EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR

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1 IST - 1 o Semestre de 01/1 LEIC - A EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR FICHA - Determinantes. 1 1 Determinantes Pode-se de nir det A, o determinante de uma matriz A M nn (K), como o valor da função de M nn (K) em K que satisfaz as seguintes propriedades: i) Se I n é a matriz identidade, então det I n = 1. ii) Se a matriz A 0 se obtém da matriz A multiplicando uma das suas linhas por, então det A 0 = det A iii) det A não se altera se uma linha for substituída pela sua soma com outra linha. Partindo destas propriedades axiomáticas é possível mostrar que a função A! det A também tem que satisfazer as seguintes: iii ) det A não se altera se uma linha for substituída pela sua soma com o múltiplo de outra linha. iv) Se a matriz A 0 se obtém da matriz A permutando duas das suas linhas, então det A 0 = det A Com base nas propriedades acima descritas é possível calcular qualquer determinante através do método de eliminação de Gauss. Por exemplo: 1 Coligidos por: João Ferreira Alves, Ricardo Coutinho e José M. Ferreira. 1

2 det 8 = det = det por iii 0 ) = det = 0 det = 0 por i) por iv) = por iii 0 ) por ii) 1.1 Propriedades dos determinantes Representando a matriz A através das suas linhas: a 11 a 1 a 1n A = a 1 a a n = a n1 a n a nn podemos descrever a linearidade do determinante em função das suas linhas nas seguintes duas primeiras propriedades. 1. det. det a 0 i + a a 0 i = det = det. det A T = det A: a 0 i a 0 i + det (8) : a. O determinante muda de sinal por permutação entre pares de linhas (ou de colunas).. det A não se altera se uma linha (ou coluna) for substituída pela sua soma com o múltiplo de outra linha (respectivamente coluna). a 0 ;

3 . Se A = a 11 a 1 a 1 a 1n 0 a a a n 0 0 a a n a nn é uma matriz triangular superior (ou triangular inferior) então det A = a 11 a a nn :. Se A tiver duas linhas (ou duas colunas) iguais então det A = det A = 0; se A tiver uma linha (ou coluna) nula. 9. A é invertível se e só se det A = 0: Nestas circunstâncias 10. det (AB) = (det A) (det B) : det A 1 = 1 det A : 1. Outros métodos para o cálculo de determinantes Existem outros métodos directos para calcular determinantes de uma matriz n n a 11 a 1 a 1n A = a 1 a a n a n1 a n a nn Regra de Laplace : Para qualquer i = 1; ; ; n; det A = nx ( 1) i+j a ij det A ij = j=1 nx a ij C ij j=1 = a i1 det A i1 a i det A i + a i det A i + ( 1) i+n a in det A in = a i1 C i1 + a i C i + a i C i + + a in C in Para qualquer j = 1; ; ; n; det A = nx ( 1) i+j a ij det A ij = i=1 nx a ij C ij i=1 = a 1j det A 1j a j det A j + a j det A j + ( 1) n+j a nj det A nj = a 1j C 1j + a j C j + a j C j + + a nj C nj onde A ij é a matriz que se obtem de A por supressão da linha i e da coluna j: O valor C ij = ( 1) i+j det A ij é chamado de cofactor (i; j) da matriz A: Pierre Simon Laplace, n. Beaumont-en-Ange (Normandia) França, a de Março de 19, m. Paris, a de Março de 18.

4 Expansão permutacional: Designemos por P o conjunto de todas as permutações = ( 1 ; ; n ) de f1; ; ; ng : Obtemos, det A = X P a 11 a a nn = X P a a a nn; onde é o sinal da permutação (i. e. = ( 1) i, onde i designa o número total de inversões de ; dada uma permutação dizemos que ocorre uma inversão sempre que um dos inteiros de f1; ; ; ng é seguido de pelo menos um outro inteiro menor). 1. Determinantes de matrizes e Para o caso de uma matriz ; a11 a A = 1 a 1 a det A = a 11 a a 1 a 1 : Uma utilização importante deste determinante prende-se com o cálculo de áreas de paralelogramos P do plano gerados por dois vectores v 1 = (a; b) e v = (c; d) de R : area de P = a b det = jad bcj : c d Relativamente a uma matriz ; podemos estabelecer que A = a 11 a 1 a 1 a 1 a a a 1 a a det A = a 11 a a + a 1 a a 1 + a 1 a 1 a a 11 a a a 1 a 1 a a 1 a a 1 ; dando origem à chamada regra de Sarrus a 11 + a 1 + a 1 a 11 a 1 a 1 a 11 a 1 a 1 & & &... a 1 a a a 1 a a a 1 a a & & &... a 1 a a a 1 a a a 1 a a Estes determinantes permitem a obtenção do cálculo de volumes de paralelepípedos, P; gerados por três vectores v 1 = (x 1 ; y 1 ; z 1 ) ; v = (x ; y ; z ) e v = (x ; y ; z ) de R : x 1 y 1 z 1 volume de P = det x y z x y z = jx 1 y z + x y 1 z + x y z 1 x 1 y z x y 1 z x y z 1 j : Pierre Frédéric Sarrus, n. Saint A rique (Midi-Pyrenées) França, a 10 de Março de 198, m. Estrasburgo, França, a 0 de Novembro de 181. ;

5 1. Matriz dos cofactores Considerando os cofactores C ij = ( 1) i+j det A ij chama-se matriz dos cofactores de A à matriz cofa = [C ij ] i;j=1;n = C 11 C 1 C 1n C 1 C C n C n1 C n C nn A matriz cofa satisfaz a seguinte relação com a matriz A M nn (K), n > : A (cofa) T = (det A) I n : Desta igualdade resulta que se A é invertível então 1. Regra de Cramer A 1 = 1 det A (cofa)t : Seja Ax = d um sistema de n equações a n incógnitas tal que det A = 0: Então o sistema possui uma única solução dada por x 1 = det A 1 det A ; x = det A det A ; ; x n = det A n det A ; onde com j = 1; ; ; n; A j é a matriz que se obtém de A substituindo a coluna j de A pelo vector coluna d: 1. Exercícios Exercício 1 Use eliminação de Gauss para calcular os determinantes das seguintes matrizes: 1 1 a) : b) : c) d) e) f) 0 Gabriel Cramer, n. a 1 Julho de 10 em Geneva, m. a de Janeiro de 1 em Bagnols-sur-Cèze (França).

6 Exercício Use eliminação de Gauss para calcular os determinantes das seguintes matrizes. Aproveite o resultado para indicar as que são invertíveis a) b) c) d) Exercício Sabendo que calcule: c) det a) det e) d e f g h i a b c det a + d b + e c + f d e f g h i a b c d e f g h i = ; f) b) det d) det a b c d e f g h i a b c d a e b f c g h i Exercício Sabendo que os valores reais e são tais que: 1 det = 1; 1 + determine det 1 + Exercício Mostre que det = :

7 Exercício Calcule o determinante da matriz n n B = : Exercício Mostre que det 1 1 = ( )( 1 )( 1 ): Exercício 8 Utilize sucessivamente a regra de Laplace para calcular os determinantes das matrizes indicadas a seguir a) 1 1 b) 1 c) d) e) f) Exercício 9 Uma matriz cujas entradas são 0 ou 1 tem determinante igual a 0; 1 ou 1:Verdadeiro ou falso? Exercício 10 Através da regra de Sarrus calcule os determinantes das seguintes matrizes: a) 1 1 b) 1 c) Exercício 11 Calcule as áreas dos paralelogramos cujos vértices são: a) (0; 0) ; ( 1; ) ; (; ) e (; ) : b) ( 1; 0) ; (0; ) ; (1; ) e (; 1) : c) (0; ) ; (; 1) ; ( ; 1) e (; ) : Exercício 1 Calcule os volumes dos paralelepípedos gerados pelos vectores u; v e w onde: a) u = (1; 0; ) ; v = (1; ; ) e w = (; 1; 0) : b) u = (1; ; 0) ; v = ( ; ; ) e w = ( 1; 1) :

8 Exercício 1 Calcule os determinantes das matrizes A = 0 1 e B = E ainda: a) det(a): b) det(a B ): c) det(a 1 B T ): d) det(a B ): Exercício 1 i) Para as matrizes indicadas a seguir veri que a validade da fórmula: A (Cof A) T = (det A) I; onde Cof A designa a matriz dos cofactores a) 1 b) 0 1 c) d) 1 ii) Caso seja possível, determine a matriz inversa de cada uma destas matrizes. Exercício 1 Use a regra de Cramer para resolver os sistemas de equações lineares: 8 8 < < Soluções a) : y + z = 1 x + y + z = 0 x + y = 1 1) a) 1: b) 0: c) 0: d) 1: e) 0: f) 0: ) a) : b) : c) 0: d) 18: e) 1: f) ) a) : b) 10: c) : d) 10: ) : : b) ) n ; onde n é o número de linhas (e de colunas da matriz). 8)a) 9; b) ; c) ; d) ; e) 1; f) ) Falso; det 0 = : 0 10) a) 9: b) : c) : 11) a) : b) 1: c) 1: 1) a) : b) 1: 1) det A = ; det B = : a) : b) 18: c) : d) 1: : x + y = 1 x + z = 1 x + y + z = 1 : 8

9 1) a) CofA = 1 0 1, det A = 1 e A 1 = b) CofA = 1, det A = e A 1 = = = 1= = = 1= = 1= = c) CofA = d) CofA = ) a) ( 9; ; ) : b) (1; 0; 1) :, det A = e A 1 = = 1= 0 = 1= 1 ; det A = 0 e A não é invertível. 9