Capítulo 2 - Determinantes

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1 Capítulo 2 - Determinantes Carlos Balsa balsa@ipb.pt Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança Matemática I - 1 o Semestre 2011/2012 Matemática I 1/ 19 DeMat-ESTiG

2 Sumário Determinante de uma Matriz 2 2 Definição Interpretação Geométrica Determinante de uma Matriz 3 3 Definição Regra de Sarrus Interpretação Geométrica do Determinante de Ordem 3 Determinantes de Ordem n Menores Cofatores Desenvolvimento de Laplace Alguma Propriedades dos Determinantes Matemática I 2/ 19 DeMat-ESTiG

3 Introdução aos Determinantes Determinante de uma matriz quadrada A de ordem n é um escalar denotado por A ou det(a) Vai determinar se os vectores coluna da matriz A são linearmente dependentes (colineares ou complanares) ou não Regra de cálculo do determinante varia com ordem da matriz A Determinate de uma matriz A = [a 11 ], de ordem 1 1, é A = a 11 Exemplo: se A = [ 3], então A = 3 Matemática I 3/ 19 DeMat-ESTiG

4 Definição Definição Determinante de uma matriz quadrada A de ordem 2 é dado por [ ] A = a11 a 12 = a a 21 a 11 a 22 a 21 a Corresponde à subtracção do produto dos elementos da diagonal principal pelo produto da diagonal secundária [ ] 1 3 Exemplo: determinante de A = é 1 2 [ ] A = 1 3 = ( 1)( 2) (1)(3) = 2 3 = Matemática I 4/ 19 DeMat-ESTiG

5 Interpretação Geométrica Interpretação Geométrica [ a c Paralelogramo gerado pelos vectores coluna de A = b d ] b+d d A3 A2 A1 Ap A1 b 0 c A2 a A3 a+c Matemática I 5/ 19 DeMat-ESTiG

6 Interpretação Geométrica Interpretação Geométrica, continuação Vamos calcular a área A P do paralelogramo gerado pelos vectores coluna de A Sabemos que 2A 1 + 2A 2 + 2A 3 + A p = (a + c)(b + d) 2 ( ) ( ) cd ab cb + A p = ab + ad + cb + cd 2 2 cd + ab + 2cb + Ap = ab + ad + cb + cd A p = ab + ad + cb + cd cd ab 2cb A p = ad cb A p = A [ ] A p = a11 a 12 a 21 a 22 Matemática I 6/ 19 DeMat-ESTiG

7 Interpretação Geométrica Interpretação Geométrica, continuação Trocando [ a ordem ] das colunas de A obtemos a matriz c a B = cujo determinante é d b B = cb ad = (ad cb) = A Valor absoluto do determinante corresponde à área do paralelogramo Área de paralelogramo gerado por vectores colineares é nula, pelo que o respectivo determinate será igual a zero Matemática I 7/ 19 DeMat-ESTiG

8 Interpretação Geométrica Exemplo 1: Interpretação Geométrica do Determinante [ ] 3 1. Calcular área do paralelogramo gerado por v = e [ ] 4 7 u = 1 [ ] [ ] Indique se os vectores w = e z = são ou não 1 3 colineares Matemática I 8/ 19 DeMat-ESTiG

9 Definição Definição Determinante de uma matriz quadrada A de ordem 3 é um escalar calculado da seguinte maneira a 11 a 12 a 13 A = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 33 + a 31 a 12 a 23 + a 21 a 32 a 13 a 31 a 22 a 13 a 21 a 12 a 33 a 11 a 32 a 23 = (a 11 a 22 a 33 + a 21 a 32 a 13 + a 31 a 12 a 23 ) (a 31 a 22 a 13 + a 21 a 12 a 33 + a 11 a 32 a 23 ) Matemática I 9/ 19 DeMat-ESTiG

10 Regra de Sarrus Regra de Sarrus- Regra prática para determinante de uma matriz de ordem 3 1. Repetir as duas primeiras colunas 2. Somar o produto das diagonais principais 3. Subtrair o produto das diagonais secundárias A = a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 31 a 22 a 13 a 32 a 23 a 11 a 33 a 21 a 12 = (a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 ) (a 31 a 22 a 13 + a 32 a 23 a 11 + a 33 a 21 a 12 ) Matemática I 10/ 19 DeMat-ESTiG

11 Regra de Sarrus Exemplo 2: determinante de ordem 3 pela regra de Sarrus Calcule o determinante da matriz A = A = = (1)(1)(2) + (2)(3)(3) + (3)(2)(1) (3)(1)(3) (1)(3)(1) (2)(2)(2) = = = 6 Matemática I 11/ 19 DeMat-ESTiG

12 Interpretação Geométrica do Determinante de Ordem 3 Paralelepípedo gerado pelas coluna de a 11 a 12 a 13 A = [u v w] = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 w v Vp u Determinate de A (em valor absoluto) é igual ao volume do paralelepípedo Vp = det (A) Sinal do A depende da ordem dos vectores A = 0 se vectores forem complanares Matemática I 12/ 19 DeMat-ESTiG

13 Interpretação Geométrica do Determinante de Ordem 3 Exemplo 3: volume de um paralelepípedo Calcule o volume do paralelepípedo gerado pelos vectores u = 1, v = 3 e w = Resposta A = = (1)(3)(2) + ( 2)(1)(2) + (3)(1)(1) (2)(3)(3) (1)(1)(1) (2)(1)( 2) = = 10 Volume = 10 = 10 Matemática I 13/ 19 DeMat-ESTiG

14 Menores Definição: Seja A uma matriz n n. Seja M ij a submatriz (n 1)(n 1) de A obtida eliminado-se a linha i e a coluna j de A. O determinante M ij é chamado determinate menor ou simplesmente menor associado a a ij. Exemplo: Seja A = , M 12 = M 23 = = = 10 M 31 = = 6 10 = 16 = 8 42 = 34 Matemática I 14/ 19 DeMat-ESTiG

15 Cofatores Definição: Seja A uma matriz n n. O cofactor A ij associado a a ij é definido por A ij = ( 1) i+j M ij Exemplo: Seja A a mesma matriz do exemplo anterior A = M 12 = 34, M 23 = 10 e M 31 = 16 temos A 12 = ( 1) 1+2 M 12 = ( 1)( 34) = 34 A 23 = ( 1) 2+3 M 23 = ( 1)(10) = 10 A 31 = ( 1) 3+1 M 31 = (1)( 16) = 16, Sabendo que Matemática I 15/ 19 DeMat-ESTiG

16 Desenvolvimento de Laplace Definição: Seja A uma matriz n n. O determinate de A pode ser calculado através do desenvolvimento de Laplace da linha i (1 i n): A = a i1 A i1 + a i2 A i a in A in Determinate de A pode também pode ser calculado também através do desenvolvimento de Laplace da coluna j (1 j n): A = a 1j A 1j + a 2j A 2j a nj A nj Matemática I 16/ 19 DeMat-ESTiG

17 Desenvolvimento de Laplace Exemplo: Vamos calcular o determinante de A = Resolução: Vamos fazer o desenvolvimento de Laplace pela terceira linha (tem mais zeros!): A =a 31 A 31 + a 32 A 32 + a 33 A 33 + a 34 A 34 =a 31 ( 1) 3+1 M 31 + a 32 ( 1) 3+2 M 32 + a 33 ( 1) 3+3 M 33 + a 34 ( 1) 3+4 M 34 =(3)(1) M 31 + (0)( 1) M 32 + (0)(1) M 33 + ( 3)( 1) M =(3) (3) = (3)(20) + (3)( 4) = 48 Matemática I 17/ 19 DeMat-ESTiG

18 Alguma Propriedades dos Determinantes A = A T Se B uma matriz obtida a partir de A trocando duas linhas (ou colunas) então B = A Se B uma matriz obtida a partir de A somando a linha l multiplicada por um escalar α à linha i então B = A Se B uma matriz obtida a partir de A somando a coluna k multiplicada por um escalar β à coluna j então B = A Se A uma matriz triangular (superior ou inferior) então A = a 11 a a nn AB = A B Matemática I 18/ 19 DeMat-ESTiG

19 Alguma Propriedades dos Determinantes Bibliografia Bernard Kolman, "Introdução à Álgebra Linear com Aplicações", Prentice-Hall do Brasil, 1998 Matemática I 19/ 19 DeMat-ESTiG