Matrizes - Parte II. Juliana Pimentel. juliana.pimentel. Sala Bloco A, Torre 2

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1 Matrizes - Parte II Juliana Pimentel juliana.pimentel Sala Bloco A, Torre 2

2 AB BA (Comutativa) Considere as matrizes [ ] [ A = B = obtemos ]. Multiplicando,

3 AB BA (Comutativa) Considere as matrizes [ ] [ A = B = obtemos [ 1 2 AB = 11 4 ], ]. Multiplicando,

4 AB BA (Comutativa) Considere as matrizes [ ] [ A = B = obtemos [ 1 2 AB = 11 4 ] [ 3 6, BA = 3 0 ]. Multiplicando, ].

5 Outras propriedades Comutativa

6 Outras propriedades Comutativa Cancelamento

7 A Lei do Cancelamento não vale Considere as matrizes [ ] [ A = B = Multiplicando, obtemos ] [ 2 5, C = 3 4 ].

8 A Lei do Cancelamento não vale Considere as matrizes [ ] [ ] [ ] A = B =, C = Multiplicando, obtemos [ ] 3 4 AB = AC =. 6 8 Embora A 0, é incorreto cancelar A de ambos os lados da equação AB = AC e escrever B = C.

9 A Lei do Cancelamento não vale Considere as matrizes [ ] [ ] [ ] A = B =, C = Multiplicando, obtemos [ ] 3 4 AB = AC =. 6 8 Embora A 0, é incorreto cancelar A de ambos os lados da equação AB = AC e escrever B = C. É possível um produto de matrizes ser zero sem que nenhum dos fatores seja zero!

10 Propriedades das Matrizes Zero Supondo que os tamanhos das matrizes são tais que as operações indicadas podem ser efetuadas, valem as seguintes regras: (a) A+0=0+A=A (b) A-A=0 (c) 0-A=-A (d) A0=0; 0A=0

11 Definição de inversa Uma matriz quadrada A de ordem n é inversível se existe uma matriz B tal que: AB = BA = I n.

12 Definição de inversa Uma matriz quadrada A de ordem n é inversível se existe uma matriz B tal que: AB = BA = I n. Notação: B = (A 1 ) Exemplo: A = [ ] B = [ ]

13 Definição de inversa Uma matriz quadrada A de ordem n é inversível se existe uma matriz B tal que: AB = BA = I n. Notação: B = (A 1 ) Exemplo: A = [ ] B = [ ] Uma matriz não inversível é dita uma matriz singular.

14 Inversa de uma matriz de ordem 2 [ ] 3 5 A matriz B = é a inversa da matriz [ ] B = pois 1 3 e. AB = BA = [ [ ] [ ] [ ] = ] = [ [ ] = I 2 ] = I 2

15 Exercício Verifique que a matriz A = não possui inversa, ou seja, A é uma matriz singular.

16 Propriedade da inversão de matrizes Sejam A e B matrizes inversíveis de mesma ordem. Então:

17 Propriedade da inversão de matrizes Sejam A e B matrizes inversíveis de mesma ordem. Então: i) (AB) 1 = B 1 A 1

18 Propriedade da inversão de matrizes Sejam A e B matrizes inversíveis de mesma ordem. Então: i) (AB) 1 = B 1 A 1 ii) (A 1 ) 1 = A

19 Propriedade da inversão de matrizes Sejam A e B matrizes inversíveis de mesma ordem. Então: i) (AB) 1 = B 1 A 1 ii) (A 1 ) 1 = A iii) (A T ) 1 = (A 1 ) T

20 Método para encontrar A 1 Dada a matriz A =

21 Método para encontrar A 1 Dada a matriz A = qual é a sua inversa?

22 Operações elementares sobre linhas 1- Multiplicar uma linha inteira por um número real não nulo.

23 Operações elementares sobre linhas 1- Multiplicar uma linha inteira por um número real não nulo. 2- Trocar a posição de duas linhas.

24 Operações elementares sobre linhas 1- Multiplicar uma linha inteira por um número real não nulo. 2- Trocar a posição de duas linhas. 3- Substituir uma linha por sua soma com um múltiplo de outra.

25 Matrizes Elementares Matriz elementar é a matriz obtida a partir da matriz identidade executando uma única operação elementar sobre as linhas.

26 Matrizes Elementares Matriz elementar é a matriz obtida a partir da matriz identidade executando uma única operação elementar sobre as linhas. Exemplos:

27 Matrizes Elementares Matriz elementar é a matriz obtida a partir da matriz identidade executando uma única operação elementar sobre as linhas. Exemplos: A = [ ], B

28 Matrizes Elementares Matriz elementar é a matriz obtida a partir da matriz identidade executando uma única operação elementar sobre as linhas. Exemplos: A = [ ], B A é obtida a partir de I 2 multiplicando a segunda linha por -3 e B é obtida a partir de I 3 somando 3 vezes a terceira linha à primeira.

29 Teorema Qualquer matriz elementar é inversível e sua inversa também é uma matriz elementar de mesmo tipo.

30 Teorema Qualquer matriz elementar é inversível e sua inversa também é uma matriz elementar de mesmo tipo. Qual o efeito da multiplicação de uma matriz elementar E i por uma matriz A?

31 Teorema Qualquer matriz elementar é inversível e sua inversa também é uma matriz elementar de mesmo tipo. Qual o efeito da multiplicação de uma matriz elementar E i por uma matriz A? Resposta: Se E i é o resultado de uma operação elementar na matriz identidade, então E i A é a matriz que resulta da mesma operação elementar nas suas linhas.

32 Definição: Uma matriz B é equivalente por linhas à uma matriz A se existe uma sequência finita de matrizes elementares E 1, E 2,..., E k tal que:

33 Definição: Uma matriz B é equivalente por linhas à uma matriz A se existe uma sequência finita de matrizes elementares E 1, E 2,..., E k tal que: B = E k E k 1...E 2 E 1 A

34 Definição: Uma matriz B é equivalente por linhas à uma matriz A se existe uma sequência finita de matrizes elementares E 1, E 2,..., E k tal que: B = E k E k 1...E 2 E 1 A Teorema Se a forma escalonada reduzida por linhas de uma matriz A é a matriz identidade, então A pode ser expressa como um produto de matrizes elementares.

35 Encontrando a inversa de uma matriz A Suponha que uma matriz A possa ser reduzida por linhas à matriz identidade I n.

36 Encontrando a inversa de uma matriz A Suponha que uma matriz A possa ser reduzida por linhas à matriz identidade I n. I n = E k E k 1...E 2 E 1 A ( )

37 Encontrando a inversa de uma matriz A Suponha que uma matriz A possa ser reduzida por linhas à matriz identidade I n. I n = E k E k 1...E 2 E 1 A ( ) Isto é, A é equivalente a matriz identidade. Assim podemos encontrar A 1 multiplicando a equação ( ) por A 1 à direita:

38 Encontrando a inversa de uma matriz A Suponha que uma matriz A possa ser reduzida por linhas à matriz identidade I n. I n = E k E k 1...E 2 E 1 A ( ) Isto é, A é equivalente a matriz identidade. Assim podemos encontrar A 1 multiplicando a equação ( ) por A 1 à direita: A 1 = (E k E k 1...E 2 E 1 A)A 1

39 Encontrando a inversa de uma matriz A Suponha que uma matriz A possa ser reduzida por linhas à matriz identidade I n. I n = E k E k 1...E 2 E 1 A ( ) Isto é, A é equivalente a matriz identidade. Assim podemos encontrar A 1 multiplicando a equação ( ) por A 1 à direita: A 1 = (E k E k 1...E 2 E 1 A)A 1 A 1 = (E k E k 1...E 2 E 1 )I n

40 Como funciona na prática Seja A uma matriz quadrada de ordem n, inversível ou singular.

41 Como funciona na prática Seja A uma matriz quadrada de ordem n, inversível ou singular. Forme uma nova matriz de tamanho n 2n [A I] Façamos operações elementares nessa matriz até obtermos [I A]

42 Exemplo Encontre a inversa da matriz: Soluçao. Escrevemos

43 somando -2 vezes a primeira linha à segunda e -1 vezes a primeira à terceira:

44 somando 2 vezes a segunda linha à terceira:

45 multiplicando a terceira linha por -1:

46 somando 3 vezes a terceira linha à segunda e -3 vezes a terceira à primeira:

47 somando -2 vezes a segunda linha à primeira:

48 Assim, a inversa A 1 é

49 Assim, a inversa A 1 é Se durante o procedimento acima, em algum ponto das contas, aparecer uma linha de zeros no lado esquerdo então concluímos que a matriz não é invertível.

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