étodos uméricos SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES (Continuação) Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA

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1 étodos uméricos SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES (Continuação) Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA UNIVERSIDADE DE JOÃO DEL-REI PRÓ-REITORIA DE PESQUISA CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS DIRETORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO 2016

2 Eliminação de Gauss O método de Eliminação de Gauss consiste em transformar o sistema dado num sistema triangular equivalente através de uma seqüência de operações elementares sobre as linhas do sistema original. Operações l-elementares: Um SL poder ser transformado em um outro equivalente (que possui a mesma solução) utilizando as 3 operações l-elementares (operações de linha): Trocar a ordem de duas equações: 2

3 Eliminação de Gauss Multiplicar uma equação por constante não nula: Somar uma equação à outra: Então é possível transformar um SL em um outro de solução mais fácil. 3

4 Eliminação de Gauss Sistema triangular equivalente: O método de eliminação de Gauss consiste em transformar um SL em um sistema triangular superior equivalente por meio das operações l-elementares. 4

5 Eliminação de Gauss A transformação pode ser representada por: Ax = b Ux = d. A Solução do sistema triangular superior Ux = d é obtida pelas substituições retroativas. A exatidão pode ser verificada pelo cálculo do vetor resíduo. r = b - Ax. Exemplo: Resolver o sistema pelo método de eliminação de Gauss e verificar a exatidão da solução: 5

6 Eliminação de Gauss Eliminar elementos da primeira coluna: Elemento pivô Linha pivotável Eliminar elementos da segunda coluna: Elemento pivô Linha pivotável 6

7 Eliminação de Gauss Sumário das operações: Sistema triangular superior obtido: 7

8 Eliminação de Gauss Solução do sistema: substituições retroativas: Cálculo do resíduo: 8

9 Exemplo: Eliminação de Gauss 9

10 Eliminação de Gauss 10

11 Eliminação de Gauss Cálculo do determinante: O determinante da matriz dos coeficientes pode ser obtido como um subproduto do método de Gauss. Deve-se conhecer as relações entre os determinantes das várias matrizes dos sistemas equivalentes intermediários obtidos pelas operações l-elementares durante o processo de eliminação de Gauss. a) Se duas linhas quaisquer de uma matriz A forem trocadas, então, o determinante da nova matriz B é: 11

12 Eliminação de Gauss b) Se todos os elementos de uma linha de A forem multiplicados por uma constante k, então, o determinante da matriz resultante B será: c) Se um múltiplo escalar de uma linha de A for somado à outra linha, então, o determinante da nova matriz B é: 12

13 Eliminação de Gauss d) Se A for uma matriz triangular ou diagonal de ordem n, então, o seu determinante será igual ao produto dos elementos da diagonal principal: 13

14 Eliminação de Gauss e) Se uma matriz A for multiplicada por uma matriz B, então, o determinante da matriz resultante C é: 14

15 Eliminação de Gauss Exemplo: calcular o determinante da matriz: Sequência de matrizes obtidas pelas operações l-elementares: Matrizes obtidas somente por combinações lineares das linhas, logo as três matrizes possuem o mesmo determinante que é igual ao produto dos elementos da diagonal (produto dos pivôs): 15

16 Eliminação de Gauss Pivotação Parcial: O método de Gauss falha quando o pivô é nulo (ou 0 ). O método de Gauss intensifica a propagação dos erros de truncamento do computador (Multiplicadores grandes), principalmente em sistemas grandes. Estes problemas podem ser evitados utilizando pivotação parcial, que consiste em escolher como pivô o maior elemento em módulo da coluna, cujos elementos serão eliminados. A estratégia de pivotamento parcial é baseada na operação elementar: Troca de duas equações. Todos os multiplicadores satisfazem -1 m ij 1. 16

17 Eliminação de Gauss Exemplo: Seja o sistema e sua solução: Solução pelo método de Eliminação de Gauss, com 3 dígitos significativos em todas as operações: Solução utilizando Pivotação Parcial : 17

18 Eliminação de Gauss Exemplo: Resolver o sistema pelo método de Gauss com pivotação parcial. 18

19 Eliminação de Gauss 19

20 Decomposição LU Uma matriz quadrada qualquer pode ser escrita como o produto de duas matrizes: A matriz A é fatorada tal que A = LU. L: matriz triangular inferior unitária. U: matriz triangular superior. Para resolver o sistema Ax = b, tem-se: 20

21 Decomposição LU Calculo dos fatores: A matriz triangular superior U é a mesma do método de Gauss; Para a matriz triangular inferior unitária L l ii =1; l ij i>j = 0 l ij = - m ij, i < j, sendo m ij os multiplicadores utilizados no processo de eliminação de Gauss. Exemplo: 21

22 Eliminação de Gauss: Decomposição LU Matrizes L e U: 22

23 Igualdade A = LU: Decomposição LU Solução do sistema Ly = b: 23

24 Decomposição LU Solução do sistema Ux = y: A vantagem deste método é a eficiência computacional, pois pode-se escolher qualquer novo o vetor b que não é necessário 24 voltar a fazer a eliminação de Gauss.

25 Decomposição LU Pivotação Parcial: Utilizada, assim como na eliminação de Gauss, para evitar pivô nulo e multiplicadores com valores grandes. Neste caso a Decomposição é da forma: PA = LU. P: matriz de permutações (construída das linhas de uma matriz identidade I, colocadas na mesma ordem das linhas pivotacionais que geram a matriz U). L: matriz triangular inferior unitária formada pelos multiplicadores, com sinais contrários. U: matriz triangular superior. Para resolver o sistema Ax = b tem-se: 25

26 Decomposição LU Exemplo: Eliminação de Gauss: 26

27 Decomposição LU Solução do sistema Ly = Pb: 27

28 Decomposição LU Solução do sistema Ux = y: 28

29 Decomposição LU Cálculo do determinante: Pelas propriedades dos determinantes: (Propriedade e) (Propriedade d) (Propriedade a) p: numero de trocas de linhas necessárias para transformar a matriz de permutações em identidade. Logo: 29

30 Decomposição LU Exemplo: Calcular o determinante de: Matrizes U e P: Valor de p: determinante: 30

31 Decomposição LU Exemplo: Calcular o determinante de: Eliminação de Gauss: 31

32 Matrizes L, U e P: Decomposição LU Solução do sistema Ly = Pb Solução do sistema Ux = y 32

33 Decomposição LU Exatidão: Unicidade da solução: 33

34 Decomposição LU Sistema com matriz singular: Para um SL Ax=b, onde det(a) = 0, o sistema pode ter infinitas soluções ou não ter soluções. Sistema com infinitas soluções. Resolver o sistema Ax = b: 34

35 Decomposição LU Solução do sistema Ly = Pb Solução do sistema Ux = y 35

36 Decomposição LU 36

37 Decomposição LU Sistema sem solução. Resolver o sistema Ax = c: Solução do sistema Ly = Pc 37

38 Decomposição LU Solução do sistema Ux = y 38

39 Decomposição de Cholesky SE a matriz dos coeficientes, A, é simétrica e definida Positiva: e A decomposição LU pode ser simplificada para: No caso em que a matriz do sistema linear é simétrica pode-se simplificar os cálculos da decomposição LU significativamente, levando em conta a simetria. L: matriz triangular inferior. L T : matriz triangular superior. Teorema (Cholesky) Se A for uma matriz simétrica e definida positiva, então existe uma única matriz triangular L com elementos da diagonal positivos tal que A = LL T. 39

40 Decomposição de Cholesky Cálculo do fator: Obtenção do fator L da Decomposição LL T = A: O elemento l 44 da diagonal é obtido por: Generalizando para qualquer elemento da diagonal: 40

41 Decomposição de Cholesky O elemento l 43 é obtido por: Elemento genérico abaixo da diagonal: e Solução estável, não requer pivotação!!! 41

42 Decomposição de Cholesky Solução de Ax = b por Cholesky : Sistema triangular inferior Ly = b: e Sistema triangular superior L T x = y : 42

43 Decomposição de Cholesky Cálculo do determinante: Por meio das propriedades d) e e) dos determinantes tem-se: Exemplo: Resolver o sistema: Coluna 1: 43

44 Decomposição de Cholesky Coluna 2: Coluna 3: 44

45 Decomposição de Cholesky Resumindo: Verificação LL T =A: 45

46 Decomposição de Cholesky Sistema Ly=b: Sistema L T x=y: 46

47 Decomposição de Cholesky Exatidão: Unicidade: Solução exata Solução única 47

48 Decomposição de Cholesky Exemplo: Resolver o sistema: Coluna 1: Coluna 2: 48

49 Decomposição de Cholesky Coluna 3: Coluna 4: Resumo: 49

50 Decomposição de Cholesky Sistema Ly=b: Sistema L T x=y: 50

51 Decomposição de Cholesky Exatidão: Matriz L: Solução exata Unicidade: Solução única 51

52 Decomposição de Espectral Uma matriz A de ordem n possui auto-valores i, i = 1, 2,..., n. Cada auto-valor tem um auto-vetor correspondente. Generalizando a relação matriz diagonal contendo os autovalores i. V : matriz cujas colunas são os auto-vetores v i. Pós-multiplicando por V -1 Matriz A decomposta em termos de seus auto-valores e autovetores. 52

53 Decomposição de Espectral Cálculo dos Auto-vetores: Da relação fundamental Como a matriz é singular: E o sistema é homogêneo. Ele apresenta infinitas soluções v i. Atribuir um valor arbitrário a um elemento de v, p.ex., v i1 = 1. Obter os demais elementos do auto-vetor v i pela solução do sistema resultante de ordem n

54 Decomposição de Espectral Exemplo: Fazer a decomposição espectral da matriz: Polinômio Característico: Os três zeros do polinômio característico são os três auto-valores de A: e 54

55 Decomposição de Espectral Matriz contendo os auto-valores: Sistema homogêneo: Auto-vetor v correspondente a 1 = 4 Eq. 1 e 2 são redundantes. Elimina-se a 2ª e faz-se v 11 = 1 55

56 Decomposição de Espectral Sistema homogêneo: Auto-vetor w correspondente a 2 = 1 Eq. 1 e 3 são redundantes. Elimina-se a 3ª e faz-se w 11 = 1 56

57 Decomposição de Espectral Sistema homogêneo: Auto-vetor z correspondente a 3 = -3 Eq. 2 e 3 são redundantes. Elimina-se a 3ª e faz-se z 11 = 1 57

58 Decomposição de Espectral Matriz V contendo os auto-vetores de A: Inversa de V: Decomposição espectral 58

59 Decomposição de Espectral Solução de sistema: Solução de Ax = b obtida por x = A -1 b. Vetor solução x depende de i -1 No caso de quase singularidade da matriz A (pelo menos um auto-valor com valor próximo de zero). Solução x tem elementos muito grandes. 59

60 Decomposição de Espectral Exemplo: Calcular a solução do sistema: Sabendo que: Solução exata: Grande custo computacional. Normalmente, não é utilizada para a solução de SL. 60

61 Referencias Bibliográficas 1. Aderito Luis Martins Araujo, Analise Numérica Engenharias Mecânica e de Materiais. 2. Frederico Ferreira Campos Filho, Algoritmos Numéricos. 61