Introdução à Programação Aula 18 Método de eliminação de Gauss

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1 Introdução à Programação Aula 18 Método de eliminação de Gauss Pedro Vasconcelos DCC/FCUP 2015 Pedro Vasconcelos (DCC/FCUP) Introdução à Programação Aula 18 Método de eliminação de Gauss / 23

2 Nesta aula 1 Sistemas de equações lineares 2 Método de eliminação de Gauss Resolução de um sistema linear Implementação Pedro Vasconcelos (DCC/FCUP) Introdução à Programação Aula 18 Método de eliminação de Gauss / 23

3 Sistemas de equações lineares Um sistema de equações lineares: 2x + y z = 8 (L1) 3x y + 2z = 11 (L2) 2x + y + 2z = 3 (L3) 3 equações (L1), (L2), (L3) 3 incógnitas x, y, z Em geral: pode ter zero, uma ou infinitas soluções. Pedro Vasconcelos (DCC/FCUP) Introdução à Programação Aula 18 Método de eliminação de Gauss / 23

4 Operações elementares As seguintes operações transformam um sistema de equações lineares noutro equivalente: 1 trocar a ordem das equações; 2 somar uma equação com outra; 3 multiplicar uma equação por uma constante diferente de zero. Pedro Vasconcelos (DCC/FCUP) Introdução à Programação Aula 18 Método de eliminação de Gauss / 23

5 Trocar equações Podemos trocar a ordem das equações: 2x + y z = 8 3x y + 2z 2x + y + 2z = 11 = 3 3x y + 2z = 11 2x + y z = 8 2x + y + 2z = 3 Pedro Vasconcelos (DCC/FCUP) Introdução à Programação Aula 18 Método de eliminação de Gauss / 23

6 Somar equações Podemos substituir uma equação pela sua soma com outra equação: 2x + y z = 8 x + 0y + z = 3 3x y + 2z = 11 3x y + 2z = 11 2x + y + 2z = 3 2x + y + 2z = 3 2x +y z = 8 + 3x y +2z = 11 x +0y +z = 3 Pedro Vasconcelos (DCC/FCUP) Introdução à Programação Aula 18 Método de eliminação de Gauss / 23

7 Multiplicar por uma constante Podemos multiplicar uma equação por uma constante diferente de zero: 2x + y z = 8 x y 1 2 z = 4 3x y + 2z = 11 3x y + 2z = 11 2x + y + 2z = 3 2x + y + 2z = 3 ( 1 2 ) 2x +y z = 8 x y 1 2 z = 4 Pedro Vasconcelos (DCC/FCUP) Introdução à Programação Aula 18 Método de eliminação de Gauss / 23

8 Método de eliminação de Gauss Resolver um sistema pelo método de eliminação de Gauss: eliminamos uma incógnita usando operações elementares repetimos o processo até obter sistema um sistema triangular superior no fim: obtemos as soluções por substituições para trás Pedro Vasconcelos (DCC/FCUP) Introdução à Programação Aula 18 Método de eliminação de Gauss / 23

9 Resolução usando eliminação de Gauss Eliminar x em (L2) usando (L1): 2x +y z = 8 (L1) 3x y +2z = 11 (L2) 2x +y +2z = 3 (L3) ( 3 2 ) 2x +y z = 8 + 3x y +2z = 11 0x y z = 1 Pedro Vasconcelos (DCC/FCUP) Introdução à Programação Aula 18 Método de eliminação de Gauss / 23

10 Resolução usando eliminação de Gauss Eliminar x em (L3) usando (L1): 2x +y z = 8 (L1) y z = 1 (L2) 2x +y +2z = 3 (L3) (1 ) 2x +y z = 8 + 2x +y +2z = 3 0x +2y +z = 5 Pedro Vasconcelos (DCC/FCUP) Introdução à Programação Aula 18 Método de eliminação de Gauss / 23

11 Resolução usando eliminação de Gauss Eliminar y em (L3) usando (L2): 2x +y z = 8 (L1) 1 2 y z = 1 (L2) 2y +z = 5 (L3) ( 4 ) 1 2 y z = 1 + 2y +z = 5 0y z = 1 Pedro Vasconcelos (DCC/FCUP) Introdução à Programação Aula 18 Método de eliminação de Gauss / 23

12 Resolução usando eliminação de Gauss Ficamos com um sistema triangular superior: 2x +y z = 8 (L1) 1 2 y z = 1 (L2) z = 1 (L3) Podemos obter a solução por substituição: z = 1/( 1) = 1 y = ( z) / ( 1 2) = 3 x = (8 y + z)/2 = 2 Pedro Vasconcelos (DCC/FCUP) Introdução à Programação Aula 18 Método de eliminação de Gauss / 23

13 Implementar o método de eliminação de Gauss Representamos um sistema com n equações a n incógnitas por uma matriz de n linhas e n + 1 colunas (coeficientes e termos independentes). 2x +y z = 8 3x y +2z = 11 2x +y +2z = 3 Em Python: uma lista de listas. [[2.0, 1.0, -1.0, 8.0], [-3.0, -1.0, 2.0, -11.0], [-2.0, 1.0, 2.0, -3.0]] Pedro Vasconcelos (DCC/FCUP) Introdução à Programação Aula 18 Método de eliminação de Gauss / 23

14 Eliminação de uma incógnita A 0,0... A 0,i... A 0,n 1 A 0,n A i,i... A i,n 1 A i,n... A n 1,i... A n 1,n 1 A n 1,n Para j de i + 1 até n 1: A i,i designa-se por elemento pivot. nova linha j = linha j A j,i A i,i linha i Pedro Vasconcelos (DCC/FCUP) Introdução à Programação Aula 18 Método de eliminação de Gauss / 23

15 Substituição num sistema triangular A 0, A 0,n 1 A 0,n... Ai,i... Ai,n 1 Ai,n.... A n 1,n 1 A n 1,n Para i de n 1 até 0: x i = ( A i,n n 1 j=i+1 A i,j x j ) /A i,i Pedro Vasconcelos (DCC/FCUP) Introdução à Programação Aula 18 Método de eliminação de Gauss / 23

16 Implementação em Python def resolve(a): triangular(a) x = substitui(a) return x Duas funções auxiliares: triangular(a) transforma a matriz de coeficientes em triangular superior; substitui(a) efectua substituições para obter o vetor solução. Pedro Vasconcelos (DCC/FCUP) Introdução à Programação Aula 18 Método de eliminação de Gauss / 23

17 Transformar sistema em triangular superior def triangular(a): "Transforma matriz A em triangular superior." n = len(a) # n equações e incógnitas for i in range(n): # eliminar incógnita i pivot = A[i][i] for j in range(i+1, n): # linhas m = -A[j][i]/pivot for k in range(i, n+1): # colunas A[j][k] += m*a[i][k] Pedro Vasconcelos (DCC/FCUP) Introdução à Programação Aula 18 Método de eliminação de Gauss / 23

18 Substituições def substitui(a): "Substuições duma matriz triangular superior." n = len(a) # n equações e incógnitas x = n*[0] # vector de n zeros for i in range(n-1, -1, -1): # substituir incógnita i s = sum([a[i][j]*x[j] for j in range(i+1,n)]) x[i] = (A[i][n] - s)/a[i][i] return x Pedro Vasconcelos (DCC/FCUP) Introdução à Programação Aula 18 Método de eliminação de Gauss / 23

19 Exemplo de execução >>> coefs = [[2.0,1.0,-1.0,8.0], [-3.0,-1.0,2.0,-11.0], [-2.0,1.0,2.0,-3.0]] >>> resolve(coefs) [2.0, 3.0, -1.0] Pedro Vasconcelos (DCC/FCUP) Introdução à Programação Aula 18 Método de eliminação de Gauss / 23

20 Quando o pivot é zero >>> coefs = [[2.,1.,-1.,8.], [-3.,-1.5,2.,-11.], [-2.,1.,2.,-3.]] >>> resolve(coefs) ZeroDivisionError Trocando a 2 a e 3 a linhas: >>> coefs = [[2.,1.,-1.,8.], [-2.,1.,2.,-3.], [-3.,-1.5,2.,-11.]] >>> resolve(coefs) [4.25, 1.5, 2.0] Pedro Vasconcelos (DCC/FCUP) Introdução à Programação Aula 18 Método de eliminação de Gauss / 23

21 Sumário Implementação direta do método de eliminação de Gauss Algoritmo imperativo: modifica a matriz de coeficientes Pode não encontrar a solução (falta a escolha de pivot) Exercícios (folha prática): 1 efectuar a escolha de pivot 2 detectar se não existe solução (sistema indeterminado ou impossível) 3 calcular o determinante 4 calcular a inversa duma matriz Pedro Vasconcelos (DCC/FCUP) Introdução à Programação Aula 18 Método de eliminação de Gauss / 23

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