãodessaequaçaoéumasequênciade nnúmerosreais 1 (nãonecessariamente distintos entre si), indicada por (b 1,, b n ), tal que α 1 b α n b n = β é uma frase verdadeira Definição 312 Um sistema de m equações lineares com n incógnitas (m, n 1) é conjunto de m equações lineares, cada uma delas com n incógnitas, consideradas simultaneamente Um 1 Também chamada de n-upla

16 32 Sistemas Equivalentes 15 sistema linear se apresenta do seguinte modo S : α 11 x α 1n x n = β 1 α 21 x α 2n x n = β 2 α m1 x α mn x n = β m Uma solução do sistema acima é uma n-upla (b 1,, b n ) de números reais que é solução de cada uma das equações do sistema Definição 313 Dizemos que um sistema linear S é incompatível se S não admite nenhuma solução Um sistema linear que admite uma única solução é chamado compatível determinado Se um sistema linear S admitir mais de uma solução, ele recebe o nome de compatível indeterminado Se β i = 0, 1 i m, o chamamos S de homogêneo A n-upla (0, 0,, 0) é solução de S neste caso e por isto todo sistema homogêneo é chamado compatível Chamamos (0, 0,, 0) de solução trivial Corolário 3101 (Regra de Cramer) Se o sistema linear AX = B é tal que A é n n é invertível, então a solução do sistema é dada por x j = det(a j) det(a), 1 j n, em que A j é a matriz que se obtém de A substituindo-se a sua j-ésima coluna por B 32 Sistemas Equivalentes Seja S um sistema linear de m equações com n incógnitas Interessa-nos considerar os sistemas que podem ser obtidos de S de uma das seguintes maneiras: (I) Permutar duas das equações de S

17 33 Sistemas Escalonados 16 (II) Multiplicar uma das equações de S por um número real λ 0 (III) Somar a uma das equações do sistema uma outra equação desse sistema multiplicada por um número real 33 Sistemas Escalonados Consideremos um sistema linear de m equações com n incógnitas que tem o seguinte aspecto: α 1r1 x r1 + + α 1n x n = β 1 S : α 2r2 x r2 + + α 2n x n = β 2 α krk x rk + + α kn x n = β k 0x n = β k+1, onde α iri x ri 0, 1 i k, e cada r i 1 Se tivermos 1 r 1 < r 2 < r n n diremos que S é um sistema linear escalonado Proposição 31 Todo sistema linear S é equivalente a um sistema escalonado Suponhamos que um sistema tenha sido escalonado e ao retirar todas as equações do tipo 0 = 0 restaram p equações com n incógnitas (I) Se a última das equações restantes é 0x x n = β p, β p 0 então o sistema é incompatível; (II) Se p = n o sistema é compatível determinado; (III) Se p < n, então o sistema é compatível indeterminado

18 34 Exercícios 17 Definição 331 Dadas uma matriz A m n, seja B m n a matriz escalonada equivalente a A O posto de A, denotado por p, é o número de linhas não nulas de B A nulidade de A é o número n p 34 Exercícios 1 Resolva o sistema de equações, escrevendo as matrizes ampliadas, associadas aos novos sistemas 2x y + 3z = 11 4x 3y + 2z = 0 x + y + z = 6 3x + y + z = 4 2 Reduza as matrizes à forma escada reduzida por linhas (a) (b) (c) Calcule o posto e a nulidade das matrizes da questão 3 4 Determine k, para que o sistema admita solução 4x + 3y = 2 5x 4y = 0 2x y = k

19 34 Exercícios 18 5 Encontre todas as soluções do sistema x 1 + 3x 2 + 2x 3 + 3x 4 7x 5 = 14 2x 1 + 6x 2 + x 3 2x 4 + 5x 5 = 2 x 1 + 3x 2 x 3 + x 5 = 1 6 Resolva o sistema, usando a Regra de Cramer: x 2y + z = 1 2x + y = 3 y 5z = 4

20 Respostas CAPÍTULO (a) (b) 4 6 (c) (d) [ ] (e) [ ] (f) (g) [ ] (h) x = 1 3 Matriz nula 4 A

21 34 Exercícios 20 5 (a) V (b) V (c) F, (d) V = (e) F (f) F Dica: A = (g) F Dica: A = (h) V Triangular superior x = 4, y = 3, z = 3, w = 2, B =, B = CAPÍTULO 2 1 (a) 21 (b) 21 2 (a) 1 (b) 3 3 (a) 36 (b) -36 (c) 0

22 34 Exercícios 21 4 (a) 12 (b) (a) x x (b) 1 x 2 x 1 x x x 2 x 2 6 x = 36 23, y = 3 23, x = CAPÍTULO 3 1 x = 1, y = 2, z = (a) (b) (c) (a) Posto: 3; Nulidade:0

23 Índice Remissivo 22 (b) Posto: 2; Nulidade:1 (c) Posto: 2; Nulidade:0 4 k = 6 5 x 1 = 1 3x 2 x 5, x 3 = 2 + x 5, x 4 = 3 + 2x 5 6 x = 6 7, y = 33 7, z = 1 7

24 Referências [1] JL Boldrini Álgebra linear HARBRA, 1986 [2] C Henry Edwards and David E Penney Introdução à álgebra linear Prentice-Hall, 1988 [3] Gelson Iezzi and Samuel Hazzan Fundamentos de Matemática Elementar: Sequências, Matrizes, Determinantes e Sistemas, volume 4 Atual Editora, 8a edition, 2013 [4] SJ Leon Álgebra linear com aplicações LTC, 1999