MATEMÁTICA MÓDULO 11 DETERMINANTES. Professor Matheus Secco

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Dalila César Pacheco
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2 MATEMÁTICA Professor Matheus Secco MÓDULO 11 DETERMINANTES

3 INTRODUÇÃO Neste módulo, não daremos a definição padrão de determinantes via somatório envolvendo sinais de permutações, pois não há necessidade de entrarmos em tantos detalhes para os concursos desejados. Assim, apresentaremos o cálculo de determinantes de matrizes de ordem 1, 2 e 3 e em seguida utilizaremos o Teorema de Laplace para estender os determinantes para matrizes de ordem superior!

4 1. Determinantes de 1º ordem Seja A a uma matriz 1x1 então deta a a Determinante de 2º ordem a a a a Seja A então deta a a a a a a a a Ex.: 1 2 ( 1).3 ( 2)

5 3. Determinante de 3º ordem Regra de Sarrus a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A Regra de Sarrus é um dispositivo mnemônico para calcular o determinante de 3º ordem. termos positivos diagonal principal e diagonais paralelas à ela termos negativos diagonal secundária e diagonais paralelas à ela

6 EXEMPLO: ( 2)( 3) ( 2) 15 ( 3)

7 4. Teorema de Laplace Este nos dá uma maneira geral de calcular o determinante, recursivamente, de qualquer matriz quadrada. Vejamos alguns conceitos preliminares Menor complementar Seja uma matriz quadrada de ordem n 2 e a ij um elemento qualquer de A. O menor complementar M ij do elemento a ij é o determinante da matriz de ordem (n 1), obtida a partir de A eliminando-se a linha i e a coluna j. Vamos aplicar essa definição a uma matriz quadrada de ordem 3 e obter a expressão do menor complementar de alguns elementos.

8 Considere a matriz a a a A a a a a a M a a a a a a a a a a a M a a a a a a a a M a a a a a a a a M a a a a a a

9 4.2. Cofator Seja uma matriz quadrada de ordem n 2 e a ij um elemento qualquer de A. O cofator do elemento a ij é o número definido por, A ij = ( 1) i+j M ij onde M ij é o menor complementar de a ij. Calculando os cofatores a partir dos menores obtidos no exemplo anterior: A ( 1) M M A ( 1) M M A ( 1) M M A ( 1) M M

10 4.3. Teorema de Laplace Seja A uma matriz quadrada de ordem n 2, o determinante de A é a soma dos produtos dos elementos de uma fila (linha ou coluna) qualquer pelos respectivos cofatores. Usando o teorema de Laplace na 3ª linha para o cálculo do determinante abaixo: n det A a A a A pj pj iq iq j1 i1 n A 3 A 3 ( 1) ( 1) = (4) = 48

11 5. Propriedades dos determinantes Usando o teorema de Laplace para o cálculo do determinante conseguimos provar várias propriedades importantes que nos permitem calcular alguns determinantes específicos de uma maneira muita mais rápida e elegante. Vamos a elas: Propriedade 1: O determinante da matriz identidade vale 1; Propriedade 2: Para toda matriz quadrada A temos que det(a) = det(a T ); Propriedade 3: Seja B a matriz obtida a partir da matriz A pela troca de duas filas (linhas ou colunas) paralelas. Desta forma, temos det(b) = det(a);

12 Propriedade 4: Toda matriz que possui duas filas paralelas iguais ou proporcionais tem determinante nulo; Propriedade 5: Toda matriz que possui uma fila com todos os seus elementos nulos tem determinante nulo; Propriedade 6: Seja B uma matriz obtida a partir de uma matriz A de modo que a i-ésima fila de B é igual a i-ésima fila de A multiplicada por uma constante k, então temos det(b) = k.det(a); Propriedade 7: Seja A uma matriz de ordem n e k um número real, então det(k.a) = k n. det(a);

13 Propriedade 8: a (b c ) a 11 1j 1j 1n a b a 11 1j 1n a c a 11 1j 1n a (b c ) a 21 2j 2j 2n a b a 21 2 j 2n a c a 21 2 j 2n a (b c ) a n1 nj nj nn a b a n1 nj nn a c a n1 nj nn

14 Propriedade 9: (Teorema de Jacobi) Adicionando-se a uma fila uma combinação linear de outras filas paralelas, o determinante não se altera; Propriedade 10: Para toda matriz triangular (superior ou inferior) tem determinante igual ao produto dos elementos da diagonal.

15 6. Regra de Chió Este algoritmo serve, assim como o teorema de Laplace, para baixar a ordem do determinante. Importante saber é que só podemos aplicar a regra de Chió se existir algum elemento igual a 1. Algoritmo: 1) Seja um determinante de ordem n onde a ij = 1, suprimem-se a i-ésima linha e a j-ésima coluna; 2) De cada elemento restante a pq do determinante subtraímos a pj. a iq ; 3) O novo determinante tem ordem n-1 e quando multiplicado por ( 1) i+j torna-se igual ao determinante original.

16 Exemplo:

17 7. Matriz de Vandermonde Chamamos de matriz de Vandermonde a uma matriz da forma, V a a a a n n a a a a. n1 n1 n1 n n a a a a O determinante de matrizes de Vandermonde é dado pelo produto de todas as possíveis diferenças a i a j onde i > j.

18 8.Teorema de Binet Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem, então vale a igualdade det(ab) = det(a).det(b).

19 9. Matriz Inversa Dizemos que uma matriz A quadrada de ordem n é inversível se existe uma matriz B também de ordem n tal que AB = BA = I. Neste caso, dizemos que B é a matriz inversa de A e denotamos B = A 1. PROPRIEDADES: Todas as matrizes aqui citadas serão quadradas de ordem n e inversíveis. i. Se AB = I, necessariamente B = A 1 e então podemos garantir que BA = I. ii. (A 1 ) 1 = A iii. (At) 1 = (A 1 ) t iv. (A 1 A 2...A k ) 1 = (A k ) 1...(A 2 ) 1 (A 1 ) 1

20 v. (A k ) 1 = (A 1 ) k vi. det A 1 1 deta e assim A é inversível se, e somente se, seu determinante é não nulo.

21 10. Cálculo da matriz inversa Veremos agora o método do cálculo da matriz inversa através da matriz chamada adjunta. No próximo módulo, de sistemas lineares, veremos como calcular a matriz inversa resolvendo sistemas lineares. Dada uma matriz quadrada A, definimos a matriz adjunta de A como Adj(A) = (cofa) t, ou seja, a matriz adjunta é a transposta da matriz dos cofatores. Assim, temos o seguinte resultado: A 1 1 deta adj A Este método é útil quando queremos encontrar um elemento específico da matriz inversa ou quando queremos inverter uma matriz de ordem baixa (2 ou 3 em geral).

22 a b Dada uma matriz c d inversível, sua inversa é dada 1 d b por. ad bc c a

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