Hewlett-Packard DETERMINANTE. Aulas 01 a 05. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz

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1 Hewlett-Packard DETERMINANTE Aulas 0 a 05 Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz

2 Sumário DETERMINANTE... Exemplo... Exemplo Exemplo TEOREMA DE LAPLACE... I) COFATOR... Exemplo... II) O TEOREMA DE LAPLACE... Exemplo Propriedades... Considere A uma matriz quadrada de ordem n em todos os casos a seguir.... FILA NULA... Exemplo... FILAS PARALELAS... Exemplo... Exemplo... COMBINAÇÃO LINEAR... Exemplo 4... Exemplo 5... TROCA DE FILAS PARALELAS... Exemplo 6... MATRIZ TRANSPOSTA... Exemplo 6... MULTIPLICAÇÃO DE UMA FILA POR UM NÚMERO REAL... 4 Exemplo TEOREMA DE JACOBI... 4 MATRIZ TRIANGULAR... 4 Seja A uma matriz triangular, então deta é o produto dos elementos da diagonal principal Exemplo TEOREMA DE BINET... 4

3 ... 4 Regra de Chió... 5 REGRA DE CHIÓ... 5 Exemplo MATRIZ DE VANDERMONDE Matriz Inversa... 5 Matriz dos cofatores... 5 Exemplo... 6 Matriz adjunta... 6 Exemplo... 6 Matriz Inversa... 6 Exemplo QUESTÕES EXTRAS... 7 CAIU NO VEST... 8 GABARITO QUESTÕES EXTRAS... 8 CAIU NO VEST... 8 Elson Rodrigues e Gabriel Carvalho Página

4 AULA 0 DETERMINANTE A toda matriz quadrada pode ser associado um número real, chamado de determinante. Seja A uma matriz quadrada de ordem n. O determinante de A, representado por det A ou A, é calculado por diferentes técnicas que variam de acordo com a ordem da matriz. ORDEM O determinante de uma matriz de ordem é igual ao único elemento que compõe essa matriz. Exemplo A = [ ], então det A =. A = [π], então det A = π. A = [0], então det A = 0. ORDEM O determinante de uma matriz de ordem é igual ao produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária. Se A = ( a a a a ), então Exemplo det A = a a a a = a a a a a a a a Se A = ( ), então det A = 7 7 = 7 6 = 7.. Calcule os determinantes a seguir. a) 7 b) 9 7 c) d) 5 4 sen a cos a e) cos a sen a x x.. Resolva, em R, a equação =. x ORDEM O determinante da matriz de ordem é calculado utilizando a Regra de Sarrus. Observe o passo-a-passo no exemplo a seguir. Exemplo 0 Calcule o determinante da matriz A = [ 0 ]. ) Copie ao lado da matriz A as suas duas primeiras colunas ) Multiplique os elementos da diagonal principal. Faça o mesmo, separadamente, para cada diagonal paralela ) Multiplique os elementos da diagonal secundária, trocando o sinal do produto obtido. Faça o mesmo, separadamente com as suas diagonais paralelas. 4) Some os valores obtidos det A = = Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página

5 .. Calcule A) 5 0 B) TAREFA Unid. 0, Cap. 9, PSA (a até f), e 4. AULA 0 TEOREMA DE LAPLACE I) COFATOR Seja A uma matriz quadrada de ordem n e seja a ij um elemento de A. A cada elemento da matriz a ij está associado um número real chamado de cofator. O cofator de a ij, denotado por Δ ij, é tal que Δ ij = ( ) i+j D ij, em que D ij é o determinante da matriz que se obtém de A, eliminando a i-ésima linha e j-ésima coluna. Exemplo 0 Na matriz A = [ ], qual o cofator do 0 4 elemento a? Para determinar o cofator de a precisamos calcular D que é obtido eliminando a primeira linha e terceira coluna. 0 [ ] D = = = E assim, Δ = ( ) + D = ( ) 4 6 = 6. Exemplo 4 Calcule o determinante da matriz A = [ ] º) Utilizando o teorema de Laplace na linha det A = a Δ + a Δ + a Δ + a 4 Δ 4 det A = Δ + 0 Δ + 0 Δ + Δ 4 det A = Δ + Δ 4 Perceba que ao escolher a linha só será necessário calcular dois cofatores, pois ela possui dois termos nulos. º) Calculando o cofator Δ Δ = ( ) + 4 = = 5 º) Calculando o cofator Δ 4 Δ 4 = ( ) +4 4 = ( ) 6 = 6 4 4º) Voltando ao determinante det A = Δ + Δ 4 det A = + ( 6) det A = 4 Obs.: O termo fila se refere a uma linha ou coluna da matriz. Teorema de Laplace Observe que no teorema de Laplace cada cofator é multiplicado pelo seu respectivo elemento, com isso caso o elemento seja nulo não é necessário calcular seu cofator. Logo, escolha sempre a fila com a maior quantidade de elementos nulos para simplificar o cálculo. II) O TEOREMA DE LAPLACE O determinante de uma matriz quadrada de ordem n é igual a soma dos produtos dos elementos de uma fila com os seus respectivos cofatores. Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página

6 .. Calcule a) b) TAREFA Unid. 0, Cap. 9, PSA (g, h, i). AULA 0 Propriedades Considere A uma matriz quadrada de ordem n em todos os casos a seguir. FILA NULA Se A possui uma fila na qual todos os elementos são nulos, então det A = 0. Exemplo O determinante é nulo, pois a segunda 7 linha é nula. FILAS PARALELAS Se A possui filas paralelas iguais ou proporcionais, então det A = 0. Exemplo 4 O determinante 5 é nulo, pois a linha é 4 igual a linha. Exemplo O determinante 5 4 é nulo, pois a coluna é o 6 6 dobro da coluna COMBINAÇÃO LINEAR Se os elementos de uma fila de uma matriz são combinações lineares dos elementos correspondentes de filas paralelas, então seu determinante é nulo Exemplo 4 O determinante é nulo, pois a coluna é a soma da coluna e. Exemplo 5 8 O determinante 4 5 é nulo, pois a coluna 4 é a igual a coluna vezes mais a coluna vezes. TROCA DE FILAS PARALELAS Se trocarmos a posição de duas filas paralelas de A, obtendo uma matriz A, então det A = det A. Exemplo 6 Se o determinante 5 é igual a, então o 0 5 determinante é igual a, pois a linha 0 foi trocada com a linha. MATRIZ TRANSPOSTA Seja A t a transposta da matriz A então det A = det A t Exemplo 6 Se o determinante 5 é igual a, então o 0 determinante da matriz será igual a, 5 0 pois ela é a sua transposta. Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página

7 MULTIPLICAÇÃO DE UMA FILA POR UM NÚMERO REAL Quando todos os elementos de uma fila de A são multiplicados por um número k obtendo uma matriz A, então det A = k det A. Exemplo 7 Se o determinante 5 é igual a, então o 0 6 determinante 5 é igual a 44, pois a coluna 0 foi multiplicada por. TEOREMA DE JACOBI Seja A' a matriz obtida pela substituição de uma fila de uma matriz A pela soma dessa fila com um múltiplo de outra fila paralela a ela não altera o determinante, ou seja, det A = det A MATRIZ TRIANGULAR Seja A uma matriz triangular, então det A é o produto dos elementos da diagonal principal. Exemplo = 4 = Calcule a) b) c) x Sabendo que z y = 7, w calcule os determinantes. z w a) x y 5x 5y b) z w 5x 5y c) 5z 5w.. Se A é uma matriz quadrada de ordem e det A = 7, qual o valor de det A?.4. Em cada determinante a seguir, justifique por meio de uma propriedade o porquê do determinante ser igual a zero a) = b) = c) = d) 5 0 = a b c d x y z w e) a + x b + y c + z d + w Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 4 TEOREMA DE BINET Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, então det(a B) = det A det B.5. Prove que uma matriz invertível possui determinante diferente de zero..6. (AFA 0) Considere as matrizes A e B, inversíveis e de ordem n, bem como a matriz identidade I. Sabendo que det(a) = 5 e det(i B A) =, então o det[ (B A )] é igual a (A) 5 n. (B) n n 5. (C). (D) 5 n. TAREFA Unid. 0, Cap. 9, PSA, 5, 6, 7 e 8

8 AULA 04 Regra de Chió REGRA DE CHIÓ A regra de Chió nos permite calcular o determinante de uma matriz de ordem n, utilizando uma matriz de ordem menor. Obs.: Para utilizar a regra de Chió o elemento a deve ser igual a. PASSO A PASSO a n ( ) a n a nn. Suprima a º linha e º coluna.. Dos elementos restantes, subtraia o produto dos dois elementos suprimidos correspondentes a mesma linha e coluna.. A nova matriz tem o mesmo determinante da matriz original Exemplo = = ( 7) = 0 ( 7) 0 = 56 = 44 = Calcule 0 4 a) b) MATRIZ DE VANDERMONDE A matriz de Vandermonde, ou matriz das potências, é uma matriz quadrada de ordem n do tipo a a a a n A = ( a ) ( a ) ( a ) ( an ) n n n n ( a ) ( a ) ( a ) ( an ) Obs.4: Os elementos da segunda linha da matriz de Vandermode são chamados de elementos característicos. O determinante da matriz de Vandermonde é igual ao produto de todas as diferenças entre os seus elementos característicos (a i a k ), com i > k. 4.. Calcule a) b) AULA 05 Matriz Inversa Matriz dos cofatores Seja A uma matriz quadrada de ordem n. A matriz dos cofatores de A, denotada por A, é a matriz em que cada elemento Δ ij é o cofator de cada elemento a ij de A. Em outras palavras, a matriz A é a matriz que se obtém a partir de A, substituindo cada elemento de A pelo seu cofator. n x n Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 5

9 Exemplo Sendo A = [ ] temos que os cofatores dos elementos da matriz A são iguais a Δ = ( ) + = Δ = ( ) + ( ) = Δ = ( ) + = Δ = ( ) + = Assim, a matriz dos cofatores será igual a A = [ ] Matriz adjunta Seja A uma matriz quadrada de ordem n. A matriz adjunta de A, denotada por A é igual a transposta da matriz dos cofatores, ou seja A = (A ) t Exemplo Sendo A = [ ] temos que a matriz dos cofatores é igual a A = [ ] Assim, a matriz adjunta de A é igual a A = [ ] Com a matriz adjunta temos uma segunda forma de se obter a matriz inversa de A. Matriz Inversa Seja A uma matriz invertível quadrada de ordem n. A matriz inversa de A é igual a A = det A A em que A é a matriz adjunta de A. Para obter a matriz inversa de A basta seguir o seguinte passo-a-passo º) Calcule o determinante de A. Lembre-se que se ele for diferente de zero a matriz é inversível. º) Obtenha a matriz dos cofatores de A. º) Obtenha a matriz adjunta de A. 4º) Divida os elementos da matriz ajunta pelo determinante de A. Exemplo Sendo A = [ ] temos que I. det(a) = 5 II. A = [ ] III. A = [ ] IV. A = A = [ det A 5 ] = [ 5.. Considere a matriz A = [ 0 ] a) Calcule det A. b) Obtenha a matriz, A, dos cofatores de A. c) Obtenha a matriz A, adjunta de A. d) Obtenha a matriz A, inversa de A Considere as matrizes A = [ 0]. x a) Para que valores de x a matriz A é invertível? b) Determine o elemento a da matriz inversa de A. Matriz Inversa de ordem No caso da matriz quadrada de ordem a matriz inversa seguirá um padrão especial. Observe a seguinte matriz de ordem A = [ a b c d ] A matriz dos cofatores e a matriz adjunta de A são dadas por A = [ d c b a ] A d b = [ c a ] Assim, a inversa de A é igual a A = det a [ d b c a ] Ou seja, para determinar a inversa da matriz de ordem basta I. Permutar os elementos da diagonal principal II. Mudar o sinal dos elementos da diagonal secundária III. Dividir todos os elementos pelo determinante EXTRA 5 ] Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 6

10 QUESTÕES EXTRAS. O valor de A = (A). (B) 5. (C) 5. (D). (E) x 5. Resolva a equação x (x + ) = 6 e x determine, em R, o seu conjunto-solução. 6. Considere a matriz A = ( 0 0 ). Calcule o 4 determinante da matriz inversa de A.. O valor do determinante é igual a (A) 70. (B) 70. (C) 60. (D) 60. (E) Considere a matriz B = (b ij ) 4x4 em que det B = 5. É correto afirmar que (A) det B = det B. (B) det ( B ) = det B. (C) det B < 400. (D) det B = 0. (E) det B t = det B, em que B t é a matriz transposta de B. 4. Considere a matriz A = [ 0 0 ] e julgue os itens a seguir.. det(a) = 8 det (A) Seja B = [ 0 0 ]. Então, é correto afirmar que det(b) = det (A).. Sendo A t a matriz transposta da matriz A, tem-se que det(a t ) = det (A). 4. Sendo A a inversa da matriz A, tem-se que det(a ) = A matriz A é inversível. 7. O conjunto-solução, em R, da equação x x = 0 x é 0 (A) S = { ; }. (B) S = {; }. (C) S = {7}. (D) S = { ;7}. (E) S = {;-7}. a b c 8. Dada a matriz A = [ m n p], em que x y z a, b, c, m, n, p, x, y e z são números reais, é correto afirmar que (A) det(5a) = 5 det(a). x y 5z (B) a b 0c = 0 det A. m n 5p a x m (C) b y n = det A. c z p a b c (D) x y z = 6 det A. m n p a c b (E) m p n = det A. x + m z + p y + n O determinante da matriz A = [ 0 ] é igual a (A) -6. (B) -4. (C) 0. (D) 4. (E) 6. Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 7

11 CAIU NO VEST. Considere a matriz A = (a ij ), tal que a ij = i j. Calcule det(a A t ). sen x cos x. Calcule sen y cos y., se i j. Seja A = (a ij ) em que a ij = {, se i < j. Calcule det A. 4. Sabendo-se que A e B são matrizes quadradas de ordem, det A = e det B t = 6, qual é o valor de det (A B)? x 0 5. Resolva, em R, a equação Calcule o valor da expressão = (UnB 0) Dada uma matriz quadrada A, definese o traço de A, simbolizado por tr(a), como a soma dos elementos de sua diagonal principal. A partir dessas informações e considerando as matrizes 0,7 0, P = ( ) ; Q = ( 0, 0,8 ) e R = 00Q PQ, Determine o valor do quociente det(r), em que det (R) tr(r) é o determinante da matriz R. Despreze, caso exista, a parte fracionária do resultado final obtido, após ter efetuado todos os cálculos solicitados. GABARITO.. a) 7 b) c) d) e).. S = { ; }.. a) b) 8.. a) b) 45.. a) 0 b) 0 c) 0.. a) 7 b) 5 c) a) Coluna 4 nula (fila nula) b) Linha igual a linha (filas paralelas iguais) c) Coluna proporcional a coluna 4 (filas paralelas proporcionais) d) Coluna é combinação linear da coluna e (combinação linear de filas paralelas) e) Linha 4 é combinação linear da linha e linha (combinação linear de filas paralelas).5. Demonstração.6. B 4.. a) 8 b) a) 40 b) a) 6 b) A = [ 0 ] c) A = [ 0 ] d) A = [ 0 4 ] 5.. a) x 0 b) 6 QUESTÕES EXTRAS. E. C. B 4. CCCCC 5. {} 6. / 7. D 8. E 9. A CAIU NO VEST. 0. sen (x + y) {} Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 8