Tema: Método da Eliminação de Gauss

Tamanho: px

Começar a partir da página:

Download "Tema: Método da Eliminação de Gauss"

Ian Oliveira Andrade
6 Há anos
Visualizações:

Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Computação GMA038 Introdução à Ciência da Computação Prof.

Tema: Método da Eliminação de Gauss O tema do trabalho final consiste em implementar o método da eliminação de Gauss para resolução de sistemas lineares, considerando pivotamento.

Por exemplo, se o sistema linear tem 3 equações, sendo dado por (2) sua solução é dada por (3) Estendendo o caso acima para um sistema com n equações, teremos, admitindo a princípio que os

1 Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Computação GMA038 Introdução à Ciência da Computação Prof. Renato Pimentel Trabalho de implementação 25,0 pontos Prazo máximo para entrega: 15 de julho (até 23:59). Tema: Método da Eliminação de Gauss O tema do trabalho final consiste em implementar o método da eliminação de Gauss para resolução de sistemas lineares, considerando pivotamento. Dado um sistema linear, (1) onde A é uma matriz triangular superior, isto é,, podemos determinar suas soluções de maneira direta através da retro substituição. Por exemplo, se o sistema linear tem 3 equações, sendo dado por (2) sua solução é dada por (3) Estendendo o caso acima para um sistema com n equações, teremos, admitindo a princípio que os elementos da diagonal principal da matriz sejam não-nulos, ou seja,, a solução será dada por (4) Entretanto, no caso geral, temos em mãos um sistema linear com n equações, que pode ser reescrito em termos de uma matriz quadrada de ordem n A como na Eq. 1, onde A agora é uma matriz qualquer. O método da eliminação de Gauss (MEG) consiste em transformar um sistema linear num novo sistema,, onde é uma matriz triangular superior.

2 Um sistema linear com n equações, dado por (5) pode ser reescrito na forma como (6) Existem três operações básicas que podem ser aplicadas a qualquer tipo de sistema linear, sem que se altere as soluções dos mesmos: Somar a uma linha um múltiplo de outra linha. Trocar duas linhas entre si. Multiplicar todos os elementos de uma linha por uma constante não-nula. O MEG se baseia em tal fato. Considere sistema,, como sendo. Definimos inicialmente a matriz aumentada do. (7) O MEG consiste de 3 etapas: Etapa 1: obtenção da matriz aumentada do sistema,. Etapa 2: transformação da matriz aumentada em outra matriz aumentada,, onde é uma matriz triangular superior. Etapa 3: resolve-se o sistema linear por retro substituição, obtendo-se assim as soluções do sistema original. Considere, por exemplo, : Etapa 1: a partir de (7), temos. (8) Etapa 2: Fase 1: zerar todos os elementos da primeira coluna, abaixo da diagonal principal. Ou seja, zerar

3 e, mantendo. Para isso, usamos a operação de somar a uma linha um múltiplo de outra linha mencionada acima. Denominamos como sendo o pivô desta fase, e a linha 1, que denotaremos por, como sendo a linha pivô. Agora, definimos os multiplicadores e e a partir dos mesmos, realizamos as operações de modo a obtermos agora,. (9) Fase 2: consideramos agora como novo pivô, e, através da operação, onde, obtemos. (10) Etapa 3: como acima é matriz aumentada triangular superior, resolvemos o sistema (10) por retro substituição, assim obtendo a solução de (6). Exemplo 1: considere o sistema. (11) Etapa 1:. (12) Etapa 2, fase 1: O pivô é, e a linha pivô é. A partir de e, fazemos para obter. (13)

4 Etapa 2, fase 2: repete-se o processo da fase anterior, onde agora o pivô é multiplicador é. Fazendo-se, vem, e o. (14) Etapa 3: por retro substituição, a solução do sistema (14) é dada por do sistema (11)., mesma solução Observação:. Exemplo 2: considere agora um novo sistema, representado pela matriz aumentada. (15). Pelo MEG, a partir da etapa 2, pela fase 1 chegamos a. (16) Note que neste ponto, o algoritmo falha, pois não podemos prosseguir com a fase 2 da segunda etapa, uma vez que sistema (15) tem solução dada por. PIVOTAMENTO, impedindo a definição de um multiplicador neste caso. Entretanto, o Para resolver sistemas lineares como o do exemplo 2, devemos usar o pivotamento. Para isso, tomamos agora na j-ésima fase da etapa 2 como pivô o maior elemento em valor absoluto da coluna a ser zerada. Assim, em cada fase da etapa 2 o pivô será dado por. (17) Neste processo, se o maior elemento pertence à k-ésima linha, então trocam-se as linhas, fazendo-se. Retomando o exemplo 2 anterior, podemos aplicar o MEG com pivotamento: refazendo-se a fase 1 da etapa 2, temos que. Podemos escolher como pivô tanto quanto. Tomando-se o primeiro, devemos fazer a troca e. Desta forma, obtemos. (18) Pelo MEG, e assim,. (19) Para a fase 2, o pivô será dado por trocadas entre si a segunda e a terceira linhas do sistema (19):. Neste caso, são

5 . (20) Prossegue-se assim com a fase 2, onde temos como pivô -3. Chegamos a, (21) a partir do qual obtemos a solução. Observação: neste caso,. Realizamos um número par (2) de permutações entre linhas. Se o número fosse ímpar, ao final teríamos como determinante de A, onde é a matriz triangular superior obtida através do MEG com pivotamento. Note portanto que se durante o MEG com pivotamento ocorrer a situação, então (matriz não inversível) e portanto o sistema não tem solução ou tem infinitas soluções. Fonte: adaptado de Objetivo do trabalho Cada grupo de alunos deverá generalizar o MEG com pivotamento explicado acima para sistemas lineares com um número n de equações. Tanto o número n quanto as entradas da matriz e do vetor b deverão ser fornecidos pelo usuário do programa, durante sua execução. O programa então se encarrega de obter a solução, caso exista, devolvendo para o usuário as soluções do sistema linear. Regras: 1. Os alunos deverão se organizar em grupos de no máximo 3 alunos. Cada grupo deverá, através de um dos membros, enviar um para o professor ufu. br) até a data limite de 01/07, informando quais membros compõem o mesmo. 2. O trabalho corresponde a 25 pontos da nota final de cada aluno, sendo distribuído da seguinte forma: 1. Boas práticas de programação (clareza do código, como uso de tabulações, etc.): 3 pontos; 2. Funcionamento e correta implementação do programa: 15 pontos. 3. Documentação do código (comentários, explicando a utilidade de cada função ou trecho, etc.): 2 pontos. 4. Criatividade; emprego do maior número de tópicos possível visto em sala: 5 pontos. 3. A nota será a mesma para todos os membros de cada grupo. Cabe a cada grupo elaborar as

6 funções de cada membro dentro da equipe. 4. O arquivo.c resultante do trabalho de cada grupo deverá ser entregue através do sistema Moodle, em espaço que será criado para entrega do mesmo. 5. Somente serão aceitos trabalhos implementados em linguagem C pura (trabalhos feitos em C++ e/ou com recursos adicionais de C++ ou qualquer outra linguagem de programação terão nota ZERO). 6. Conforme definido no início do curso, somente terá direito à avaliação substitutiva aqueles que entregarem o trabalho na data limite estipulada acima. 7. Não será aceita a submissão de trabalhos além da data limite. O grupo que não entregar até a data estipulada terá nota ZERO de trabalho. O professor não assumirá nenhuma responsabilidade acerca de problemas na submissão, como problemas de rede, sistema fora do ar, etc. Sendo assim, encoraja que os grupos, caso possível, antecipem a entrega em relação à data limite.

Documentos relacionados

étodos uméricos SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES (Continuação) Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA

étodos uméricos SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES (Continuação) Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA UNIVERSIDADE DE JOÃO DEL-REI PRÓ-REITORIA DE PESQUISA CENTRO