Determinantes. ALGA 2008/2009 Mest. Int. Eng. Electrotécnica Determinantes 1 / 17
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- Nathalia da Cunha de Paiva
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1 Capítulo 4 Determinantes ALGA 2008/2009 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 1 / 17
2 Definições Seja M n n o conjunto das matrizes quadradas reais (ou complexas) de ordem n Chama-se determinante de ordem n a uma função ALGA 2008/2009 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 2 / 17
3 Definições Seja M n n o conjunto das matrizes quadradas reais (ou complexas) de ordem n Chama-se determinante de ordem n a uma função (também se denota deta por A ) det : M n n R (ou C) A det A ALGA 2008/2009 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 2 / 17
4 Definições Seja M n n o conjunto das matrizes quadradas reais (ou complexas) de ordem n Chama-se determinante de ordem n a uma função (também se denota deta por A ) det : M n n R (ou C) A det A que satisfaz as seguintes propriedades: ALGA 2008/2009 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 2 / 17
5 Definições Seja M n n o conjunto das matrizes quadradas reais (ou complexas) de ordem n Chama-se determinante de ordem n a uma função (também se denota deta por A ) det : M n n R (ou C) A det A que satisfaz as seguintes propriedades: Para cada matriz quadrada A = [a kl ] real (ou complexa) de ordem n e para cada α,b 1,,b n R (ou C), ALGA 2008/2009 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 2 / 17
6 Definições Seja M n n o conjunto das matrizes quadradas reais (ou complexas) de ordem n Chama-se determinante de ordem n a uma função (também se denota deta por A ) det : M n n R (ou C) A det A que satisfaz as seguintes propriedades: Para cada matriz quadrada A = [a kl ] real (ou complexa) de ordem n e para cada α,b 1,,b n R (ou C), 1) a 11 a 12 a 1n a 11 a 12 a 1n αa k1 αa k2 αa kn = α a k1 a k2 a kn a n1 a n2 a nn a n1 a n2 a nn ALGA 2008/2009 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 2 / 17
7 ALGA 2008/2009 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 3 / 17 2) a 11 a 12 a 1n a k1 + b 1 a k2 + b 2 a kn + b n a n1 a n2 a nn = a 11 a 12 a 1n a k1 a k2 a kn a n1 a n2 a nn + + a 11 a 12 a 1n b 1 b 2 b n a n1 a n2 a nn
8 ALGA 2008/2009 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 3 / 17 2) a 11 a 12 a 1n a k1 + b 1 a k2 + b 2 a kn + b n a n1 a n2 a nn = a 11 a 12 a 1n a k1 a k2 a kn a n1 a n2 a nn + + a 11 a 12 a 1n b 1 b 2 b n a n1 a n2 a nn 3) Se A tem duas linhas iguais, então det(a) = 0
9 ALGA 2008/2009 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 3 / 17 2) a 11 a 12 a 1n a k1 + b 1 a k2 + b 2 a kn + b n a n1 a n2 a nn = a 11 a 12 a 1n a k1 a k2 a kn a n1 a n2 a nn + + a 11 a 12 a 1n b 1 b 2 b n a n1 a n2 a nn 3) Se A tem duas linhas iguais, então det(a) = 0 4) det(i n ) = 1
10 Propriedades de um determinante 1) Se A tem uma linha nula, então det(a) = 0 ALGA 2008/2009 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 4 / 17
11 Propriedades de um determinante 1) Se A tem uma linha nula, então det(a) = 0 2) Se as linhas de A são linearmente dependentes, então det(a) = 0 ALGA 2008/2009 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 4 / 17
12 Propriedades de um determinante 1) Se A tem uma linha nula, então det(a) = 0 2) Se as linhas de A são linearmente dependentes, então det(a) = 0 3) Se B é uma matriz que se obtém de A por troca de duas linhas, então det(b) = det(a) ALGA 2008/2009 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 4 / 17
13 Propriedades de um determinante 1) Se A tem uma linha nula, então det(a) = 0 2) Se as linhas de A são linearmente dependentes, então det(a) = 0 3) Se B é uma matriz que se obtém de A por troca de duas linhas, então det(b) = det(a) 4) O determinante de A não se altera quando adicionamos a uma linha um múltiplo de outra linha ALGA 2008/2009 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 4 / 17
14 Propriedades de um determinante 1) Se A tem uma linha nula, então det(a) = 0 2) Se as linhas de A são linearmente dependentes, então det(a) = 0 3) Se B é uma matriz que se obtém de A por troca de duas linhas, então det(b) = det(a) 4) O determinante de A não se altera quando adicionamos a uma linha um múltiplo de outra linha 5) Se U é uma matriz obtida de A pelo método de eliminação de Gauss, então det(a) = ( 1) s det(u), onde s é o número de trocas de linhas efectuadas ALGA 2008/2009 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 4 / 17
15 Propriedades de um determinante 1) Se A tem uma linha nula, então det(a) = 0 2) Se as linhas de A são linearmente dependentes, então det(a) = 0 3) Se B é uma matriz que se obtém de A por troca de duas linhas, então det(b) = det(a) 4) O determinante de A não se altera quando adicionamos a uma linha um múltiplo de outra linha 5) Se U é uma matriz obtida de A pelo método de eliminação de Gauss, então det(a) = ( 1) s det(u), onde s é o número de trocas de linhas efectuadas 6) O determinante de uma matriz triangular superior ou inferior é igual ao produto dos elementos diagonais ALGA 2008/2009 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 4 / 17
16 Teorema Existe um e um só determinante de ordem n ALGA 2008/2009 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 5 / 17
17 Teorema Existe um e um só determinante de ordem n Exemplo n = 2 a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11 0 a 21 a a 12 a 21 a 22 = a 11 a 22 a 21 a 22 0 a 12 = a 11a 22 a 21 a 12 ALGA 2008/2009 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 5 / 17
18 Teorema Sejam A, B matrizes de ordem n Então: 1 det(ab) = det(a) det(b) 2 det(a T ) = det(a) 3 A é não-singular se e só se det(a) 0 4 A é invertível se e só se deta 0 5 Se A é invertível, então det(a 1 ) = 1 det(a) 6 O sistema Ax = 0 é determinado se e só se deta 0 ALGA 2008/2009 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 6 / 17
19 Teorema de LaPlace ALGA 2008/2009 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 7 / 17
20 Teorema de LaPlace Seja A = [a kl ] uma matriz quadrada de ordem n Por A kl designamos a matriz quadrada de ordem n 1 que se obtém de A por supressão da linha k e da coluna l ALGA 2008/2009 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 7 / 17
21 Teorema de LaPlace Seja A = [a kl ] uma matriz quadrada de ordem n Por A kl designamos a matriz quadrada de ordem n 1 que se obtém de A por supressão da linha k e da coluna l Dado k {1,,n}, o determinante de A é o escalar (1) det(a) = n ( 1) k+l a kl det(a kl ), l=1 com det[a] = a ALGA 2008/2009 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 7 / 17
22 Teorema de LaPlace Seja A = [a kl ] uma matriz quadrada de ordem n Por A kl designamos a matriz quadrada de ordem n 1 que se obtém de A por supressão da linha k e da coluna l Dado k {1,,n}, o determinante de A é o escalar (1) det(a) = n ( 1) k+l a kl det(a kl ), l=1 com det[a] = a det(a kl ) diz-se o menor de a kl ALGA 2008/2009 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 7 / 17
23 Teorema de LaPlace Seja A = [a kl ] uma matriz quadrada de ordem n Por A kl designamos a matriz quadrada de ordem n 1 que se obtém de A por supressão da linha k e da coluna l Dado k {1,,n}, o determinante de A é o escalar (1) det(a) = n ( 1) k+l a kl det(a kl ), l=1 com det[a] = a det(a kl ) diz-se o menor de a kl ( 1) k+l det(a kl ) diz-se o complemento algébrico de a kl ALGA 2008/2009 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 7 / 17
24 Exemplo n = 3 det a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 k = 2 = ( 1) 2+1 a 21 det [ a12 a 13 a 32 a 33 [ + ( 1) 2+2 a11 a a 22 det 13 a 31 a 33 [ + ( 1) 2+3 a11 a a 23 det 12 a 31 a 32 = ] ] ] + + ALGA 2008/2009 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 8 / 17
25 Observações ALGA 2008/2009 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 9 / 17
26 Observações 1) A expressão (1) é conhecida como expansão de Laplace segundo a linha k, podendo ser igualmente feita segundo uma coluna qualquer ALGA 2008/2009 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 9 / 17
27 Observações 1) A expressão (1) é conhecida como expansão de Laplace segundo a linha k, podendo ser igualmente feita segundo uma coluna qualquer 2) O determinante não depende da linha (ou da coluna) previamente fixada ALGA 2008/2009 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 9 / 17
28 Aplicações do determinante ALGA 2008/2009 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 10 / 17
29 Aplicações do determinante Determinação da inversa de uma matriz Seja A uma matriz de ordem n A matriz adjunta de A, adj A, é a matriz de ordem n que se obtém da transposta de A substituindo cada elemento pelo seu complemento algébrico ALGA 2008/2009 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 10 / 17
30 Aplicações do determinante Determinação da inversa de uma matriz Seja A uma matriz de ordem n A matriz adjunta de A, adj A, é a matriz de ordem n que se obtém da transposta de A substituindo cada elemento pelo seu complemento algébrico Teorema Se é A é invertível, então A 1 = 1 det(a) adja ALGA 2008/2009 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 10 / 17
31 Exemplo A = [ ], ALGA 2008/2009 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 11 / 17
32 Exemplo A = [ ], A T = [ ], ALGA 2008/2009 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 11 / 17
33 Exemplo A = [ ], A T = [ ], adj A = [ ] ALGA 2008/2009 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 11 / 17
34 Exemplo A = [ ], A T = [ ], adj A = [ ] A 1 = [ ] ALGA 2008/2009 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 11 / 17
35 Resolução de sistemas possíveis e determinados ALGA 2008/2009 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 12 / 17
36 Resolução de sistemas possíveis e determinados Seja A uma matriz invertível de ordem n Considera o sistema Ax = b Então o vector x, em que cada componente x l é igual ao produto do determinante da inversa de A pelo determinante da matriz que se obtém de A substituindo a coluna l pelo vector dos termos independentes b, é solução do sistema ALGA 2008/2009 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 12 / 17
37 Resolução de sistemas possíveis e determinados Seja A uma matriz invertível de ordem n Considera o sistema Ax = b Então o vector x, em que cada componente x l é igual ao produto do determinante da inversa de A pelo determinante da matriz que se obtém de A substituindo a coluna l pelo vector dos termos independentes b, é solução do sistema Este método designa-se por regra de Cramer ALGA 2008/2009 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 12 / 17
38 Resolução de sistemas possíveis e determinados Seja A uma matriz invertível de ordem n Considera o sistema Ax = b Então o vector x, em que cada componente x l é igual ao produto do determinante da inversa de A pelo determinante da matriz que se obtém de A substituindo a coluna l pelo vector dos termos independentes b, é solução do sistema Este método designa-se por regra de Cramer Exemplo Consideremos o sistema Ax = b onde [ ] 1 2 A =, b = 2 3 [ 0 1 ] ALGA 2008/2009 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 12 / 17
39 Atendendo a que det(a) = 1, temos, pela regra de Cramer, x 1 = = 2 e x 2 = = 1 ALGA 2008/2009 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 13 / 17
40 Exemplo de aplicação à Engenharia Electrotécnica ALGA 2008/2009 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 14 / 17
41 ALGA 2008/2009 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 15 / 17
42 Exemplo de aplicação à Engenharia Electrotécnica ALGA 2008/2009 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 16 / 17
43 É proposta a resolução dos seguintes exercícios a discutir na aula ou no horário de atendimento: 142, 143, 144, 148, 149, 150 e 151 da Folha 9 Para o estudo deste capítulo é recomendado o livro Luís T Magalhães, Álgebra linear como Introdução à Matemática Aplicada, Texto Editora, p 225 a 245 ALGA 2008/2009 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 17 / 17
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