Matemática C Semiextensivo v. 4

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1 Semietensivo v Eercícios ), aplicando o teorema de Laplace na ª coluna, temos que: A + A + A + A + + ( ) + ( ) ( ) + ( ) + ) para qualquer valor de A + A + A + A + ( ) ( ) + ( ), ou seja, o valor de é qualquer ) A + A + A + A + A

2 A ( ), aplicando novamente o teorema de Laplace, temos: A + A + A + A ( ) + + ( ) + + ( ) + + ( ) + ( + + ) ( + + ) + ( + + ) ( ) + ( ) ( ) + Logo: ( ) ( ) ) + + det A ( ) + ( ) ( ) A det A A + A + A + ( ) A det A ( + + ) (9 + ) det A + ) B det B b B + b B + b B + b B det B B + ( ) B + B + B det B ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 ) 9 B det B b B + b B + b B + b B det B B + B + B + B det B ( ) + ( ) + ( ) det B ( + + ) ( ) + ( ) det B () 9 + ( ) det B 9 ) π A π π 9/ π π det A a A + a A + a A + a A + a A det A A + A + ( ) A + A + A det A ( ) + π π 9/ π Aplicando novamente o teorema de Laplace, temos: π det A ( ) + π ( π ) π π det A π ) Aplicando a regra de Chió, temos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) () A' + ( ) +

4 9) ± ( ) + ( ) ( + ) + ( + ) + 9 ± ) 9/ 9 ( ) 9 ( + ) ) A z ( ) ( + + ) ( ) ) D Aplicando a regra de Chió, temos: A A' + ( ) + 9, ) E f() ( ) ( ) f() ( ) ( ) f() ( ) ( ) f() ( ) ( ) f() ( ) ( ) f() ( ) ( ) f() ( ) ( ) f() ( ) ( )

5 Logo: f( ) f() f( ) f( ) f() f( ) f( ) f( ) f( ) f( ) f( ) f( ) f( ) f( ) f( ) f( ) Aplicando o teorema de Laplace, temos: ( ) ( ) 9 ) C 9 ( ) 9 9 ( ) 9 ) C + Considerando A e aplicando a regra de Chió, temos: A X + X X X + X X X + X ( + ) + ( ) ( ) + ou X ou ou ou ) log ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ou ou ±

6 ) ) Falso Pois B A B, observe: B A Verdadeiro Pois: A + B + Verdadeiro Pois: A B Verdadeiro Pois: A det (A) 9 9 B det(b) 9 Verdadeiro Pois se A, temos: det A e A Considerando A +, temos que a será singular se det A, ou seja: ( ) ( ) ( + r) 9 + ( ), para que eista eatamente uma matriz singular o descriminamente (Δ) da equação do grau deve ser zero, assim: Δ ( 9) () ( r) + r 9) A det A A possui inversa Calculando os cofatores de A, temos: A ( ) ; A ( ) A ( ) ; A ( ) A ( ) ; A ( ) A ( ) ; A ( ) A ( ) Matriz cofatores: A' Matriz adjunta: A (A') t Logo, A A det A A ) A cos θ sen θ sen θ cos θ Considerando A cosθ senθ, temos: senθ cosθ det A cos θ + sen θ

7 Calculando os cofatores de A, temos: A ( ) cos θ sen θ sen θ cos θ ; A ( ) sen θ cos θ A ( ) cos θ sen θ ; A ( ) sen θ cos θ A ( ) cos θ cos θ ; A ( ) sen θ sen θ A ( ) cos θ sen θ ; A ( ) sen θ sen θ A ( ) cos θ cos θ Matriz cofatores: A' cos θ sen θ sen θ cos θ Matriz adjunta: A (A') t cos θ sen θ sen θ cos θ Logo, A det A A cos θ sen sen θ cos θ θ ) A A det A Matriz cofatora: A' Matriz adjunta: A Logo, A det A A A

8 ) A t B A det B det A? det B det ( A t ), como A é de ordem, temos que: det ( A t ) det A t det A t det A t Como det A t det A, temos que det A Logo, pelo teorema de Binet, det A det A ) E Pelo teorema de Binet, temos que det (A B) det A det B, logo: A det A ( ) B det B ( ) Assim, det (A B) det A det B ( ) ) a) A AB + BA B b) AB BA c) d) det B det A a) (A + B) (A B) A A A B + B A B B A A B + B A B, pois a multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, A B B A b) A B B A det A c) det ( A) det A det A ( ) det A det A d) B A det (A B) det (A A ) det (A B) det (I) det (A B) det A de B det B det A ) A det ( A BA) det ( BA A ) det ( B I) det B det B det B det B det B ) A A n n e B n n ; det A a, det B b; a e b det (A B ) det (A) det B n det A n a det B b n a b ) ) E 9) B Falsa Do enunciado temos o sistema: + y+ z + y+ z + y+ z A solução (,, ) é uma das infinitas soluções do sistema (Δ ) Falsa Pois um sistema indeterminado possui infinitas soluções Verdadeira Pois: + + Verdadeira Como a ª linha é a "soma" das primeiras duas linhas, temos D e, portanto, a matriz dada não possui inversa M e det M det M + det(m) + det(m) + det M + det M a) Falsa Pois det A det A t b) Verdadeira Pois se det A, temos que: A det A (cof A)t, em que cof A é a matriz dos cofatores de A c) Falsa Pois A B, então A ou B Observe que se A e B, temos A B, embora A e B d) Falsa Pois (A B) A AB + B somente quando A B B A Em geral a multiplicação de matrizes não é comunicativa, isto é, AB BA e) Falsa Pois se R, então det ( A) n det A,

9 ) a) X A B b) X B (A C) c) X A B ) D ) C a) X B A X B B A B X A B I b) B X + C A B X + C C A C B X A C B B B (A C) X B (A C) c) A X B A A A B A B A A A I I I A sen log sen det A sen log O determinante da matriz A é epresso por sen log, que é diferente de zero, pois do contrário teríamos sen log >, o que é absurdo Assim sendo, a matriz A é inversível para qualquer ) São verdadeiras a e c a) Verdadeira A + B + b) Falsa C A B a b c d a b c d b ) a) c) Verdadeira A t det At d) Falsa C B a b c d a d ( ) e) Falsa A C B a b c d a+ c a c b b+ d a b c c d b d b) g de amendoim g de castanha-de-caju g de castanha-do-pará Sendo, y e z, respectivamente, as quantidades, em quilos, de amendoim, castanha de caju e castanha-do- -pará contidas em uma lata da mistura, tem-se: a) do enunciado: + y+ z, + y + z, y ( + z) b) do sistema anterior: + y+ z, + y+ z, + y+ z, + z y + z y y, + z,, g g + z, y, g y g y, z, g z g ) S ( z, z, z);, y z y+ z z y z y z y z y z z z y 9

10 ) V F F V Sejam: preço do refrigerante y preço do café z preço do salgado + y+ z 9 Temos que: + y+ z a) Verdadeira Pois multiplicando-se a ª equação por e somando-a com a primeira obtemos y, ou seja, o preço do café é R$, b) Falsa Pois substituindo y por no sistema acima obteremos + z, que admite infinitas soluções Note + z que a ª coluna é igual à ª coluna multiplicada por c) Falsa Do enunciado temos a epressão algébrica + y + z que representa a despesa da mesa Como y, temos que + y + z + () + z + + z Do fato que + z, (é só dividir a primeira equação do sistema b por ), vem que + + z, +, A despesa da mesa foi de R$, + z d) Verdadeira Pois o sistema admite infinitas soluções, que são do tipo + z, ou z, z, isto é, os preços estarão sempre em função um do outro ) Seja M c Verdadeiro Pois + + M ( M ) t Falso det M Fazendo + +, ± + ± A afirmação é falsa pois det M para + [, [ Falso det M Fazendo + ± R Verdadeiro Representando por A o preço do litro do álcool e por D o do diesel e considerando A > D e que A + D A + D, temos: A + D A + D (A D) A D A D A D >, pois A > D [, + [ Verdadeiro Posto Posto Posto Gasolina Álcool Diesel G+ A+ D G+ A+ D,, G A + + G+ A, D, + G+ D 9, G A, G+ A, A A A + G + D G, D, ) a) z e y + z b) X Y + y+ z y z a) + + y+ z + y z z y + z b) De acordo com (a) e levando em conta que, y, z e que todos são números inteiros, temos: z ou z z z ou + z z z Assim: z, y z, y z, y Z

11 9) a) (,, + ) b) (,, ) ou (, 9, ) Considerando o menor salário, temos: + y+ z y 9 + z z + y z + ) Sejam: número de caias de parafusos y total de parafusos embalados y Assim: y + ) a ; b ; c y (a b + c) + (b c) + (c ) a b+ c a b c b c c ) e Sejam a e b, com a > b, os dois números inteiros positivos, assim: a b a b a + a b b + b b 9 9 b ) S {(, )} y ( y) + ( + y) + + y ( y) + ( y ) + y y y y y ) a) Não, pois faltará farinha b), g do tipo A e g do tipo B a) Para produzir g de bolo do tipo A e g de bolo do tipo B, a quantidade de açúcar é (, +, ) g, g De modo análogo, a quantidade de farinha é: (, +, ) g, g Com g de açúcar e g de farinha, não é possível, portanto, produzir g de bolo do tipo A e g de bolo do tipo B, pois a farinha não é suficiente b) Se a for o número de quilogramas de bolo do tipo A e b o do tipo B, então:, a+, b a b +, a+, b a+ b + a b + a b a, a+ b b b ) Matilda gastou R$, no supermercado e R$, na farmácia Sejam: valor gasto por Matilda no supermercado y valor gasto por Matilda na farmácia + y Assim: y 9 ) S,, ) C y Fazendo a ; y e z b c, temos: + y+ z + y + z + y+ z y z + y+ z 9 y z + y+ z y z y z z a a a Logo: y b b b z c c c Sejam P a e P b as produções de barris de petróleo das poças A e B, respectivamente, assim: ( Pa + Pb) ( Pa + Pb) Pa + Pb Pa + Pb Pa Pb Pa Pb Pa, Pb Pa,% Pb

12 ) (,, ) y z 9 9 z z y + y+ z y+ z + z 9 + y+ z + y+ z y+ z 9 y y + z y+ z z 9) + y + z y z 9 + y+ z + y+ z 9 y z yz y z + + y z y z + y+ z ) a) e b) c) + y z + y z + y+ ( ) z (Dividindo-se os termos da ª equação por ) + y+ ( ) z + y+ z + y+ z Calculando o determinante da matriz principal: D + + ( ) 9 Δ + Fazendo D o sistema será possível e determinado + + ± e Substituindo por e escalonando a matriz completa, temos: L L L L L L Sendo nula a terceira linha isso indica que para, o sistema tem para solução: (z, z, z), ou seja, o sistema será possível e indeterminado Substituindo por e escalonando a matriz completa, temos: L L L L L L Analisando a terceira linha da matriz resultante percebe-se que a conclusão é uma proposição falsa Assim, para, o sistema é impossível ) e Para que o sistema + y admita solução única, devemos ter D, ou seja:

13 + ( + ) + + e ) Escalonado a matriz completa: L L L L L L + L L + Para que o sistema seja possível e indeterminado, devemos ter: ) p + y q + y q y y Falso Pois se p e q, temos: q + y q q q Falso Pois se p q, o sistema é impossível Verdadeiro Pois para que o sistema apresente solução única, devemos ter D, ou seja: D p p q p q p q q Verdadeiro Pois se p q temos: y, que é um sistema impossível y Falso Pois det p, o sistema possui solução única q ) a spd a e b spi a e b si Calculando o determinante da matriz principal, temos: D a a + + ( a + + ) a Fazendo D o sistema será possível e determinado: a a a Substituindo a por e escalonando a matriz completa, temos: 9 b L +L L L +b Analisando a ª linha da matriz resultante, temos: Se + b b, o sistema será possível e indeterminado, cujas soluções serão: (, +, ) Se + b b, o sistema será impossível, pois a ª linha da matriz resultante será uma proposição falsa

14 ) Escalonando a matriz completa, temos: α α+ L +L L L α + α+ L L α α Para que o sistema seja impossível, devemos ter α α ± e α α α ) m ± cos + m sen cos m sen Somando as equações, temos: cos cos π ou π Substituindo na ª equação: cos ( π ) + m sen ( π ) + m + m m cos ( π ) + m sen ( π ) + m ( ) m S {m R / m ou m } ) m ou m Para que o sistema admita soluções próprias além da trivial ( y z ), devemos ter: m m + + m + m m m + m + m ou m ) a ou a + y+ z + y+ z a y z a Cálculo de D: D + + 9) E Como D, para que o sistema admita solução devemos ter D Dy Dz (SPI) Calculando D Dy e Dz, obtemos a + a Fazendo a + a, temos que a ou a y y + y + y y + y y ( ) + + y y + ( ) y Para que o SLH admita solução além da trivial, devemos ter D, ou seja: ( ) ( ) ( ) 9 ) a) não; b) a y+ z y+ z + ay+ z Cálculo de D: D 9 a a ou Para que o sistema seja indeterminado devemos ter: 9 a a e D Dy Dz Calculando Dy, temos: D y Como D y e independe do valor de a, não eiste valor real de a que torne o sistema indeterminado Para que sistema seja impossível, devemos ter a

15 ) a) m b) S {z R / (z, z, z)} a) O sistema admite solução para todos os valores de m para os quais ele não é impossível Assim, vamos analisar para que valores de m ele é impossível e ecluí-las da solução Para que o sistema seja impossível devemos ter: D e D ou Dy ou Dz D m m ou m m Fazendo uma análise dos demais determinantes, vemos que quando m, além de D, também teremos D Dy Dz, o que caracteriza um sistema indeterminado Logo, o sistema admite solução para todo m + y z b) my z, fazendo m, temos: + y + mz m + y z z z yz + y Fazendo m temos um SPI cujas soluções em função de z são: S {z R / (z, z, z)} ) a) (,, ) b) m e m m m m ) m + m + m+ a) Se o sistema linear homogêneo admite apenas uma única solução, esta é a solução trivial, ou seja, (,, ) (,, ) b) Fazendo D, temos: m m m m m m e m Verdadeira A condição de eistência da multiplicação entre duas matrizes é que o número de colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas da segunda, ou seja: A m n B n p (AB) m p Verdadeira Substituindo o terno (,, ) no sistema, todas as equações são satisfeitas Falsa Um sistema com mais equações do que incógnitas pode ter uma, infinitas ou nenhuma solução Verdadeira Sendo G o preço do guaraná e P o preço do pastel, de acordo com o enunciado temos: G+ P G+ P G+ P Da primeira equação temos: P G Logo, substituindo na segunda: G + ( G) G ) E Calculando P: P G P Substituindo os valors de G e P na terceira equação: G + P () + () +, ou seja, pelo menos uma das pessoas não pagou o preço certo O determinante das incógnitas do sistema linear é nulo, veja que a primeira coluna mais a terceira é igual à segunda C + C C D Como D, o sistema é possível e indeteminado (SPI) ou impossível (SI) Calculando os determinantes das incógnitas, temos: D ; Dy e Dz Como D e D Dy Dz, temos um SPI com infinitas soluções Sabendo o valor da quantidade de um material, y ou z, podemos determinar as quantidades das outras duas ) Falsa D a a a ± D a a a a a e a ou

16 Dy a a a Se a D e D Dy SPI Verdadeira ( + ) n T n n ( + ) n T n n n n T + T + n T + T + T + + n + T + ( + ) n + n Falsa Observe o gráfico da função g(): y A função g() é sobrejetora, e não injetora Portanto, ela não é bijetora, logo não é inversível Verdadeira f() sen e g() + fog () f(g()) sen ( + ) fog ( ) f(g()) sen (( ) + ) sen ( + ) Logo, (fog)() (gof)( ) ) + y z Falsa y+ z y+ z Multiplicando a segunda equação por ( ) e somando com a terceira, temos: + y z + y + z y z y Substituindo y na primeira equação: + z z z z z z z Logo: S z R / + + z Soma: z z z + +z Verdadeira A a b det A ad bc c d a b B det B a(b + d) b(a + c) a+ c b+ d det B ad bc Falsa Falsa [(AB ) AC] B [(B ) A AC] B [(B ) I C] B (BC) B C B B C I C Verdadeira A A A t A + A A t + (A + A A t ) 9 ) Verdadeira Observe a tabela abaio: n n n Dessa maneira, o número ( ) também terá os dois algarismos finais (dezena e unidade) iguais a dois zeros Sendo assim, concluímos que ( ) é múltiplo de + y+ z Falsa + y+ z + y+ z O sistema é impossível com a ª e a ª equação Temos: + y + z ( ) + y+ z y z + + y + z

17 n Verdadeira O binômio é + A fórmula para o binômio ( + a) n T p + n p ap n p T p + n P p ( ) Para p, temos: T + n T n T n n p n n ( ) n Como o epoente de é inteiro, temos: n, z n n + n ( + ) Portanto, n é par Verdadeira Aplicando a lei dos senos, temos: a b sen A c senb sen C R Assim: a R sen A b R senb c R sen C ou seja, a segunda linha da matriz A é proporcional à terceira linha, logo det A ) a + y z y+ z y+ z a Cálculo D: D + + Para que o sistema admita infinitas soluções devemos ter: D Dy Dz Calculando D, Dy e Dz, temos: D Dy Dz a a a