Matriz de Admitância e Cálculo de Redes

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1 Matriz de Admitância e Cálculo de Redes Matriz de Admitância e Fatoração LU Joinville, 22 de Abril de 2013

2 Escopo dos Tópicos Abordados Matriz de Admitância e Cálculo de Redes Matriz de Admitância; Eliminação de Gauss; Fatoração LU; 2

3 Resolução via Fatoração triangular ou Fatoração LU: Consiste em fatorar a matriz Y barra em uma matriz triangular inferior L (de Lower) e uma matriz triangular superior (Upper): 3

4 Resolução via Fatoração triangular ou Fatoração LU: A decomposição LU é obtida via eliminação de Gauss; Tem como vantagem a propriedade que a decomposição de uma matriz em matrizes triangulares superior e inferior é única. Assim, se Y barra não muda, não é necessário realizar a eliminação de Gauss novamente. A matriz U é obtida via eliminação de Gauss convencional; A matriz L é obtida via armazenamento das colunas que são sucessivamente eliminadas via cada passo da eliminação de Gauss. 4

5 Fatoração triangular ou Fatoração LU: A matriz U é obtida via eliminação de Gauss convencional; A matriz L é obtida via armazenamento das colunas que são sucessivamente eliminadas via cada passo da eliminação de Gauss. Decomponha a matriz abaixo via fatoração LU: Y = 5

6 Fatoração triangular ou Fatoração LU: A matriz U é obtida via eliminação de Gauss convencional; A matriz L é obtida via armazenamento das colunas que são sucessivamente eliminadas via cada passo da eliminação de Gauss. Y = Eliminação de Gauss da coluna 1: Formação das colunas 1 e 2 de L: Y (1) = 6

7 Fatoração triangular ou Fatoração LU: A matriz U é obtida via eliminação de Gauss convencional; A matriz L é obtida via armazenamento das colunas que são sucessivamente eliminadas via cada passo da eliminação de Gauss. Y (1) = Eliminação de Gauss da coluna 2: Formação da coluna 3 de L: Y (2) = U = 7

8 Resolvendo as equações nodais via Fatoração LU: A matriz Y barra é obtida decomposta em LU via eliminação de Gauss: Como passo intermediário, resolve-se inicialmente a equação via substituição direta: Em seguida a equação via substituição reversa: 8

9 Resolvendo as equações nodais via Fatoração LU: Como passo intermediário, resolve-se inicialmente a equação via substituição direta: 9

10 Resolvendo as equações nodais via Fatoração LU: Em seguida a equação via substituição reversa: 10

11 Desta forma, havendo mudanças no vetor de injeção de correntes (geração) e não havendo mudanças estruturais no sistema (na matriz Ybarra) aproveitam-se os valores da decomposição LU: Resolvendo a equação via substituição direta: Em seguida a equação via substituição reversa: 11

12 Resolução do exemplo via eliminação de Gauss extendido para a fatoração LU: Para o exemplo dado, que possui 4 equações e 4 incógnitas, deve-se eliminar sucessivamente o número de equações e incógnitas, uma a uma, até que se chegue a um sistema de uma equação e uma variável; A equação final fornece o valor da respectiva incógnita da equação, que é substituída novamente no conjunto de equações a fim de se calcular o restante das incógnitas; 12

13 Resolução do exemplo via eliminação de Gauss extendido para a fatoração LU: Iniciando pela eliminação de Gauss: 13

14 Resolução via eliminação de Gauss para o exemplo: Passo 1) eliminar V1: divida a equação 1 pelo pivô Y11: 14

15 Resolução via eliminação de Gauss para o exemplo: Passo 2) multiplique por Y21, Y31 e Y41 e subtraia o resultado das equações 2, 3 e 4: (1) (2) (3) (4) (2 ) 15

16 Passo 2) : (1) (2) (3) (4) (2 ) (3 ) (4 ) 16

17 Reescrevendo em forma compacta: (1 ) (2 ) (3 ) (4 ) De forma genérica: 17

18 Após o passo 1, o nó 1 é eliminado e pode-se resolver um sistema de 3 incógnitas e 3 variáveis: Sistema original: Sistema com V1 eliminado resolve-se para V2, V3 e V4: 18

19 Graficamente, após o passo 1, o nó 1 foi eliminado, resultando em um sistema equivalente de 3 nós e a referência: 19

20 Realizando eliminações sucessivas através das equações genéricas, elimina-se V2: Resultando no sistema: 20

21 Graficamente, elimina-se V2: Resultando no sistema: 21

22 Prosseguindo com a eliminação, elimina-se V3: Resultando no sistema onde se obtém V4: 22

23 Por substituição reversa, a partir do valor de V4, calcula-se V3, V2 e V1: 23

24 Passos que devem ser realizados para a Solução das equações via fatoração LU: 24

25 Aproveitando as colunas da eliminação de Gauss para a formação da matriz L da fatoração triangular LU: A matriz U é obtida via eliminação de Gauss convencional; A matriz U é dada pela última matriz da eliminação de Gauss: A matriz L é obtida via armazenamento das colunas que são sucessivamente eliminadas via cada passo da eliminação de Gauss. 25

26 Formação da matriz L: Passo 1: coluna 1 de L é a coluna 1 da matriz do sistema original: Matriz L extrutura completa: Obs - neste momento existe apenas a coluna 1 de L: I 26

27 Formação da matriz L: Passo 2: coluna 2 de L é a coluna 2 da matriz obtida via eliminação do Nó 1 via eliminação de Gauss: Sistema com V1 eliminado resolve-se para V2, V3 e V4: Coluna 2 da matriz L: I 27

28 Formação da matriz L: Passo 3: coluna 3 de L é a coluna 3 da matriz obtida via eliminação do nó 2 via eliminação de Gauss: Elimina-se V2: Coluna 3 da matriz L: I 28

29 Formação da matriz L: Passo 4: coluna 4 é a coluna 4 da matriz obtida via eliminação do nó 3 via eliminação de Gauss: Elimina-se V3: Coluna 4 da matriz L: I 29

30 Passo 5: matrizes U e L estão formadas e prontas para serem utilizadas na solução do sistema: Matriz L: 30 I ' 1 ' 2 ' 3 ' 4 V V V V

31 Relembrando: de posse das matrizes L e U encontra-s a solução do sistema ( YbarraV=I) via substituição direta e reversa YbarraV=I Resolvendo a equação via substituição direta: Em seguida a equação via substituição reversa: 31

32 A partir das matrizes L e U, pode-se alterar o vetor de injeção de correntes e solucionar diversos casos: Resolvendo a equação via substituição direta a partir da matriz L: I Em seguida, a equação via substituição reversa: 32

33 Resolvendo a equação via substituição reversa a partir da matriz U: V ' 33

34 Exemplo de solução a partir da fatoração LU: Escolha de qualquer vetor de corrente emulando um redespacho de geração elétrica: Uso da Matriz L para solução via substituição direta: 34

35 Exemplo de solução a partir das fatoração LU: Uso da Matriz U para solução via substituição reversa: 35