Apostila de Matemática 11 Determinante

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Yago Bennert Branco
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Apostila de Matemática 11 Determinante 1.0 Definições A determinante só existe se a matriz for quadrada. A tabela é fechada por 2 traços. Determinante de matriz de ordem 1 a 11. 1 2.

1 Apostila de Matemática 11 Determinante 1.0 Definições A determinante só existe se a matriz for quadrada. A tabela é fechada por 2 traços. Determinante de matriz de ordem 1 a Determinante Matriz de Ordem 2 Calcula-se a determinante multiplicando os elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária. a 11. a 22 a 12. a

2 3.0 Determinante Matriz de Ordem 3 Regra de Sarrus Repetem-se as duas primeiras colunas à direita da matriz e efetuamos as seis multiplicações. Produtos obtidos na direção da diagonal principal Permanecem com o mesmo sinal. Produtos obtidos na direção da diagonal secundária Mudam de sinal. der A = (-24) (-6) Propriedades 4.1 Determinante Nulo Fila de Zeros Todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada são nulos Filas Iguais Todos os elementos de 2 linhas ou 2 colunas de uma matriz quadrada são iguais. Caso particular de Filas Proporcionais.

3 4.1.3 Filas Proporcionais Duas linhas ou 2 colunas de uma triz quadrada são proporcionais. 4.2 Multiplicação Fila e Número Real Todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada são multiplicados por um número real k. O determinante fica multiplicado por k. 56. det B = det B = 112 det B = 56 x 2.

4 4.2.2 Matriz e Número Real Uma matriz quadrada de ordem n é multiplicada por um número real k. O determinante fica multiplicado por k n. det ka = k n. det A 7 x det 3A = det 3A = 21 x 24 det 3A = 504 det 3A = 3² x Determinante da Transposta O determinante da mátria quadrada A é igual à determinante da matriz quadrada transposta A t. 4.4 Troca de Filas Paralelas det A t Ao trocar a posição de 2 linhas ou 2 colunas de uma matriz quadrada A, a determinante obtida é o oposto a determinante da matriz A. 7x8 2x det B = det B = 4x2 8x7 det B = 8 56 det B = 48.

5 4.5 Teorema de Binet A e B são 2 matrizes quadras de mesma ordem. AB é a matriz-produto. 4.6 Teorema de Jacobi det AB = det A. det B O determinante de uma matriz quadrada não se altera quando multiplicamos 1 linha ou 1 coluna por um número real e somamos o resultado com outra linha ou coluna paralela. A = = -52 Em seguida, multiplica-se a primeira coluna por 2 e somamos com a terceira coluna: Primeira coluna: 1x2 = 2-2x2 = -4 5x2 = 10 Terceira coluna: = (-4) = = 12 Nova matriz: B = = -52. det B.

6 4.7 Determinante da Matriz Inversa A determinante da matriz quadrada A -1 é igual ao inverso da determinante da matriz quadrada A. 4.8 Determinante da Matriz Triangular A determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. 4.9 Teorema de Laplace a 11. a 22 Teorema Geral dos Determinantes de Qualquer Ordem. Permite calcular a determinante de uma matriz quadrada de ordem n. O determinante é igual à soma algébrica dos produtos dos elementos de qualquer fila, pelos respectivos co-fatores. Menor complementar: O determinante que se obtém eliminando-se a linha e a coluna a que pertence tal elemento. Simbolizada por M ij. Complemento algébrico: É a determinante do menor complementar. Simbolizado por C ij. Se a soma dos índices for par, o menor complementar conserva o sinal. Se a soma dos índices for ímpar, o menor complementar muda o sinal. Para facilitar o cálculo, deve-se escolher a fila com mais zeros. Suprime-se 1 coluna qualquer e 3 filas do determinante, e acha os co-fatores e seus determinantes: C 11 = C 11 = -4.

7 C 21 = C 21 = 16. C 31 = C 31 = 9. Arma a equação: C 11 + C 21 + C 31 Multiplicam-se os co-fatores pelos seus elementos (elemento onde as linhas e as colunas suprimidas se interligam, ou, simplesmente, o elemento que os índices das coordenadas indicam: 2.C C C 31 Coloca-se o sinal correspondente a cada co-fator: 2C 11 3C 21 + C 31 Substitui os co-fatores: 2(-4) 3(16) Observações det A+B det A + det B. det AB = det A. det B. det I n = 1. det A n = (det A) n. det A t = det A.

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