Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica

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Letícia de Escobar Bayer
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1 Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 2016/17 MIEI+MIEB+MIEMN Slides da 4 a Semana de aulas Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 1 / 27

2 Programa 1 Matrizes 2 Sistemas de Equações Lineares 3 Determinantes 4 Espaços Vectoriais 5 Aplicações Lineares 6 Valores e Vectores Próprios 7 Produto Interno, Produto Externo e Produto Misto 8 Geometria Anaĺıtica Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 2 / 27

3 Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 3 / 27

3. Determinantes (só matrizes quadradas) O determinante de uma matriz vai permitir, por exemplo: 1 Determinar se uma matriz quadrada é ou não invertível, 2 Resolver

4 3. Determinantes (só matrizes quadradas) O determinante de uma matriz vai permitir, por exemplo: 1 Determinar se uma matriz quadrada é ou não invertível, 2 Resolver sistemas de Cramer, 3 calcular áreas de paralelogramos (em R 2 ) e volumes de paralelepípedos (em R 3 ), 4... Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 4 / 27

5 Uma definição por recorrência 3.1 Uma definição por recorrência Notação Sejam A M n n (K) (n 2) e i,j {1,...,n}, denotamos por A(i j) M (n 1) (n 1) (K) a matriz que resulta de A se retirarmos a linha i e a coluna j. Exemplo Sendo A = A(1 1) = [ , então ] [ 4 3, A(1 2) = 3 7 ] [ 1 3, A(3 1) = 0 3 ]. Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 5 / 27

6 Uma definição por recorrência Definição Seja A = [a ij ] M n n (K). Chama-se determinante de A, e representa-se por deta ou A, ao número Se n = 1, então deta = a 11. Se n > 1, então deta = a 11 ( 1) 1+1 deta(1 1)+...+a 1n ( 1) 1+n deta(1 n), ou seja, se n > 1, deta = n a 1i ( 1) 1+i deta(1 i). i=1 Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 6 / 27

7 Uma definição por recorrência Exemplo Se A for uma matriz de ordem 2, isto é, [ a11 a A = 12 a 21 a 22 ] então, deta = a 11 ( 1) 1+1 deta(1 1)+a 12 ( 1) 1+2 deta(1 2). Porque A(1 1) = a 22 e A(1 2) = a 21 vem que deta = a 11 a 22 a 12 a 21. Fórmula para cálculo do determinante de uma matriz 2 2 Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 7 / 27

Uma definição por recorrência Exemplo Se A for uma matriz de ordem 3, isto é, a 11 a 12 a 13 A = a 21 a 22 a 23, então, a 31 a 32 a 33 deta = a 11 ( 1) 1+1 deta(1 1)+a 12 ( 1) 1+2 deta(1 2)+a 13 ( 1)

8 Uma definição por recorrência Exemplo Se A for uma matriz de ordem 3, isto é, a 11 a 12 a 13 A = a 21 a 22 a 23, então, a 31 a 32 a 33 deta = a 11 ( 1) 1+1 deta(1 1)+a 12 ( 1) 1+2 deta(1 2)+a 13 ( 1) 1+3 deta(1 3) a = a 22 a a 32 a 33 a 12 a 21 a 23 a 31 a 33 +a 13 a 21 a 22 a 31 a 32 =... Fórmula para cálculo do determinante de uma matriz 3 3 (Regra de Sarrus) Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 8 / 27

9 Uma definição por recorrência Exercício Calcule o determinante das seguintes matrizes: Definição A = [ ] [, B = ], C = A M n n (K), com n 2. Designa-se por complemento algébrico da posição (i,j) de A, ao escalar definido por Observação â ij = ( 1) i+j deta(i j).. deta =a 11 ( 1) 1+1 deta(1 1)+...+a 1n ( 1) 1+n deta(1 n) = a 11 â a 1n â 1n. Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 9 / 27

10 Uma definição por recorrência Teorema (Teorema de Laplace) Sejam A = [a ij ] M n n (K) com n 2. Então, 1 deta = a i1 â i a in â in, para qualquer linha i de A; 2 deta = a 1j â 1j +...+a nj â nj, para qualquer coluna j de A. Observação Em geral, para calcular o determinante de uma matriz usando o Teorema de Laplace, faz-se o desenvolvimento segundo a linha ou a coluna da matriz que tenha maior número de zeros. Deste modo garante-se um menor número de parcelas na fórmula. Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 10 / 27

11 Uma definição por recorrência Notação deta Lapl. = ou deta Lapl. = li c j indica que o desenvolvimento do determinanteque que se segue decorre da aplicação do Teorema de Laplace à linha i ou à coluna j de A, respectivamente. Exemplo Considere-se a matriz A = Recorrendo à definição de determinante, temos o desenvolvimento através da primeira linha de A, ou seja, Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 11 / 27

12 Uma definição por recorrência Exemplo Considere-se a matriz A = Recorrendo à definição de determinante, temos o desenvolvimento através da primeira linha de A, ou seja, deta = def. 1â 11 +0â 12 1â 13 = 1( 1) 1+1 deta(1 1) 1( 1) 1+3 deta(1 3 = 1( 1) = 1( 6 0) 1(0 0) = ( 1) Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 12 / 27

13 Uma definição por recorrência A = Efectuando o desenvolvimento segundo a 3 a linha obtém-se deta Lapl. = 0â l 31 +0â 32 +3â 33 = 3( 1) 3+3 deta(3 3) 3 = 3( 1) = 3( 2 0) = 6 Pela segunda coluna tem-se deta Lapl. = 0â c 12 2â 22 +0â 32 = 2( 1) 2+2 deta(2 2) 2 = 2( 1) = 2(3 0) = 6 Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 13 / 27

14 Algumas propriedades do determinante 3.2 Algumas propriedades do determinante Como auxílio do teorema de Laplace pode provar-se: Proposição Se A M n n (K) tem uma linha nula (ou uma coluna) então Teorema Seja A M n n (K). Tem-se Proposição deta = 0. deta = deta. Seja A M n n (K), com n 2. Se A tem a linha i igual à linha j, com i j, então deta = 0. Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 14 / 27

15 Algumas propriedades do determinante Exercício Calcule o determinante da matriz A = Teorema Se A M n n (K) é uma matriz triangular superior (respectivamente, inferior) então o determinante de A é igual ao produto dos elementos da diagonal principal de A. Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 15 / 27

16 A B C Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 16 / 27 Determinantes? det(a+b) = deta+detb.? Algumas propriedades do determinante Exemplo Sejam Então A = [ deta = 0, detb = 0 e Mas, é verdade que, ] e B = [ ]. [ det(a+b) = det ] = 5. Não!!!

17 Transformações elementares e determinantes 3.3 Transformações elementares e determinantes Efectuando transformações elementares nas linhas de uma matriz A M n n (K) como é que o determinante é afectado? Teorema Seja A M n n (K). Tem-se 1 Se i j e A l i l j A então deta = deta. 2 Se α 0 e A αl i A então deta = αdeta. 3 Se i j e A l i +βl j A então deta = deta. Exercício Usando transformações elementares determine o determinante da matriz A = Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 17 / 27

18 Transformações elementares e determinantes Exercício = l 1 l 2 = 5 l 3 + ( 2)l = l 3 + ( 2)l = = ( 5) (1 1 ( 2)) = 10. Proposição Seja A M n n (K) e α K. Tem-se det(αa) = α n deta. Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 18 / 27

19 Transformações elementares e determinantes Proposição Seja A M n n (K) e então A B, (linhas) deta = 0 se, e só se, detb = 0. (deta 0 se, e só se, detb 0) Teorema Seja A M n n (K). Tem-se A é invertível se, e só se, deta 0. Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 19 / 27

20 Determinante do produto de matrizes 3.4 Determinante do produto de matrizes Teorema Sejam A,B M n n (K). Tem-se det(ab) = detadetb. Mais geralmente, se t 2 e A 1,...,A t M n n (K) então det(a 1 A t ) = deta 1 deta t. Proposição Seja A M n n (K) uma matriz invertível ( então, deta 0). Tem-se deta 1 = 1 deta. Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 20 / 27

21 Cálculo da inversa a partir da adjunta 3.5 Cálculo da inversa a partir da adjunta Definição Seja A M n n (K), com n 2. 1 Chamamos matriz dos complementos algébricos de A à matriz dos seus complementos algébricos e denotamo-la por Â. 2 Chamamos adjunta de A à matriz transposta da matriz Â e denotamo-la por adj A, isto é, Exemplo Seja A = (adj A) = ÂT Para determinar a matriz dos complementos algébricos: Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 21 / 27

22 â 12 = ( 1) 1+2 deta(1 2) = ( 1) â 23 = ( 1) 2+3 deta(2 3) = ( 1) â 31 = ( 1) 3+1 deta(3 1) = ( 1) Então, Â = â 11 â 12 â 13 â 21 â 22 â 23 â 31 â 32 â 33 A adjunta de A é então dada por Cálculo da inversa a partir da adjunta = adj A = (Â)T = = ( 1+6) = 5 = (0+2) = 2 = (3 0) = Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 22 / 27

23 Cálculo da inversa a partir da adjunta Teorema Seja A M n n (K). Tem-se (a) AadjA = deta deta deta = (deta)i n. (b) Se A é invertível então Observação A 1 = 1 deta adja. Para estabelecer (a) temos de observar que: 1 deta Lapl. = li a i1 â i1 +a i2 â i a in â in, para i = 1,2,...,n; 2 a i1 â j1 +a i2 â j a in â jn = 0, para i j. Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 23 / 27

24 Cálculo da inversa a partir da adjunta Exemplo Se A = Teorema, temos deta = 5 0, então A é invertível. Pelo A 1 = 1 deta adj A = Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 24 / 27

25 Regra de Cramer 3.6 Regra de Cramer Recorde-se a definição de sistema de Cramer: Definição Sistema de Cramer é um sistema de equações lineares em que a matriz simples do sistema é quadrada e invertível (deta 0). Teorema (Regra de Cramer) Seja AX = B um sistema de n equações a n incógnitas, tal que, A é invertível. A única solução do sistema é x 1 = deta 1 deta,...,x n = deta n deta em que A j é a matriz que resulta substituindo a j-ésima coluna de A por B. Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 25 / 27

26 Regra de Cramer Exemplo Considere o sistema é 3x 1 +3x 2 +x 3 = 4 x 1 +2x 2 x 3 = 0 2x 1 +x 2 +x 3 = 3 A = e a matriz dos termos independentes é B =.A matriz simples do sistema Como deta = 3 0, então A é invertível e estamos perante um sistema de Cramer Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 26 / 27

27 Regra de Cramer Pela Regra de Cramer, x 1 = = 1, x 2 = = 0, x 3 = = 1. Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 27 / 27

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